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\entete{\theNumLecon - \NomLecon}{\rightmark}{T\textsuperscript{ale}S4 - Lycée Jean \textsc{Perrin}}%g,d,b



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\begin{document}
\setlength{\parindent}{0pt}
\thispagestyle{empty}


\setcounter{NumLecon}{6}

\LECOND{VI}{Sixième}{LES SUITES}{ }{LES SUITES}{evolution.eps}

\begin{Abstract}
Même si elles ne constituent qu'un cas particulier des fonctions numériques, les suites méritent une étude à part entière car elles jouent un rôle extrêmement important à la fois en mathématiques et en physique. Elles permettent en effet dans les deux cas de fournir une approximation du <<~réel~>> .  Après avoir mis en place un raisonnement important et  fait quelques rappels de première, nous découvrirons donc la notion de limite de suite sous les angles physique et mathématique, puis nous parlerons d'applications importantes, en particulier les suites du type $u_{n+1}=f(u_n)$ et les suites adjacentes.
\end{Abstract}

\section{Récurrence}



\subsection{Découverte}

\subsubsection{Génétique syldave}

Les scientifiques syldaves viennent de mettre en évidence que la terrible maladie de Mathieu est en fait héréditaire : cette maladie frappe depuis des siècles les petits syldaves et les fait naître avec un unique mais énorme cheveu sur la tête.

C'est Vaclav \textsc{Grtschtsz} qui, le premier, contracta cette maladie en 1643 après être rentré en contact avec des vénusiens : ce fait peu connu marque la cause de l'apparition de la maladie en Syldavie. Depuis, tous ses descendants ont souffert de ce terrible mal et aucun médicament terrestre ne semble en mesure de stopper cette calamité.

Résumons les faits :

\begin{enumerate}
\item  la maladie de Mathieu fait naître les nouveaux nés avec un énorme et unique cheveu sur la tête. Notons $n$
la $n$\eme génération aprés Vaclav.

 Notons $\PR(n)$ la propriété~:~<<~la $n$\eme génération sera infectée par la maldie~>>
\item initialisation : un premier syldavien est infecté en 1643, donc $\PR(0)$ est vraie;
\item l'hérédité de la maladie a été prouvée : si un des parents de la $k$\eme génération est atteint, alors ses enfants de la $k+1$\eme génération seront également infectés, ce qui se traduit par \[ \PR(k)\ \text{vraie}\imp\PR(k+1)\ \text{vraie}\]
\item nous en déduisons que, quelque soit la génération $n$  des descendants de Vaclav, ceux-ci seront infectés, c'est à dire que $\PR(n)$ est vraie quelque soit l'entier naturel $n$. 
\end{enumerate}


\subsubsection{Jouons aux cubes}

Voici un  test de fin d'étude  maternelle en Syldavie :  prenez un cube,
placez en-dessous  deux autres cubes, et encore  en-dessous trois cubes,
etc. 



\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=4cm]{limfonc.70}
\end{center}
\end{figure}



Combien y a-t-il de cubes bleus  au total sur le dessin ci-dessus ? On peut encore les compter à la main, mais que faire si je vous demande le nombre de cubes lorsqu'on a placé 100 rangées ? $n$ rangées ?

Le dessin nous donne une idée : si nous complétons la figure pour former un rectangle, il y a deux fois plus de cubes, mais maintenant nous pouvons les compter. Il y en a en effet $\fr{4\times (4+1)}{2}$, et donc \[1+2+3+4=\fr{4\times(4+1)}{2}\]

\smallskip

Reprenons la méthode adoptée pour étudier la génétique syldave :

\begin{enumerate}

\item Nous allons  essayer de prouver que la propriété suivante est vraie pour tout entier naturel non nul $n$

\[\PR(n)~:~\text{<<}~ 1+2+3+\cdots+n=\fr{n(n+1)}{2}~\text{>>}\]

\item Il est facile de vérifier que  $1=\fr{1(1+1)}{2}$,  donc la deuxième étape de notre raisonnement est vérifiée
\[\PR(1)\ \text{ est vraie}\]

\item Supposons qu'une  <<~génération~>>, appelons-la par exemple la $k$ \eme, soit <<~infectée~>>. Plus sobrement on dira : soit $k$ un entier supérieur à 1. Supposons que $\PR(k)$ soit vraie et essayons alors de montrer que cela implique que la génération suivante , la $k+1$ \eme, sera elle aussi infectée, c'est à dire
\[\PR(k)\ \text{ vraie}\Longrightarrow \PR(k+1)\ \text{ vraie}\]

Il s'agit donc de calculer $1+2+3+\cdots+k+(k+1)$ sachant que $1+2+3+\cdots+k=\fr{k(k+1)}{2}$, or 
\begin{center}
\begin{tabular}{rccl}
$1+2+3+\cdots+k+(k+1)$ &=& $\ds\underbrace{1+2+3+\cdots+k}$&$+(k+1)$ \\
                                   &=&\vtabb $\fr{k(k+1)}{2}     $                     & $+(k+1)$\\
                                   &= &\vtabb $(k+1)\pa{\fr{k}{2}+1}$ & \\
                                   &=&\vtabb $(k+1)\pa{\fr{k+2}{2}}$  &\\
                                   &=&\vtabb $\fr{(k+1)(k+1+1)}{2}$

\end{tabular}
\end{center}

Nous en déduisons que $\PR(k+1)$ est  vraie elle aussi.

\item Nous avons vérifié que la propriété était vraie au rang 1 et qu'elle était héréditaire. Nous allons donc en déduire que la propriété sera toujours vraie, quelque soit l'entier naturel non nul $n$ grâce au théorème admis suivant 

\end{enumerate}
\subsection{Le théorème}


\begin{figure}[!h]
  \begin{Theoreme}[(admis) Raisonnement par récurrence]
    Soit $\PR$ une propriété
dépendant d'un rang $n$. Pour montrer que $\PR(n)$ est vraie pour
tous les entiers naturels $n$ supérieurs à un certan $n_0$
\begin{enumerate}
\item On expose clairement la propriété $\PR(n)$.
\item On vérifie que $\PR(n_0)$ est vraie : c'est le \textbf{pas
initial}
de la récurrence.
\item On \textbf{suppose} ensuite que $\PR(k)$ est vraie pour un
certain entier $k$ : c'est \textbf{l'hypothèse de récurrence} et  on démontre alors que la propriété $\PR(k+1)$ est vraie :
c'est le passage du rang $k$ au rang $k+1$ qui exprime que la
propriété $\PR$ est \textbf{héréditaire}.
\item Il reste à \textbf{conclure} en annonçant que, par
récurrence, la propriété est vraie pour tout entier naturel $n$
\end{enumerate}
    \end{Theoreme}
  \end{figure}



\subsection{Applications}

\exot{Jouons encore...}

Prenons un cube, rajoutons trois autres cubes
pour former un carré, puis cinq autres cubes pour former un plus
grand carré, puis sept autres cubes pour former un carré encore
plus grand...

\sm

Nous voulons maintenant calculer la somme des $n$ premiers entiers
impairs.

\begin{enumerate}
\item Proposez une formule générale inspirée du résultat de
notre petite activité de \textit{maternelle}. \item Démontrez la formule
par récurrence. 
\end{enumerate}

\exot{Récurrence chinoise}

Que vous inspire le petit dessin suivant (il est interdit de répondre : <<~rien !~>>)


\figpara{somme_des_cubes0}{somme_des_cubes1}

\figpara{somme_des_cubes3}{somme_des_cubes6}



\begin{center}
%\includegraphics[height=10cm]{/home/moi/ancienordi/ts/cubes.eps}
\end{center}




\section{Suites arithmetico-géométriques}

\subsection{Quelques rappels...}


\subsubsection{Suites arithmétiques}



\begin{figure}[!h]
  \begin{Definition}[Suite arithmétique]
    Une suite $(u_n)$ est arithmétique lorsqu'il existe un réel $b$ tel que, pour tout $n\in\bbn$, $$u_{n+1}=u_n+b$$ On appelle $b$ la raison de la suite
    \end{Definition}
  \end{figure}


Les propriétés suivantes se montrent par récurrence (faites-le !)


\begin{figure}[!h]
  \begin{Propriete}[]
    \'Etant donné une suite arithmétique de raison $b$
\begin{itemize}
\item $\text{pour tout } n \in\bbn$, $u_n=u_0+nb$
\item $\ds\sum_{k=0}^{n}u_k=\fr{\text{nombre de termes}\times(\text{1er terme+dernier terme})}{2}=\fr{(n+1)(u_0+u_n)}{2}$
\end{itemize}
\end{Propriete}
  \end{figure}


En particulier $\ds\sum_{k=0}^nk=\fr{n(n+1)}{2}$.

\subsubsection{Suites géométriques}




\begin{figure}[!h]
  \begin{Definition}[Suite géométrique]
    Une suite $(u_n)$ est géométrique lorsqu'il existe un réel $a$ tel que, pour tout $n\in\bbn$, $$u_{n+1}=a\cdot u_n$$ On appelle $a$ la raison de la suite
    \end{Definition}
  \end{figure}




Les propriétés suivantes se montrent par récurrence (faites-le !)



\begin{figure}[!h]
  \begin{Propriete}[]
\'Etant donné une suite géométrique de raison $a$
    \begin{itemize}
    \item  $\text{pour tout } n \in\bbn$, $u_n=u_0\cdot a^n$
\item Si $a\neq 1$, $\ds\sum_{k=0}^{n}u_k=\text{premier terme}\times\fr{1-\text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1-\text{raison}}$
    \end{itemize}
    \end{Propriete}
  \end{figure}


\subsection{Découverte}


\exot{Observons...}

Une suite $\un$ est définie par
$$\bsys
 u_0=3\\ u_{n+1}=10 u_n-9\esys$$
Observez, conjecturez, prouvez.

\exot{Découvrons...}

Une suite $\un$ est définie par
$$\bsys
 u_0=1\\ u_{n+1}=3 u_n+1\esys$$
Soit $\al$ la solution de l'équation $x=3x+1$


 \begin{itemize}
\item \'Etudiez la suite $\vn$ définie par $v_n=u_n-\al$.
\item Déduisez zan l'expression du terme général de $\vn$ en
fonction de $n$.
\item Exprimez alors $u_n$ en fonction de $n$.
\end{itemize}

\exot{Généralisons...}


Soient $a\in\bbr\backslash\{1\}$ et $b\in\bbr$. Une suite $\un$
est définie par
$$\bsys
u_0=u_0\\ u_{n+1}=a u_n+b\esys$$\label{ag}

\begin{itemize}
\item Pourquoi a-t-on posé $a\in\bbr\setminus\{1\}$~?
\item Soit $\al$ la solution de l'équation $x=ax+b$. Pourquoi est-on sûr que $\al$ existe~?
\item \'Etudiez la suite $\vn$ définie par $v_n=u_n-\al$.
\item Déduisez-en l'expression du terme général de $\vn$ en
fonction de $n$.
\item Exprimez alors $u_n$ en fonction de $n$.
\item Pourquoi a-t-on eu l'idée d'utiliser la solution de $x=ax+b$~?
\end{itemize}

\exot{Dans le même esprit...}

\'Etudiez $\bsys
u_0=6\\ u_{n+1}=\fr{2u_n+3}{5}\esys$ et calculez
$S_n=\ds\sum_{k=0}^nu_k$.
Mêmes questions avec $\bsys
 u_0=-3/2\\
u_{n+1}=\fr{2}{3}u_n-1\esys$

\section{Convergence d'une suite}

\subsection{Qu'est-ce qu'une suite ?}
\subsubsection{Définition}
Pour faire court, on pourrait se contenter de dire 

\index{limite ! de suite |(}


\begin{figure}[!h]
  \begin{Definition}[Suite numérique]
    Une suite numérique réelle est une fonction de $\bbn$ vers $\bbr$
    \end{Definition}
  \end{figure}


Mais développons un peu.  Considérons par exemple la suite de terme général $u_{n+1}=\sqrt{2n+1}$.

