\input{makcyber}

 \setlength{\parindent}{0pt}


\LECOND{XXIII}{Vingt-troisième}{ }{ SECTIONS PLANES \\ \bigskip DE SURFACE }{SECTIONS PLANES DE
SURFACES}{slipmoebius.eps}



%\begin{flushleft}

\begin{Abstract}

Pour la dernière, nous allons découvrir les fonctions de deux variables réelles. En gagnant une
variable, la représentation graphique gagne aussi une dimension pour devenir une surface. Mais
n'ayez pas peur~! Le contenu reste modeste~:~nous ne ferons qu'effleurer les problèmes...enfin
presque, vous commencez à être habitué(e)s.

\end{Abstract}


\SECTION{FONCTIONS DE DEUX VARIABLES}{Fonctions de deux variables}

\SUBSECTION{Déjà vu...}


\pro Avant de nous quitter, découvrons ensemble une dernière notion mathématique : il sera ensuite
temps pour vous de voler de vos propres ailes.

\tsx Quel déchirement \oe dipien !

\pro J'en pleure d'avance...Bon, souvenez-vous, vous étiez à l'école primaire et vous découvriez
l'aire d'un rectangle.

\tsx Longueur fois largeur !

\pro Impressionnant~! D'autant plus que vous travailliez déjà à cette heureuse époque avec une
fonction de deux variables réelles que votre instituteur(trice) vous a peut-être introduit de la
sorte :
$$\maj{A}~:~\begin{array}{l} \bbr^2 \longrightarrow \bbr \\ (\ell,L)\mapsto \maj{A}(\ell,L)=\ell\times L \end{array} $$




\tsx Je ne me rappelle pas avoir rencontré cette notation en CE2, mais je crois comprendre que
nous parlons en fait de fonctions qui dépendent de deux variables et qui renvoient un nombre réel.

\pro Il ne faut pas être si restrictif. Il peut exister des fonctions de $\bbr^2$ dans $\bbr^2$,
de $\bbr^2$ dans $\bbr^{32}$, d'ailleurs de $\bbr$ dans $\bbr^3$ aussi, et plus généralement de
$\bbr^n$ dans $\bbr^p$, avec $n$ et $p$ des entiers naturels. Malgré tout, nous n'aborderons cette
année que les fonctions de deux variables réelles à valeurs dans $\bbr$.

\sm

Allez, trois autres petits exemples. Considérez deux résistances montées en parallèle : quelle est
la résistance équivalente~?

\tsx Je sais que $\fr{1}{r}=\fr{1}{R_1}+\fr{1}{R_2}$.

\pro On obtient donc facilement une fonction $r$ dépendant des deux variables $R_1$ et $R_2$

$$r~:~\begin{array}{l} \bbr^2 \longrightarrow \bbr \\ (R_1,R_2)\mapsto r(R_1,R_2)=\fr{R_1R_2}{R_1+R_2} \end{array} $$


Enfin, un dernier exemple physique : deux objets de masses respectives $m_1$ et $m_2$ distants de
$d$ exercent une force gravitationnelle d'intensité $G\fr{m_1m_2}{d^2}$.

\tsx Il y a plus de deux variables : $m_1$, $m_2$ et $d$, car je sais que $G$ est une constante.

\pro Pas de précipitation Téhessin~! Je ne vous ai pas précisé quelle fonction nous allions
étudier. Nous allons considérer ici que la distance est constante et que nous allons faire varier
les masses. D'ailleurs, pour faciliter notre tache, nous allons noter les \textit{variables} de
manière conventionnelle par $x$ et $y$ pour mieux les distinguer des \textit{paramètres}~:

$$\maj{F}~:~\begin{array}{l} \bbr^2 \longrightarrow \bbr \\ (x,y)\mapsto \maj{F}(x,y)=G\fr{xy}{d^2} \end{array} $$



Mais trêve de physique~: retournons en maternelle


$$\maj{S}~:~\begin{array}{l} \bbn^2 \longrightarrow \bbn \\ (x,y)\mapsto \maj{S}(x,y)=x+y \end{array} $$

\tsx La formulation est un peu déroutante, mais je crois comprendre que cette fonction n'est autre
que la somme de deux entiers.

\pro Je vous laisse le soin de calculer quelques images : $\maj{S}(3,2)$, $\maj{S}(28,4)$, etc. et
d'imaginer d'autres fonctions de $\bbr^2$ dans $\bbr$ que vous avez rencontré au cours de votre
brillante carrière.

\ill{\tsx Et j'imagine que nous allons calculer dérivées et limites pour finir par tracer les
représentations graphiques de ces fonctions.

\pro Pas si vite~! Les problèmes de dérivation et de limites deviennent très vite compliqués pour
les fonctions de deux variables, c'est pourquoi nous ne les étudierons pas cette année. Sachez au
moins que, par exemple, une fonction peut être <<~dérivable~>> selon $x$ et selon $y$ sur un
<<~intervalle~>> et pourtant ne pas être continue en certains points. Cela trouble beaucoup
d'étudiants car ils abordent l'étude des fonctions de deux variables sans intuition géométrique.

Nous allons pour notre part adopter une toute autre démarche  : nous allons  nous contenter
d'étudier <<~géométriquement~>> ces fonctions en espérant que vous garderez ces images en tête
l'année prochaine.}{tinman}


En attendant, voici un petit exercice pour vous montrer que vous savez de quoi nous allons
parler..


\SUBSECTION{Lignes de niveaux sur une carte}


La figure ci-dessous est une carte du relief d'une presqu'île: le contour extérieur est la ligne
de niveau 0 (bord de mer). L'équidistance des lignes de niveau est de 25 mètres.



\subsubsection*{Partie exp\'erimentale}\label{experim}

\been

\item \label{pos1} Un skieur de fond perdu dans le brouillard s'arrête, les skis bien horizontaux
pour ne pas glisser, et cherche à se repérer à l'aide de son altimètre et de sa boussole. Il voit
qu'il se trouve à 100 mètres d'altitude, avec ses skis orientés droit vers l'est. La pente est
descendante vers sa gauche. Quelles est sa position sur la carte ?\footnote{Deux positions
possibles} \vspace{-3cm}





\item\label{pos2} Le skieur décide de continuer son chemin à la boussole, droit
vers l'est, jusqu'à atteindre la mer. Dessinez le profil du relief le long de l'itinéraire qui
l'attend, en évaluant les dénivelés successifs.

\vspace{-3cm}

\begin{center}

\hspace{-6cm}\includegraphics[width=\textwidth,angle=270]{skieur.eps}


\end{center}


\vspace{-2cm}

\item Regardant mieux son altimètre avant de se mettre en route, le skieur s'aperçoit avec effroi
que celui-ci est cassé, de sorte qu'il ne peut connaître son altitude et que ce qu'il avait déduit
en (\ref{pos1}) est erroné. Tracez sur la carte l'ensemble de ses positions possibles.


Un plaisancier mouillant dans la baie située au sud de la presqu'île voudrait franchir la
presqu'île à skis pour rejoindre la côte nord, en se dirigeant toujours droit vers le nord.

\item \label{pos4} Dessinez le profil du relief le long de divers itinéraires sud-nord, en évaluant pour chacun
de ces itinéraires l'altitude du point culminant. En quel point de la baie le plaisancier doit-il
aborder pour que son dénivelé soit le plus petit possible ? Marquez sur la carte le point
culminant de son itinéraire, et évaluez-en l'altitude.

%\item La presqu'île est soumise à un fort vent du nord. Coloriez sur la carte la zone de la
%presqu'île abritée du vent, en essayant de délimiter avec précision le bord de cette zone.

%\item \label{pos6}En quel(s) point(s) de la carte un skieur, perdu dans un épais
%brouillard, aura-t-il l'impression d'être sur un plateau ?

\een

\subsubsection*{Partie << calculs >>}



En fait la fonction de la figure a pour expression
$$
f(x,y)=-\frac{x^3}{3}-xy-y^2+x+\frac{3}{2}
$$
(les valeurs des niveaux étant exprimées en centaines de mètres). \been

\item Discutez, en fonction du paramètre $v$, l'allure du graphe de la fonction
$f_{|y=v}$ (restriction de $f$ à la droite ouest-est de latitude $v$, c'est à dire la fonction
d'UNE variable qui à $x$ associe $f(x,v)$).

\item Précisez par le calcul votre résultat de la question \ref{experim}.\ref{pos2}.

\item Discutez, ne fonction du paramètre $u$, l'allure du graphe de la fonction $f_{|x=u}$
(restriction de $f$ à la droite sud-nord de longitude $u$), et précisez par le calcul vos
résultats de la question \ref{experim}.\ref{pos4}.

%\item Retrouvez et précisez par le calcul votre résultat de la question \ref{experim}.\ref{pos6}.

