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      \let\danger\undefined
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\sectionfont{\LARGE \sffamily\color{0.2white}}
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\renewcommand\thesubsection{\alph{subsection}. }
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\entetano{LA NUMÉRATION À TRAVERS LES ÂGES ET LA PLANÈTE}{LA NUMÉRATION À TRAVERS LES ÂGES ET LA PLANÈTE}{CM2 - École Salengro}



\usepackage{mathabx}
\newcommand{\mathbfont}{\usefont{U}{mathb}{m}{n}}


\usepackage{akkadian}
\newcommand{\babun}{{\AKK\dish}}
\newcommand{\babdeux}{{\AKK\min}}
\newcommand{\babtrois}{{\AKK\eshV}}
\newcommand{\babquatre}{{\AKK\shaII}}
\newcommand{\babcinq}{{\AKK\iaII}}
\newcommand{\babsix}{{\AKK\ashIII}}
\newcommand{\babsept}{{\AKK\imin}}
\newcommand{\babhuit}{{\AKK\ussu}}
\newcommand{\babneuf}{{\AKK\geshilimmu}}
\newcommand{\babdix}{{\AKK\AKKu}}
\newcommand{\babvingt}{{\AKK\man}}
\newcommand{\babtrente}{{\AKK\esh}}
\newcommand{\babquarante}{{\AKK\ninV}}
\newcommand{\babcinquante}{{\AKK\ninnu}}

\usepackage{hieroglf}
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\newcommand{\hdix}{{\LARGE\pmglyph{\Hten}}}
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\usepackage{CJK}
\newcommand\japonais[1]{\begin{CJK}{UTF8}{song}#1\end{CJK}}
\newcommand{\jzero}{\japonais{〇}}
\newcommand{\jun}{\japonais{一}}
\newcommand{\jdeux}{\japonais{二}}
\newcommand{\jtrois}{\japonais{三}}
\newcommand{\jquatre}{\japonais{四}}
\newcommand{\jcinq}{\japonais{五}}
\newcommand{\jsix}{\japonais{六}}
\newcommand{\jsept}{\japonais{七}}
\newcommand{\jhuit}{\japonais{八}}
\newcommand{\jneuf}{\japonais{九}}
\newcommand{\jdix}{\japonais{十}}
\newcommand{\jcent}{\japonais{百}}
\newcommand{\jmil}{\japonais{千}}
\newcommand{\jdixmil}{\japonais{万}}
\newcommand{\jdixiem}{\japonais{割}}
\newcommand{\jcentiem}{\japonais{分}}
\newcommand{\jmiliem}{\japonais{厘}}
\newcommand{\jcentmillion}{\japonais{おく}}
\newcommand{\jgiga}{\japonais{ちょお}}


%%%% un peu de giac/xcas

\makeatletter
\newcommand{\executGiacmp}[1]{
\immediate\write18{giac  <#1 } }
\makeatother

\begin{VerbatimOut}{XCASjaptex.cxx}
testjap(n):={
ifte(n=="0","zero",
ifte(n=="1","\\jun",ifte(n=="2","\\jdeux",ifte(n=="3","\\jtrois",ifte(n=="4","\\jquatre",ifte(n=="5","\\jcinq",ifte(n=="6","\\jsix",ifte(n=="7","\\jsept",ifte(n=="8","\\jhuit","\\jneuf"))))))))
)
}:;

japtex(n):={
puis:=["","\\jdix","\\jcent","\\jmil","\\jdixmil","\\jcentmil","\\jmillion","\\jdixmillion","\\jcentmillion","\\jmilliard","\\jdixmilliard","\\jcentmilliard","\\jgiga"]
n:=string(n);
N:=NULL;for(j:=0;j<size(n);j++){N:=N,n[j]};N:=[N];
NN:=NULL;for(k:=0;k<size(N);k++){NN:=NN,ifte(testjap(N[k])=="zero","",concat(testjap(N[k]),puis[size(N)-k-1]))};
L:="":;for(k:=0;k<size(NN);k++){L:=concat(L,NN[k])};
return(L);
}:;

japop(L):={
local r,n,m,op;
n:=L[0];m:=L[1];op:=L[2];
r:=expr(n+op+m);
return(japtex(n)+"  "+op+"  "+japtex(m)+"  =  "+japtex(r));
}

\end{VerbatimOut}



\begin{VerbatimOut}{XCASjaptex.giac}
maple_mode(0);
read("XCASjaptex.cxx");
Sortie:=fopen("XCASjaptex.tex");
donnees:=read("XCASjaptex.user");
donnees:=donnees[0];
Resultat:=cat("japtex(",donnees);
Resultat:=cat(Resultat,");");
Resultat:=expr(Resultat);
fprint(Sortie,Unquoted,Resultat);
fclose(Sortie);
\end{VerbatimOut}