La suite $\mg u$ qu'on note encore
$(u_n)_{n\in\bbn}$\footnote{c'est à dire l'ensemble des valeurs
prises par $u_n$ quand $n$ \textit{décrit} l'ensemble $\bbn$ qu'on
pourrait aussi noter $\{u_0, u_1, u_2,\cdots, u_{1000},\cdots,
u_{197895},\cdots\}$ : on identifie ici la fonction et les valeurs
qu'elle prend, ce qui se comprend car on peut <<~énumérer~>> ces
valeurs} ou même $(u_n)$ est la fonction qui, à n'importe quel
\textbf{entier} $n$ associe le \textbf{réel} $\sqrt{2n+1}$

Si ce n'est qu'une fonction, pourquoi lui avoir donné un nom spécial ?  

\subsubsection{Inerprétation physique}

Enfilons une blouse :
et hop ! Nous voici devenus physiciens.

Laissons tomber un objet dans un tube où nous
avons au préalable fait le vide. Notons sa position chaque
seconde~:

$h_0=0$m, $h_1=4,9$m, $h_2=19,6$m, $h_3=44,1$m, $h_4=78,4$m.

Avec un bon sens de l'observation, nous remarquons que 

$$h_n\simeq \fr{1}{2}gn^2$$
avec $g\simeq 9,81\text{ms}^{-2}$ et $n$ le \textit{rang} de la mesure
correspondant ici au nombre de secondes écoulées depuis le début
de la chute.

Nous avons ainsi tout naturellement construit une $suite$ de
mesures qui est en fait une suite numérique de \textit{terme
général} $h_n=4,9n^2$.



 Aurait-il été plus simple de noter $h(t)=4,9t^2$ avec $t$ le
temps en secondes et $h(t)$ la hauteur en mètres~?

 Attention ! Nous avons pris des mesures chaque seconde. Rien
ne nous dit qu'entre chaque mesure il ne se passe pas des choses
extrèmement bizarres. Bien sûr le physicien généralisera le
résultat à n'importe quelle valeur de $t$, entière ou non, car il
a en poche des lois qui le lui permettent : il passe naturellement
du $discret$ au $continu$\footnote{Ce passage du discret au
continu est l'un des points forts de votre formation : nous en
reparlerons tout au long de l'ouvrage, notamment au moment de la
découverte du calcul intégral et des lois de probabilité à
densité. Voir aussi l'annexe 1 en fin d'ouvrage}.

Hors d'un contexte physique, un mathématicien aura besoin d'être
convaincu avant de pouvoir généraliser

Considérez par exemple la suite de terme général

$$u_n=\sin(n\pi)$$

En fait, $u_n$ est toujours nul.

 Considérez maintenant la fonction définie pour tout réel $t$
par $f(t)=\sin(t\pi)$...

Par exemple $f(1/2)=\sin(\pi/2)=1$ donc la
fonction $f$ n'est pas nulle partout en fait.

 Imaginez un physicien prenant chaque seconde des mesures d'un
phénomène obéissant à cette loi\footnote{par exemple une onde se
propageant à la surface de l'eau}: il pourrait conclure qu'après
avoir jeté un caillou dans l'eau, la surface reste immobile...

Pour en revenir à nos moutons, une suite numérique peut apparaître
comme une <<~suite de mesures~>> à intervalle de temps régulier :
garder cette image en tête pourra peut-être vous aider à mieux
appréhender l'étude des suites, et l'étude des suites devrait
elle-même vous aider à appréhender les propriétés des fonctions
définies sur $\bbr$.

De manière plus abstraite, on peut aussi considérer une suite
numérique comme un classement de nombres réels : on prend des
réels et on leur colle un dossard.

Considérons par exemple la suite des entiers pairs :

$0$ a  le dossard n°0

2 a le dossard n°1

4 a le dossard n°2

6 a le dossard n°3 etc.

ce qui revient à étudier la suite $p_n$ de terme général $p_n=2n$.

 Oui mais si on prend la suite $u_n=\sin(n\pi)$, le pauvre 0 va se retrouver avec une infinité
de dossards...Voici un écueil fréquemment rencontré par les
valeureux pédagogues cherchant un support intuitif concret à une
notion mathématique abstraite : ça peut aider, mais il faut être
conscient des limites. 

\subsection{Comment traduire qu'une suite diverge vers l'infini ?}

Une suite est en particulier une fonction, donc la définition vues à la première leçon reste valide

 
\begin{figure}[!h]
  \begin{Definition}[Suite divergeant vers l'infini]
     Soit $\un$ une suite réelle. On dit que $\un$
diverge vers $+\infty$ si et seulement si , pour tout réel positif
$A$, il existe \textbf{un} entier $N$ tel que \textbf{pour tout}
entier $n$ supérieur à $N$, on a $u_n>A$.
    \end{Definition}
  \end{figure}




\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=5cm]{limfonc.59}
\end{center}
\end{figure}






Reprenons par exemple le cas de l'objet tombant dans le vide : considérons donc la suite $(h_n)_{n\in\bbn}$ de terme général
$h_n=5n^2$.

Soit $A$ un réel positif quelconque. Nous voudrions savoir s'il
existe un rang $N$ à partir duquel les valeurs prises par la suite
$(h_n)_{n\in\bbn}$ sont $toujours$ supérieures à $A$.

Il s'agit donc de résoudre \textbf{dans} $\mg\bbn$ l'inéquation

\begin{align*}
(I)&: \ 5n^2\se A\\
(I)&\ssi n^2\se A/5\\
(I)&\ssi n\se \sqrt{A/5}\ \text{car } A\se0
\end{align*}

Donc, dès que $n$ sera supérieur à $\sqrt{A/5}$, on aura $h_n$
supérieur à $A$. Donc, d'après notre définition, on peut dire que
$(h_n)_{n\in\bbn}$ tend vers $+\infty$.


Mais attention !  $\sqrt{A/5}$ n'a aucune raison d'être
un entier~! $N$ est en fait le premier entier supérieur à
$\sqrt{A/5}$.


\subsection{Comment traduire qu'une suite converge ?}

Adaptons ici encore le langage des limites des fonctions au cas de suites 



\begin{figure}[!h]
  \begin{Definition}[Suite convergente]
    On dit qu'une suite $\un$ converge vers le réel
$\ell$ si et seulement si tout intervalle ouvert contenant $\ell$
contient aussi \textbf{tous les termes de la suite à partir d'un
certain rang}
    \end{Definition}
  \end{figure}





\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=2.25cm]{limfonc.60}
\end{center}
\end{figure}



Prenons un exemple simple : la suite de terme général
$v_n=\fr{n+1}{n}$.

On observe $v_1=2,\ v_2=3/2,\ v_{100}=1,01,\ v_{10\,000}=1,0001$ : la
suite semble converger vers 1.



  Prenons un intervalle
centré en 1 : il est de la forme $]1-\e\,;\,1+\e[$



Résolvons alors

\begin{align*}
(I_n)&:\ 1-\e<v_n<1+\e\\
(I_n)&\ssi 1-\e<1+1/n<1+\e\\
(I_n)&\ssi -\e<1/n<\e\\
(I_n)&\ssi 0<1/n<\e\ \text{car $n$ est strictement positif}\\
(I_n)&\ssi n>1/\e
\end{align*}

Donc, quelque soit $\e$, c'est à dire quelque soit l'intervalle
ouvert centré en 1, tous les termes $v_n$ de la suite seront dans
l'intervalle dès que $n$ est supérieur à $1/\e$.


\sm

Les théorèmes généraux sur les limites de fonctions sont bien sûr applicables aux suites numériques : nous ne reviendrons pas dessus. \'Enonçons toutefois un théorème très important admis en terminale :  



\begin{figure}[!h]
  \begin{Theoreme}[Théorème de la limite monotone]
    Toute suite réelle croissante (décroissante) et majorée (minorée) est convergente
    \end{Theoreme}
  \end{figure}



Essayez d'en  déduire que toute  suite croissante qui n'est  pas majorée
diverge vers $+\infty$.

\section{Première série d'exercices}

\subsection{Croyable mais faux~!}


\exot{Croyable mais faux !}

Mathémator combat les idées reçues sur les suites : une interview
exclusive.

\sm

\tsx Est-il vrai qu'une suite strictement croissante diverge
forcément vers $+\infty$~?

\pro On pourrait le penser en effet : une suite qui ne fait que
croître va forcément monter vers $+\infty$. Et pourtant c'est
FAUX~!

Je vous laisse trouver un contre-exemple.


\tsx Est-il vrai qu'une suite qui diverge vers $+\infty$ est
forcément croissante à partir d'un certain rang~?

\pro On pourrait le penser en effet : puisqu'il faut aller vers
l'infini et au-delà, il va bien falloir monter sans s'arrêter. Et
pourtant c'est FAUX~!


Je vous laisse trouver un contre-exemple.

\tsx Est-il vrai qu'une suite bornée converge forcément vers un
réel~?

\pro On pourrait le penser en effet : puisque la suite est bornée,
elle ne pourra aller vers l'infini, donc il faut qu'elle se
stabilise quelque part. Et pourtant c'est FAUX~!

Je vous laisse trouver un contre-exemple.

\tsx Est-il vrai qu'une suite ne prenant qu'un nombre fini de
valeurs converge forcément~?

\pro On pourrait le penser en effet : puisque la suite ne prend
qu'un nombre fini de valeurs, elle va se stabiliser sur l'une
d'elle. Et pourtant c'est FAUX~!

Je vous laisse trouver le \textit{contre-exemple}.





\subsection{Avec les définitions.}


\exot{}

On considère la suite définie par $u_n=2+1/n$ pour $n\se 1$

\begin{itemize} \item Calculer les dix premiers termes de la suite et en
donner des valeurs approchées à $10^{-2}$ près.

\item Observer la représentation graphique de la suite $\un$
donnée par une calculatrice ou un ordinateur. Quelle conjecture
peut-on faire sur la limite de la suite $\un$  ?

\item On considère l'intervalle ouvert de centre 2 et de rayon
0,01 , c'est-à-dire $] 1,99 ; 2,01[$ . Montrer qu'à partir d'un
certain rang  $n_0$ à déterminer, tous les termes de la suite
($u_n$) appartiennent à cet intervalle.

\item On considère l'intervalle ouvert de centre 2 et de rayon $r$
, c'est-à-dire $]2-r, 2+r[$.

 Montrer qu'à partir d'un certain rang
$n_0$ à déterminer en fonction de $r$ , tous les termes de la
suite ($u_n$) appartiennent à cet intervalle.

 \item Démontrer que ($u_n$) converge vers 2.


\end{itemize}

 \exot{}

On considère la suite ($u_n$ ) définie par $u_n=\fr{n^2+2}{n}$
pour $n\se1$.

 \begin{itemize}


\item Calculer les dix premiers termes de la suite et en donner
des valeurs approchées à $10^{-2}$ près.

\item Observer la représentation graphique de la suite ($u_n$ )
donnée par une calculatrice ou un ordinateur. Quelle conjecture
peut-on faire sur la limite de la suite  ?

\item On considère l'intervalle $]a,+\infty[$ avec $a\se10$.

Montrez qu'à partir d'un certain rang $n_0$ à déterminer en fonction de
$a$, tous les termes de la suite appartiennent à cet intervalle.

\item Montrez que$\lin u_n=+\infty$. \end{itemize}


\exot{} Démontrez que si une suite est convergente, alors elle est
bornée.


\subsection{Avec les propriétés.}




\exot{} Déterminez les limites des suites de termes généraux
suivants~:
$$u_n=\cos n-n\quad v_n=2n+(-1)^n\quad a_n=\fr{\sin n}{n}\quad
b_n=\left(\fr{3}{4}\right)^n\sin n\quad c_n=\fr{3-\cos n}{n}$$

\exot{} Soit $\un$ la suite de terme général $$u_n=\sqrt{n^2+6n}-n$$
\begin{itemize}

\item Conjecturez la limite de la suite à l'aide de la
calculatrice
\item Montrez que $u_n=\fr{6}{\sqrt{1+6/n}+1}$ et déduisez-en la
limite de $\un$. \end{itemize}

\exot{} On considère la suite $(s_n)_{n\in\bbn}$ de terme général
$$s_n=\sum_{k=1}^n\fr{n}{n^2+k}$$
En déterminant le plus petit et le plus grand terme de $s_n$,
montrez que $$\fr{n}{n+1}\ie s_n\ie \fr{n^2}{n^2+n}$$ et
déduisez-en la limite de $(s_n)_{n\in\bbn}$.