\een

%\subsubsection*{Calcul d'un plan tangent}
%
%\been
%
%Le skieur de \ref{experim}.\ref{pos1} est en fait à l'altitude de 216,66 mètres (mais il ne le sait pas !). Cela correspond à $z=13/6$
%centaines de mètres. \'Etant dans les conditions de \ref{experim}.\ref{pos1}, on peut alors calculer ses coordonnées $x=1$, $y=0$:
%vérifier que ces coordonnées sont cohérentes avec l'équation donnée ci-dessus pour $z=f(x,y)$.
%
%On veut trouver l'équation du plan tangent ${\bf P}$ à l'endroit où est le skieur.
%
%\item On veut trouver la << ligne de plus grande pente >> à l'endroit où est le skieur. Quelle
%est sa direction ? (raisonnez dans le plan ${\bf P}$ en faisant un dessin).
%
%\item Donnez l'équation du profil du relief de la presqu'île passant par le skieur $(1,0,13/6)$,
%et dirigé vers le nord.
%
%\item Donnez un vecteur directeur de la ligne de plus grande pente, puis l'équation de ${\bf P}$.
%
%
%\een




\SECTION{SURFACES D'\'EQUATION $\mathbf{\mathit{z=f(x,y)}}$}{Surfaces d'équation
$\mathbf{\mathit{z=f(x,y)}}$}

\SUBSECTION{Généralités}


\pro Rappelez-moi la définition de la représentation graphique d'une fonction $f$ définie sur une
partie $\DR$ de  $\bbr$.

\tsx C'est l'ensemble des points de coordonnées $(x,f(x))$.

\pro C'est un peu court jeune homme~! On a du vous dire en seconde que  si on munit l'espace d'un
repère \Oij, la représentation graphique d'une fonction d'une variable $f$ définie sur une partie
$\DR$ de $\bbr$ est l'ensemble des points $M(x,y)$ tels que $y=f(x)$ avec $x$ un élément de $\DR$.
On dit que $y=f(x)$ est une équation de la courbe représentative de $f$.

\sm

Il suffit maintenant d'adapter un peu le vocabulaire : allez-y !

\tsx Je tente la définition sans filet


\ENC{\Def}{Si on munit l'espace d'un repère \Oijk, la représentation graphique d'une fonction de
deux variables $f$ définie sur un domaine $\maj{D}$ est l'ensemble des points $M(x,y,z)$ tels que
$z=f(x,y)$ avec $(x,y)$  un élément de $\maj{D}$. On dit que $z=f(x,y)$ est une équation de la
surface représentative de $f$.}

\pro Pas mal~! Maintenant, continuons l'analogie : est-ce qu'une sphère peut-être la
représentation graphique d'une fonction de deux variables~?

\tsx !?..

\pro Je vois, il faut encore vous rafraîchir la mémoire. Est-ce que dans le plan, toute courbe est
la représentation graphique d'une fonction (d'une seule variable)~?

\tsx Je suppose que non...ah oui ! Il ne faut pas que la courbe retourne en arrière.

\pro Mouais, et plus rigoureusement~?

\tsx Un réel ne doit pas  avoir plus d'une image : toute droite parallèle à l'axe des ordonnées ne
doit couper la courbe qu'en un point maximum.

\pro Voilà~! Par exemple un cercle n'est pas la représentation graphique d'une fonction d'une
variable car des réels auraient dans ce cas deux images. Et bien c'est pareil pour une fonction de
deux variables : à tout couple $(x,y)$ de $\maj{D}$ doit correspondre un unique réel $z$. Cela
signifie que la droite perpendiculaire au plan $(xOy)$ passant par le point $M(x,y,0)$ doit couper
la surface en un seul point, ce qui n'est pas le cas pour une sphère.

\begin{center}
\includegraphics{boule.eps}
\end{center}


\SUBSECTION{Surfaces d'équation $\mathbf{\mathit{z=ax+by+c}}$}

\pro À votre avis, quelle est la tête d'une telle surface ?

\tsx Elle a pour équation $z=ax+by+c$...humm...c'est à dire $ax+by-z+c=0$ : c'est un plan~!

\pro Bien joué~! Il s'agit du plan de vecteur normal $\ve{n}\begin{array}{c} a\\b\\-1 \end{array}$
et passant par le point $M(0,0,c)$. Vous remarquez que $c$ est en quelque sorte la <<~cote à
l'origine~>>.

Maintenant, est-ce que tout plan est la représentation graphique d'une fonction de deux
variables~? La question n'est pas si bête car vous savez que dans le plan, les droites
<<~verticales~>> d'équation $x=$constante ne sont pas des courbes représentatives de fonctions
d'une variable, car elles n'ont pas une équation du type $y=f(x)$.

\tsx Je suppose qu'il existe un problème similaire. En fait, c'est quand l'équation n'a pas de
$z$, comme dans le plan quand il n'y avait pas de $y$.

\pro Oui, mais pourquoi~?

\tsx S'il n'y a pas de $z$, on  ne peut pas écrire $z=f(x,y)$.

\pro S'il n'y a pas de $z$ comme vous dites, c'est qu'on est face à un plan <<~vertical~>> ce qui
pose problème pour l'unicité de l'image.

Autre petite question anodine qui reviendra plus tard : comment fabriqueriez-vous un plan~?

\tsx Un plan est impossible à fabriquer car il n'a pas d'épaisseur...

\pro Oui, d'accord. Mais je pensais à une fabrication mathématique. Quels matériaux de base
utiliseriez-vous~?

\tsx Je suppose que je collerais bout à bout des droites, comme pour un radeau : c'est ce que vous
voulez me faire dire~?

\pro Parfait~! Cette possibilité de fabriquer une surface à partir de droites va, vous allez le
voir, être un critère déterminant pour étudier les surfaces et leurs sections planes.

Mais il est temps d'avancer : après l'addition, passons à la multiplication.















\SUBSECTION{Surfaces d'équation du type $\mathbf{\mathit{z=xy}}$}


\pro Voici vos tables de multiplication avec en plus la représentation d'un plan. Comment
pouvez-vous interpréter ce graphique~?


\begin{center}
\includegraphics[height=10cm,angle=270]{boule03.eps}
\end{center}

\tsx D'après ce que vous me dites, la surface <<~grillagée~>> semble être la représentation de la
surface d'équation $z=xy$ et le plan semble être d'équation $z=-1$.

\pro D'accord. Que représente la courbe rouge~?

\tsx C'est l'intersection du plan et de la surface. C'est donc l'ensemble des points de
coordonnées $(x,y,z)$ tels que $\begin{cases} z=xy\\ z=-1 \end{cases}$

\pro C'est à dire l'ensemble des points du plan d'équation $z=-1$ tels que $xy=-1$, soit
$y=-\fr{1}{x}$. Ça ne vous rappelle rien~?

\tsx Dans le plan, la courbe d'équation $y=-1/x$ est une hyperbole
\begin{center}
\includegraphics[height=10cm,angle=270]{boule04.eps}
\end{center}

\pro Et si l'on regarde la surface précédente vue d'avion...

\begin{center}
\includegraphics[height=10cm,angle=270]{boule05.eps}
\end{center}

Incroyable, non ? Et pourtant c'est l'une des compétences qu'on vous demande d'acquérir cette
année : à partir d'une surface d'équation $z=f(x,y)$, il s'agira d'étudier les sections par des
plans parallèles aux axes de coordonnées.




Par exemple, pour la section par le plan d'équation $x=-1$ on observe


\begin{center}
\includegraphics{phx.eps}
\end{center}


À vous d'interpréter.

\tsx Comme tout à l'heure, il s'agit de déterminer l'ensemble des points de coordonnées $(x,y,z)$
tels que $\begin{cases} z=xy\\ x=-1
\end{cases}$, c'est à dire l'ensemble des points du plan d'équation $x=-1$ tels que $z=(-1)\times y=-y$...c'est une droite !

\begin{center}
\includegraphics[height=8cm,angle=270]{phxd.eps}
\end{center}



\pro On peut le visualiser en se plaçant face au plan d'équation $x=-1$

\begin{center}
\includegraphics{phxf.eps}
\end{center}



Et on peut obtenir le même résultat pour une coupe parallèle au plan $(xOz)$. On obtient donc un
résultat assez étonnant, à savoir qu'on peut construire cette surface en collant des petites
baguettes : comme pour les plans, on dit que cette surface est \textit{réglée} car elle est
obtenue comme famille de droites.

Il vous reste à généraliser ces résultats en remplaçant $-1$ par un réel $\l$ quelconque et de
voir si certaines valeurs posent problème.







\SUBSECTION{Paraboloïde hyperbolique}

\tsx Vous voulez vraiment m'achever en employant des termes aussi dangereux pour ma santé
mentale~!

\pro Rassurez-vous mon petit Téhessin, nous venons juste de les étudier au paragraphe précédent.
L'adjectif \textit{hyperbolique} se comprend puisque des coupes par des plans parallèles à $(xOy)$
nous ont permis d'obtenir des hyperboles. Il reste à expliquer d'où vient le \textit{paraboloïde}.

