

\documentclass[12pt,a4paper,twoside]{report}
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\graphicspath{{/home/moi/Figures/FigSeconde/}{/home/moi/Photos/Maths/}}
\entete{\large \bfseries VECTEURS, BASES ET REPÈRES}{\normalsize\textsf{\rightmark}}{Lycée Jean Perrin - 2\textsuperscript{nde}12}%g,d,b




\begin{document}



\setlength{\parindent}{0pt}
\thispagestyle{empty}


\setcounter{NumLecon}{3}
        
         

\TITRE{IV}{Chapitre}{Vecteurs, bases}{et repères}{Vecteurs, bases et repères}{robin.eps}






\vspace{1cm}



\section{Qu'est-ce qu'un vecteur du plan~?} 

Nous ne pouvons pas,  à notre niveau, donner une définition rigoureuse  d'un vecteur du plan. Disons
que concrètement, un vecteur est un \emph{déplacement}~:

\begin{center}
  \includegraphics{Vecteurs.1}
\end{center}


Le \emph{déplacement} de A  vers B est le même que celui  de D vers E ou de H vers  I. On appelle ce
\emph{déplacement} un VECTEUR défini par 
\begin{itemize}
\item une \textbf{direction}~:~celle de la droite (AB);
\item un \textbf{sens}~:~celui de A vers B;
\item une \textbf{norme}~:~qui est égale à la longueur AB.
\end{itemize}


\begin{figure}[!h]
  \begin{DANGER}[sens et direction]
     il ne faut pas confondre \emph{sens} et  \emph{direction} : par exemple $\ve{IH}$ et $\ve{AB}$ ont
  la même direction (car les droites (AB) et (IH) sont parallèles) mais n'ont pas le même sens.
    \end{DANGER}
  \end{figure}




Les vecteurs $\ve{AB}$, $\ve{DE}$ et $\ve{HI}$  sont donc les \emph{représentants} d'un même vecteur
car ils ont  même sens, même direction et même norme  : on peut donc désigner ce  vecteur par un nom
unique, par exemple $\ve{d}$. 

\medskip


La \emph{norme} du vecteur $\ve{AB}$ est égale à la longueur AB. Pour désigner la norme de $\ve{d}$,
on utilise $\DecalNorme{\ve{d}}$. On a 
\[\DecalNorme{\ve{d}}=AB=DE=HI\]




\begin{figure}[!h]
  \begin{Idee}{Pensez parallèlogramme}
     $\ve{AB}=\ve{CD}=\ve{u}$ si et seulement si ABDC est un parallélogramme :
\begin{center}
  \includegraphics{Vecteurs.2}
\end{center}
    \end{Idee}
  \end{figure}


  \begin{figure}[!h]
    \begin{Idee}{souvenirs}
      Dans  mon  jeune  temps, on  disait  que  deux  vecteurs  $\ve{AB}$ et  $\ve{CD}$  étaient
  égaux\footnote{En fait, on disait que les \emph{bipoints} (A,B) et (C,D) étaient \emph{équipollents}...} si
  et seulement si les segments $[A\pv D]$ et $[B\pv C]$ avaient le même milieu : pourquoi~?
      \end{Idee}
    \end{figure}






















\section{Somme de vecteurs}

Le secret : \emph{je me déplace de A vers B puis de B vers C : globalement, je suis parti de A et je
  suis arrivé en C}

\begin{center}
  \includegraphics{Vecteurs.3}
\end{center}



C'est en fait la fameuse 

\begin{figure}[!h]
  \begin{Propriete}[Relation de \textsc{Chasles}]
    \[\ve{A\textcolor{0.4white}{\Large B}}+\ve{\textcolor{0.4white}{\Large B}C}=\ve{AC}\]
    \end{Propriete}
  \end{figure}


Mais  qu'en  est-il  de cette  somme  lorsqu'on  considère  deux  vecteurs quelconques  $\ve{u}$  et
$\ve{v}$~? 

Il suffit de prendre des \emph{représentants} de $\ve{u}$ et $\ve{v}$ bien choisis~:


\begin{center}
  \includegraphics{Vecteurs.4}
\end{center}





On peut aussi \og penser parallélogramme \fg


\begin{center}
  \includegraphics{Vecteurs.5}
\end{center}















\section{Vecteur nul - Opposé d'un vecteur}

Je pars de A, je vais en B et je retourne en A~:~la relation de \textsc{Chasles} le confirme 

\[ \ve{AB}+\ve{BA}=\ve{AA}\]

Que peut-on dire de ce vecteur $\ve{AA}$~? 