\exot{Style Bac avec ROC}

Soit $(\un)$ une suite. On considère les propriétés suivantes

\begin{itemize} \item P$_{1}$ la suite $\left(u_{n}\right)$ est majorée ;
\item P$_{2}$ la suite $\left(u_{n}\right)$ n'est pas majorée;
\item P$_{3}$ la suite $\left(u_{n}\right)$ converge;
\item P$_{4}$ la suite $\left(u_{n}\right)$ tend vers +;
\item P$_{5}$ la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante.

\end{itemize}

\begin{enumerate} \item Donner la traduction mathématique des propriétés P$_{1}$ et P$_{4}$.

\item Si les propriétés P$_{1}$ et P$_{5}$ sont vraies, que peut-on en conclure
pour $\left(u_{n}\right)$ (on ne demande pas de justifier la réponse) ?

\item Si les propriétés P$_{2}$ et P$_{5}$ sont vraies, que peut-on en conclure
pour $\left(u_{n}\right)$ (on ne demande pas de justifier la réponse) ?

\item Une suite vérifiant la propriété P$_{4}$ vérifie-t-elle nécessairement
la propriété P$_{2}$ (on demande de justifier la réponse) ?

\item Une suite vérifiant la propriété P$_{2}$ vérifie-t-elle nécessairement
la propriété P$_{4}$ (on demande de justifier la réponse) ?

\end{enumerate}

\exot{Encore un}


\noindent \textbf{Partie A Démonstration de cours}

Soit $\left(u_{n}\right)$ une suite croissante non majorée.

\begin{enumerate} \item Soit $M$ un nombre réel et $n_{0}$ un entier naturel
tel que $u_{n_{0}} \geqslant  M$.

Démontrer que pour tout entier naturel $n$, si $n \geqslant n_{0}$ alors $u_{n} \geqslant  M.$

\item Quelles conséquences peut-on en tirer pour la suite $\left(u_{n}\right)$ ?

\item Énoncer le théorème du cours ainsi démontré.

\end{enumerate}

\noindent \textbf{Partie B}

Répondre par Vrai ou Faux aux propositions suivantes en justifiant chaque réponse :
\begin{itemize}
\item Si une suite n'est pas majorée alors elle tend vers  $+ \infty$.

\item Si une suite est croissante alors elle tend vers $+ \infty$.

\item Si une suite tend vers $+ \infty$ alors elle n'est pas majorée.

\item Si une suite tend vers $+ \infty$ alors elle est croissante.
\end{itemize}
\exot{Et un autre}


\noindent \textbf{Partie I}

\textsl{À chaque question est affecté un certain nombre de points. Pour chaque question, une réponse exacte rapporte le nombre de points
affectés ; une réponse
 inexacte  enlève la moitié du nombre de points affectés.\\
Le candidat peut décider de ne pas répondre à certaines de ces questions. Ces questions ne rapportent aucun point et n'en enlèvent
aucun.\\
Si le total est négatif, la note est ramenée à} 0.

\noindent Pour chacune des affirmations suivantes répondre sans justification par Vrai ou Faux :

\noindent (A) Soit $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ deux suites à valeurs strictement positives. Si, pour tout entier $n,~
v_{n} \geqslant  u_{n}$ et si $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_{n} =  \infty$ alors $\displaystyle\lim_{n \to +
\infty}\cfrac{v_{n}^2}{u_{n}} = + \infty$.

\noindent (B) Toute suite bornée est convergente.

\noindent (C) Pour toutes suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ à valeurs strictement positives qui tendent vers $+
\infty$, la suite de terme général $\cfrac{u_{n}}{v_{n}}$ converge vers 1.

\noindent (D) Toute suite croissante non majorée tend vers $+ \infty$.

\noindent \textbf{Partie II}

Pour chacune des propositions de la première partie, justifier votre réponse :

\begin{itemize} \item dans le cas où la proposition vous paraît fausse : en donnant un
contre-exemple.

\item  dans le cas où la proposition vous paraît exacte : en donnant une
démonstration.

\end{itemize}


\subsection{Exercices divers}





\exot{ \'ecriture avec ou sans  symbole $\sum$.}

\begin{itemize} \item Ecrire sans $\sum$ :
$$
\sum_{n=0}^N (-1)^n ,\ \ \sum_{p=1}^{n}p ,\ \ \sum_{p=1}^{n}n ,\ \
\sum_{p=1}^{n}\frac{n}{p}
$$

\item Ecrire avec $\sum$ :
$$
1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots
$$
\end{itemize}

\exot{ variables de comptage.} Les \'egalit\'es suivantes sont-elles vraies :
$$
\sum_{p=1}^{n}(p\times n) = \sum_{k=1}^{n}(k \times n) = n \times
\sum_{k=1}^{n} k = k \times \sum_{k=1}^{n}n
$$


\exot{}Calculez les sommes suivantes :
$$
\sum_{k=1}^{n} \sum_{p=0}^{k} p , \ \ \sum_{k=1}^{n}
\sum_{p=0}^{k} k ,\ \ \sum_{k=1}^{n} \sum_{p=0}^{k} n .
$$


\exot{Tapis de Sierpinski : le
retour}


Monsieur Sierpinski\footnote{voir exercice page \pageref{serpi}}  avait ramen\'e d'un voyage en Orient un tapis carr\'e de $1$ m\`etre de
c\^ot\'e dont il \'etait tr\`es content. Jusqu'au jour o\`u les mites s'introduisirent chez lui.

En 24 heures, elles d\'evor\`erent dans le tapis un carr\'e de
c\^ot\'e trois fois plus petit, situ\'e exactement au centre du
tapis. En constatant les d\'egats, Monsieur Sierpinski entra dans
une col\`ere noire~! Puis il se consola en se disant qu'il lui
restait huit petits carr\'es de tapis, chacun de la taille du
carr\'e disparu. Malheureusement, dans les 12 heures qui
suivirent, les mites avaient attaqu\'e les huit petits carr\'es
restants~: dans chacun, elles avaient mang\'e un carr\'e central
encore trois fois plus petit. Et dans les 6 heures suivantes elles
grignot\`erent encore le carr\'e central de chacun des tout petits
carr\'es restants. Et l'histoire se r\'ep\'eta, encore et encore~;
\`a chaque \'etape, qui se d\'eroulait dans un intervalle de temps
deux fois plus petit que l'\'etape pr\'ec\'edente, les mites
faisaient des trous de taille trois fois plus petite...


\begin{itemize} \item Faire des dessins pour bien comprendre la g\'eom\'etrie du tapis trou\'e.
 Calculer le nombre total de trous dans le tapis de Monsieur Sierpinski
apr\`es $n$ \'etapes. Calculer la surface $S_n$ de tapis qui n'a
pas encore \'et\'e mang\'ee apr\`es $n$ \'etapes. Trouver la
limite de la suite $(S_n)_{n \geq 0}$. Que reste-t-il du tapis \`a
la fin de l'histoire~?

\item Calculer la dur\'ee totale du festin <<~mitique~>>...

\end{itemize}




\exot{Paradoxe de Z\'enon.} Le paradoxe suivant a été imaginé par Zénon d'Élée (490-430 Avant JC). Achille fait une course avec la
tortue. Il part 100 m\`etres derri\`ere la tortue, mais il va dix fois plus vite qu'elle. Quand Achille arrive au point de d\'epart de la
tortue, la tortue a parcouru 10 m\`etres. Pendant qu'Achille parcourt ces 10m, la tortue a avanc\'e d'un m\`etre. Pendant qu'Achille
parcourt ce m\`etre, la tortue a avanc\'e de 10cm... Puisqu'on peut r\'eit\'erer ce raisonnement \`a l'infini, Z\'enon conclut qu'Achille
ne peut pas d\'epasser la tortue\footnote{Il existe une variante fléchée : avant d'atteindre sa cible, une flèche doit d'abord parcourir
la moitié de la distance la séparant de la cible, puis la moitié de la distance restante et ainsi de suite...une infinité de fois, donc
la flèche n'atteint jamais la cible !}.

Comment peut-on d\'epasser ce paradoxe~?

\exot{Une bille qui rebondit.\footnote{amener une vraie bille de verre ou m\'etallique (qui rebondit bien et de maniere sonore) en classe
pour faire l'exp\'erience !}}

Vous aurez besoin d'utiliser quelques lois physiques du programme de Terminale que nous reverrons lors de l'étude des équations
différentielles 
\begin{itemize}
\item En chute libre verticale, l'altitude $z$ suit la loi $z(t)=-\fr{1}{2}gt^2+v_0t+z_0$
\item la vitesse suit la loi $v(t)=-gt+v_0$ en coordonnées algébriques
\item Théorème de l'énergie cinétique $\ER_C(B)-\ER_C(A)=\fr{1}{2}mv_B^2-\fr{1}{2}mv_A^2=-mg(z_B-z_A)$
\end{itemize}


\begin{itemize} \item Une balle part d'une certaine hauteur $h_0$ au dessus du sol (sans vitesse initiale). Combien de temps met-elle pour arriver
sur le sol (n\'egliger les frottements)~? Quelle est son \'energie cin\'etique lorsqu'elle arrive au niveau du sol~?

\item On mod\'elise le rebond de la fa{\c c}on suivante~: lorsque la balle rebondit elle perd une certaine proportion $p$ de son \'energie
cin\'etique (par exemple $p=10\%$). \'Etant partie de la hauteur $h_0$, à quelle hauteur $h_1$ va-t-elle remonter~? Quelle est la dur\'ee
$t_0$ entre les deux premiers rebonds~?

\item Combien de fois la balle rebondit-elle~? Pendant combien de temps rebondit-elle~?

\item Question subsidiaire : vous connaissez le bruit d'une bille qui rebondit, avec des rebonds de plus en plus rapproch\'es. Imaginez
maintenant une balle qui rebondit, non plus selon le mod\`ele ci-dessus, mais selon un autre loi. Par exemple la dur\'ee du $n$-i\`eme
rebond est donn\'e par $1/n$. Que va-t-on entendre ? \footnote{voir les résultats du  problème de l'ivrogne page~\pageref{ivrogne}}
%Voir \texttt{\href{\repertexos
%zenon/sons}{\repertexosAffichable zenon/sons}} pour
%\emph{\'ecouter rebondir des s\'eries}.

\end{itemize}



\exot{La mouche et les trains} Deux trains partent simultan\'ement, et \`a une m\^eme vitesse constante $v$. Le premier va de Paris \`a
Nantes, et le second, de Nantes \`a Paris.