\newenvironment{japtex}
{\VerbatimEnvironment\begin{VerbatimOut}{XCASjaptex.user}}
{\end{VerbatimOut}
           \executGiacmp{XCASjaptex.giac}

\input{XCASjaptex}
}



\begin{VerbatimOut}{XCASjapop.giac}
maple_mode(0);
read("XCASjaptex.cxx");
Sortie:=fopen("XCASjapop.tex");
donnees:=read("XCASjapop.user");
Resultat:=cat("japop(",donnees);
Resultat:=cat(Resultat,");");
Resultat:=expr(Resultat);
fprint(Sortie,Unquoted,Resultat);
fclose(Sortie);
\end{VerbatimOut}

\newenvironment{japop}
{\VerbatimEnvironment\begin{VerbatimOut}{XCASjapop.user}}
{\end{VerbatimOut}
           \executGiacmp{XCASjapop.giac}

\input{XCASjapop}
}







\usepackage{tabularx}

%%%%%%% Colonne épaisse
\newcolumntype{I}{!{\vrule width 2pt}}

%%%%%%%%%%%%%%% ligne épaisse
\newlength\savedwidth
\newcommand\whline{\noalign{\global\savedwidth\arrayrulewidth
                                             \global\arrayrulewidth 2pt}%
                                 \hline
                                 \noalign{\global\arrayrulewidth\savedwidth}}




%%%%%%%%%%%%% entete tableau normal
\newcolumntype{N}[1]{  I@{\vrule height.5cm width0pt depth.2cm\hspace{.5cm}}c@{\hspace{.5cm}}I@{\vrule height.5cm width0pt depth.2cm\hspace{.5cm}}c@{\hspace{.5cm}}*#1{|@{\vrule height.5cm width0pt depth.2cm\hspace{.5cm}}c@{\hspace{.5cm}}}I  }

\setlength\extrarowheight{4pt}

\renewcommand\tabularxcolumn[1]{m{#1}}  % pour centrer verticalement
\newcolumntype{Z}{>{\centering\arraybackslash}X} % pour centrer horizontalement
\newcolumntype{Y}[1]{IcIZ*{#1}{|Z} I}


\newcommand{\vtabb}{\rule[-1.3em]{0pt}{4em}}







\newcommand\frbal[3]{\  {\Large{\textifsym{#1}}}\!\!\!
\raisebox{1ex}{\resizebox{8pt}{9pt}{$\frac{{\rm \textifsym{#2}}}{{\rm \textifsym{#3}}}$}}\,}

\usepackage{casio,ti83font,keystroke,xlop} 


\begin{document}
\setlength{\parindent}{0pt}
\thispagestyle{empty}




\begin{center}
  \fbox{\LARGE LA NUMÉRATION À TRAVERS LE TEMPS ET LA PLANÈTE}
\end{center}



\section{L'Égypte antique}
\subsection{Le système de numération de l'Égypte antique}

Les Égyptiens avaient très peu de signes (hiéroglyphes) pour compter ~:

\hun :~représente 1

\hdix :~représente 10

\hcent :~représente 100

\hmil :~représente 1000

\hdixmil :~représente 10000

\hcentmil :~représente 100000

\hmillion :~représente 1000000

\medskip

Leur système est dit «~additif~», comme les grecs et les romains~:~on «~additionne les signes~» pour
obtenir le nombre désiré. Par exemple, que représente~:
\begin{center}
 \hmil \hmil \hmil \hcent \hcent \hcent \hcent  \hcent \hcent \hcent \hcent \hcent \hdix \hdix \hdix
 \hdix \hdix \hdix \hdix \hun \hun\hun\hun\hun\hun\hun
\end{center}

Écrivez en égyptien~: 2008, 37612, 354.


\subsection{L'addition égyptienne}


Calculez :  \hcentmil \hcentmil \hcentmil \hcentmil  \hmil \hmil \hcent \hcent  \hcent \hcent \hcent
\hcent \hcent \hun \hun \hun \hun \hun \hun \hun \hun \hun \hun + \hmillion \hmillion \hmillion \hcentmil \hcentmil \hdixmil \hdixmil \hmil \hmil \hcent \hcent \hdix \hdix \hdix \hdix \hun \hun \hun \hun \hun \hun

puis lisez-le en français.

Inventez d'autres additions et faites-les calculer à votre voisin.