Quelle est sa norme~? 

Quelle est sa direction~? 

Quel est son sens~?





On appelle ce vecteur de norme nulle le \emph{vecteur nul} et on le note $\ve{0}$.

Plus généralement si on  considère un vecteur $\ve{u}$, on peut toujours  trouver un vecteur de même
direction, de  même norme et de sens  opposé : quand on  l'ajoute à $\ve{u}$, on  obtient le vecteur
nul. 

On l'appelle le \emph{vecteur opposé} de $\ve{u}$ et on le note bien sûr $\Mathbold{-\ve{u}}$

\begin{center}
  \includegraphics{Vecteurs.6}
\end{center}




\section{Multiplication d'un vecteur par un nombre réel}


Nous avons déjà abordé le problème en  parlant de l'opposé du vecteur $\ve{u}$ qu'on note $-\ve{u}$,
c'est à dire $(-1)\times\ve{u}$. 

Nous pouvons aisément  imaginer que le vecteur $3\ve{u}$ est en  fait égal à $\ve{u}+\ve{u}+\ve{u}$,
et les additions de vecteurs, on connaît~! 


\vspace{1.5cm}

Nous pouvons même comprendre que $-3\ve{u}$, c'est $\pav{-\ve{u}}+\pav{-\ve{u}}+\pav{-\ve{u}}$


\vspace{1.5cm}


Vous comprendrez donc sans problème la définition suivante 



\begin{figure}[!h]
  \begin{Definition}[Produit d'un vecteur par un nombre réel]
    Soit $\ve{u}$ un vecteur non nul et $k$ un nombre réel non nul. Alors on note $k\ve{u}$ le vecteur
\begin{itemize}
\item ayant la même direction que $\ve{u}$;
\item ayant le même sens que $\ve{u}$ si $k>0$, le sens contraire sinon;
\item ayant pour norme $k\nov{u}$ si $k>0$ et $-k\nov{u}$ sinon.
\end{itemize}
    \end{Definition}
  \end{figure}




\begin{center}
  \includegraphics{Vecteurs.7}
\end{center}

Ce petit dessin résume les différents cas de figure.


\section{Vecteurs colinéaires}




\subsection{Définition}



Nous avons remarqué que $\ve{u}$ et $k\ve{u}$ avaient la même direction. 

Inversement, si deux vecteurs non nuls $\ve{u}$ et $\ve{v}$ ont la même direction, alors on peut imaginer
qu'il existe un réel $k$ tel que $\ve{v}=k\ve{u}$. 

Par exemple, s'ils ont le même sens, alors le vecteur $\dfrac{\nov{v}}{\nov{u}}\ve{u}$ a
\begin{itemize}
\item le même sens que $\ve{v}$ (car \dots
\item la même direction que $\ve{v}$ (car \dots
\item la même norme que $\ve{v}$ (car \dots
\end{itemize}

donc $\ve{v}=\dfrac{\nov{v}}{\nov{u}}\ve{u}$, ce qui confirme notre supposition. 

Avant de résumer ce résultat, un peu de vocabulaire :


\begin{figure}[!h]
  \begin{Definition}[vecteurs colinéaires]
    On dit que deux vecteurs sont \emph{colinéaires} si, et seulement
  si, ils ont la même direction.
    \end{Definition}
  \end{figure}

  \begin{figure}[!h]
    \begin{Idee}{}
       Deux COpains partagent leur pain, deux  COrrecteurs du Bac partagent le même recteur, deux
  vecteurs COlinéaires partagent la même ligne\dots
      \end{Idee}
    \end{figure}




\begin{center}
  \includegraphics{Vecteurs.8}
\end{center}



Notre observation précédente va donc nous permettre d'énoncer le théorème primordial suivant :


\begin{figure}[!h]
  \begin{Theoreme}[vecteurs colinéaires]
    Deux vecteurs $\ve{u}$ et $\ve{v}$ sont colinéaires si, et seulement si, il existe un
réel $k$ tel que  $\ve{v}=k\ve{u}$
    \end{Theoreme}
  \end{figure}




  \begin{figure}[!h]
    \begin{DANGER}[colinéarité et parallélisme]
      Vous ferez bien attention à parler de vecteurs colinéaires et non pas de vecteurs parallèles~! 
Deux droites peuvent être  parallèles si elles ont tous leurs points ou aucun  point en commun. On ne
peut pas dire  la même chose des vecteurs car  les vecteurs \dots n'ont pas de  points~! Ce sont des
déplacements, pas des ensembles de points comme les droites.
      \end{DANGER}
    \end{figure}