Une mouche part simultan\'ement de Paris \`a vitesse $3v$ (elle
suit les rails en direction de Nantes). Lorsqu'elle rencontre le
train Nantes-Paris, elle fait demi-tour vers Paris. Lorsqu'elle
rencontre le train Paris-Nantes, elle fait demi-tour et de dirige
\`a nouveau vers Nantes, etc. Elle s'arr\^ete lorsque les trains
se croisent.

\begin{itemize} \item Faire un dessin dans l'espace-temps (la position en abscisse, par exemple, le temps en ordonn\'ee) \item Combien de fois la
mouche fait elle demi-tour~? \item Quelle est la longueur de chaque trajet entre deux demi-tours~? \item Quelle distance la mouche
parcourt-t-elle après $n$ demi-tours~?\item Quel temps met-elle pour parcourir cette distance~? \item Au bout de combien de temps les
trains vont-ils se croiser~? \item Combien la mouche aura-t-elle fait de demi-tours~? \end{itemize}


\section{Suites adjacentes} 


%
%\subsection{Quelle est l'intersection d'une suite de segments emboîtés ?}
%
%\MAT{Vous voulez dire emboîtés comme des poupées russes ?}
%
%C'est ça. Autrement dit, pour une suite de segments $\bigl([a_n,b_n]\bigr)_{n\in\bbn}$
%telle que
%$$\text{pour tout } n\in\bbn\ \ [a_{n+1},b_{n+1}]\subset[a_n,b_n],$$
%que peut-on dire de l'ensemble $I$ des points communs à tous les
%segments ?
%
%\DESSIN
%
%\MAT{$I$ est un intervalle car c'est une intersection
%d'intervalles.}
%
%Bonne remarque, mais on peut être encore plus précis, en déterminant
%quelle sorte d'intervalle est $I$ : un segment de longueur non nulle, un singleton,
%l'ensemble vide ?
%
%\MAT{Je ne sais pas si $I$ peut être vide, mais $I$ peut être un singleton
%ou  un  segment de
%longueur non nulle puisque
%$$\bigcap_{n\in\bbn}\left[-\frac{1}{2^n},\,\frac{1}{2^n}\right]=\{0\}\ \ {\rm et}\ \
%\bigcap_{n\in\bbn}\left[-\frac{1}{2^n},\,1+\frac{1}{2^n}\right]=[0,1].$$
%}
%
%Tout à fait ! Et maintenant, il serait bon de savoir dans quels cas on obtient un
%singleton, dans quels cas on obtient un segment de longueur non nulle, et
%aussi de savoir s'il y a d'autres cas
%possibles.
%Pour cela, il faut d'abord remarquer que la suite $(a_n)$ est
%croissante et que la suite $(b_n)$ est décroissante. En effet,
%$$[a_{n+1},b_{n+1}]\subset[a_n,b_n]\Longrightarrow a_n\ie a_{n+1}\ \ {\rm et}\ \
%b_{n+1}\ie b_n.$$
%De plus, comme $[a_n,b_n]\subset[a_0,b_0]$ pour tout $n$,
%la suite $(a_n)$ est
%majorée par $b_0$ et la suite $(b_n)$ est minorée par $a_0$.
%Donc, d'après le théorème de la limite monotone, $(a_n)$ converge vers un certain réel
%$a$ et $(b_n)$ vers un certain réel $b$. De plus, comme $a_n\ie b_n$
%pour tout $n$, on a $a\ie b$. Et par croissance de $(a_n)$ et
%décroissance de $(b_n)$, on a même
%$$\text{pour tout } n\in\bbn\ \ a_n\ie a\ie b\ie b_n.$$
%
%
%\DESSIN
%
%\MAT{Alors on peut déjà dire que $I$ est non vide. Car comme
%le segment $[a,b]$ est inclus dans tous les segments $[a_n,b_n]$,
%il est aussi inclus dans $I$.}
%
%Oui, et on a même  mieux, à savoir $I=[a,b]$. Car si un réel $x$ appartient à $I$, alors
%$a_n\ie x\ie b_n$ pour tout $n$, d'où $x\in[a,b]$ par passage à la
%limite, ce qui montre que la deuxième inclusion est aussi vraie.
%
%\sm
%
%\MAT{Donc le problème est résolu ! L'ensemble $I$ est toujours un segment, sa longueur
%est non nulle lorsque $a<b$, et lorsque $a=b$, on a $I=\{a\}$.}
%
%Tout à fait, et comme la condition
%$a=b$ équivaut à $\ds\lim_{n\to+\infty}(b_n-a_n)=0$, on a démontré
%le théorème suivant.
%
%\ENC{Théorème des segments emboîtés}{Soit $(I_n)_{n\in\bbn}$
%une suite de segments emboîtés dont la suite des longueurs
%tend vers 0. Alors il existe un réel $l$ tel
%$$\bigcap_{n\in\bbn}I_n=\{l\}.$$
%}
%
%On peut aussi exprimer le théorème des segments emboîtés en termes de suites, ce
%qui conduit à la notion de suites adjacentes.


\subsection{Que sont des suites adjacentes ?}

\pro Dire que deux suites sont adjacentes revient à dire qu'elles
sont respectivement la suite des extrémités gauches et la  suite
des extrémités droites d'une suite de segments emboîtés dont la
suite des longueurs tend vers 0.

\MATA{Ca y est, il décolle, il faut l'arrêter... }\textbf{(à voix
haute)} Excusez-moi Maître, est-ce qu'on pourrait l'exprimer de
manière plus simple ?

\pro Si vous voulez mon brave petit \mat.


\begin{figure}[!h]
  \begin{Definition}[suites adjacentes]
    On dit que deux suites $(a_n)_{n\in\bbn}$ et
$(b_n)_{n\in\bbn}$ sont \textbf{adjacentes} lorsque
\begin{itemize}
\item $(a_n)_{n\in\bbn}$ est croissante~;

\item  $(b_n)_{n\in\bbn}$ est décroissante~;

 \item
$\ds\lim_{n\to+\infty}\bigl(b_n-a_n\bigr)=0$.
\end{itemize}
    \end{Definition}
  \end{figure}



\MAT{Je comprends mieux. Et je vais vous étonner : je vais prendre
une initiative et non plus écouter passivement votre évangile
mathématique.

Allez hop, je fais un dessin pour illustrer la situation.}



\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=1.5cm]{limfonc.71}
\end{center}
\end{figure}






\pro Et...

\tsx  Je m'aperçois que $a_n\ie b_n$ pour tout $n$, non ?

\pro Vous avez raison, mais le fait que $a_n\ie b_n$ pour tout $n$
est une conséquence des propriétés $i),\,ii)$ et $iii)$. En effet,
sous ces conditions, la suite $(b_n-a_n)$ est décroissante, et
comme elle converge vers 0, tous ses termes sont positifs ou nuls.


Mais  voici le  principal, qui  se comprend  sur le  dessin et  que vous
devez savoir démontrer~:


\begin{figure}[!h]
  \begin{Theoreme}[théorème des suites adjacentes]
    Deux suites adjacentes
convergent vers une même limite.
    \end{Theoreme}
  \end{figure}

La démonstration utilise le théorème de la limite monotone.


\subsection{\`A quoi servent les suites adjacentes ?}

\pro Prenons un exemple. Pour calculer des valeurs approchées du
nombre $e$, la base du logarithme néperien, on peut utiliser le
résultat classique que $e$ est la limite de la suite de terme
général
$$S_n=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}=\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}.$$
La suite $(S_n)_{n\in\bbn}$ est croissante, donc $S_n\ie e$ pour
tout $n$. Mais cela ne suffit pas à dire à quelle précision $S_n$
est une valeur approchée de $e$.

\MAT{Pour cela, il faudrait majorer $e$.}

\pro Oui, et c'est là que peuvent intervenir les suites
adjacentes. Car si l'on trouve une suite $(T_n)$ telle que $(S_n)$
et $(T_n)$ soient adjacentes, alors elles convergeront toutes les
deux vers la même limite, forcément égale à $e$, et on aura aussi
$S_n\ie e\ie T_n$ pour tout $n$. Ce qui permettra d'obtenir une
valeur approchée de $e$ à la précision souhaitée puisque $T_n-S_n$
tend vers 0.

\sm

Il reste à trouver une suite $(T_n)$ convenable. D'autres s'en
sont chargés avant nous et on montré que l'on pouvait prendre
$$T_n=S_n+\frac{1}{n\cdot n!},$$
et je vous laisse le vérifier... Ce choix de $T_n$ est
particulièrement intéressant car $T_n-S_n$ tend alors très vite
vers 0, ce qui permet d'obtenir une bonne précision pour des
petites valeurs de $n$. Par exemple, puisque
$1/(5\cdot5!)=0,0016...$, on obtient une valeur approchée de $e$
par défaut à $2\cdot10^{-3}$ près, à savoir
$$S_5=\frac{123}{60}=2,7166666...$$

alors que, comme vous le savez tous par c\oe ur $$e\simeq 2.71828182845904523536028747135266249775724709369995957496696762772407...$$%303535475945713821785251664274$$

\MAT{Je comprends, mais j'ai une question : une fois que l'on aura
montré que $(S_n)$ et $(T_n)$ sont adjacentes, est-ce qu'on ne
pourra pas en déduire ce que vous aviez admis tout à l'heure, à
savoir que la suite $(S_n)$ converge vers $e$ ?}

\pro Que $(S_n)$ converge, oui ! Il suffit d'appliquer le théorème
des suites adjacentes. Mais attention, cela ne permettra pas de
montrer que la limite de $(S_n)$ est égale à $e$...


\subsection{Exercices}

\exot{Le fameux exercice du Bac 2005}

\noindent \textsl{Cet exercice constitue une restitution organisée de connaissances.}

\noindent \textbf{Partie A : question de cours}

\noindent On suppose connus les résultats suivants : 

(1) deux suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont adjacentes lorsque : l'une est croissante, l'autre est décroissante et $u_{n} - v_{n}$ tend vers 0 quand $n$ tend vers $+ \infty$ ; 

(2) si $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont deux suites adjacentes telles que $\left(u_{n}\right)$ est croissante et $\left(v_{n}\right)$ est décroissante, alors pour tout $n$ appartenant à $\bbn$, on a $u_{n} \leqslant  v_{n}$ ; 

(3) toute suite croissante et majorée est convergente ; toute suite décroissante et minorée est convergente.

\noindent Démontrer alors la proposition suivante :

\begin{center} « Deux suites adjacentes sont convergentes et elles ont la même limite ».\end{center}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{Partie B}

\noindent On considère une suite $\left(u_{n}\right)$, définie sur $\bbn$ dont aucun terme n'est nul. On définit alors la suite $\left(v_{n}\right)$ sur $\bbn$ par $v_{n} = \fr{- 2}{u_{n}}$.

\noindent Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démonstration pour la réponse indiquée. Dans le cas d'une proposition fausse, la démonstration consistera à fournir un contre exemple. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.

\begin{enumerate}\item Si $\left(u_{n}\right)$ est convergente, alors $\left(v_{n}\right)$ est convergente.

\item Si $\left(u_{n}\right)$ est minorée par 2, alors $\left(v_{n}\right)$ est minorée par $-1$.

\item Si $\left(u_{n}\right)$ est décroissante, alors $\left(v_{n}\right)$ est croissante.

\item Si $\left(u_{n}\right)$ est divergente, alors $\left(v_{n}\right)$ converge vers zéro.

\end{enumerate}

\exot{Vrai ou Faux  tombé au Bac}

Il y a deux réponses exactes : trouvez-les !

 Deux suites $\left(x_{n}\right)$ et $\left(y_{n}\right)$ sont définies pour $n > 0$ par les relations :

\[x_{n} = \fr{1}{n} + \fr{1}{n+1} + \cdots + \fr{1}{2n}~\text{et}~y_{n} = \fr{1}{n+1} + \fr{1}{n+2} + \cdots + \fr{1}{2n}.\]

\begin{enumerate}\item Les suites $\left(x_{n}\right)$ et $\left(y_{n}\right)$ sont toutes les deux croissantes.

\item	$x_{3} = \fr{19}{20}$  	et $y_{3} = \fr{37}{60}$.

\item Les suites $\left(x_{n}\right)$ et $\left(y_{n}\right)$ ne sont pas majorées.

\item Les suites $\left(x_{n}\right)$ et $\left(y_{n}\right)$ sont adjacentes.

\end{enumerate}




\exot{Suites adjacentes et géométrie}

\noindent \textbf{Partie  A}

Étant donnés deux points distincts A$_{0}$ et B$_{0}$ d'une droite, on définit les points :

	A$_{1}$ milieu du segment [A$_{0}$ B$_{0}$] et B$_{1}$ barycentre de $\left\{\left(\text{A}_{0},~1)~;~\text{B}_{0},~2\right)\right\}$.

\noindent Puis, pour tout entier naturel $n,~ A_{n+1}$ milieu du segment $[A_{n}B_{n}]$ et $B_{n+1}$ barycentre de $\left\{\left(A_{n},~1)~;~B_{n},~2\right)\right\}$.

\begin{enumerate}\item  Placer les points A$_{1}$ , B$_{1}$,  A$_{2}$ et B$_{2}$ pour A$_{0}$B$_{0}$= 12 cm.

Quelle conjecture peut-on faire sur les points $A_{n}$ et $B_{n}$ quand $n$ devient très grand ?