Pour cela, nous allons effectuer un changement de repère : en effet, le programme spécifie que
nous ne pouvons effectuer que des coupes parallèles aux plans de coordonnées. Nous allons donc
changer ces coordonnées pour changer nos plans de coupe.

\sm

Notons $\ve{e_1}=\fr{\sqrt{2}}{2}(\ve{i}+\ve{j})$, $\ve{e_2}=\fr{\sqrt{2}}{2}(\ve{i}-\ve{j})$ et
$\ve{e_3}=\ve{k}$.

Vérifiez que le repère $(O,\ve{e_1},\ve{e_2},\ve{e_3})$ est orthonormé.

\tsx Ça, j'y arrive en calculant les normes et les produits scalaires deux à deux.

\pro Soit $M$ un point. On notera $(x,y,z)$ ses coordonnées dans l'ancien repère et $(X,Y,Z)$
celles dans le nouveau repère.

Par définition, on a

$$\ve{OM}=X\ve{e_1}+Y\ve{e_2}+Z\ve{e_3}$$

Exprimez $\ve{OM}$ en fonction de $X$, $Y$, $Z$, $\ve{i}$, $\ve{j}$ et $\ve{k}$.

\tsx C'est fait sur mon cahier de brouillon.

\pro Vérifions...d'accord~! Maintenant, vous savez que $$\ve{OM}=x\ve{i}+y\ve{j}+z\ve{k}$$ donc,
compte tenu de l'unicité du triplet de coordonnées dans un repère donné, exprimez $x$, $y$ et $z$
en fonction de $X$, $Y$ et $Z$.

\tsx C'est fait~!

\pro Bon~! Il ne reste plus qu'à utiliser le fait que $z=xy$ pour en déduire une relation liant
uniquement $X$, $Y$ et $Z$.

\tsx Bon...hop...je multiplie...je développe...je réduis...j'ordonne et j'obtiens
$$Z=\fr{X^2}{2}-\fr{Y^2}{2}$$

\pro Voici donc l'équation du paraboloïde hyperpolique dans le repère
$(O,\ve{e_1},\ve{e_2},\ve{e_3})$ et une représentation graphique qui doit vous rappeler quelque
chose




\begin{center}
\includegraphics[height=8cm]{phxnr.eps}
\end{center}

Coupons maintenant par le plan d'équation $X=-1$



\begin{center}
\includegraphics[height=7cm]{phxnrX.eps}
\end{center}



\tsx On devine une parabole, ce qui semble enfin justifier le \textit{parabol}oïde. Si $X$ vaut
-1, alors $Z=-\fr{1}{2}Y^2+\fr{1}{2}$ ce qui ressemble bien à une parabole dans le plan $X=-1$.

\pro Vous voyez bien que ce chapitre est facile ! Je vous laisse le soin d'étudier l'intersection
avec un plan parallèle à $(XOZ)$. Sinon, pour le plaisir, je vous propose l'exercice suivant :

\exot{Lieu géométrique}

\'Etudiez l'intersection du paraboloïde hyperbolique précédent avec le plan d'équation$X=a$, avec
$a\in\bbr$ et montrez qu'il s'agit d'une parabole dont vous donnerez les coordonnées du  sommet
$S_a$. Quel est le lieu géométrique de $S_a$ lorsque $a$ décrit $\bbr$~?

\bigskip\bigskip


\pro Pour votre culture générale, sachez que cette surface intervient dans l'étude de la loi des
gaz parfaits ($pV=nRT$), dans l'étude des barycentres de quatre points de l'espace, dans la
théorie des jeux, etc. Mis à part le cas des gaz parfaits que nous verrons en exercice, les
calculs permettant de faire le lien avec le paraboloïde hyperbolique sont un peu trop complexes.
Nous simplifierons malgré tout quelque peu la situation pour faire le lien avec les barycentres.


\exot{Loi des gaz parfaits}

Des gaz ayant certaines propriétés que vous étudierez plus tard sont appelés \textit{gaz
parfaits}. Ces gaz obéissent à une loi assez remarquable $$PV=nRT$$ où où $P$, $V$ et $T$
représentent respectivement la pression, le volume et la température du gaz . Le nombre $n$
représente la quantité de matière exprimée en moles et $R$ est la constante des gaz parfaits et
vaut 8,3 $\text{J.K}^{-1}.\text{mol}^{-1}$.

Voici la représentation de cette équation pour une mole de gaz




\begin{center}
\includegraphics[height=6cm]{gaz2.eps}
\end{center}



\'Etudiez les courbes isochores (à volume constant), isobares (à pression constante) et isothermes
(à température constante)


\exot{Paraboloïde hyperboliques et barycentres}

\been
\item A, B, C et D sont quatre points ditincts; $\la$ et $\mu$ sont deux réels non  nuls.

M est le barycentre de (A,$\la$) et (B,$1-\la$), N est le barycentre de (C,$1-\la$) et (D,$\la$).

 P est le barycentre de (A,$\mu$) et
(D,$1-\mu$), Q est le barycentre de (C,$1-\mu$) et (B,$\mu$), R est le barycentre de (M,$\mu$) et
(N,$1-\mu$).

\been
\item Prouvez que R est barycentre des points P et Q affectés de coefficients que vous préciserez.

\item Expliquez pourquoi, même si les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires, les droites (MN) et (PQ) sont sécantes.

\een

\item \'Etant donné un repère  orthonormal \Oijk, les points A, B, C et D sont quatre sommets d'un cube de centre O tels que leurs
coordonnées soient respectivement $(1,1,1)$, $(-1,1,-1)$, $(-1,-1,1)$ et $(1,-1,-1)$.

On note $\maj{S}$ la surface d'équation $z=xy$.

\been

\item Montrez que A, B, C, D, M, N, P et Q appartiennent à $\maj{S}$ quels que soient $\la$ et $\mu$.

\item Que peut-on dire des droites (AB), (BC), (CD) et (DA) par rapport à $\maj{S}$~?

\item Et R~?

\item Soit $\PR_1$ le plan d'équation $y=1$. Montrez que $(AB)$ est incluse dans  l'intersection de $\PR_1$ et $\maj{S}$.

\item Inversement, considérons un point E appartenant à l'intersection de $\maj{S}$ et $\PR_1$.  Expliquez pourquoi E appartient au plan
$\PR_2$ d'équation $x=z$. Pourquoi ces deux plans sont-ils sécants~? Pourquoi leur intersection
est la droite $(AB)$~?

\item Quelle est l'intersection de $\maj{S}$ et $\PR_1$~? de $\maj{S}$ et $\PR_3$ d'équation $x=1$~?

\een




\item La figure ci-dessous représente différentes segments [MN] et [PQ] pour des valeurs de $\la$ et $\mu$ comprises entre 0 et 1. D'après
ce que nous venons de voir, tous les segments sont inclus dans $\maj{S}$ ce qui confirme le
résultat vu en cours.

\begin{center}
\includegraphics[height=6cm]{bary.eps}
\end{center}


\been
\item Quel semble être le chemin le plus court pour aller de $A$ en $C$ en restant sur $\maj{S}$~?

\item On admet que ce chemin passe par les diagonales des mailles. Expliquez pourquoi les n\oe uds des mailles utilisés par ce chemin
sont dans le plan d'équation $x=y$ en raisonnant sur $\la$ et $\mu$.

\item Déduisez-en la nature de ce chemin.



\een

\een


\exot{Boîte à \oe ufs}

On considère la surface d'équation $z=\sin x-\sin y$


\begin{center}
\includegraphics[height=9cm]{oeuf.eps}
\end{center}

Quelles sont les cotes maximales et minimales~? \'Etudiez l'intersection avec le plan d'équation
$z=0$. Pour devenir un champion en trigo, montrez que si l'on remplace dans l'équation le symbole
$-$ par un $\times$, on obtient encore une boîte à \oe ufs.


\SUBSECTION{Un exemple de surface de révolution : le paraboloïde de révolution d'équation
$\mathbf{\mathit{z=x^2+y^2}}$}

\pro Voyez ce bel objet

\begin{center}
\includegraphics[height=9cm]{ParaRev.eps}
\end{center}


dont l'équation est $z=x^2+y^2$. Pourriez-vous trouver une formulation, disons, plus géométrique
de cette surface.

\tsx Et bien , $x^2+y^2$, ça ressemble à une distance dans le plan...en fait, $x^2+y^2=k$, c'est
l'équation d'un cercle dans le plan, mais je ne vois pas trop de cercle sur la figure...