\subsection{Conséquences}

\begin{enumerate}
\item Si on arrive  à montrer que deux \emph{vecteurs} $\ve{AB}$ et  $\ve{CD}$ sont \emph{colinéaires}, on
pourra en déduire que les \emph{droites} (AB) et (CD) sont \emph{parallèles}.
\item  Si on arrive  à montrer que deux \emph{vecteurs} $\ve{AB}$ et  $\ve{AC}$ sont \emph{colinéaires}, on
pourra en déduire que les \emph{droites} (AB)  et (AC) sont \emph{parallèles}. Or, comme vous l'avez
remarqué, les droites (AB) et (AC) ont le point A en commun. Que pensez-vous de 2 droites parallèles
ayant un point en commun~? Elles sont bien sûr \dots \dots \footnote{ D'après un des axiomes d'Euclide qui
  est la base de la géométrie que vous étudiez au lycée : \og par deux points distincts du plan il passe
une droite et une seule\fg }



Et donc les points A, B et C appartiennent à une même droite : ils sont \emph{alignés}. 
\end{enumerate}


\begin{figure}[!h]
  \begin{Idee}{À  retenir}
    Montrer que  deux vecteurs  sont colinéaires  peut nous  aider à  montrer  que deux
  droites sont parallèles ou que trois points sont alignés.
    \end{Idee}
  \end{figure}


Le problème  va être  d'arriver à prouver  que deux vecteurs  sont colinéaires  : il suffira  de \og
penser BASE \fg\dots


\section{Base du plan vectoriel}

Euh.. le  plan vectoriel,  c'est quoi~? Disons  que c'est  l'ensemble des déplacements  en dimension
2. On dira alors que 



\begin{figure}[!h]
  \begin{Definition}[base]
    Deux vecteurs forment une base du plan vectoriel si, et seulement si, ils NE sont
PAS colinéaires.
    \end{Definition}
  \end{figure}




Et on admettra le résultat primordial suivant : 


\begin{figure}[!h]
  \begin{Theoreme}[coordonnées]
    Soit $\ve{u}$ et  $\ve{v}$ deux vecteurs NON  colinéaires : ils forment une  base du plan
  vectoriel. Alors on peut exprimer n'importe quel vecteur $\ve{t}$ sous la forme 
\[\ve{t}=x\ve{u}+y\ve{v}\] avec $x$ et $y$ des réels. 
Les nombres $x$ et $y$ sont appelés les COORDONNÉES de $\ve{t}$ dans la BASE $\pav{\ve{u},\ve{v}}$
    \end{Theoreme}
  \end{figure}



\begin{center}
  \includegraphics{Vecteurs.900}
\end{center}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


Nous n'irons pas plus loin pour l'instant,  mais nous retiendrons qu'il sera utile d'exprimer chaque
vecteur d'un problème donné en fonction de deux vecteurs de base intelligemment choisis... 

\section{Des exercices\dots basiques.} 

Nous allons étudier toutes sortes d'exercices  qui nous fourniront autant d'outils pour résoudre nos
enigmes mathématiques... 

\exot{\og Voir\fg des égalités vectorielles}

Considérez avec  la plus grande  attention un parallèlogramme  ABCD de centre O~:~donnez  un maximum
d'égalités  vectorielles. En  particulier,  trouvez  des égalités  vectorielles  qui permettront  de
caractériser\footnote{C'est à dire qui permettent de conclure  que le point étudié est à coup sûr le
  milieu du segment étudié.} le milieu d'un segment. 



\begin{center}
  \includegraphics{Vecteurs.10}
\end{center}


Nous allons ainsi pouvoir résoudre l'exercice suivant :

\exot{Parallèlogrammes et milieux}

 
$ABCD$ est un parallélogramme de centre $O$. Les points $M$, $N$, $P$ et $Q$ sont tels que :
$$\overrightarrow{AM}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB} \quad
\overrightarrow{BN}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{BC} \quad
\overrightarrow{CP}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{CD} \quad
\overrightarrow{DQ}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{DA}$$

\begin{enumerate}
\item 
  \begin{enumerate}
  \item Démontrez que $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{DP}$.
  \item Déduisez-en que $O$ est le milieu de $[MP]$.
  \end{enumerate}
\item Démontrez de même que $O$ est milieu de $[QN]$.
\item Déduisez des questions précédentes la nature du quadrilatère $MNPQ$.
\end{enumerate}


\begin{center}
  \includegraphics{Vecteurs.11}
\end{center}



\exot{Construction de point}




$A$ et $B$ sont deux points distincts du plan.\\
On définit le point $M$ par la relation vectorielle : $3\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$.\\