\item On munit la droite (A$_{0}$B$_{0}$) du repère $\left(\text{A}_{0}~ ;~\ve{\imath}\right)$ avec $\ve{\imath} = \fr{1}{12}\ve{\text{A}_{0}\text{B}_{0}}$. Soit $u_{n}$ et $v_{n}$ les  abscisses respectives des points $A_{n}$ et $B_{n}$. Justifier que pour tout entier naturel $n$ strictement positif, on a

\[u_{n+1} = \fr{u_{n} + v_{n}}{2}\quad \text{et} \quad v_{n+1} = \fr{u_{n} + 2v_{n}}{3}.\]

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{Partie B}

On considère les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ définies par $u_{0} =  0~ ;~v_{0} = 12~;$

\[u_{n+1} = \fr{u_{n} + v_{n}}{2}\quad \text{et} \quad v_{n+1} = \fr{u_{n} + 2v_{n}}{3}.\]

\begin{enumerate}\item Démontrer que la suite $\left(w_{n}\right)$ définie par $w_{n } = v_{n} - u_{n}$ est une suite géométrique convergente et que tous ses termes sont positifs.

\item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante puis que la suite $\left(v_{n}\right)$ est décroissante.

\item Déduire des deux questions précédentes que les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont convergentes et ont la même limite.

\item On considère la suite $\left(t_{n}\right)$ définie par $t_{n} =  2u_{n} + 3v_{n}$.

Montrer qu'elle est constante.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{Partie C}

À partir des résultats obtenus dans les \textbf{parties A et B}, préciser la position limite des points $A_{n}$ et $B_{n}$ quand $n$ tend vers plus l'infini.


\section{Suites récurrentes}

\subsection{\'Etude générale}
Le but de cette section n'est pas de mener une étude exhaustive des suites récurrentes que vous ménerez peut-être l'an prochain, mais plutôt de proposer quelques pistes pour cerner les problèmes, pouvoir mener à bien quelques applications intéressantes et résoudre des exercices de Bac de plus en plus nombreux sur ce sujet. Mais retrouvons nos deux héros...
\subsubsection{Une relation $\text{u}_{\text{n+1}}\text{=f}(\text{u}_{\text{n}})$ définit-elle toujours une suite ?}


\pro Précisons d'abord un peu les choses. On considère une
fonction $f$ définie sur une partie $I$ de $\bbr$ et à valeurs
réelles, ainsi qu'un élément $a$ de $I$. Et la question est de
savoir s'il existe
 une suite $(u_n)_{n\in\bbn}$ telle que
$$u_0=a\ \ {\rm et}\ \ \text{pour tout } n\in\bbn\ \ u_{n+1}=f(u_n).$$

\MAT{Il me semble que oui ! Il suffit de définir $u_1$ comme égal
à $f(a)$, et ainsi de suite.}

\pro C'est tout ce que cela vous inspire, \mat\ ? Vous êtes sûr de
pouvoir continuer ?

\MAT{Ben, oui, je pose $u_2=f(u_1)$, puis... !? Ah, je vois le
problème : il faudrait que $f$ soit définie en $u_1$ !}

\pro Ce qui n'a en effet aucune raison de se produire. Par
exemple, il n'existe pas de suite $(u_n)_{n\in\bbn}$ telle que
$$u_0=-1\ \ {\rm et}\ \ \text{pour tout } n\in\bbn\ \ u_{n+1}=u_n-\frac{1}{u_n}.$$
Car, avec $\ds g:\bbr^*\to\bbr,\, x\mapsto x-\frac{1}{x}$, on a $g(-1)=0$, donc $g$ n'est pas définie en $g(-1)$.

Il faut également s'assurer qu'aucun des termes suivants ne va
être égal à $-1$.

\MAT{D'accord, mais si on avait pris une valeur strictement
positive pour $u_0$, alors on aurait eu $g(u_0)>0$, donc on
pourrait définir $g(g(u_0))$ qui serait lui-même strictement
positif, etc. On pourrait donc définir tous les termes de la
suite.}

\pro Tout à fait ! Et le point clé dans ce que vous venez de dire est que $g\bigl(]0,1[\bigr)\subset]0,1[$, ce qui, avec la définition
suivante, se traduit par <<~$]0,1[$ est stable par $g$~>>.

Cela veut donc dire que si on prend $u_0$ dans $]0,1[$, on est sûr que tous les termes \textsl{resteront} dans cet intervalle.


Il faudra donc travailler sur une partie de l'ensemble de définition qui soit <<~stable~>> par $f$, pour être sûr que tous les termes successifs de la suite puissent être <<~calculables~>>.



\begin{figure}[!h]
  \begin{Definition}[partie stable]
    Soit $f$ une fonction définie sur une partie $I$
de $\bbr$ et à valeurs réelles. On dit qu'une partie $S$ de $I$
est \textbf{stable par $f$} lorsque
$$\text{pour tout }  x\in S\ \ f(x)\in S.$$
    \end{Definition}
  \end{figure}





Maintenant, si $a$ est élément d'une partie $S$ de $I$ stable par
$f$, alors on pourra définir $f(f(a))$ puisque $f(a)\in S$, puis
$f(f(f(a)))$ puisque $f(f(a))\in S$, etc. Il suffit donc de
choisir $u_0$ dans $S$.




\begin{figure}[!h]
  \begin{Definition}[suite récurrente]
    Soit $f$ une fonction définie sur une partie $D$ de $\bbr$, un intervalle $I$ stable par $f$ et un réel $a\in I$.\\
On peut alors construire une suite $(u_n)$ définie par $$\begin{cases} u_0=a\\ \text{pour tout } n\in\bbn,\ u_{n+1}=f(u_n)\end{cases}$$
Une telle suite ainsi définie est appelée une suite récurrente.
    \end{Definition}
  \end{figure}



\subsubsection{Quelles sont les limites possibles d'une suite récurrente ?}


\MAT{Je sais : les limites possibles de $(u_n)$ sont les solutions
de l'équation $f(x)=x$. Car si $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout $n$, et
si $(u_n)$ converge vers $\ell$, alors $(u_{n+1})$ converge aussi
vers $\ell$, et comme $\bigl(f(u_n)\bigr)$ converge vers
$f(\ell)$, on a donc $\ell=f(\ell)$.}

\pro Pas si vite \mat. \^Etes-vous sûr que $\bigl(f(u_n)\bigr)$
converge vers $f(\ell)$ ?

\MAT{Euh... Pas tant que ça finalement, il faudrait que
$\Lim{\ell}f(x)=f(\ell)$.}

\pro Ce qui traduit quelle propriété de $f$~?

\MAT{ Il faut que \textit{$f$ soit continue en $\ell$}.}

\pro J'aime mieux ça ! Mais même en supposant $f$ continue sur
$I$, la limite $\ell$ n'est pas nécessairement un point fixe de
$f$ !

\MAT{Ah bon !? Alors là, je ne vois vraiment pas pourquoi.}

\pro La subtilité sort vraiment du cadre de la terminale. Retenez
seulement que $I$ doit être \textit{un intervalle fermé.}

 Sous
toutes ces conditions, on peut effectivement affirmer que les
limites possibles d'une suite récurrente sont les points fixes de
la fonction.

\begin{figure}[!h]
  \begin{Theoreme}[Limite d'une suite récurrente convergente]
Soit $I$ un intervalle fermé de $\bbr$, soit $f$
une fonction continue de $I$ vers $I$, et soit $(u_n)$ une suite
d'éléments de $I$ telle que $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout $n$. Si
$(u_n)$ est convergente, alors sa limite est un point fixe de
$f$.
  \end{Theoreme}
\end{figure}



\MAT{Ça y est, j'ai compris~! Pour trouver la limite de $(u_n)$,
on n'a qu'à résoudre l'équation $f(\ell)=\ell$ et $(u_n)$
convergera forcément vers une solution de l'équation. }

\pro Pas si vite mon gars. Vous manquez de rigueur et passez à côté d'importants problèmes.

Tout d'abord, l'équation $f(x)=x$ n'a aucune raison d'admettre une
seule solution : elle peut en admettre plusieurs ou même aucune.

Mais surtout, rien ne dit a priori que la suite $(u_n)$ converge :
elle pourrait très bien ne pas avoir de limite !

\MAT{Mais s'il n'y a qu'une solution à l'équation, est-ce que
$(u_n)$ ne va pas toujours converger vers cette solution ?}

\pro Non !

\MAT{ Non ? Aurais-je droit à un exemple ?}

\pro Comment vous refuser cette faveur...Prenez par exemple la
suite définie par

$$u_0=1 \quad \text{et, pour tout }  n\in\bbn \quad u_{n+1}=32u_n$$

La fonction $f\ :\ x\mapsto 32x$ admet un unique point fixe...

\MAT{...zéro...}

\pro ... et  pourtant la suite ne converge pas vers 0.

En fait, en terminale, il faut surtout être capable d'avoir une
intuition du résultat à partir d'un petit dessin. Nous verrons cela sur  quelques exemples. Mais d'abord, nous aurons besoin, pour assurer la stabilité de $f$ ou pour étudier ses variations, de répondre à la question suivante :


\subsubsection{Les inégalités concernant $\text{u}_{\text{0}}$ se
conservent-elles  ?}

\pro Commençons par étudier un exemple classique : soit $(u_n)$ la suite définie par $$\begin{cases}u_0=-1/2\\ u_{n+1}=\sqrt{1+u_n}\end{cases}$$
On peut commencer par déterminer les points fixes de $f\ :\
x\mapsto \sqrt{1+x}$. On montre que le seul point fixe est
$\f=(1+\sqrt{5})/2$ et même que
 \bqas
\sqrt{1+x}&>&x\ \ {\rm si}\ \ x\in[-1,\f[,\\
\sqrt{1+\f}&=&\f\\
\sqrt{1+x}&<&x\ \ {\rm si}\ \ x\in]\f,+\infty[ \eqas

On peut alors placer les premiers termes de la suite.




\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=5cm]{limfonc.61}
\end{center}
\end{figure}



L'inégalité $a_0<\f$, avec $\f=(1+\sqrt{5})/2$, se conserve. En
effet, si $a_n<\f$ pour un certain $n$, alors
$\sqrt{1+a_n}<\sqrt{1+\f}$, c'est-à-dire $a_{n+1}<\f$. On a donc
montré que $a_n<\f$ pour tout $n$.

Ceci prouve que l'intervalle $[-1,\f[$ est stable par $f$. Donc $u_{n+1}-u_n=\sqrt{1+u_n}-u_n>0$ et donc que $(u_n)$ est croissante et majorée par $\f$. Elle est donc convergente. Enfin, la fonction $f$ étant continue sur $[-1,\f]$, la suite converge vers un point fixe de $f$, à savoir ici $\f$.

On en déduit que $\lin u_n=\f$

\sm

Plus généralement, on peut aussi parfois déterminer le sens
de variation de la suite $(u_n)$ par <<~conservation
d'inégalités~>>. Supposons par exemple que $f$ soit croissante.
Alors la position de $u_0$ par rapport à $u_1$ va déterminer le
sens de variation de la suite. En effet, si $u_0\ie u_1$, alors
$f(u_0)\ie f(u_1)$, c'est-à-dire $u_1\ie u_2$, etc : on obtient
donc par récurrence $u_n\ie u_{n+1}$ pour tout $n$... Et de même,
$u_0\se u_1$ entraîne que la suite $(u_n)$ est décroissante.