\pro Faisons passer un scaner à notre surface, peut-être cela vous éclairera-t-il...



\begin{center}
\includegraphics[height=9cm]{ParaCercle.eps}
\end{center}


et en fait, nous pourrions écrire son équation sous la forme $z=$ distance à l'axe $(Oz)$, donc ne
dépend que de cette distance. Cette petite vue d'avion vous aidera


\begin{center}
\includegraphics[height=7cm]{ParaRevProj.eps}
\end{center}


Mais cela ne nous éclaire pas encore tout à fait sur le terme \textit{révolution}. Alors
continuons à couper



\begin{center}
\includegraphics[height=7cm]{ParaCoupe.eps}
\end{center}

\tsx Je commence à voir clair dans votre jeu~: vous avez coupé la surface initiale par le plan
d'équation $x=0$, donc nous obtenons une courbe d'équation $z=y^2$ dans ce plan qui est une
parabole



\begin{center}
\includegraphics[height=7cm]{ParaParabole.eps}
\end{center}



\pro Et voici le paraboloïde de révolution généré par ces paraboles en travaillant dans des plans
parallèles au plan $yOz$.


\begin{center}
\includegraphics[height=7cm]{ParaParaGen.eps}
\end{center}

et la petite instruction MuPAD qui l'a générée

\mup{plot3d([Mode = Curve,
        [u,t, u\textasciicircum 2+t\textasciicircum 2],
        t = [-10, 10], LineWidth=15
       ]\$u=-10..10)}


En fait, vous comprendrez aisément que si, dans une équation, $x$ et $y$ n'interviennent que sous
la forme $x^2+y^2$, alors l'équation de la surface ne dépend que de $z$ et la distance à l'axe
$(Oz)$. Des coupes parallèles au plan $(xOy)$ seront donc des cercles et la surface sera donc de
révolution.

Voici un petit exercice pour vous entraîner :

\exot{}

Dites un maximum de choses intelligentes sur les surfaces  d'équations respectives
$z=\fr{1}{x^2+y^2}$, $z=\sin(x^2+y^2)$, $z=\sqrt{x^2+y^2-1}\ $ (moitié d'hyperboloïde à une
nappe), $z=-\sqrt{x^2+y^2+1}\ $ (moitié d'hyperboloïde à deux nappes)






\SECTION{CÔNES, CYLINDRES ET COMPAGNIE}{Cônes, cylindres et compagnie}

\SUBSECTION{CYLINDRES}


\pro Vous savez ce qu'est un cylindre~?

\tsx C'est un tube sur lequel on enroule du papier.

\pro \textit{(Vivement le mois de juin que je m'en débarrasse)} Splendide définition~! Au moins
avez-vous en tête la forme de cette surface. Pensez maintenant à un rouleau compresseur
\textit{(j'te ficherai d'sous moi)}. Vous avez remarquez qu'il tourne autour d'un axe : première
remarque~?

\tsx J'imagine aisément que c'est une surface de révolution, donc $x$ et $y$ vont intervenir sous
la forme $x^2+y^2$.

\pro Vous me rassurez un peu. Maintenant, que pourriez-vous dire sur la position des points situés
sur la surface du rouleau compresseur par rapport à l'axe~?

\tsx Ils sont tous à la même distance~!

\pro Il faut l'espérer pour le confort du conducteur. Ainsi, si l'on considère un cylindre d'axe
$(Oz)$, la distance d'un point du cylindre à l'axe vaut $x^2+y^2$ et est constante et égale à
$R^2$ par exemple, donc on pourra définir le cylindre comme étant la surface d'équation
$x^2+y^2=R^2$ car tout point du cylindre vérifie cette équation et tout point dont les coordonnées
vérifient cette équation est sur le cylindre.

 Avez-vous une remarque à faire en comparant ce résultat à ceux
des paragraphes précédents~?

\tsx Ben, ya pas d' $z$.

\pro C'est bien mon brave Téhessin, mais qu'est-ce que ça veut dire <<~ya pas d' $z$~>>~?
Pouvez-vous définir une fonction $f$ caractérisant le cylindre sous la forme $z=f(x,y)$ comme nous
l'avions fait précédemment~?

\tsx En fait, pour un $x$ et un $y$ donné, il y a une infinité de points appartenant au cylindre
correspondants à autant de valeurs de la cote $z$ : il ne s'agit donc pas de la représentation
graphique d'une fonction de $\bbr^2$ dans $\bbr$.

\pro Heureux de voir vos neurones se connecter à nouveau. Il existe en effet des courbes qui ne
sont pas la représentation graphique d'une fonction de deux variables réelles mais dont l'étude
est importante.

\ENC{\Def}{Le cylindre d'axe $(Oz)$ et de rayon $R$ est l'ensemble des points situés à la distance
$R$ de $(Oz)$}

Intéressons-nous maintenant aux sections d'un cylindre par des plans parallèles aux plans de
coordonnées.

\SUBSECTION{Intersection d'un cylindre d'axe $(Oz)$ avec un plan parallèle à $(x0y)$}

\tsx Un plan $\PR$ parallèle à $(xOy)$ a une équation du type $z=c$ et le cylindre a pour équation
$x^2+y^2=R^2$. Les coordonnées d'un point M appartenant à l'intersection vérifient le système
$\bsys x^2+y^2=R^2\\z=c\esys$

\pro Soit $\Omega$ le point d'intersection du plan $\PR$ avec l'axe $(Oz)$. On munit ce plan d'un
repère $(\Omega, \ve{i},\ve{j})$. Quelles sont les coordonnées de $\Omega$ dans le repère \Oijk~?

\tsx Le point appartenant à l'axe $(Oz)$, alors l'abscisse et l'ordonnée sont nulles, et comme il
appartient à $\PR$, sa cote vaut $c$, donc ses coordonnées sont $(0,0,c)$.

\pro Soit M un  point de l'intersection du cylindre et du plan. Si ses coordonnées dans \Oijk sont
$(x,y,c)$, alors ses coordonnées dans  $(\Omega, \ve{i},\ve{j})$ sont $(x,y)$ et vérifient
$x^2+y^2=R^2$. Quel ensemble décrit ce point dans le plan $\PR$~?

\tsx L'équation $x^2+y^2=R^2$ est celle d'un cercle dans le plan, de rayon $R$ et de centre
l'origine du repère, donc ici $\Omega$


\begin{center}
  % Requires \usepackage{graphicx}
  \includegraphics[height=7cm]{cyl_cerc.eps}\\
  %\caption{}\label{}
\end{center}


\pro Parfait...

\ENC{\Prop}{La section d'un cylindre d'axe $(Oz)$ par un plan parallèle à $(xOy)$ est un cercle.}



\SUBSECTION{Intersection d'un cylindre d'axe $(Oz)$ avec un plan parallèle à $(yOz)$}

\pro Coupons maintenant par un plan d'équation $x=\la$. Un point $M$ de coordonnées $(x,y,z)$ dans
\Oijk appartient à l'intersection si et seulement si $$\bsys x^2+y^2=R^2\\ x=\la\esys \ssi \bsys
x=\la\\y^2=R^2-\la^2\esys$$

Deux cas se présentent alors : \bel

\item si $|\la|>R$, alors notre système a peu de chance d'avoir de solution et l'intersection est
donc vide, i.e. la plan ne coupe pas le cylindre.

\item sinon, la petite figure suivante devrait vous inspirer

\el

\begin{center}
  % Requires \usepackage{graphicx}
  \includegraphics[height=7cm]{cyl.eps}\\
  %\caption{}\label{}
\end{center}


\tsx Eh bien $R^2-\la^2$ étant positif, on obtient $$\bsys x=\la\\y=\sqrt{R^2-\la^2}\esys \quad
\text{ou}\quad \bsys x=\la\\y=-\sqrt{R^2-\la^2}\esys$$

D'après le dessin, ça devrait caractériser deux droites

\begin{center}
  % Requires \usepackage{graphicx}
  \includegraphics[height=7cm]{cyl_droite.eps}\\
  %\caption{}\label{}
\end{center}


\pro En effet, car cela cache les représentation paramétriques de deux droites :

$$\bsys x=\la\\y=\sqrt{R^2-\la^2}\\z=k\esys\ , k\in\bbr \quad \text{et}\quad \bsys
x=\la\\y=-\sqrt{R^2-\la^2}\\z=k\esys\ , k\in\bbr$$

Attention ! Il faut distinguer ici trois paramètres de natures différentes \bel
\item le paramètre $R$ qui est constant pour un cylindre donné
\item le paramètre $\la$ qui est constant pour un plan donné
\item le paramètre $k$ qui est le paramètre de la représentation paramétrique des droites...
\el

Nous pouvons alors généraliser ce résultat sous la forme suivante, modulo un changement de repère


\ENC{\Prop}{La section d'un cylindre d'axe $(Oz)$ par un plan parallèle à $(Oz)$ est une droite ou
une réunion de droites.}