Exprimez $\overrightarrow{AM}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$. Placez $M$.


\begin{figure}[!h]
  \begin{Idee}{}
      M \og apparaît\fg  deux fois dans l'égalité~:~pour pouvoir le  construire, il faudrait \og
  partir\fg d'un point  connu et \og suivre la  flèche\fg jusqu'en M grâce à  des \og indications\fg
  utilisant des mouvements entre points connus...
    \end{Idee}
  \end{figure}





\exot{Une base pour montrer que des points  sont alignés...}

$ABCD$ est un parallélogramme.\\
$I$ est le milieu de $[AB]$.\\
$E$ est le point tel que $\overrightarrow{DE}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{DI}$.
\begin{enumerate}
\item Compléter la figure suivante. 

\begin{center}
  \includegraphics{Vecteurs.12}
\end{center}


\item Il  \emph{semble} que A,  E et C  soient alignés. Nous voudrions  le prouver. Pour  cela, nous
  allons essayer  de montrer  que les vecteurs  $\ve{AE}$ et  $\ve{AC}$ sont colinéaires.  Oui, mais
  comment~? 


\begin{enumerate}
\item Pensons base ! Il est assez  naturel dans un parallélogramme de choisir $\ve{AB}$ et $\ve{AC}$
  comme vecteurs de  base~:~ils sont bien connus et \og  représentent\fg les directions privilégiées
  du  parallélogramme.  Le  problème, c'est  que  E  est  \og  au  milieu\fg... Réglons  ce  premier
  problème~:~à l'aide de la relation de \textsc{Chasles} et des données du texte, exprimez $\ve{AE}$
  en n'utilisant que des points \og sur les bords\fg du parallélogramme. 
\item Déduisez-en une expression de $\ve{AE}$  uniquement en fonction de $\ve{AB}$ et $\ve{AD}$, nos
  vecteurs de base. 
\item Exprimez également $\ve{AC}$ en fonction de $\ve{AB}$ et $\ve{AD}$.

\end{enumerate}

\item  Vous pouvez maintenant  comparer $\ve{AE}$  et $\ve{AC}$  en fonction  de vecteurs  dignes de
  confiance et conclure...

\end{enumerate}

\begin{center}
  \includegraphics{Vecteurs.13}
\end{center}

\exot{... et pour montrer que des droites sont parallèles.} 


$ABC$ est un triangle et $I$ est le milieu du segment $[AC]$.\\
$O$ est un point quelconque.
\begin{enumerate}
\item On se propose de construire le point $P$ tel que :
$$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}-2\overrightarrow{OB}.$$
\begin{enumerate}
\item Justifier que $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OI}$.
\item Quelle relation lie alors $\overrightarrow{OP}$ et $\overrightarrow{IB}$ ?
\item Construire $P$.
\end{enumerate}
\item En déduire que $(BI)$ et $(OP)$ sont parallèles.
\end{enumerate}


\begin{center}
  \includegraphics{Vecteurs.14}
\end{center}

%\subsection{}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\exot{Dessin}


\begin{enumerate}
\item Placer le point $E$ tel que $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AC}$.
\item Placer le point $F$ tel que $\overrightarrow{BF}=-\overrightarrow{AC}$.
\item Placer le point $G$ tel que $\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}$.
\end{enumerate}


\begin{center}
  \includegraphics{Vecteurs.15}
\end{center}



\exot{Calcul vectoriel dans un parallélogramme.}


Soit $ABCD$ un parallélogramme.\\
Soit $E$ le milieu de $[BC]$ et $F$ le milieu de $[DC]$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{BC}.$
\item Montrer que $\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}=\dfrac{3}{2}~\overrightarrow{AC}.$
\end{enumerate}

\begin{center}
  \includegraphics{Vecteurs.16}
\end{center}






\exot{Calcul \og en aveugle\fg }




Dans chacun des cas suivants, démontrer que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires :
\begin{enumerate}
\item $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{BD}.$
\item $2\overrightarrow{CB}-9\overrightarrow{CA}-7\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{0}.$
\item $7\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{CB}+5\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{CA}.$
\end{enumerate}



