\subsection{La multiplication égyptienne}


Ce système n'est pas très pratique pour  multiplier les nombres. Les Égyptiens utilisaient une table
contenant une série de nombres : 

 \begin{center}
             \begin{tabular}{*{9}{|c}|}
	     \hline
             \hun & \hun \hun& \hun \hun \hun \hun & \hun \hun \hun \hun \hun \hun \hun \hun & \hdix \hun \hun \hun \hun
             \hun \hun & \hdix \hdix \hdix \hun \hun & \hdix \hdix \hdix \hdix \hdix \hdix \hun \hun
             \hun \hun & \hcent \hdix \hdix \hun \hun \hun \hun \hun \hun \hun \hun & \hcent \hcent \hdix \hdix \hdix \hdix \hdix \hun \hun \hun \hun \hun \hun \\
           %  \hcent \hcent \hcent \hcent \hcent \hdix \hun \hun & \hmil \hdix \hdix \hun \hun \hun \hun \\

             \hline
             \end{tabular}
             \end{center}

Par exemple, pour multiplier 235 par 53, ils écrivaient :

\hdix \hdix \hdix \hdix \hdix \hun \hun \hun = \hdix \hdix \hdix \hun \hun + \hdix \hun \hun \hun \hun
             \hun \hun + \hun \hun \hun \hun +\hun.

Ensuite ils dessinaient le tableau suivant : 

\begin{center}
             \begin{tabular}{*{3}{|l}|}
	     \hline
             \XSolidBrush & \hun & \hcent \hcent \hdix \hdix \hdix \hun \hun \hun \hun \hun\\
                   & \hun \hun & \hcent \hcent\hcent \hcent\hdix \hdix \hdix\hdix \hdix \hdix\hdix\\
              \XSolidBrush   &   \hun   \hun\hun   \hun&   \hcent   \hcent\hcent\hcent   \hcent\hcent\hcent
              \hcent\hcent\hdix \hdix \hdix\hdix\\
                   &  \hun \hun\hun  \hun\hun \hun\hun  \hun& \hmil  \hcent \hcent\hcent\hcent\hcent
                   \hcent\hcent\hcent \hdix \hdix \hdix\hdix\hdix \hdix \hdix\hdix\\
              \XSolidBrush & \hdix \hun \hun\hun\hun \hun\hun&\hmil\hmil\hmil \hcent \hcent\hcent\hcent\hcent
                   \hcent\hcent \hdix \hdix \hdix\hdix\hdix \hdix\\
              \XSolidBrush     &    \hdix\hdix\hdix  \hun\hun   &     \hmil\hmil\hmil\hmil\hmil\hmil\hmil    \hcent
              \hcent\hcent\hcent\hcent\hdix\hdix\\

             \hline
             \end{tabular}
             \end{center}

Ensuite, il  suffit d'additionner les cases  marquées d'un \XSolidBrush. Pouvez-vous  dire pourquoi ?
Posez d'autres multiplication à votre voisin.

Est-ce un moyen très efficace de multiplier ?



\subsection{La division égyptienne}

Observez la division posée de 65 par 5~:

\begin{center}
             \begin{tabular}{*{3}{|l}|}
	     \hline
              & \hdix \hdix\hdix \hdix\hdix \hdix \hun\hun\hun \hun\hun & \hun\hun\hun \hun\hun \\
              \hline
 \XSolidBrush & \hun & \hun\hun\hun \hun\hun \\
              & \hun \hun & \hdix \\
 \XSolidBrush & \hun \hun\hun \hun & \hdix\hdix\\
\XSolidBrush & \hun \hun\hun \hun\hun \hun\hun \hun & \hdix\hdix\hdix\hdix\\

\hline
             \end{tabular}
             \end{center}

Expliquez la méthode et proposez des divisions à votre voisin (pas trop compliquées...).


\subsection{les fractions égyptiennes}

D'après la religion égyptienne, le dieu Horus (à tête de Faucon) se battit contre son oncle Seth. Au
cours du  combat, Seth arracha un  \oe il à Horus,  le coupa en six  et jeta les  morceaux à travers
l'Égypte. Le  dieu Toth (à tête  d'ibis) se chargea de  récupérer les morceaux et  de les rassembler
pour former le schéma suivant~:

\begin{center}
  \includegraphics[height=4.5cm]{oeilhorus.pdf}
\end{center}


Y a-t-il un problème~?

Les fractions avec dénominateur 64 étaient utilisées pour mesurer les volumes.

Les Égyptiens utilisaient d'autres fractions, mais toujours  avec un numérateur égal à 1 en écrivant
les dénominateurs sous une sorte d'\oe il.

\medskip

Tout ça est un peu compliqué...