\sm

Si $f$ est décroissante, les choses se compliquent un peu. Retenez que la suite des termes pairs et impairs sont monotones et de sens de variation contraires : en effet, si par exemple on a $u_0\ie u_1$, on en déduit $u_1\se u_2$,
puis $u_2\ie u_3$, puis $u_3\se u_4$... On va donc avoir
$u_{2n}\ie u_{2n+1}$ et $u_{2n+1}\ie u_{2n+2}$ pour tout $n$. Le dessin suivant en coquille d'escargot vous permettra de visualiser la situation :



\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=5cm]{limfonc.62}
\end{center}
\end{figure}


Enfin, si $f$ n'est pas monotone,  le comportement de $(u_n)$
peut même être très compliqué, <<~chaotique~>>. Pour nous amuser,
nous  examinerons à l'aide de XCAS le comportement d'une suite
telle que
$$\text{pour tout } n\in\bbn\ \ u_{n+1}=\mu\,u_n\,(1-u_n)$$



\subsubsection{En résumé}

Voici quelques idées \textit{simples} qui pourront vous guider dans votre étude
d'une suite définie par une relation du type $u_{n+1}=f(u_n)$.

\begin{itemize}
\item Commencez par étudier la fonction $f$ : si par chance elle est croissante sur un intervalle intéressant, vous pourrez prouver des
inégalités intéressantes (en utilisant la conservation de l'ordre par $f$) et en particulier étudier le sens de variation de la suite
selon que $u_0$ est supérieur ou inférieur à $u_1$.
\item Vous serez le plus souvent amenés à prouver qu'une suite est monotone et bornée, donc convergente.
\item Pour déterminer sa limite, on utilise le théorème bien connu. N'oubliez pas de vérifier toutes les conditions d'application, à
savoir que la suite est définie par une relation du type $u_{n+1}=f(u_n)$, que $f$ est continue de $I$ vers $I$, $I$ étant un intervalle
fermé, que la suite $\un$ est convergente.
\end{itemize}

\sm

Pour vous aider à visualiser la situation, n'hésitez pas à faire appel à Xcas grâce à la fonction

\begin{center}
\texttt{plotseq( f(x),x=u0,n) )}
\end{center}




\section{Exercices}

\exot{Let's Roc}


\begin{enumerate} \item \textbf{Démonstration de cours.}

\textbf{Prérequis :} définition d'une suite tendant vers $+ \infty$.

« Une suite $\left(u_{n}\right)$ tend vers $+ \infty$ si, pour tout réel $A$, tous les termes de la suite sont, à partir d'un certain
rang, supérieurs à $A$ ».

\textbf{Démontrer} le théorème suivant :

\begin{center} \textsl{Une suite croissante non majorée tend vers} $+
\infty$. \end{center}

 \item On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} =
 0$ et la relation $u_{n+1} ~=~ u_{n}~ +~  \text{e}^{- u_{n}}.$

\begin{enumerate} \item Établir que la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante.

\item Démontrer que si la suite $\left(u_{n}\right)$ a pour limite un réel
\textsl{l}, alors  \textsl{l} vérifie la relation $\textsl{l} = \textsl{l} + \text{e}^{-\textsl{l}}$.

\item Conclure quant à la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$.

\end{enumerate}

\end{enumerate}





\exot{}Simplifiez l'écriture de $\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots+\sqrt{1+\sqrt{1}}}}}$


\exot{}

Soit $\un$ la suite définie par $u_0=-4$ et
$u_{n+1}=\sqrt{\fr{u_n}{2}+3}$

\begin{itemize} \item Montrez par récurrence que $(u_n)_{n\in\bbn^*}$ est
bornée par 0 et 2.

\item Montrez que $\un$ est croissante.

\item \begin{itemize} \item Démontrez par récurrence que : $$0<2-u_n\ie
1/2^{n-1} \quad \text{pour tout}\ n\in\bbn^*$$

\item Déduisez-en que $\un$ converge.

\end{itemize}\end{itemize}



\exot{Une suite convergente de nombres rationnels a-t-elle toujours une limite rationnelle?}



Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\bbn$ par: $\begin{cases}
u_0=2\\
u_{n+1}=\cfrac{1}{2}(u_n+\cfrac{2}{u_n})\quad \text{pour tout } n
\in \bbn
\end{cases}$

\begin{enumerate}

\item Montrez que, pour tout $n\in \bbn$, $u_n>0$.

\item Montrez que, pour tout $n \in \bbn\quad
u_{n+1}-\sqrt{2}=\cfrac{(u_n-\sqrt{2})^2}{2u_n}$

\item En déduire que $(u_n)$ est minorée par $\sqrt{2}$.

\item Déduisez-en que, pour tout $n\in\bbn$, $\fr{2}{u_n^2}\ie 1$.

\item Etudiez alors les variations de $(u_n)$ et déduisez-en que
cette suite est convergente.

\item Déterminez la limite $\ell$ de $(u_n)$.

\item Montrez que, pour tout $n\in\bbn$, $u_n\in\bq$. Est-ce que
$\ell\in\bq$ pour autant~? Incroyable, non~?

\item Une suite convergente de nombres rationnels a-t-elle
toujours une limite rationnelle? \item Soit $(y_n)$ la suite
définie sur $\bbn$ par: $\text{pour tout } n \in \bbn\quad
y_n=\cfrac{2}{u_n}$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $(y_n)$ est majorée par $\sqrt{2}$ puis étudier
ses variations. \item Prouver que $\text{pour tout } n \in
\bbn\quad \sqrt{2}+1\leqslant u_n+y_n\leqslant \sqrt{2}+2$ \item
Etablir que $\text{pour tout } n \in \bbn\quad 0\leqslant
u_{n+1}-y_{n+1} =\cfrac{(u_n-y_n)^2}{2(u_n+y_n)}\leqslant
\cfrac{(u_n-y_n)^2}{4}$ \item En déduire que $\text{pour tout } n
\in \bbn\quad 0\leqslant u_n-y_n\leqslant \left(1/4\right
)^{2^n-1}$ \item Que peut-on dire des suites $(u_n)$ et $(y_n)$?
\end{enumerate}
\item En déduire une valeur approchée rationnelle de $\sqrt{2}$ à
$10^{-9}$ près.

\item Comment qualifieriez-vous la convergence de $(u_n)$ vers
$\sqrt{2}$ ? Justifier.

\end{enumerate}

\exot{Une incursion dans le programme de Math Spé...}{ \begin{itemize}
\item Calculez 3,2222222222222222222222222222222222... \item
Calculez 0,3232323232323232323232323232323232... \item Calculez
$1-\fr{1}{3}+\fr{1}{9}-\fr{1}{27}+\fr{1}{81}+...$ \end{itemize}}

\exot{Suite homographique}{\begin{itemize} \item On définit la
suite $(u_n)_{n\in\bbn}$ par \\ $\ds u_0=32\ \ \text{et pour tout } n\in\bbn\ \ u_{n+1}=\fr{2u_n-1}{u_n+4}$
\item Montrez qu'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que $u_{n+1}=a+\fr{b}{u_n+4}$
\item Déduisez-en que $u_n$ est défini pour tout $n\in\bbn$.
 \item Montrez quel'équation $\ds
x=\frac{2x-1}{x+4}$ admet une seule solution que l'on notera $\al$. \item Montrez que$u_n\neq\al$ pour tout $n\in\bbn$. \item Pour $n\in\bbn$, on
pose $$ v_n=\frac{1}{u_n-\al}.$$ Montrez que la suite $(v_n)$ est arithmétique. \item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ pour tout $n$. \item
\'Etudier la convergence de la suite $(u_n)$. \end{itemize}}



\exot{Vrai ou Faux }
\textit{Deux affirmations parmi les quatre suivantes sont vraies}


Une suite $\left(u_{n}\right)$ est définie sur $\bbn$ par $\left\{\begin{array}{l c l}
u_{0} & =& 1,5\\
u_{n+1}&=&	2u_{n} - 1~ \text{pour tout entier naturel}~ n.\\
\end{array}\right.$

\begin{enumerate}\item La suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers 1, abscisse du point d'intersection des droites d'équations $y = x $  et $y = 2x - 1$.

\item La suite $\left(v_{n}\right)$, définie sur $\bbn$ par $v_{n} = u_{n} - 1$, est géométrique.

\item La suite $\left(v_{n}\right)$ est majorée.

\item La suite $\left(w_{n}\right)$, définie sur $\bbn$ par $w_{n} =\ln \left(u_{n} -  1\right)$, est arithmétique.

\end{enumerate}



\exot{Bac}

Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_{n}  = \fr{n^{10}}{2^n}$. On définit ainsi une suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \bbn}$.

\begin{enumerate} \item Prouver, pour tout entier naturel $n$ non nul, l'équivalence suivante :

\[u_{n+1} \leqslant  0,95u_{n} \quad \text{ si et seulement si} \quad  \left(1 + \fr{1}{n}\right)^{10}  \leqslant 1,9.\]

\item On considère la fonction $f$ définie sur $[1~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) =  \left(1 + \fr{1}{x}\right)^{10}.\]

\begin{enumerate} \item Étudier le sens de variation et la limite en $+ \infty$ de la fonction $f$.

\item Montrer qu'il existe dans l'intervalle $[1~;~+ \infty[$ un unique nombre réel $\alpha$ tel que $f(\alpha) =1,9$.

\item Déterminer l'entier naturel $n_{0}$ tel que $n_{0} - 1 \leqslant  \alpha \leqslant  n_{0}$.

\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 16, on a :

\[\left(1 + \fr{1}{n}\right)^{10} \leqslant  1,9.\]

\end{enumerate}

\item \begin{enumerate} \item Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$ à partir du rang 16.

\item Que peut-on en déduire pour la suite ?

\end{enumerate}

\item En utilisant un raisonnement par récurrence, prouver, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 16, l'encadrement :

\[0 \leqslant  u_{n} \leqslant   0,95^{n -16} u_{16}.\]

 En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \bbn}$.

\end{enumerate}


\exot{Bac}


Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ d\'efinie pour tout entier naturel $n$ par :

\[u_{0} = \dfrac{1}{2} \quad \text{et}\quad u_{n+1}	=	\dfrac{1}{2}\left(u_{n} + \dfrac{2}{u_{n}}\right)\]

\begin{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item  Soit $f$ la fonction d\'efinie sur $]0~;~ +\infty[$ par
\[f(x) = \dfrac{1}{2}\left(x + \dfrac{2}{x}\right)\]
\'Etudier le sens de variation de $f$, et tracer sa courbe repr\'esentative dans le plan muni d'un
rep\`ere orthonormal \oij.	(On prendra comme unit\'e 2 cm).

\item Utiliser le graphique pr\'ec\'edent pour construire les points A$_{0}$,~ A$_{1}$,~ A$_{2}$ et A$_{3}$ de l'axe $\left(\text{O}~;\vect{\imath}\right)$
d'abscisses respectives $u_{0},~ u_{1},~ u_{2}$ et $u_{3}$.
\end{enumerate}
\item	\begin{enumerate}
\item  Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul $u_{n} \geqslant \sqrt{2}$.	
\item  Montrer que pour tout $x \geqslant \sqrt{2} ,~ f(x) \leqslant x$.
\item  En d\'eduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est d\'ecroissante \`a partir du rang $1$.
\item  Prouver qu'elle converge.
\end{enumerate}
\item Soit $\ell$ la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. Montrer que $\ell$ est solution de l'\'equation

\[x = \dfrac{1}{2}\left(x + \dfrac{2}{x}\right)\]

En d\'eduire sa valeur.
\end{enumerate}





\exot{Chaos syldave }

Comme vous le savez tous, le Schblurb commun à ailette mouchetée est l'animal emblématique de la Syldavie. Aussi paisible que les
habitants de ce bucolique pays, le Schblurb se nourrit exclusivement des baies du bleurtschzrn, arbre qui pousse en abondance dans les
verts sous-bois syldaves. Si l'on ne considérait que cette idéale situation, la population $u$ de Schblurbs suivrait la loi suivante $$
u_{n+1}=R u_n$$ Cette relation traduit le fait que la population de l'année $n+1$ est proportionnelle à l'année $n$ : on applique à $u_n$
le taux de natalité et le taux de mortalité. Le coefficient $R$ résume ces proportions.

Il est assez aisé d'objecter au modèle précédent que l'évolution ne peut par rester proportionnelle à la population de l'année
précédente~: au bout d'un moment la nourriture et  l'espace vital, par exemple, viennent à manquer. 

\noindent On se propose d'\'etudier l'\'evolution d'une population de Schblurbs  à l'aide d'un mod\`ele utilisant la fonction
num\'erique $f$ d\'efinie par $f(x) = kx(1 - x),~ k$ \'etant un param\`etre qui d\'epend de l'environnement $(k \in \bbr)$.

\noindent Dans le mod\`ele choisi, on admet que le nombre des Schblurbs reste inf\'erieur à un million. L'effectif des Schblurbs,
exprim\'e en millions d'individus, est approch\'e pour l'ann\'ee $n$ par un nombre r\'eel $u_{n}$, avec $u_{n}$ compris entre 0 et 1. Par
exemple, si pour l'ann\'ee z\'ero il y a $300\:000$ Schblurbs, on prendra $u_{0} = 0,3$.