\exot{Avec ou sans vecteurs}



Soit $ABC$ un triangle.\\

\begin{enumerate}
\item Construire les points $M$, $N$ et $P$ tels que : \\

$\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$, \quad 
$\overrightarrow{CN}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CA}$, \quad 
$\overrightarrow{CP}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}$.\\


\item Montrer que
  $\overrightarrow{MN}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}$. On détaillera soigneusement les calculs.
\item Montrer que $\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MN}$. On
  détaillera soigneusement les calculs.\\
Que peut-on en conclure ?
\item Retrouver ce résultat, sans les vecteurs, en utilisant les
  propriétés de géométrie plane.
\end{enumerate}




% \begin{center}
%  \includegraphics{Vecteurs.17}
% \end{center}




\exot{Être ou ne pas être alignés...}

Les points P, Q et R sont-ils alignés~? 

\begin{center}
  \includegraphics{Vecteurs.18}
\end{center}






\exot{Médianes}


{\sffamily \textbf{Préliminaire}~:~P,Q  et R sont  trois points  non alignés et  I est le  milieu de
  [Q,R]. Exprimez $\ve{PR}+\ve{PQ}$ en fonction de $\ve{PI}$.}

\smallskip

$ABC$ est un triangle quelconque. $A'$, $B'$ et $C'$ sont les milieux
respectifs de $[BC]$, $CA]$ et $[AB]$.

\begin{enumerate}
\item Calculer la somme : $\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}$.
\item $M$ est un point quelconque du plan. Montrer que :
$$\overrightarrow{MA'}+\overrightarrow{MB'}+\overrightarrow{MC'}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}.$$
%\item $G$ est le centre de gravité du triangle $ABC$. Calculer la
 % somme
 % $\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'}$. Que peut-on en déduire ?
\end{enumerate}















\section{Vecteurs et repères du plan}




\subsection{Repère}

Nous  avons  vu précédemment  qu'une  base  (formée de  deux  vecteurs  non colinéaires)  permettait
d'exprimer n'importe quel vecteur en fonction des 2 vecteurs de base. 




\begin{figure}[!h]
  \begin{Theoreme}[coordonnées d'un vecteur dans une base]
    Soit $\ve{u}$ et  $\ve{v}$ deux vecteurs NON  colinéaires : ils forment une  base du plan
  vectoriel. Alors on peut exprimer n'importe quel vecteur $\ve{t}$ sous la forme 
\[\ve{t}=x\ve{u}+y\ve{v}\] avec $x$ et $y$ des réels. 
Les nombres $x$ et $y$ sont appelés les COORDONNÉES de $\ve{t}$ dans la BASE $\pav{\ve{u},\ve{v}}$
    \end{Theoreme}
  \end{figure}



Maintenant, pour repérer un point, on choisira une  origine fixe et deux vecteurs de base. La clé du
chapitre tient dans le dessin suivant :


\begin{center}
  \includegraphics{Vecteurs.906}
\end{center}


\begin{figure}[!h]
  \begin{Definition}[coordonnées d'un  point dans un repère]
    Dire que le point  M a pour coordonnées $(x,y)$
  dans le repère $\oij$ signifie que
\[\ve{OM}=x\ve{i}+y\ve{j}\]
On appelle $x$ l'\emph{abscisse} de M et $y$ son \emph{ordonnée}
    \end{Definition}
  \end{figure}







%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%




 
\subsection{Coordonnées d'un vecteur}


Nous  travaillons dans  un repère  $(O,\ve{i},\ve{j})$ et  deux points  A et  B ont  pour coordonnées
respectives $(x_A,y_A)$ et $(x_B,y_B)$. 



Comment traduire \emph{vectoriellement} ces renseignements~? 












 
%\frt{Coordonnées du vecteur $\ve{AB}$}
 A a pour coordonnées $(x_A,y_A)$, donc par définition  $\ve{OA}=x_A\ve{i}+y_A\ve{j}$

 De même, on obtient pour B  $\ve{OB}=x_B\ve{i}+y_B\ve{j}$











 
%\frt{Coordonnées du vecteur $\ve{AB}$}

Nous  voudrions  à  présent   obtenir  les  coordonnées  $\left(x_{\ve{AB}},y_{\ve{AB}}\right)$  qui
vérifient, d'après notre définition 



\[\ve{AB}=x_{\ve{AB}}\ve{i}+y_{\ve{AB}}\ve{j}\]








 
%\frt{Coordonnées du vecteur $\ve{AB}$}
Le problème, c'est de faire le lien entre $\ve{AB}$ et $\ve{OA}$ et $\ve{OB}$. 