\SUBSECTION{CÔNES}

\pro Il faut d'abord s'entendre sur une définition. Avec le cylindre, nous aurions pu aussi bien
commencer par dire que c'était l'ensemble engendré par la rotation d'une droite autour d'un axe
qui lui est parallèle (encore une surface \textit{réglée}) ou encore l'ensemble engendré par la
translation d'un cercle selon des vecteurs colinéaires à $\ve{k}$\footnote{Il existe une
définition plus générale des cylindres : un ensemble $\CR$ est un cylindre si l'on peut lui
associer un vecteur $\ve{u}$ tel que, pour tout point M de $\CR$, la droite qui contient M et de
direction $\ve{u}$ est incluse dans $\CR$, c'est a dire qu'il s'agit d'une surface réglée qui peut
être engendrée par des droites parallèles. Dans ces conditions, un plan, l'espace tout entier,
l'ensemble vide sont des  cylindres...}. Cette dernière définition plaît mieux aux mathématiciens
car elle permet de se passer de la notion de distance et donc de travailler dans des espaces plus
généraux et légers. Pour le cônes, nous pourrions nous passer également de distances\footnote{en
disant que $\CR$ est un cône de sommet S si, pour tout point M de $\CR$, La droite (SM) est
totalement incluse dans $\CR$}, mais nous utiliserons une définition hybride\footnote{car elle
utilise un cercle, donc des distances} plus pratique à notre niveau




\ENC{\Def}{ SoiT \Oijk un repère orthonormal de l'espace, Soit $P$ un point de l'axe $(Oz)$ et
$\CR$ un cercle de centre $P$. L'ensemble formé par le point O et tous les cercles images de $\CR$
par toutes les homothéties de centre O est le cône de sommet O, d'axe $(Oz)$ et de cercle
directeur $\CR$}


Ça nous rappelle nos bonnes vielles transformations du plan, même si l'on travaille avec une
dimension supplémentaire...

\tsx Que d'émotions, et je suis prêt à admettre qu'une telle définition peut vous faire plaisir,
mais je ne vois pas trop ce qu'on pourrait en tirer en termes d'équations.

\pro Et bien, regardez plutôt ce dessin

\begin{center}
  % Requires \usepackage{graphicx}
  \includegraphics{cone.1}
  %\caption{}\label{}
\end{center}



Appelons $\CR$ le cercle de centre $P(0,0,z_P)$, de rayon $R$ et situé dans le plan d'équation
$z=z_P$ avec $z_P$ non nul\footnote{pourquoi~?} et $\Gamma$ le cône de sommet $O$, d'axe
$(O,\ve{k})$ et de cercle directeur $\CR$.

Considérons maintenant un point $M(x,y,z)$ de $\Gamma$. D'après notre définition, il existe un
point $N$ appartenant à $\CR$ image de $M$ par une homothétie de centre $O$, donc il existe un
réel $\la$ tel que $\ve{OM}=\la\ve{ON}$, i.e. $x=\la x_N$, $y=\la y_N$, $z=\la z_N$.

Or le point $N$ appartient au cercle $\CR$, donc ses coordonnées vérifient $x_N^2+y_N^2=R^2$.
Qu'en déduisez-vous pour $x$ ,$y$ et $z$~?

\tsx Ben , $\fr{x^2}{\la^2}+\fr{y^2}{\al^2}=R^2$.

\pro Ah, vous ne dormiez pas : tant mieux ! Il est plus joli d'écrire $x^2+y^2=\la^2R^2$.

\tsx Donc nous avons notre équation~!

\pro Pas vraiment car le paramètre $\la$ dépend du choix de $M$ et on ne sait rien sur lui, si ce
n'est que $\la=z/z_N$. En remplaçant, nous obtenons $x^2+y^2=\fr{R^2}{z_N^2}z^2$ ce qui est plus
intéressant : l'équation du cône dépend du rayon du cercle directeur pour une cote donnée.

\tsx C'est en fait son <<~écartement~>>, si j'ose m'exprimer ainsi.

\pro Excellente idée. D'ailleurs, on a l'habitude de paramétrer le cône en fonction du demi-angle
au sommet


\begin{center}
  % Requires \usepackage{graphicx}
  \includegraphics{cone.2}
  %\caption{}\label{}
\end{center}


On obtient alors facilement que $\tan t=\fr{R}{z_N}$, donc notre cône est inclus dans l'ensemble
d'équation $$x^2+y^2=\tan^2t\,z^2$$

\tsx Pourquoi <<~est inclus dans~>>~? On a bien trouvé une équation.

\pro Certes, mais pas forcément du cône. En effet, on a juste prouvé que SI un point appartient au
cône ALORS nécessairement, ses coordonnées vérifient cette équation. Il reste à vérifier la
réciproque, à savoir que SI les coordonnées d'un point vérifie l'équation ALORS il est sur le
cône.

Supposons donc que les coordonnées $(x,y,z)$ d'un point M vérifient $x^2+y^2=\fr{R^2}{z_0^2}\,
z^2$ avec $z_0\in\bbr^*$: comment caractériser qu'un point appartient au cône de sommet $O$ et de
cercle directeur $\CR$ à l'aide de la définition~?

\tsx Il faudrait trouver un point $N$ appartenant à $\CR$ tel que $M$ soit son image par une
homothétie de centre $O$.

\pro Il ne faut pas oublier le cas particulier du point $O$ : si $x=y=z=0$, l'équation est
vérifiée et $O$ appartient bien à notre ensemble. Ensuite, notre tâche ne va pas être si dure
connaissant la démonstration précédente.

Tout d'abord, dans quel cas un point de notre ensemble peut avoir une cote nulle~?

\tsx $z=0\ssi x^2+y^2=0\ssi x^2=0$ et $y^2=0\ssi x=0$ et $y=0$.

\pro Donc $O$ est le seul point de l'ensemble à avoir une cote nulle. Pour tous les autres, nous
pouvons introduire le point $N$ de coordonnées $\pa{\fr{z_0}{z}x,\fr{z_0}{z}y,z_0}$ avec
$z_0\neq0$. Quel est l'intérêt~?

\tsx
$x_N^2+y_N^2=\fr{z_0^2}{z^2}x^2+\fr{z_0^2}{z^2}y^2=\fr{z_0^2}{z^2}\pa{x^2+y^2}=\fr{z_0^2}{z^2}\fr{R^2}{z_0^2}\,
z^2=R^2$

\pro Donc $N$ appartient bien au cercle $\CR$ et vérifie $\ve{ON}=\fr{z_0}{z}\ve{OM}$ i.e.
$\ve{OM}=\fr{z}{z_0}\ve{ON}$, ce que nous cherchions à montrer.

Nous pouvons donc enfin écrire






\ENC{\Prop}{Dans un repère orthonormal \Oijk, le cône de sommet $O$ et d'axe $(Oz)$ admet une
équation du type $$x^2+y^2=\tan t\, z^2$$ avec $t$ la mesure du demi-angle géométrique au sommet
du cône.}








\SUBSECTION{Cônes et coniques}


Les intersections de cônes avec des plans sont assez remarquables, tellement remarquables que les
courbes engendrées par ces sections ont fait l'objet d'innombrables études au cours des siècles.
Pour ce qui est des sections par des plans parallèles à $(xOy)$, il est facile de montrer qu'on
obtient des cercles. Pour le reste, les courbes obtenues portent des noms familiers : parabole,
hyperbole, ellipse et constituent la famille des coniques. On les étudiait il y a peu de temps en
terminale. Mais le programme est actuellement suffisamment chargé par rapport aux horaires pour
les laisser de côté. L'étude des sections de cônes est pourtant l'occasion rêvée de les évoquer à
l'occasion d'exercices guidés.

\exot{Section d'un cône par un plan parallèle à $(Oz)$}

Le résultat général est admis en terminale, mais rien n'empêche de le démontrer dans un cas
particulier~:~étudiez l'intersection du cône d'équation $x^2+y^2=z^2$ avec le plan d'équation
$x=1$.

\sm

On est donc amené à étudier dans le plan $x=1$ la courbe $\HR$ d'équation $z^2=y^2+1$. Le
problème, c'est que ce n'est pas la courbe représentative d'une fonction. On peut malgré tout se
débrouiller en remarquant que $\HR$ est la réunion des courbes d'équations $z=\sqrt{y^2+1}$ et
$z=-\sqrt{y^2+1}$. Occupons-nous de la première qui est la représentation graphique de la fonction
$$f~:\ y\mapsto\sqrt{y^2+1}$$
Cette fonction est définie sur $\bbr$. Après quelques calculs, on obtient le tableau suivant

\begin{center}

\begin{tabular}{|c|lcccr|}
  \hline
  % after \\: \hline or \cline{col1-col2} \cline{col3-col4} ...
  y & $-\infty$ &  & 0 &  & $+\infty$ \\ \hline
    & $+\infty$ &  &  &  & $+\infty$ \\
  $f(y)$ &  & \dec &  & \croi &  \\
   &  &  & 1 &  &  \\
  \hline
\end{tabular}

\end{center}

On montre enfin que les droites d'équations $z=y$ et $z=-y$ sont asymptotes à la courbes.