\noindent On admet que l'\'evolution d'une ann\'ee sur l'autre ob\'eit à la relation $u_{n+1} = f\left(u_{n}\right),~ f$ \'etant la
fonction d\'efinie ci-dessus.

\noindent Le but de l'exercice est d'\'etudier le comportement de la suite $\left(u_{n}\right)$ pour diff\'erentes valeurs de la
population initiale $u_{0}$ et du param\`etre $k$.

\begin{enumerate} \item D\'emontrer que si la suite $\left(u_{n}\right)$ converge, alors sa
limite $l$ v\'erifie la relation $f(l) = l$.

\item Supposons $u_{0} = 0,4$ et $k = 1$.

\begin{enumerate} \item \'Etudier le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.

\item Montrer par r\'ecurrence que, pour tout entier $n,~ 0
\leqslant u_{n} \leqslant 1$.

\item La suite $\left(u_{n}\right)$ est-elle convergente ? Si oui,
quelle est sa limite ?

\item Que peut-on dire de l'\'evolution à long terme de la population de Schblurbs
avec ces hypoth\`eses ?

\end{enumerate}

\item Supposons maintenant $u_{0} = 0,3$ et $k = 1,8$.

\begin{enumerate} \item \'Etudier les variations de la fonction $f$ sur $[0~;~ 1]$ et montrer que
$f\left(\cfrac{1}{2}\right) \in  \left[0~;~\cfrac{1}{2}\right]$.

\item En utilisant \'eventuellement un raisonnement par r\'ecurrence,

- montrer que, pour tout entier naturel $n,~ 0 \leqslant u_{n} \leqslant  \cfrac{1}{2}$

- \'etablir que, pour tout entier naturel $n,~ u_{n+1} \geqslant  u_{n}$.

\item   La suite $\left(u_{n}\right)$ est-elle convergente ? Si oui, quelle
est sa limite ?

\item   Que peut-on dire de l'\'evolution à long terme de la population de Schblurbs
avec ces hypoth\`eses ?

\end{enumerate}

\item On a repr\'esent\'e sur les feuilles annexes la fonction $f$ dans les
deux cas \'etudi\'es ci-dessus ainsi que la droite d'\'equation $y = x$. Le troisi\`eme graphique correspond au cas où $u_{0} = 0,8$ et
$k = 3,2$.

\noindent Illustrer sur les deux premiers graphiques les r\'esultats trouv\'es en \textbf{1.} et \textbf{2.} en laissant les traits de
construction et en faisant apparaître en abscisse les valeurs successives $u_{0},~u_{1},~u_{2},~\ldots$

\noindent En utilisant la même m\'ethode, formuler une conjecture sur l'\'evolution de la population dans le troisi\`eme cas.

\end{enumerate}

%\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{center}
\textbf{\gray Feuilles annexes}
\end{center}

\noindent \boldmath $1^{\text{er}}$ \unboldmath \textbf{cas :} $u_{0} = 0,4$ et $k = 1$.

\begin{center}
\psset{unit=8cm}\begin{pspicture}(1.1,1.1) \psline{->}(0,0)(1.1,0) \psline{->}(0,0)(0,1.1) \psline(0,0)(1.1,1.1) \psplot{0}{1}{1 x sub x
mul} \psline[linestyle=dotted](0.4,0)(0.4,0.24) \uput[d](0.4,0){$u_{0}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{0,5cm} \noindent \boldmath $2^{\text{e}}$ \unboldmath \textbf{cas :} $u_{0} = 0,3$ et $k = 1,8$.

\begin{center}
\psset{unit=8cm}\begin{pspicture}(1.1,1.1) \psline{->}(0,0)(1.1,0) \psline{->}(0,0)(0,1.1) \psline(0,0)(1.1,1.1) \psplot{0}{1}{1 x sub x
mul 1.8 mul} \psline[linestyle=dotted](0.3,0)(0.3,0.378) \uput[d](0.3,0){$u_{0}$}
\end{pspicture}
\end{center}

%\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\noindent \boldmath $3^{\text{e}}$ \unboldmath \textbf{cas :} $u_{0} = 0,8$ et $k = 3,2$.

\begin{center}
 \psset{unit=8cm}\begin{pspicture}(1.1,1.1)
\psline{->}(0,0)(1.1,0) \psline{->}(0,0)(0,1.1) \psline(0,0)(1.1,1.1) \psplot{0}{1}{1 x sub x mul 3.2 mul}
\psline[linestyle=dotted](0.8,0)(0.8,0.512) \uput[d](0.8,0){$u_{0}$}
\end{pspicture}
\end{center}


\section{Bac 2009}



\exot{}

Certains résultats de la PARTIE A pourront être utilisés dans la PARTIE B, mais les deux parties peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre. 

\medskip

 {\bfseries\color{MidnightBlue}\bfseries\fontfamily{ugq}\selectfont PARTIE A :}
  
On définit :
\begin{itemize}
\item la suite $\left(u_{n}\right)$ par : $u_{0} = 13$ et, pour tout entier naturel $n,~ u_{n+1}  = \dfrac{1}{5}u_{n} +\dfrac{4}{5}$. 
\item la suite $\left(S_{n}\right)$ par : pour tout entier naturel $n,~ S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^n u_{k} =  u_{0} +u_{1} +u_{2} + \cdots + u_{n}$.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item  Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n, u_{n} =  1 + \dfrac{12}{5^n}$.  

En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer le sens de variation de la suite $\left(S_{n}\right)$. 
		\item Calculer $S_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(S_{n}\right)$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
 {\bfseries\color{MidnightBlue}\bfseries\fontfamily{ugq}\selectfont PARTIE B :}

 
Etant donné une suite $\left(x_{n}\right)$, de nombres réels, définie pour tout entier naturel $n$, on considére la suite $\left(S_{n}\right)$ 
définie par $S_{n} =  \displaystyle\sum_{k=0}^n x_{k}$.
 
Indiquer pour chaque proposition suivante si elle est vraie ou fausse.

 Justifier dans chaque cas. 
 
\begin{itemize}
\item[] Proposition 1: si la suite $\left(x_{n}\right)$ est convergente, alors la suite $\left(S_{n}\right)$ l'est aussi. 
\item[] Proposition 2 : les suites $\left(x_{n}\right)$ et $\left(S_{n}\right)$ ont le même sens de variation. 
\end{itemize}






\vspace{1cm}







\exot{}




{\bfseries\color{MidnightBlue}\bfseries\fontfamily{ugq}\selectfont PARTIE A :}


 
 
On considère l'ensemble (E) des suites $\left(x_{n}\right)$ définies sur $\N$ et vérifiant la relation suivante :

pour tout entier naturel $n$ non nul, $x_{n+1} - x_{n} = 0,24x_{n-1}$.

\begin{enumerate}
\item  On considère un réel $\lambda$ non nul et on définit sur $\N$ la suite $\left(t_{n}\right)$ par $t_{n} = \lambda^n$.\\
Démontrer que la suite $\left(t_{n}\right)$ appartient à l'ensemble (E) si et seulement si $\lambda$ est solution de l'équation $\lambda^2 - \lambda - 0,24 = 0$.\\
En déduire les suites $\left(t_{n}\right)$ appartenant à l'ensemble (E).\\

On admet que (E) est l'ensemble des suites $\left(u_{n}\right)$ définies sur $\N$ par une relation de la forme :
\[u_{n} = \alpha(1,2)^n + \beta(-0,2)^n \quad  	\text{où}~ \alpha~ \text{et}~\beta~ \text{sont deux réels.}\]

\item  On considère une suite $\left(u_{n}\right)$ de l'ensemble (E).\\
Déterminer les valeurs de $\alpha$ et $\beta$ telles que $u_{0} = 6$ et $u_{1} =  6,6$.\\
En déduire que, pour tout entier naturel $n,~ u_{n} = \dfrac{39}{7}(1,2)^n + \dfrac{3}{7}(-0,2)^n$.

\item  Déterminer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_{n}$.
\end{enumerate}

\medskip

 
 {\bfseries\color{MidnightBlue}\bfseries\fontfamily{ugq}\selectfont PARTIE B :}

On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie sur $\N$ par :
\[v_{0} =  6~ \text{et, pour tout entier naturel}~ n,~v_{n+1} =  1,4v_{n} - 0,05v_{n}^2\]

\begin{enumerate}
\item  Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = 1,4x - 0,05x^2$.
	\begin{enumerate}
		\item  Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~8].
		\item  Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,
		
 $0 \leqslant  v_{n} < v_{n+1} \leqslant  8$.
	\end{enumerate}

\item En déduire que la suite $\left(v_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite $\ell$.
\end{enumerate}




\exot{}


 {\bfseries\color{MidnightBlue}\bfseries\fontfamily{ugq}\selectfont PARTIE A :}



On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par

\[ f(x) =  \dfrac{x}{\text{e}^{x} - 1}.\]

\begin{enumerate}
\item  \textbf{Restitution organisée de connaissances :}

La fonction exponentielle est l'unique fonction $g$ dérivable sur $\R$ vérifiant 
\[\left\{\begin{array}{l c l }
g'(x)&=& g(x)\quad  \text{pour tout}~ x \in \R.\\
g(0)& =& 1
\end{array}\right.\]

Démontrer que $\displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{\text{e}^{h} - 1}{h} = 1$.

% Pour tout $h \neq 0$,
% $\dfrac{\text{e}^{h} - 1}{h} = \dfrac{\text{e}^{h} - \text{e}^{0}}{h}$ 

% On reconnait le taux de variation de la fonction exponentielle entre 0 et $h$, comme cette fonction est dérivable en 0, par définition du nombre dérivé, on a :
% \[ \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{\text{e}^{h} - 1}{h} = 1 \]

\item  Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$.

% Par inverse, on en déduit que $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = 1$

\item  Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.

% Pour tout $x \neq 0$, $\dfrac{\text{e}^{x} - 1}{x} = \dfrac{\text{e}^{x}}{x} - \dfrac{1}{x} $

% Par comparaison $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\dfrac{\text{e}^{x}}{x} = +\infty$, donc par somme $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\dfrac{\text{e}^{x} - 1}{x} = +\infty$

% Enfin, par inverse, $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$

\end{enumerate}

\medskip


 {\bfseries\color{MidnightBlue}\bfseries\fontfamily{ugq}\selectfont PARTIE B :}






Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie pour $n$ entier supérieur ou égal à 1 par :

\[u_{n} = \dfrac{1}{n}\left[1 + \text{e}^{\frac{1}{n}} + \text{e}^{\frac{2}{n}} + \cdots + \text{e}^{\frac{n - 1}{n}} \right]\]

\begin{enumerate}
\item Démontrer que $1 + \text{e}^{\frac{1}{n}} + \text{e}^{\frac{2}{n}}
  +  \cdots  + \text{e}^{\frac{n  -  1}{n}}=  \dfrac{1  - \text{e}}{1  -
    \text{e}^{\frac{1}{n}}}$ puis en déduire que 

$u_n=(\mathrm{e}-1)f \left(\frac{1}{n}\right)$.



% On reconnait la somme des premiers termes consécutifs de la suite géométrique de premier terme 1 et raison $\text{e}^{\frac{1}{n}}$

% $\begin{array}{lcl}
% 1 + \text{e}^{\frac{1}{n}} + \text{e}^{\frac{2}{n}} + \cdots + \text{e}^{\frac{n - 1}{n}}&=& \left( \text{e}^{\frac{1}{n}} \right)^0 + \left( \text{e}^{\frac{1}{n}} \right)^1 + \left( \text{e}^{\frac{1}{n}} \right)^2 + \cdots + \left( \text{e}^{\frac{1}{n}} \right)^{n-1} \\
% &=& \dfrac{1 - \left( \text{e}^{\frac{1}{n}} \right)^n}{1 - \text{e}^{\frac{1}{n}}} \\
% &=& \dfrac{1 - \text{e}}{1 - \text{e}^{\frac{1}{n}}}
% \end{array}$

% $(\text{e} - 1) f\left(\dfrac{1}{n}\right) = (\text{e} - 1) \dfrac{\frac{1}{n}}{\text{e}^{\frac{1}{n}}-1} = \dfrac{1}{n} \dfrac{1 - \text{e}}{1 - \text{e}^{\frac{1}{n}}} = u_n$.