Mais oui~! Bien sûr~! Utilisons notre bonne vieille ... 



... relation de \textsc{Chasles}~! 






 
%\frt{Coordonnées du vecteur $\ve{AB}$}

En effet, \begin{arrayl}
          \ve{AB}&=&\ve{AO}+\ve{OB}\\

                 &=& -\ve{OA}+\ve{OB}\\

                  &=& -\pav{x_A\ve{i}+y_A\ve{j}}+x_B\ve{i}+y_B\ve{j}\\
                  &=& -x_A\ve{i}-y_A\ve{j}+x_B\ve{i}+y_B\ve{j}\\

                  &=& \left(x_B-x_A\right)\ve{i}+\left(y_B-y_A\right)\ve{j}\\
           \end{arrayl}



 

  Or $\ve{AB}=x_{\ve{AB}}\ve{i}+y_{\ve{AB}}\ve{j}$



 Donc... 


 









 
 %\frt{Coordonnées du vecteur $\ve{AB}$}


 \begin{figure}[!h]
   \begin{Theoreme}[Coordonnées d'un vecteur $\boldmath \ve{AB}\unboldmath$]
     Le vecteur $\ve{AB}$ a pour coordonnées $\left(x_B-x_A,y_B-y_A\right)$
     \end{Theoreme}
   \end{figure}



\begin{center}
  \includegraphics{Vecteurs.19}
\end{center}













 
\subsection{\emph{Combinaison linéaire} de vecteurs}

Supposons  que nous  travaillons dans  un repère  $(O,\ve{i},\ve{j})$ et  que nous  connaissons deux
vecteurs et leurs coordonnées~:

\[\ve{u}\begin{pmatrix} 2\\3 \end{pmatrix}\qquad \ve{w}\begin{pmatrix} 9\\4 \end{pmatrix}\]

On peut se demander quelles sont les coordonnées de $2 \ve{u}-\ve{w}$. 



Il suffit d'utiliser notre base. 



$\ve{u}=2 \ve{i}+3 \ve{j}$, donc $2 \ve{u}=4 \ve{}+ 6 \ve{j}$



$\ve{w}=9 \ve{i} + 4 \ve{j}$, donc $-\ve{w}=-9 \ve{i} - 4 \ve{j}$



Finalement

$2 \ve{u}-\ve{w}=4 \ve{i}+ 6 \ve{j}-9 \ve{i} - 4 \ve{j}=-5 \ve{i}+2 \ve{j}$



On \emph{observe} donc que, sur cet exemple,

\[x_{2 \ve{u}- \ve{w}}=2 x_{\ve{u}}-x_{\ve{w}}\qquad y_{2 \ve{u}- \ve{w}}=2 y_{\ve{u}}-y_{\ve{w}}\]




\bigskip

 
%\frt{\emph{Combinaison linéaire} de vecteurs}

Il reste à prouver que cela reste vrai pour n'importe quel vecteur et n'importe quelle combinaison. 


\[\ve{u}\begin{pmatrix} x_{ \ve{u}}\\y_{\ve{u}} \end{pmatrix}\qquad \ve{w}\begin{pmatrix} x_{\ve{w}}\\y_{\ve{w}} \end{pmatrix}\]



Quelles sont  les coordonnées du  vecteur $a \ve{u}+  b \ve{w}$, avec $a$  et $b$ des  nombres réels
fixés. 





\begin{arrayl}

a \ve{u}+ b \ve{w}&=& a \pav{x_{\ve{u}} \ve{i}+y_{\ve{u}} \ve{j}}+b\pav{x_{\ve{w}} \ve{i}+y_{\ve{w}}
  \ve{j} }\\
 
                  &=& a x_{\ve{u}} \ve{i}+a y_{\ve{u}} \ve{j}+b x_{\ve{w}} \ve{i}+b y_{\ve{w}}
  \ve{j} \\
 