Pour obtenir l'autre morceau, il suffit d'effectuer une symétrie par rapport à l'axe $(Oy)$. On
obtient donc la courbe suivante :

\begin{center}
\includegraphics{cone.3}
\end{center}

ce qui nous fait tout de suite penser à une hyperbole qui aurait tourné d'un quart de tour autour
de $O$.

Nous allons donc travailler dans un nouveau repère $(O,\ve{J},\ve{K})$ pour retrouver l'équation
habituelle d'une hyperbole au sens du lycée.

\sm

Compte tenu de l'angle de mesure $\pi/4$, on pose $\ve{J}=\fr{\ve{j}+\ve{k}}{\sqrt{2}}$ et
$\ve{K}=\fr{-\ve{j}+\ve{k}}{\sqrt{2}}$

On obtient alors $\ve{k}=\fr{\ve{J}+\ve{K}}{\sqrt{2}}$ et $\ve{j}=\fr{\ve{J}-\ve{K}}{\sqrt{2}}$

Or $\ve{OM}=y\ve{j}+z\ve{k}$, donc
$\ve{OM}=\fr{\sqrt{2}}{2}(y+z)\ve{J}+\fr{\sqrt{2}}{2}(z-y)\ve{K}=Y\ve{J}+Z\ve{K}$


Nous obtenons donc le système de changement de coordonnées $\bsys Y=\fr{\sqrt{2}}{2}(y+z)\\
Z=\fr{\sqrt{2}}{2}(z-y)\esys$  i.e. $\bsys y=\fr{\sqrt{2}}{2}(Y-Z)\\
z=\fr{\sqrt{2}}{2}(Y+Z)\esys$


En ré-injectant dans l'équation de la courbe dans $(O,\ve{j},\ve{k})$, nous obtenons
$\fr{1}{2}(Y+Z)^2-\fr{1}{2}(Y-Z)^2=1$, soit, après simplification, $Z=\fr{1}{2Z}$, équation
familière d'une hyperbole.


\sm

La démonstration dans le cas général  n'est pas exigible en terminale bien qu'abordable. Seul le
résultat est à connaître


\ENC{\Prop}{Résultat admis\\ L'intersection d'un cône d'axe $(Oz)$ avec un plan parallèle à $(Oz)$
est une hyperbole}



\begin{center}
\includegraphics{conhyp.eps}
\end{center}


\exot{Section elliptique}

On veut étudier l'intersection du cône d'équation $x^2+y^2=z^2$ avec le plan d'équation $x=2z+1$.
La résolution du système associé nous conduit à considérer la courbe d'équation $y^2+3z^2+4z+1=0$.
Comme nous le faisions pour les cercles, nous allons mettre sous forme canonique.

Après calcul, nous obtenons $\pa{z+\fr{2}{3}}^2+\fr{1}{3}y^2=\fr{1}{9}$. L'idée est alors
d'effectuer un changement de repère en posant $\bsys Y=y\\ Z=z+2/3 \esys$. Dans le nouveau repère,
la courbe admet pour équation
$$\fr{Y^2}{(1/9)^2}+\fr{Z^2}{(1/3)^2}=1$$

C'est presque l'équation d'un cercle, mis à part les coefficients $(1/9)^2$ et $(1/3)^2$ qui
viennent jouer les trouble-fêtes. Vous comprendrez alors qu'il s'agit d'un cercle <<~déformé~>>
qu'on appelle en fait une ellipse.



\begin{center}
\includegraphics{conel.eps}
\end{center}





\exot{Section parabolique}


\'Etudiez l'intersection du cône d'équation $x^2+y^2=z^2$ et du plan d'équation $x=z+1$.



\begin{center}
\includegraphics{conpar.eps}
\end{center}






\SUBSECTION{Exercices}

\exot{Un des rares exercices tombés au bac}


L'espace (E) est muni d'un repère orthonormal \Oijk.

On considère les points A(0 ; 5 ; 5) et B(0 ; 0 ; 10).

\begin{enumerate} \item Dans cette question, on se place dans le plan P$_0$ d'équation $x = 0$
rapporté au repère $\left(\text{O},~\overrightarrow{\jmath},~\overrightarrow{k}\right)$.

\noindent On note $\mathcal{C}$ le cercle de centre B passant par A.

\noindent Démontrer que la droite (OA) est tangente au cercle $\mathcal{C}$.

\item On nomme $\mathcal{S}$ la sphère engendrée par la rotation du cercle
 $\mathcal{C}$ autour de l'axe (O$z$) et $\Gamma$ le cône engendré par la
rotation de la droite (OA) autour de l'axe (O$z$).

\begin{enumerate} \item Démontrer que le cône $\Gamma$ admet pour équation
 $x^2 + y^2 = z^2$.

\item Déterminer l'intersection du cône $\Gamma$ et de la sphère $\mathcal{S}$.

Préciser la nature de cette intersection et ses éléments caractéristiques.

\item Illustrer ces objets par un schéma dans l'espace.

\end{enumerate}

\item On coupe le cône $\Gamma$ par le plan P$_1$ d'équation $x = 1$.

\noindent Dans P$_1$, l'une des trois figures ci-dessous représente cette intersection.

\noindent Identifier cette figure en donnant les justifications nécessaires.

\item Soit $M(x,~ y,~ z)$ un point du cône $\Gamma$ dont les coordonnées sont des
entiers relatifs non nuls. Démontrer que $x$ et $y$ ne peuvent pas être simultanément impairs.

\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{tabular}{c c c}
\begin{pspicture}(4,4)
\pscircle(2,1.5){1}
\end{pspicture}&
\begin{pspicture}(4,3)
\psline(0.5,0)(3.5,3) \psline(0.5,3)(3.5,0)
\end{pspicture}&
\begin{pspicture}(4,3)
\pscurve(0.2,0)(0.5,0.25)(1,0.8)(1.5,1.25)(2,1.5)(2.5,1.25)(3,0.8)(3.5,0.25)(3.8,0)
\pscurve(0.2,3.7)(0.5,3.45)(1,2.9)(1.5,2.45)(2,2.2)(2.5,2.45)(3,2.9)(3.5,3.45)(3.8,3.7)
\end{pspicture}\\
Figure 1 & Figure 2 & Figure 3\\
\end{tabular} \end{center}


\subsection*{Un autre exercice de Bac}


\noindent \parbox[l]{0.40\textwidth}{L'espace (E) est muni d'un repère orthonormal
\Oijk.\\
\noindent On considère la surface \textbf{T} d'équation : $x^2y = z$\quad  avec $-1 \leqslant x
\leqslant 1$ \quad et
$-1 \leqslant y \leqslant 1.$\\
La figure ci-contre est une représentation de la surface \textbf{T}, dans le
 cube de centre O et de côté 2.} \hfill
\parbox[l]{0.45\textwidth}{
\includegraphics[width=7cm]{maroc.eps}}
%\psset{unit=1.6cm,xMax=2.5,yMax=2.5,zMax=2.5}
%\begin{pspicture}(-1,-1)(1,1)
%\pstThreeDCoor \pstThreeDBox(1,1,-1)(-2,0,0)(0,-2,0)(0,0,2)
%\psplotThreeD[linecolor=blue,drawStyle=xLines](-1,1)(-1,1){x 2 exp y mul}
%\psplotThreeD[linecolor=red,drawStyle=yLines](-1,1)(-1,1){x 2 exp y mul}
%\end{pspicture}}

\vspace{0,8cm}

\begin{enumerate} \item \'Eléments de symétrie de la surface \textbf{T}.

\begin{enumerate} \item Montrer que si le point $M(x,~y,~z)$ appartient à \textbf{T}, alors le
 point $M'(-x,~y,~z)$ appartient aussi à \textbf{T}. En déduire un plan de symétrie
 de \textbf{T}.

\item Montrer que l'origine O du repère est centre de symétrie de \textbf{T}.

\end{enumerate}

\item Intersections de la surface \textbf{T} avec des plans
 parallèles aux axes.

\begin{enumerate} \item Déterminer la nature des courbes d'intersection de \textbf{T} avec
 les plans parallèles au plan (x\text{O}z).

\item Déterminer la nature des courbes d'intersection de \textbf{T} avec
 les plans parallèles au plan $(y\text{O}z)$.

\end{enumerate}

\item   Intersections de la surface \textbf{T} avec les plans
 parallèles au plan $(x\text{O}y)$ d'équations $z = k$, avec $k \in [0~;~1]$.

\begin{enumerate} \item Déterminer l'intersection de la surface \textbf{T} et du plan
 d'équation $z = 0$.

\item   Pour $k > 0$ on note $K$ le point de coordonnées $(0,~0,~ k)$.
 Déterminer, dans le repère $\left(K~;~\overrightarrow{\imath},~
\overrightarrow{\jmath}\right)$, l'équation de la courbe d'intersection de
 textbf{T} et du plan d'équation $z = k$.