\section{Numération de «~La Belle Hélène~»}


Plus tard, de l'autre côté de la Méditerranée, les Grecs avaient adopté un système du même type :

\begin{itemize}
\item 2 se note \ath{2}
\item 5 se note \ath{5}
\item 9 se note \ath{9}
\item 17 se note \ath{17}
\item 43 se note \ath{43}
\item 438 se note \ath{438}
\item 782 se note \ath{782}
\item 1997 se note \ath{1997}
\item 6284 se note \ath{6284}
\end{itemize}



Arrivez-vous à en percer le secret~? À quel autre système cela vous fait-il penser~?

Calchas a gagné 286 mines au jeu de l'oie : écrivez ce nombre... à la manière de Calchas.

Écrivez votre date de naissance en Athénien.

Proposez des nombres à vos voisins.

\section{Babylone}

\subsection{La numération babylonienne}

Tout à côté de l'Égypte, à la même époque à Babylone, apparut un autre système de numération. La
forme d'abord était différente car les Babyloniens utilisaient des tablettes et des poinçons au lieu
de papyrus et de pinceaux. Il y avait principalement deux caractères~:~\babun et \babdix.

Pour compter jusqu'à 59, le système fonctionne comme en  Égypte et plus tard en Grèce et à Rome : on
ajoute la valeurs  des signes écrits. Ainsi \babdix\babdeux correspond  à 12, \babquarante\babhuit à
48.

Lisez les nombres suivants~:~\babtrente\babhuit ; \babcinquante\babtrois ; \babvingt\babneuf.

Proposez d'autres exemples à vos voisins.



\medskip

À partir  de 60, la  numération ressemble  plus à la  nôtre car elle  devient «~positionnelle~»~:~en
effet, la valeur d'un signe dépend de sa position par rapport aux autres.

Ainsi, 63 s'écrit \babun \ \babtrois, c'est-à-dire 1 fois 60 plus 3 fois 1.

De même, \babtrois \ \babvingt\babtrois correspond à $3\times60+23=203$

Enfin \babdeux\ \babdix\babneuf  \ \babtrente\babcinq correspond à 2  soixantaines de soixantaines +
19 soixantaines +35, c'est-à-dire~?

\medskip 

Proposez d'autres nombres à vos voisins. 


\medskip


Que pensez-vous de cette opération~: \babdix\babcinq + \babquarante\babcinq = \babun ~?

Et de celle-ci~: \babdeux $\times$ \babun\babtrente $=$ \babtrois~ ?

Est-ce que ça ne vous rappelle pas quelque chose~?


\subsection{Multiplication et division babyloniennes}

Nous n'explorerons pas ces opérations car elles  sont un peu compliquées à comprendre en CM2. Sachez
tout de même que les petits Babyloniens devaient apprendre beaucoup de tables de multiplications qui
ressemblaient à ce
% \begin{center}
%   \includegraphics[height=5cm]{tablebab1.pdf}
% \end{center}
% et avaient des sortes de bouliers à leur disposition. 
% Voici un
«~cahier~» d'écolier~:~de quelle table s'agit-il~?

\begin{center}
  \includegraphics[width=.75\linewidth]{tablebab2.pdf}
\end{center}




\section{Les Mayas}

\subsection{Numération}

Les Mayas ont vécu en Amérique centrale depuis  la nuit des temps jusqu'à la conquête espagnole. Ils
ont été parmi les premiers  (si ce n'est les premiers) à utiliser un zéro  à partir du IV\eme siècle
après JC, 1100 ans avant les Européens~! Leur système de numération était totalement «~positionnel~»
est ressemble  donc au  nôtre mais  leur nombre de  «~base~» était  vingt au lieu  de dix  pour nous
(peut-être parce qu'ils n'avaient pas oublié leurs dix doigts de pied...).

Essayez  de décrire  leur  système de  numération sachant  que~:  6 s'écrit  $\maya{6}$, 13  s'écrit
$\maya{13}$, 24  s'écrit $\maya{24}$,  30 s'écrit $\maya{30}$,  65 s'écrit $\maya{65}$,  232 s'écrit
$\maya{232}$, 400 s'écrit $\maya{400}$, 512 s'écrit $\maya{512}$, 8600 s'écrit $\maya{8600}$.

Proposez des nombres à écrire à vos voisins.