                  &=& \pav{ a x_{\ve{u}}+b x_{\ve{w}} }\ve{i}+\pav{a y_{\ve{u}}+b y_{\ve{w}} }\ve{j}
\end{arrayl}







\begin{figure}[!h]
  \begin{Theoreme}[coordonnées de la combinaison linéaire de deux vecteurs]
    Nous retiendrons donc que  le vecteur $a \ve{u}+ b \ve{w}$ a  pour coordonnées $\pav{ a x_{\ve{u}}+b
  x_{\ve{w}},a y_{\ve{u}}+b y_{\ve{w}} } $
    \end{Theoreme}
  \end{figure}

 
%\frt{\emph{Combinaison linéaire} de vecteurs}



 

Au fait, que veut dire \emph{combinaison linéaire} à votre avis~?



\begin{figure}[!h]
  \begin{Idee}{}
    Les coordonnées d'une combinaison de vecteurs sont égales aux combinaisons des coordonnées...

    \end{Idee}
  \end{figure}









 
\subsection{Coordonnées du milieu d'un segment}


Soit I le  milieu d'un segment $[A\pv B]$.  Supposons que nous connaissions les coordonnées  de A et
B. Comment en déduire les coordonnées de I~? 

 

Qui  dit coordonnées  de  I  dans $(O,\ve{i},\ve{j})$  dit  coordonnées de  $\ve{OI}$  dans la  base
$(\ve{i},\ve{j})$. 

 

Il faudrait donc essayer de relier $\ve{OI}$ avec $\ve{OA}$ et $\ve{OB}$... 

 

Que connaissez-vous comme relation vectorielle entre I, A et B~? 









 
%\frt{Coordonnées du milieu d'un segment}
Par exemple $\ve{AI}=\ve{IB}$

 

Il nous manque O...comment faire~? 

 

La relation de \textsc{Chasles} of course... 

 


\[\ve{AO}+\ve{OI}=\ve{IO}+\ve{OB}\]


 


\[\ve{OI}-\ve{IO}=-\ve{AO}+\ve{OB}\]

 

\[\ve{OI}+\ve{OI}=\ve{OA}+\ve{OB}\]

 

\[2\ve{OI}=\ve{OA}+\ve{OB}\]






 
%{Coordonnées du milieu d'un segment}


\[\ve{OI}=\fr{1}{2}\pav{\ve{OA}+\ve{OB}}\]


 

et donc



\begin{figure}[!h]
  \begin{Theoreme}[coordonnées du milieu]
    
Le milieu I de $[A\pv B]$ a pour coordonnées $\left(\fr{x_A+x_B}{2},\fr{y_A+y_B}{2}\right)$
    \end{Theoreme}
  \end{figure}








\subsection{Colinéarité et conséquences}


 

Rappelez-vous : si deux vecteurs $\ve{u}\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$ et  $\ve{u'}\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}$ sont colinéaires, cela veut dire qu'il existe
un réel k tel que... 


 


\[\dots \ve{u'}=k \ve{u}\]

  

Point de vue coordonnées, ça donne... 

 

... $x'=kx$ et $y'=ky$

 

Que pensez-vous de $x'y-y'x$~? 

 

Et oui, c'est...





 
%\frt{Théorème de Némo}


...nul


\begin{figure}[!h]
  \begin{Theoreme}[théorème de Némo]
    $\ve{u}\begin{pmatrix}  x\\y \end{pmatrix}$  et $\ve{u'}\begin{pmatrix}  x'\\y'  \end{pmatrix}$ sont
colinéaires si, et seulement si, \[x'y-yx'=0\]
    \end{Theoreme}
  \end{figure}


 

Pourquoi l'ai-je appelé Némo~?











 
\subsection{Montrer que 3 points sont alignés}

Est-ce que les points $A(2\pv 3)$, $B(5\pv 7)$ et $C(-6\pv -8)$ sont alignés~? 

 

Le théorème de Némo devrait vous aider à trouver... 


 


Regardez $\ve{AB}$ et $\ve{AC}$...










 
\subsection{Est-ce que des droites sont parallèles~?} 

$A(-4\pv -1)$, $B(4\pv 5)$, $C(3\pv -2)$ et $D(7\pv 1)$.


Est-ce que les droites (AB) et (CD) sont paralèles~?











%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%





\subsection{\'Equations de droites et colinéarité}

 
  Considérons deux points fixés A et B.  Comment traduire vectoriellement qu'un point M appartient à
  la droite (AB)~? 

 

Pas d'idée~? Que pensez-vous des vecteurs $\ve{AM}$ et $\ve{AB}$~? 