\item   Tracer l'allure de cette courbe dans le repère $\left(K~;~\overrightarrow{\imath},~
\overrightarrow{\jmath}\right)$. On précisera en particulier les coordonnées
 des extrémités de l'arc.

\end{enumerate}

\item On note (D) le domaine formé des points du cube unité
 situés sous la surface \textbf{T}.

\[(\text{D}) = {M(x,~y,~z) \in (E) \quad \text{avec} \quad 0 \leqslant x
\leqslant 1~ ; 0\leqslant y\leqslant 1~;~ 0 \leqslant z \leqslant x^2y}.\]

\begin{enumerate} \item Pour $0 < k \leqslant 1$, le plan d'équation $z = k$ coupe le
 domaine (D) selon une surface qu'on peut visualiser sur le graphique de la
 \textbf{question 3. c.}.
 C'est l'ensemble des points $M$ du cube unité, de coordonnées $(x,~ y,~ z)$ tels
que $y \geqslant \cfrac{k}{x^2}$  et $z = k$.

Calculer en fonction de $k$  l'aire $S(k)$ exprimée en unités d'aire, de cette
 surface.

\item On pose $S(0) = 1$ ;  calculer en unités de volume, le volume $V$
 du domaine (D).

On rappelle que $V = \displaystyle\int_0^1  S(k)\:\text{d}k$.

\end{enumerate}

\end{enumerate}




\exot{Cône caché}

Retrouver le cône qui se cache derrière l'équation $x^2+y^2-4z^2-6x+y-8z+6=0$








\exot{ouze ou}

Voici des équations et des graphiques : il s'agit de les relier.

$$ a)\ z=\exp(-x^2-y^2) \quad b)\ z=x^2+y  \quad c)\ x^2+z^2=y^2\quad d)\ y^2+z^2=x^2\quad  e)\ z=\fr{x+3y}{(x+1)^2}$$



\figpara{coney}{skate}

\figpara{imp}{conex}

%\figpara{}{}

\begin{center}
\includegraphics[height=5cm]{expo}
\end{center}







\SECTION{SURFACES MOLLES : À LA D\'ECOUVERTE DE LA TOPOLOGIE}{Surfaces molles : à la découverte de
la topologie}





\section*{Introduction}

C'est le dernier cours de Spécialité : il est donc temps de jouer un peu. Pour rester en phase
avec le chapitre, nous allons jouer avec des surfaces molles, déformables à souhait, un peu comme
si elles étaient faites en pâte à modeler, bref, nous allons jouer au topologue.


La topologie est \`a la fois une branche des math\'ematiques (o\`u la recherche est encore tr\`es
active), et une <<~boite \`a outils~>> utilis\'ee dans toutes les autres branches des maths.  Si
l'on veut d\'efinir les concepts topologiques formellement, on s'appuie sur la th\'eorie des
ensembles~; apr\`es un chemin assez long (allant du DEUG \`a la Ma\^{\i}trise), on arrive \`a
d\'efinir et \`a \'etudier math\'ematiquement des objets comme les surfaces et leur
g\'en\'eralisation en dimensions sup\'erieures.

Ici, on va faire le choix inverse : pour une fois, nous allons raisonner sur des \emph{objets non
formalis\'es}, c'est-\`a-dire sans donner de d\'efinition pr\'ecise, en se contenant d'id\'ees
intuitives.  L'inconv\'enient est que ce flou sur les d\'efinitions se retrouve dans les
d\'emonstrations : on aura un peu moins de certitude que d'habitude sur les r\'esultats obtenus.
L'avantage est qu'on n'est pas oblig\'e d'attendre la Ma\^{\i}trise de maths pour \'etudier les
surfaces...

A la fin, on essaiera de faire le lien entre les objets informels vus ici et le point de vue
formel des cours de maths habituels.



%******************************************************
\subsection*{Poly\`edres et polyg\^ones}\label{par:polypoly}
 \subsubsection*{Comptabilit\'e} Comptez le nombre
de sommets, d'ar\^etes et de faces pour les poly\`edres des
 figures~\ref{fig:polyedres1}, \ref{fig:polyedres2},
\ref{fig:polyedres3} et~\ref{fig:polyedres4}.
  Remplissez le tableau suivant.

\vspace{0.5cm} \noindent
\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|c|c|}
\hline &  $n^0$ 1&    $n^0$ 2&    $n^0$ 3&   $n^0$ 4&
  $n^0$ 5&   $n^0$ 6&   $n^0$ 7 \\ \hline sommets &&&&&&&\\
&&&&&&&\\ \hline ar\^etes &&&&&&&\\ &&&&&&&\\ \hline faces &&&&&&&\\ &&&&&&&\\ \hline
\end{tabular}

%?
\begin{figure}[h!t]
\begin{center}
\includegraphics[height=5cm,width=5cm]{POLY01dots.ps}
\includegraphics[height=5cm,width=5cm]{POLY02dots.ps}
\caption{Exemples de poly\`edres (1)} \label{fig:polyedres1}
\end{center}
\end{figure}
\begin{figure}[h!t]
\begin{center}
\includegraphics[height=5cm,width=5cm]{POLY03dots.ps}
\includegraphics[height=5cm,width=5cm]{POLY06dots.ps}
\caption{Exemples de poly\`edres (2)} \label{fig:polyedres2}
\end{center}
\end{figure}
\begin{figure}[h!t]
\begin{center}
\includegraphics[height=5cm,width=5cm]{POLY04dots.ps}
\includegraphics[height=5cm,width=5cm]{chapiteau-complet.ps}
\caption{Exemples de poly\`edres (3)} \label{fig:polyedres3}
\end{center}
\end{figure}
\begin{figure}[h!t]
\begin{center}
\includegraphics[height=7cm,angle=-90]{echidnahedre-col.ps}
\caption{Et un dernier polyh\`edre ??...} \label{fig:polyedres4}
\end{center}
\end{figure}




%\hbox{
%\epsfbox{chapiteau-fdf1.ps}
%\epsfbox{chapiteau-cac3.ps}
%}


\subsubsection*{La relation d'Euler}
Le math\'ematicien Euler (toujours les mêmes ...) a trouv\'e une formule tr\`es simple
 reliant le nombre de sommets, d'ar\^etes et de faces,
et \emph{valable dans tous les poly\`edres}. A l'aide des exemples de la question pr\'ec\'edente,
 pouvez-vous retrouver cette relation ?



\subsubsection*{Cas des polyg\^ones du plan}
\label{qst:poly} Dessinez un polyg\^one (triangle, carr\'e, \textit{etc.}), et d\'ecoupez-le en un
certain nombre de polyg\^ones plus petits. Ici encore, comptez le nombre de sommets, d'ar\^etes et
de petits polyg\^ones. Quel relation y a-t-il entre ces trois nombres ? Essayez d'autres exemples.

%\subsubsection*{Preuves informelles} Pouvez-vous justifier cette derni\`ere relation
%par un raisonnement ?
%
%Pouvez-vous justifier la formule d'Euler ?
%%ici, il est probable qu'on va commencer \`a d\'eformer contin\^ument...
%
%\'Enoncez les deux r\'esultats prouv\'es dans un th\'eor\`eme.


%\pagebreak
%******************************************************
\subsection*{Les surfaces, objets topologiques}\label{par:surfaces}
Dor\'enavant, on notera toujours $S$ le nombre de sommets, $A$ le nombre d'ar\^etes et $F$ le
nombre de faces.  On a donc obtenu les r\'esultats suivants~:
%? a distribuer apres la premiere partie !
\begin{enonce1*}{Th\'eor\`eme}{(poly\`edres)}
Pour tout poly\`edre, le nombre ...%$S-A+F$ vaut $2$.
\end{enonce1*}

\begin{enonce1*}{Th\'eor\`eme}{(d\'ecoupages des polyg\^ones)}
Pour tout d\'ecoupage d'un polyg\^one du plan, le nombre ...% $S-A+F$ vaut $1$.
\end{enonce1*}

Ces deux th\'eor\`emes concernent les poly\`edres et les polyg\^ones, qui sont des objets
g\'eom\'etriques. Nous allons maintenant examiner ces th\'eor\`emes sous l'angle de la topologie.
\begin{figure}[ht]
\begin{center}
\includegraphics[width=14cm]{topologie.ps}
\caption{\label{fig:topologie} Un carr\'e se d\'eformant en cercle, et un tore se changeant en
  tasse \`a caf\'e}
\end{center}
\end{figure}

Sur la plan intuitif, on peut dire que la topologie est une g\'eom\'etrie <<~molle~>>, qui aurait
oubli\'e comment \'evaluer les notions g\'eom\'etriques de distance et d'angle~; c'est la
th\'eorie math\'ematique o\`u l'on s'autorise \`a \'etirer, comprimer, tordre une forme, mais sans
la d\'echirer ou la coller, et sans l'\'ecraser. Quand on peut passer d'une forme \`a une autre
par ce type de d\'eformations, on dit qu'elles sont \emph{topologiquement \'equivalentes}. Ainsi,
un carr\'e est topologiquement \'equivalent \`a un cercle, puisqu'on peut d\'eformer contin\^ument
un carr\'e en un cercle (voir figure~\ref{fig:topologie}). Un autre exemple est donn\'e par la
surface d'un tore (comme les bou\'ees en caoutchouc)  et celle d'une tasse \`a caf\'e
 (avec une anse).\footnote{On peut bien sur d\'efinir de mani\`ere pr\'ecise (en termes de
th\'eorie des ensembles) l'\'equivalence topologique (voir la fin du texte)~; mais nous allons
nous contenter de raisonner avec cette d\'efinition intuitive.}
%?


