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\begin{document}
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\Enc{Les suites}{0.9white}{2} % titre,couleur,taille h


\section{Définition}

Pour faire court, on pourrait se contenter de dire 

\index{limite!de suite |(}



\begin{Defi}[Suite numérique]

  Une suite numérique réelle est une fonction de $\bbn$ vers $\bbr$
\end{Defi}


Mais développons un peu.  Considérons par exemple la suite définie par\footnote{On dit aussi de terme général $u_n=\sqrt{2n+1}$}\index{terme général} $u_{n}=\sqrt{2n+1}$.

La suite $\mg u$ qu'on note encore
$(u_n)_{n\in\bbn}$ ou même $(u_n)$, est la fonction qui, à n'importe quel
\textbf{entier} $n$ associe le \textbf{réel} $\sqrt{2n+1}$


On pourra donc parler de \emph{limite} de la suite $(u_n)$, c'est à dire $\lin \sqrt{2n+1}$


Si ce n'est qu'une fonction, pourquoi lui avoir donné un nom spécial ?  

\section{Inerprétation physique}

Enfilons une blouse :
et hop ! Nous voici devenus physiciens (~ enfin presque...~ ).

Laissons tomber un objet dans un tube où nous
avons au préalable fait le vide. Notons $h_n$ la distance parcourue par l'objet au bout de $n$ secondes~:

$h_0=0$m, $h_1=4,9$m, $h_2=19,6$m, $h_3=44,1$m, $h_4=78,4$m.

Avec un bon sens de l'observation, nous remarquons que 

$$h_n\simeq \fr{1}{2}gn^2$$
avec $g\simeq 9,81\text{ms}^{-2}$ et $n$ le \textit{rang} de la mesure
correspondant ici au nombre de secondes écoulées depuis le début
de la chute.

Nous avons ainsi tout naturellement construit une $suite$ de
mesures qui est en fait une suite numérique de \textit{terme
général} $h_n=4,905n^2$.



 Aurait-il été plus simple de noter $h(t)=4,905t^2$ avec $t$ le
temps en secondes et $h(t)$ la hauteur en mètres~?

 Attention ! Nous avons pris des mesures chaque seconde. Rien
ne nous dit qu'entre chaque mesure il ne se passe pas des choses
extrêmement bizarres. Bien sûr le physicien généralisera le
résultat à n'importe quelle valeur de $t$, entière ou non, car il
a en poche des lois qui le lui permettent : il passe naturellement
du $discret$ au $continu$

Hors d'un contexte physique, un mathématicien aura besoin d'être
convaincu avant de pouvoir généraliser

Considérez par exemple la suite de terme général

$$u_n=\sin(n\pi)$$

En fait, $u_n$ est toujours nul.

 Considérez maintenant la fonction définie pour tout réel $t$
par $f(t)=\sin(t\pi)$...

Par exemple $f(1/2)=\sin(\pi/2)=1$ donc la
fonction $f$ n'est pas nulle partout.

 Imaginez un physicien prenant chaque seconde des mesures d'un
phénomène obéissant à cette loi\footnote{par exemple une onde se
propageant à la surface de l'eau}: il pourrait conclure qu'après
avoir jeté un caillou dans l'eau, la surface reste immobile...

Pour en revenir à nos moutons, une suite numérique peut apparaître
comme une <<~suite de mesures~>> à intervalles de temps réguliers :
garder cette image en tête pourra peut-être vous aider à mieux
appréhender l'étude des suites.




\section{Suites arithmétiques}

\begin{Defi}[Suite arithmétique]
Une suite  $(u_n)$ est  arithmétique lorsqu'il  existe un réel  $b$ tel  que, pour  tout $n\in\bbn$,
$$u_{n+1}=u_n+b$$ On appelle $b$ la raison de la suite

\end{Defi}

Les propriétés suivantes seront admises

\begin{Pro}
  \'Etant donné une suite arithmétique de raison $b$\bel
\item $\forall n \in\bbn$, $u_n=u_0+nb$
\item $\ds\sum_{k=0}^{n}u_k=\fr{\text{nombre de termes}\times(\text{1er terme+dernier terme})}{2}=\fr{(n+1)(u_0+u_n)}{2}$
\el
\end{Pro}




En particulier $\ds\sum_{k=0}^nk=\fr{n(n+1)}{2}$ pour tout $n\in\bbn$.

\section{Suites géométriques}


\begin{Defi}[Suite géométrique]

Une  suite $(u_n)$  est géométrique  lorsqu'il existe  un réel  $a$ tel  que, pour  tout $n\in\bbn$,
$$u_{n+1}=a\cdot u_n$$ On appelle $a$ la raison de la suite
\end{Defi}

Les propriétés seront admises.


\begin{Pro}
  \'Etant donné une suite géométrique de raison $a$\bel
\item $\forall n \in\bbn$, $u_n=u_0\cdot a^n$
\item Si $a\neq 1$, $\ds\sum_{k=0}^{n}u_k=\text{premier terme}\times\fr{1-\text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1-\text{raison}}=u_0\fr{1-a^{n+1}}{1-a}$
\el
\end{Pro}



En particulier $\ds\sum_{k=0}^nq^k=\fr{1-q^{k+1}}{1-q}$ pour tout $n\in\bbn$ et tout réel $q\neq 1$.


On utilise souvent le théorème suivant

\begin{The}[ Convergence  des suites géométriques ]
  Une suite géométrique  $(u_n)$ de raison POSITIVE
  $a$ converge si et seulement si $a\ie1$ 
\bel
 \item Pour $0\ie a<1$, $\lin u_n=0$
\item Pour $a>1$, $\lin u_n=+\infty$
\item Pour $a=1$, $(u_n)$ est constante.
\el
\end{The}






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