\item  En déduire, en utilisant aussi la partie A, que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers $\text{e} - 1$.

% $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n} = 0$ et (question A2.) $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)=1$, d'après le théorème donnant la limite de la composée d'une suite et d'une fonction, $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} f\left(\dfrac{1}{n}\right) = 1$

% Enfin la suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers  $\text{e} - 1$.

\end{enumerate}



\exot{}



Les deux questions de cet exercice sont indépendantes. 

\begin{enumerate}
\item On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : 
\[u_{0} = 1 \quad \text{et, pour tout nombre entier naturel} ~ n,~ u_{n+1} = \dfrac{1}{3}u _{n} + 4.\] 
On pose, pour tout nombre entier naturel $n,~ v_{n} = u_{n} - 6$. 
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout nombre entier naturel $n$, calculer $v_{n+1}$ en fonction de $v_{n}$. Quelle est la nature de la suite $\left(v_{n}\right)$ ? 
	\item  Démontrer que pour tout nombre entier naturel $n, u_{n} = -5 \left(\dfrac{1}{3}\right)^n + 6$. 
	\item  Étudier la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$.
	\end{enumerate} 
\item  On considère la suite $\left(w_{n}\right)$ dont les termes vérifient, pour tout nombre entier $n \geqslant 1$  :
\[ nw_{n}  = (n + 1)w_{n-1} +1~~ \text{et}~~ w_{0} = 1.\] 
Le tableau suivant donne les dix premiers termes de cette suite. 

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$w_{0}$&$w_{1}$&$w_{2}$&$w_{3}$&$w_{4}$&$w_{5}$&$w_{6}$&$w_{7}$&$w_{8}$&$w_{9}$\\ \hline
1&3&5&7&9&11&13&15&17&19\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
	\item Détailler le calcul permettant d'obtenir $w_{10}$. 
	\item \emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
	 
Donner la nature de la suite $\left(w_{n}\right)$. Calculer $w_{\numprint{2009}}$.
	\end{enumerate} 

\end{enumerate}






\section{Méthode de \textsc{Newton}}

Les  prérequis sont  plus nombreux~!  Il  faut avoir  étudié les  suites
définies   par   une   relation   du   type   $u_{n+1}=f(u_n)$   et   la
dérivation... et ne pas être trop perdu en Analyse...

Voici un exemple de TP possible en terminale.



\subsection{Historique}


La méthode de  résolution des équations numériques que  nous allons voir
aujourd'hui a  été initiée par  Isaac \textsc{Newton} vers 1669  sur des
exmples  numériques mais la  formulation est  fastidieuse. Dix  ans plus
tard, Joseph \textsc{Raphson} met en évidence une formule de récurrence. Un
siècle  plus tard, \textsc{Mouraille}  et \textsc{Lagrange}  étudient la
convergence  des approximations successives  en fonction  des conditions
initiales  par  une  approche  géométrique.  Cinquante  ans  plus  tard,
\textsc{Fourier}  et  \textsc{Cauchy}  s'occupe  de la  rapidité  de  la
convergence. 


\subsection{Principe}

\textsc{Newton} présenta sa méthode en traitant l'équation $x^3-2x-5=0$.

Soit $f$ la fonction $x\mapsto x^3-2x-5$. 
On peut rapidement tracer son graphe à l'aide d'un outil quelconque.

Il coupe l'axe des abscisses pour une valeur comprise entre 2 et 3.

On assimile la courbe à sa tangente au point d'abscisse 2.

Celle-ci a pour équation $y=(x-2)\times f'(2)+f(2)=10(x-2)-1$

Posons $x=2+\e$ alors $f(2+\e)=0\ssi \e^3+6\e^2+10\e-1=0$.

Si on  assimile la courbe à sa  tangente en 2, alors  $\e$ vérifie aussi
$0=10(2+\e-2)-1$ c'est-à-dire $\e=0,1$.

En fait, assimiler la courbe à sa tangente, c'est négliger les termes en
$\e$ d'ordre supérieur à 1 (ici $\e^3+6\e^2$).

Un approximation de la solution est donc 2,1.

On recommence ensuite  en partant de 2,1 au lieu de  2 puis on reprendra
la nouvelle valeur trouvée comme valeur de départ, etc.



% \section{Illustration graphique}

% L'exemple précédent correspond au graphe suivant.

  
% \begin{center}
%   \includegraphics[angle=270,width=.6\linewidth]{newtonmaple01.eps}  
%   \end{center}
  
 \subsection{La formule de récurrence}


On sent  la procédure  algorithmique poindre son  nez. Pour finir  de la
mettre  en évidence,  nous allons  formaliser la  méthode  précédente en
introduisant la suite des approximation successives.  


\begin{itemize}


\item On part d'un nombre  quelconque $x_0$~;
 \item \`a partir de $x_0$, on calcule un nouveau nombre $x_1$ de la
mani\`ere suivante (voir figure )~: on trace la tangente au graphe
de $f$ au point d'abscisse $x_0$, et on d\'etermine le point
d'intersection de cette tangente avec l'axe des abscisses. On
appelle $x_1$ l'abscisse de ce point d'intersection~;
\item et on recommence~: on calcule un nouveau
nombre $x_2$ en appliquant le proc\'ed\'e d\'ecrit au point 2 o\`u
l'on remplace $x_0$ par $x_1$~;
\item etc.
\end{itemize}


\begin{center}
  \includegraphics[width=.9\linewidth]{newton.1}
\end{center}




\`A partir de cette description graphique de
la m\'ethode de \textsc{Newton}, trouver la formule, notée (1), donnant $x_1$ en
fonction de $x_0$, puis $x_{n+1}$ en fonction de $x_n$.\\
Quelles hypoth\`eses doit-on faire sur $f$ et les $x_n$ pour que la
formule ait un sens~?\\

Nous n'irons pas  plus loin pour l'instant concernant  la convergence de
ces suites. Traitons l'exemple de \textsc{Newton}.


\subsection{Étude de la suite associée à l'équation $x^3-2x-5=0$.}


On   veut   résoudre  l'équation   $x^3-2x-5=0$   par   la  méthode   de
\textsc{Newton-Raphson} appelée  aussi méthode  de la tangente.  On note
$f$ la fonction $x\mapsto x^3-2x-5$.


\begin{enumerate}
\item  Montrez  rapidement  que  l'équation $f(x)=0$  admet  une  unique
  solution $\alpha$ sur $\bbr$. Montrez que $2<\alpha<3$.

\item Déterminez la fonction  $\f$ telle que $x_{n+1}=\f(x_n)$, la suite
  $(x_n)$ étant celle décrite au paragraphe précédent en prenant $x_0=3$.
\item Étudiez  le sens de  variation de la  fonction $\f$ puis  celui de
  $\f'$ et déduisez-en que $[\alpha,3]$  est stable par $\f$ et que $\f$
  est strictement croissante sur $[\alpha,3]$.
\item Que pouvez-vous en déduire sur la convergence de la suite $x_n$~?
\end{enumerate}


\subsection{Test d'arrêt}


Afin  de  construire  un  algorithme  donnant  une  approximation  d'une
solution    d'une    équation    numérique    par    la    méthode    de
\textsc{Newton-Raphson},   il  faudrait   déterminer  un   test  d'arrêt
c'est-à-dire savoir à partir de quel rang $n$ $|x_n-\alpha|$ restera 
inférieur à une valeur donnée.

Il suffit  de remarquer que  $f(x_n)=f(x_n)-f(\alpha)$. Nous supposerons
$f$ de classe $\CR^2$ sur un \og bon\fg{} voisinage I de $\alpha$ (ce
critère nous échappe encore à notre niveau).  Alors $f$ est en
particulier dérivable en $\alpha$ donc

$$f(x_n)=f(x_n)-f(\alpha)\sim f'(\alpha)\times(x_n-\alpha)$$

C'est-à-dire, puisque $f'(\alpha)$ est supposé non nul~:

$$x_n-\alpha\sim \frac{f(x_n)}{f'(\alpha)}$$

Or  $f$ étant de  classe $\CR^2$,  on a  $f'$ continue  et non  nulle en
$\alpha$ donc $f'(\alpha)\sim f'(x_n)$.

Finalement



$$x_n-\alpha\sim \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}=x_n-x_{n+1}$$


Nous choisirons donc comme test d'arrêt $\left|\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\right|<p$
 avec $p$ la précision choisie.

Il ne reste plus qu'à écrire l'algorithme.

\subsection{Algorithme récursif}


D'abord l'algorithme sous forme récursive.  En fait, tout a déjà été dit
alors traduisons directement.


En   XCAS~:~on    notera   que   \verb+function_diff(f)+    renvoie   la
\emph{fonction}  dérivée donc  \verb+function_diff(f)(x0)+  désigne 
le \emph{nombre} dérivé de $f$ en $x_0$.

\xc

\begin{lstlisting}[caption={méthode de Newton-Raphson en récursif (XCAS)}]
newton_rec(f,x0,eps):={
if(evalf(abs(f(x0)/function_diff(f)(x0)))<eps){evalf(x0)}
else{newton_rec(f,evalf(x0-f(x0)/function_diff(f)(x0)),eps)}
}:;
\end{lstlisting}


Alors, après avoir fixé par exemple la précision à 100~:

\begin{lstlisting}
DIGITS:=100:;
newton_rec(x->x^2-2,1.0,evalf(10^(-99)))
\end{lstlisting}

On obtient immédiatement~:

\verb+1.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379907324784621070388503875343276415728+


En  CAML~:  il y  a  un  petit plus  car  il  faut  définir une  dérivée
approchée.

\caml

\begin{lstlisting}
# let der(f,x,dx)=(f(x+.dx)-.f(x))/.dx;;
\end{lstlisting}


Maintenant la partie Newton~:

\begin{lstlisting}[caption={méthode de Newton-Raphson en récursif (CAML)}]
# let rec newton_rec(f,xo,dx,eps)=
     if abs_float(f(xo)/.der(f,xo,dx))<eps then xo
     else newton_rec(f,xo-.f(xo)/.der(f,xo,dx),dx,eps);;
\end{lstlisting}

Par exemple~:

\begin{lstlisting}
# let k(x)=x*.x-.2.;;

# newton_rec(k,1.,0.0001,0.000000001);;
- : float = 1.41421356245305962
\end{lstlisting}

\xc



\subsection{Algorithme impératif}

Ça se complique un peu~:~évidemment,  car il faut faire de l'informatique
au lieu de se concentrer sur les mathématiques...


\begin{algorithm}[H]
\caption{\textsc{Newton-Raphson}~:~version impérative}
\Entree{\;
fonction $f$\;
 précision $p$\;
premier terme $a0$\;
nombre maximum d'itération \tcp{Pour éviter de \og planter\fg{}  si
  on tombe sur un cas pathologique\;}
}\;
\Ini{
$fp$\aff dérivée de $f$\;
compteur\aff 0 \tcp{le compteur d'itérations}\;
$un$\aff $u0-\frac{f(u0)}{fp(u0)}$\;

}\;
\Deb{
\Tq{$\left|\frac{f(xn)}{fp(xn)}\right|$   est   plus   grand  que   la
  précision $p$ et que $k<N$}{
\Si{$fp(un)=0$}{On sort  de la  boucle avant de  diviser par zéro  et on
  explique pourquoi}
$un$\aff $un-\frac{f(un)}{fp(un)}$\;
compteur\aff compteur+1\;

}
 }

\Retour{L'approximation et la valeur du compteur} 
\end{algorithm}


%Ici encore il faudra faire attention à l'utilisation de \texttt{evalf}.



Comparez ensuite avec les résultats trouvés avec la dichotomie.

Regardez également ce qui  se passe avec l'équation $(x-1)^4=0$~:~quelle
précaution   supplémentaire   faut-il   prendre~?   (La   preuve   n'est
évidemment pas envisageable au Lycée).







\end{document}