\subsection{Parlons yucatèque}

 \begin{center}
             \begin{tabular}{*{5}{|l}|}
	     \hline
\vtabb  Hun~:  $\maya{1}$&

  Ca~:   $\maya{2}$&

  Ox~:   $\maya{3}$&

  Can~:  $\maya{4}$&

  Ho~:  $\maya{5}$\\

\hline

\vtabb  Uac~:  $\maya{6}$&

  Uuc~:  $\maya{7}$&

  Uaxac~:  $\maya{8}$&

  Bolon~:  $\maya{9}$&

  Lahun~:  $\maya{10}$\\


\hline

\vtabb  Buluc~:  $\maya{11}$&

  Lahca~:  $\maya{12}$&

  Oxlahun~:  $\maya{13}$&

  Canlahun~:  $\maya{14}$&

  Holhun~:  $\maya{15}$\\

\hline 

\vtabb Uaclahun~:  $\maya{16}$&

  Uuclahun~:  $\maya{17}$&

  Uaxaclahun~:  $\maya{18}$&

  Bolonlahun~:  $\maya{19}$&

       

  Hunkal~:  $\maya{20}$\\

\hline

\vtabb  Huntukal~:  $\maya{21}$&

  Catukal~:  $\maya{22}$&

  Oxtukal~:  $\maya{23}$&

  Cantukal~:  $\maya{24}$&

  Hotukal~:  $\maya{25}$\\


\hline

\vtabb  Cakal~:  $\maya{40}$&

  Huntuyoxkal~:  $\maya{41}$&

  Catuyoxkal~:  $\maya{42}$&

  Oxtuyoxkal~:  $\maya{43}$&

  Cantuyoxkal~:  $\maya{44}$\\



\hline


% \vtabb  Hotuyoxkal~:  $\maya{45}$&

  
       
%   Oxkal~:  $\maya{60}$&

%   Huntucankal~:  $\maya{61}$&

%   Catucankal~:  $\maya{62}$&

%   Oxtucankal~:  $\maya{63}$\\


% \hline

% \vtabb  Cantucankal~:  $\maya{64}$&

%   Hotucankal~:  $\maya{65}$&


 
%   Cankal~:  $\maya{80}$&

%   Hutuyokal~:  $\maya{81}$&

%   Catuyokal~:  $\maya{82}$\\


% \hline


% \vtabb  Oxtuyokal~:  $\maya{83}$&

%   Cantuyokal~:  $\maya{84}$&

%   Hotuyokal~:  $\maya{85}$&
 
%   Hokal~:  $\maya{100}$&

%   Huntu uackal~: $\maya{101}$\\

% \hline

   \end{tabular}
             \end{center}


\subsection{La «~cinquième opération~»}

Regardons comment s'écrit 35 : \emph{  holhucakal}.  On peutle décomposer en ho.lahun ti+u-ca-KAL ce
qui se
traduit mot à mot par : «~15 vers 2\eme vingt~».

 Ces formes font apparaître la spécificité des numérations mayas parlées précolombiennes, à savoir que les Mayas disposaient d'une opération que nous ne connaissons pas dans notre arithmétique. Une opération qui donne le résultat 35 quand on la fait porter sur les arguments 15 et 40 (ca-KAL est aussi le nom de quarante).


Appelons-la «~mayation~»~:~que  donne la  mayation de  $\maya{5}$ et $\maya{60}$~?  de $\maya{16}$  et $\maya{120}$~?  Proposez d'autres
opérations à vos voisins.





%\pagebreak

\section{La numération sino-japonaise}


\subsection{Un peu d'Histoire}

La numération  que nous allons découvrir est  née en Chine... il  y a très longtemps,  sûrement à la
même époque  qu'en Égypte.  Cependant, bien avant  tout les autres, ils  ont adopté un système en  base 10 tout à  fait similaire à celui  que nous utilisons
actuellement.  Ils ont  ainsi  découvert  bien avant  nous  bon nombre  de  résultats  grâce à  leur
numération \og moderne\fg.

Les Grecs, quant à  eux, ne disposant que d'un système fort peu pratique,  se sont plutôt concentré sur
la géométrie.  Ce n'est  qu'au XV\eme que  les barrières  religieuses et d'usage  ont été  levées en
Europe pour enfin  adopter une numération décimale  entre temps modernisée par les  Indiens puis les
Arabes à la suite des Chinois.

Il existe deux grands  système de numération en Chine. Nous étudierons le  plus ancien afin de mieux
comprendre notre propre système. Le deuxième est trop proche du nôtre (en utilisant des
bâtons) pour nous permettre une approche différente.

\subsection{Comptons}

Essayez  de deviner  comment  on écrit  les nombres  en  Chine et  au  Japon à  partir des  éléments
suivants :

\begin{itemize}
\item 7 s'écrit \jsept
\item 20 s'écrit \jdeux \jdix
\item 24 s'écrit \jdeux \jdix \jquatre
\item 26 s'écrit \jdeux \jdix \jsix
\item 40 s'écrit \jquatre\jdix
\item 75 s'écrit \jsept\jdix \jcinq
\item 11 s'écrit \jdix \jun
\item 98 s'écrit \jneuf\jdix\jhuit
\item 308 s'écrit \jtrois \jcent \jhuit au Japon et \jtrois \jcent \jzero\jhuit en Chine
\item 3008 s'écrit \jtrois \jmil \jhuit au Japon et \jtrois \jmil \jzero\jhuit en Chine
\item 30008 s'écrit \jtrois \jdixmil \jhuit  au Japon et \jtrois \jdixmil \jzero\jhuit en Chine
\item 0,3 s'écrit \jtrois \jdixiem
\item 0,03 s'écrit \jtrois \jcentiem
\item 0,003 s'écrit \jtrois \jmiliem
\end{itemize}


Proposez des nombres à vos voisins.


