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\entete{\large \bfseries Bac Pro}{\normalsize\textsf{\rightmark}}{Lycée Jean \textsc{Perrin} - }%g,d,b


\renewcommand\thesubsection{\Alph{subsection} - }



\begin{document}
\setlength{\parindent}{0pt}
\thispagestyle{empty}


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\begin{minipage}{\textwidth}
\smallskip
{\LARGE\bfseries \sffamily \begin{center} \textsc{Taylor} et les approximations polynomiales\end{center}}
\smallskip
\end{minipage}
}
\vspace{1cm}

\begin{multicols}{2}

\subsection{Conventions}

Soit $I$ un intervalle quelconque de $\bbr$.

Nous dirons qu'une fonction est deux fois dérivable sur I si sa dérivée est
elle-même dérivable sur I.

Nous noterons $f^{(1)}$ la dérivée d'une fonction $f$ dérivable sur $I$,
$f^{(2)}$  la dérivée  de $f^{(1)}$  et plus  généralement  $f^{(n)}$ la
dérivée de $f^{(n-1)}$.

Par convention, $f^{(0)}$ désignera $f$.

Nous dirons qu'une  fonction est $n$ fois dérivable sur  I si sa dérivée
$n-1$-eme est elle-même dérivable sur I.

\medskip

Soit $n$ un entier naturel. On désigne par $n!$ le nombre ~:

\[n!=1\times2\times3\times4\times\cdots\times(n-1)\times n\]

Par exemple, $5!=1\times2\times3\times4\times5=120$.

Par convention, $0!=1$.

\medskip

Soit $f$ une fonction $n$ fois  dérivable sur I.  Soit $a$ un élément de
I. Pour tout réel $x$, on définira le
\emph{polynôme de \textscsl{Taylor} en $a$ à l'ordre $n$} par la relation~:

\[T_{n,a}(f)(x)=\frac{f^{(0)}(a)}{0!}(x-a)^0+\frac{f^{(1)}(a)}{1!}(x-a)^1+\frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n\]


\subsection{Cas de l'ordre 1}

Soit $f$ une fonction dérivable sur $I$.

Simplifiez l'écriture de $T_{1,a}(f)(x)$. Ça vous dit quelque chose~?

Sur un  même graphique, donnez  l'allure des courbes  représentatives de
$f$  et de $T_{1,-\frac{1}{2}}(f)$  avec $f~:~x\mapsto-\frac{1}{2}x^2+2$
en vous aidant de la calculatrice ou d'un ordinateur.

\subsection{Cas des fonctions polynomiales}

Soit P la fonction définie sur $\bbr$ par $P(x)=7x^4-3x^2+5x-12$.

Calculez $P(2)$.

Donnez le  développement de \textsc{Taylor} en  2 à l'ordre 3  de P puis
à l'ordre 57.


\subsection{Cas des fonctions homographiques}

Une  fonction  homographique est  une  fonction  de  la forme  $x\mapsto
\dfrac{ax+b}{cx+d}$ avec $a$, $b$, $c$ et $d$ des réels.


Notons $g$ la fonction homographique correspondant au cas $a=0$, $b=d=1$
et $c=-1$.

Quel est l'ensemble de définition de $g$~? 

Calculez $g^{(1)}(x)$,  $g^{(2)}(x)$, $g^{(3)}(x)$  et plus
généralement $g^{(n)}(x)$.

Écrivez le plus simplement possible $T_{5,0}(g)(x)$. 




Sur un  même graphique, donnez  l'allure des courbes  représentatives de
$g$  et  de $T_{5,0}(g)$  en  vous aidant  de  la  calculatrice ou  d'un
ordinateur.



\medskip


Soit $h(x)=\dfrac{5-3x}{1-x}$. Montrez  qu'il existe deux réels $\alpha$
et $\beta$ tels que $h(x)=\alpha+\dfrac{\beta}{1-x}$.

Déduisez-en $T_{5,0}(h)(x)$ pour $x$ appartenant à un bon intervalle.


\subsection{Cas des fonctions trigonométriques}

Soit $f(x)=\sin(x)$.

Calculez $f^{(1)}(x)$, $f^{(2)}(x)$, $f^{(3)}(x)$, $f^{(4)}(x)$ et plus
généralement $f^{(n)}(x)$.


Écrivez le plus simplement possible $T_{5,0}(f)(x)$.




Sur un  même graphique, donnez  l'allure des courbes  représentatives de
$f$  et  de $T_{5,0}(f)$  en  vous aidant  de  la  calculatrice ou  d'un
ordinateur.


\medskip


Faites de même avec $g(x)=\cos(x)$.


\medskip

On pose $h(x)=\tan(x)$. Déterminez $T_{4,0}(h)(x)$.


\subsection{Cas des fonctions irrationnelles}

On pose $\varphi(x)=\sqrt{1+x}$

Répondez aux questions habituelles.

\subsection{Approximation locale ou globale~?}

En  utilisant les  termes  \og global\fg{}  et  \og local\fg{},  comment
classeriez-vous les fonctions étudiées précédemment et leurs approximations polynomiales~?


\end{multicols}



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