 

Bien  joué~! Ils  sont colinéaires~!  Comment en  déduire une  équation de  (AB), c'est  à  dire une
relation entre les ordonnées et les abscisses des points de (AB)~? 

 

Le théorème de Némo bien sûr~! Vous n'êtes pas convaincu(e)~? Voyons un exemple.






  \subsubsection{Détermination d'une équation de droite}
  Prenons A$(2\pv  3)$ et  B$(-1\pv 5)$. Un  point M$(x\pv  y)$ appartient à  (AB) si,  et seulement
  si,... 

 

$\ve{AM}\begin{pmatrix} x-2\\y-3 \end{pmatrix}$ et $\ve{AB}\begin{pmatrix} -3\\2 \end{pmatrix}$ sont
colinéaires, c'est à dire... 


 


... si, et seulement si, $2(x-2)-(-3)(y-3)=0$

 

ce qui donne, après calculs $2x+3y-13=0$. Un petit remaniement nous permet de retrouver une écriture
habituelle... 

 

\[y=-\frac{2}{3}x+\frac{13}{3}\]














  \subsubsection{Vecteur directeur}
 Le vecteur $\ve{AB}$ a  pour direction celle de la droite (AB) : on  dit que c'est un \emph{vecteur
   directeur} de la droite(AB).



 


\medskip

Il doit exister un lien entre vecteur directeur et coefficient directeur...trouvez-le~!












  \exot{Coordonnées du centre de gravité d'un triangle}

  Soit ABC un triangle. On  note $A'$ le milieu de $[BC]$, $B'$ le milieu  de [AC] et $C'$ le milieu
  de [AB]. 
  Comme  vous   le  savez,   le  centre  de   gravité G du   triangle  ABC  est   l'intersection  des
  médianes. 

  On se place dans le repère $\pav{A,\ve{AB},\ve{AC}}$. 

 

  \begin{itemize}
  \item Quelles sont les coordonnées de A, B, C, $A'$, $B'$ et $C'$~? 
  \item Déterminez des équations des droites $(AA')$ et $(BB')$. 
  \item Déduisez-en les coordonnées de G. 
  \item Calculez  les coordonnées  de $\ve{AA'}$ et  $\ve{AG}$ puis  retrouvez une propriété  vue en
    3\eme. 
  \item Déterminez les coordonnées du vecteur $\ve{GA}+\ve{GB}+\ve{GC}$. 
  \end{itemize}






\subsection{Repère orthonormal}


\begin{figure}[!h]
  \begin{Definition}[]
     Un  repère $(O,\ve{i},\ve{j})$  est dit  \emph{orthogonal} lorsque  les droites  $(O,\ve{i})$ et
    $(O,\ve{j})$ sont perpendiculaires. 

 Un  repère $(O,\ve{i},\ve{j})$  est  dit \emph{orthonormal}  lorsqu'il  est orthogonal  et que  les
 vecteurs $\ve{i}$ et $\ve{ j}$ sont tous deux de norme 1.
    \end{Definition}
  \end{figure}


 

\pagebreak

  \subsubsection{Distance dans un R.O.N.}
Observez cette magnifique figure

\begin{center}
  \includegraphics{Vecteurs.20}
\end{center}

 

Pouvez-vous calculer la distance AB en fonction des coordonnées de A et de B~?





  \subsubsection{Distance dans un R.O.N.}
  Bon sang mais c'est bien sûr~! Grâce à notre bon vieux théorème de Pythagore~! 

 

  Effectuez la démonstration et précisez pourquoi ce calcul n'est valable que dans un R.O.N.






  \subsubsection{Montrer qu'un quadrilatère est un rectangle }
 Dans un R.O.N. $(O,\ve{i},\ve{j})$, on considère les quatre points

\[A(-1\pv 3)\quad B(3\pv\sqrt{5})\quad C(2\pv -3)\quad D(-2\pv -\sqrt{5})\]

Quelle est la nature du quadrilatère ABCD~?


 







  \subsubsection{\'Equation de cercle}
 Le plan est muni d'un R.O.N. $(O,\ve{i},\ve{j})$. 



  \begin{itemize}
  \item Les points $A(-3\pv  -4)$, $B(1,8\pv 4,7)$ et C$(1,4\pv -4,8)$ sont-ils  sur le cercle $\CR$
    de centre O et de rayon 5~? 
  \item À quelle condition sur $x$ et $y$ un point M$(x\pv y)$ est-il sur $\CR$~?
  \end{itemize}















\end{document}