Que pensez-vous de ce calcul~:


\begin{japop}
8250,7054,"+"
\end{japop}


et de celui-ci~:

\begin{japop}
8,12,"*"
\end{japop}

ou encore de celui-là~:

\begin{japop}
128,4,"/"
\end{japop}


\section{La numération... des ordinateurs}

Peut-être savez-vous que les ordinateurs parlent en «~binaire~»~:~voyons ce que cela veut dire.

Par exemple, comptons de zéro à six en binaire~:

0 - 1 - 10 - 11 - 100 - 101 - 110 

Continuez à compter en binaire jusqu'à douze~?

Que pensez-vous de cette phrase~:

«~Le monde se sépare en 10 catégories~:~ceux qui comprennent cette phrase et les autres...~»

\section{Le code bibinaire}

\parpic{\fbox{\includegraphics[height=4cm]{bobybouf.jpg}}}
Boby \textsc{Lapointe},  célèbre chanteur  français, était aussi  mathématicien à ses  heures. Ayant
trouvé le code binaire trop compliqué à utiliser, il  inventa le code... bibinaire (il y a un jeu de
mot caché). Il  suffit de remplacer les chiffres  par des lettres. On commence par  couper le nombre
écrit en  binaire en  paquets de 2.  S'il y a  un nombre impair  de chiffres,  on rajoute un  zéro à
gauche, ce qui ne  modifie pas la valeur de nombre (expliquez pourquoi).  On commence par le premier
groupe de deux chiffres le plus à droite. On remplace 00 par O, 01 par A, 10 par E, 11 par I.\\
Puis on prend le paquet de deux chiffres suivants en se déplaçant de droite à gauche. On remplace 00
par H, 01 par B, 10 par K, 11 par D.\\
Pour le paquet suivant, on recommence avec les  voyelles. S'il y a encore un groupe, on remplace par
une consonne, etc.


\begin{enumerate}

\item Écrivez les nombres de 0 à 31 en bibinaire.\\
\item Récitez la table de multiplication par HI en bibinaire.
\item Quelle est la base du bibinaire~?
\item Pour les curieux : écrivez 1177 en bibinaire.
\item Écrivez KEKIDIBIBI en numération décimale et également KEBOKADO.
\item Pour les très curieux : quel est le plus grand nombre qu'on peut écrire avec six lettres en bibinaire~?

\end{enumerate}
\section{La numération des Mickeys}


Vous savez que Mickey n'a que quatre doigts à  chaque main. Il ne dispose donc que de huit chiffres,
de zéro jusqu'à sept...

Mickey aime pédaler : combien a-t-il de vélos dans son garage~?

{\LARGE \Bicycle\Bicycle\Bicycle\Bicycle\Bicycle\Bicycle\Bicycle\Bicycle\Bicycle\Bicycle\Bicycle\Bicycle}


Mickey aime jouer au football: combien a-t-il de ballons dans son garage~?

{\LARGE
  \Football\Football\Football\Football\Football\Football\Football\Football\Football\Football\Football
  \Football\Football\Football\Football\Football\Football\Football\Football\Football\Football\Football }


\section{Notion de base}

\subsection{Les bases à travers les âges}

Il  est temps  de dresser  un petit  bilan de  toutes ces  activités~:~dans chacune  des numérations
étudiées précisez
\begin{itemize}
\item quelle est la base utilisé~?
\item est-ce que la position des «~chiffres~» est importante~?
\item quelle est l'opération qui permet d'obtenir la valeur du nombre à partir de son écriture~?
\end{itemize}

Effectuez maintenant la multiplication  par 10 puis par 100  des nombres suivants dans
chacune des numérations~:

\begin{itemize}
\item le nombre de vos doigts de pieds et de main;
\item votre année de naissance;
\item le nombre d'habitants de Rezé.
\end{itemize}

Faites de même avec une multiplication par 2, puis avec une multiplication par 20 et enfin par 60.

Quels commentaires cela vous inspire-t-il~?



\subsection{Les billets de banque}

Regardez un billet de 20 euros. Il comporte un numéro... en face du Portugal.

\begin{center}
  \includegraphics[width=0.5\textwidth]{billeteuro.jpg}
\end{center}

Il y a en fait une lettre et onze chiffres. On remplace la lettre par son rang dans l'alphabet. Ici,
U est la 21\eme lettre. Donc le numéro est en fait \[2\,119\,586\,900\,453\]. Il faut savoir que les
numéros des billets conçus par la Banque de France ont un reste dans la division par 9 toujours égal
à 8. Vérifiez le sur ce billet. Connaissez-vous un moyen de le vérifier rapidement~? Sauriez-vous le
prouver~?


Regardez cet autre billet~:

\begin{center}
  \includegraphics[width=0.3\textwidth]{billetfaux.pdf}
\end{center}

Que vous inspire-t-il~?


















\section{Les nombres non-entiers}

\begin{enumerate}


\item Écrivez 308; 30,8; 3,08; 0,308 en japonais et de même avec 38; 3,8; 0,38; 0,038;



\item Lisez puis écrivez  ces mêmes nombres avec «~nos chiffres à nous~» sans utiliser de virgule : comment
faire ?

\item Effectuez les calculs suivants «~en japonais~» : 

  \begin{itemize}
  
\item \emph{3 virgule 15 plus 3 virgule 5}
\item \emph{3 virgule zéro quatre plus 3 virgule zéro six}
  \end{itemize}




\item Remplissez le tableau suivant~:


\begin{center}
             \begin{tabularx}{\textwidth}{Y{8}}
	     \whline
             Nombre & Chiffre des  unités & Nombre d'unités & nombre entier  d'unités & chiffres des
             centaines & Nombre de centaines & Nombre entier de centaines & chiffres des
             dixièmes & Nombre de dixièmes & Nombre entier de dixièmes\\

\whline

543,5 &&&&&&&&&\\
\hline
908,72 &&&&&&&&&\\
\hline
7665,093 &&&&&&&&&\\
\hline
20,45 &&&&&&&&&\\
\hline
40000 &&&&&&&&&\\

             \whline
             \end{tabularx}
             \end{center}
\item Et celui-ci~:



\begin{center}
             \begin{tabularx}{\textwidth}{Y{3}}
	     \whline
             $5,42$&$5+\frac{4}{10}+\frac{2}{100}$&$\frac{542}{100}$&    $5+\frac{42}{100}$&    cinq
             unités et quarante-deux centièmes\\
\whline
$4,518$&&&&\\
\whline
&$16+\frac{7}{100}+\frac{3}{1000}$&&&\\
\whline
&&$\frac{324}{100}$&&\\
\whline
&&&&douze millièmes\\

             \whline
             \end{tabularx}
             \end{center}




\section{Les mesures de masse anglo-saxonnes}

L'unité de base anglaise pour mesurer les masses est la livre «~\emph{pound}~»
dont l'abbréviation est en toute logique anglaise \textbf{lb}...

Une  livre correspond  \emph{environ} à  453,49g. Pour  des mesures  plus fines,  on  utilise l'once
«~\emph{ounce}~» (\textbf{oz}) qui vaut $\frac{1}{16}$lb et le dram (\textbf{dr})
qui vaut $\frac{1}{16}$oz.

Pour des  mesures plus importantes, on  utilise les pierres  «~\emph{stone}~» (\textbf{st}) sachant
que 1st$=14$lb.

Combien pesez-vous~?

Vous   pesez   votre    panier   rempli   de   pommes   et    la   balance   indique \frbal{2}{3}{8}lb~:~qu'est-ce que ça signifie~?

Et si vous trouvez \frbal{3}{5}{16}oz de diamant dans votre jardin~?



\section{Des nombres que la calculatrice n'aime pas...}

Si vous tapez \CUn \CDiv \CTrois  \ sur votre calculatrice, vous obtenez \textifsym{0.333333333}. Si
j'utilise un ordinateur avec un logiciel de calcul adapté, j'obtiens~:

\texttt{
0.333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333\\
333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333\\
333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333\\
333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333\\
333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333\\
333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333\\
333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333\\
333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333\\
333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333\\
333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333\\
333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333}

Qu'est-ce que vous en pensez~?




Vous savez aussi que  la longueur d'un cercle de diamètre 1cm  vaut $\pi$cm. Certaines calculatrices
ont une touche \keystroke{$\pi$}. On obtient à l'écran \textifsym{3.141592654}. 
Avec un logiciel de
calcul, on obtient

\texttt{
\ \ \ \ \ \ \ 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998\\
6280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811174502841027019385\\
2110555964462294895493038196442881097566593344612847564823378678316527120190914564856692346\\
0348610454326648213393607260249141273724587006606315588174881520920962829254091715364367892\\
5903600113305305488204665213841469519415116094330572703657595919530921861173819326117931051\\
1854807446237996274956735188575272489122793818301194912983367336244065664308602139494639522\\
4737190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132000568127145263560827785771\\
3427577896091736371787214684409012249534301465495853710507922796892589235420199561121290219\\
6086403441815981362977477130996051870721134999999837297804995105973173281609631859502445945\\
5346908302642522308253344685035261931188171010003137838752886587533208381420617177669147303\\
5982534904287554687311595628638823537875937519577818577805321712268066130019278766111959092\\
1642019893809525720106548586327886593615338182796823030195203530185296899577362259941389124\\
9721775283479131515574857242454150695950829533116861727855889075098381754637464939319255060\\
4009277016711390098488240128583616035637076601047101819429555961989467678374494482553797747\\
2684710404753464620804668425906949129331367702898915210475216205696602405803815019351125338\\
2430035587640247496473263914199272604269922796782354781636009341721641219924586315030286182\\
9745557067498385054945885869269956909272107975093029553211653449872027559602364806654991198\\
8183479775356636980742654252786255181841757467289097777279380008164706001614524919217321721\\
4772350141441973568548161361157352552133475741849468438523323907394143334547762416862518983\\
5694855620992192221842725502542568876717904946016534668049886272327917860857843838279679766\\
8145410095388378636095068006422512520511739298489608412848862694560424196528502221066118630\\
6744278622039194945047123713786960956364371917287467764657573962413890865832645995813390478\\
0275900994657640789512694683983525957098258226205224894077267194782684826014769909026401363\\
9443745530506820349625245174939965143142980919065925093722169646151570985838741059788595977\\
2975498930161753928468138268683868942774155991855925245953959431049972524680845987273644695\\
8486538367362226260991246080512438843904512441365497627807977156914359977001296160894416948\\
6855584840635342207222582848864815845602850601684273945226746767889525213852254995466672782\\
3986456596116354886230577456498035593634568174324112515076069479451096596094025228879710893\\
1456691368672287489405601015033086179286809208747609178249385890097149096759852613655497818\\
9312978482168299894872265880485756401427047755513237964145152374623436454285844479526586782\\
1051141354735739523113427166102135969536231442952484937187110145765403590279934403742007310\\
5785390621983874478084784896833214457138687519435064302184531910484810053706146806749192781\\
9119793995206141966342875444064374512371819217999839101591956181467514269123974894090718649\\
4231961567945208095146550225231603881930142093762137855956638937787083039069792077346722182\\
5625996615014215030680384477345492026054146659252014974428507325186660021324340881907104863\\
3173464965145390579626856100550810665879699816357473638405257145910289706414011097120628043\\
9039759515677157700420337869936007230558763176359421873125147120532928191826186125867321579\\
1984148488291644706095752706957220917567116722910981690915280173506712748583222871835209353\\
9657251210835791513698820914442100675103346711031412671113699086585163983150197016515116851\\
7143765761835155650884909989859982387345528331635507647918535893226185489632132933089857064\\
2046752590709154814165498594616371802709819943099244889575712828905923233260972997120844335\\
7326548938239119325974636673058360414281388303203824903758985243744170291327656180937734440\\
3070746921120191302033038019762110110044929321516084244485963766983895228684783123552658213\\
1449576857262433441893039686426243410773226978028073189154411010446823252716201052652272111\\
6603966655730925471105578537634668206531098965269186205647693125705863566201855810072936065\\
9876486117910453348850346113657686753249441668039626579787718556084552965412665408530614344\\
4318586769751456614068007002378776591344017127494704205622305389945613140711270004078547332\\
6993908145466464588079727082668306343285878569830523580893306575740679545716377525420211495\\
5761581400250126228594130216471550979259230990796547376125517656751357517829666454779174501\\
1299614890304639947132962107340437518957359614589019389713111790429782856475032031986915140\\
2870808599048010941214722131794764777262241425485454033215718530614228813758504306332175182\\
9798662237172159160771669254748738986654949450114654062843366393790039769265672146385306736\\
0965712091807638327166416274888800786925602902284721040317211860820419000422966171196377921\\
3375751149595015660496318629472654736425230817703675159067350235072835405670403867435136222\\
2477158915049530984448933309634087807693259939780541934144737744184263129860809988868741326}


Qu'en pensez-vous~?





\section{Famille de nombres}

Comment classer les nombres que l'on connaît en CM2~?





\section{La division euclidienne}


Que vous inspire ce dessin~:

\begin{center}
  \includegraphics[width=.75\linewidth]{Nombres.pdf}
\end{center}



et celui-ci~:



\opidiv[displayintermediary=all,voperation=top]{37}{4}







\nocite{*}
\bibliography{athnum}




\end{enumerate}








%\section{Remerciements}



\end{document}