\subsubsection*{Les lettres}
%optionnel
Comme premier exercice de topologie informelle, regardons les lettres de l'alphabet (en capitales,
et sans enluminures) comme des dessins dans le plan.
  Parmi ces lettres, lesquelles sont topologiquement
\'equivalentes, lesquelles sont topologiquement diff\'erentes~? Combien y a-t-il de lettres dans
l'alphabet d'un topologue~?
%r\'eponse : une dizaine, quand m\^eme !

\subsubsection*{Construction de quelques surfaces} \label{qst:surfaces}

\begin{figure}[h!t]
\begin{center}
\includegraphics[width=14cm]{cube.ps}
\caption{\label{fig:cube} Un cube, et trois petits morceaux que l'on peut d\'eformer en un disque.
Par contre, le dessin de droite n'est pas topologiquement \'equivalent \`a un disque.}
\end{center}
\end{figure}

Une \emph{surface}\footnote{En termes savants, on dit aussi \emph{vari\'et\'e de dimension 2.}}
est une forme dont \emph{tous les morceaux assez petits sont topologiquement \'equivalents \`a un
petit disque du plan}. Par exemple, la surface d'un cube est une surface, qui est topologiquement
\'equivalente \`a la surface d'une sph\`ere\footnote{Attention \`a ne pas confondre la
\emph{surface} de la
  sph\`ere avec le volume qu'elle renferme (ce volume est une vari\'et\'e de
  dimension~3, ce n'est bien s\^ur pas une surface).}.
 Par contre, si vous rajoutez un mur dans le cube (vous changez
le studio en un deux-pi\`eces~!), la r\'eunion des murs n'est plus une surface, parce qu'il y a
des points en lesquels trois cloisons se rencontrent, et que cette forme n'est pas topologiquement
\'equivalente \`a un disque du plan. Ceci est illustr\'e sur la figure~\ref{fig:cube}.

\been

\item Citez des surfaces topologiquement \'equivalentes \`a la sph\`ere. Citez
des surfaces qui ne sont pas topologiquement \'equivalentes \`a la sph\`ere. %Combien de sortes topologiques de surfaces connaissez-vous ?
%ici, on devrait voir que les polyedres sont topologiquement des sph\`eres, (ce qui nous donnera ensuite plein de triangulations de la sph\`ere).

\item \label{sq:ciseaux} D\'ecoupez des bandes de papier, et recollez les
extr\'emit\'es de diff\'erentes mani\`eres : sans demi-tour (on obtient un \emph{anneau})~; avec
un demi-tour (on obtient un \emph{ruban de M\"obius})~; avec deux demi-tours~; avec trois
demi-tours.


\begin{figure}[h!t]
\begin{center}
\includegraphics[width=6cm]{cavaliers.eps}
\includegraphics[width=6cm]{fourmis.eps}
\caption{Le ruban de Möbius vu par Escher} \label{fig:escher}
\end{center}
\end{figure}






\item D\'ecoupez chacune des surfaces selon le milieu de la bande d'origine
(le m\'eridien). Que se passe-t-il ?



\een


%******************************************************
\subsection*{Triangulations des surfaces, et caract\'eristique
d'Euler-Poincar\'e}
\begin{figure}[ht]
 \begin{center}
\includegraphics[height=3.5cm]{triangulation.ps}
\end{center}
\caption{\label{fig:triangulation} Deux triangulations topologiquement \'equivalentes}
\end{figure}
 Une \emph{triangulation} d'un polyg\^one du plan est
un dessin comme ceux de la figure \ref{fig:triangulation}, constitu\'e d'un certain nombre de
\emph{sommets} et d'\emph{ar\^etes} (\'eventuellement courb\'ees) reliant les sommets, de
mani\`ere \`a ce que si vous d\'ecoupez selon les ar\^etes, le plan se retrouve d\'ecompos\'e en
``polyg\^ones tordus'', c'est-\`a-dire en morceaux topologiquement \'equivalent \`a des
polyg\^ones\footnote{Sauf la partie non born\'ee.}. Ces polyg\^ones topologiques sont appel\'es
\emph{faces} de la triangulation.\footnote{On devrait peut-\^etre dire
  \emph{polygonulation} plut\^ot que triangulation...}

Ainsi, les d\'ecoupages de polyg\^ones (question \ref{qst:poly} de la partie pr\'ec\'edente)
\'etaient des cas particuliers de triangulations du plan (avec des ar\^etes non courb\'ees).


Deux triangulations sont consid\'er\'ees comme identiques si on peut passer de l'une \`a l'autre
en d\'eformant contin\^ument le plan. Ainsi, les deux triangulations de la figure
\ref{fig:triangulation} sont consid\'er\'ees comme \'etant les m\^emes.

On d\'efinit de la m\^eme mani\`ere une triangulation sur la sph\`ere, ou sur une autre surface.
Chacun des poly\`edres de la premi\`ere partie d\'efinit une triangulation de la sph\`ere,
voyez-vous pourquoi~?




Faisons la remarque suivante : \emph{les raisonnements \`a la fin de la premi\`ere partie
n'utilisaient pas le fait que les ar\^etes des triangulations n'\'etaient pas courb\'ees. Par
cons\'equent, le th\'eor\`eme sur les d\'ecoupages de polyg\^ones se g\'en\'eralise aux
triangulations du plan :}

%a distribuer apres la premi\`ere partie !! %?
\begin{enonce1*}{Th\'eor\`eme}{(triangulation des polyg\^ones)}
Pour toute triangulation d'un polyg\^one du plan, le nombre ... %$S-A+F$ vaut $1$.
\end{enonce1*}




\subsubsection*{} Le but de cette question est de savoir ce que deviennent les
r\'esultats de la premi\`ere partie (concernant le nombre $S-A+F$ pour les poly\`edres et les
polyg\^ones du plan) pour les autres surfaces.

Pour quelques-unes des surfaces suivantes (au choix), dessiner une triangulation (ou plusieurs),
et calculez le nombre $S-A+F$~:
\begin{itemize}
\item un disque (Remarque : \emph{on l'a d\'ej\`a fait...}).
\item une sph\`ere (Remarque : ça aussi on l'a d\'ej\`a fait !!)
\item un cylindre ou un anneau (Aide : N'oubliez pas que le cylindre est mou : vous pouvez le mettre <<~à plat~>>)
% (Aide : comment le dessiner de mani\`ere agr\'eable dans le
%plan ? Pensez \`a ce qu'un topologue a le droit de faire...).
\item un ruban de M\"obius (Aide : c'est plus facile de dessiner sur la
bande de d\'epart qu'apr\`es le recollement, en \emph{imaginant} qu'on va recoller la bande
ensuite...).
\item un tore (Aide~: diviser par exemple la surface du tore en quatre parties égales comme sur la figure ci-dessous.)
\item un disque avec deux trous\footnote{Cette surface s'appelle un
    \emph{pantalon}~; voyez-vous pourquoi~?}.
%\item une bouteille de Klein, un tore avec un trou...
\end{itemize}
\subsubsection*{} \'Enoncez les g\'en\'eralisations du th\'eor\`eme de triangulation des
polyg\^ones aux surfaces que vous avez \'etudi\'ees.

\subsubsection*{Application}
\been

\item Dire sans calcul ce que vaut le nombre $S-A+F$ pour le
poly\`edre de la figure~\ref{fig:polyedres4}, puis pour celui de la figure~\ref{fig:tore}.

\begin{figure}[ht]
\centerline{\includegraphics[height=4cm,width=10cm]{tore-dots.ps}} \caption{\label{fig:tore}
Quelle est cette surface~?}
\end{figure}
%\item Imaginez que vous \^etes un \^etre \`a deux
%dimensions, et que vous vivez dans une surface, \emph{sans conscience du monde en trois dimensions dans lequel est
%  plong\'e la surface}. Dans
%quelle mesure pouvez-vous dire quelle est la forme de cette surface~? \footnote{Si vous n'aimez pas l'id\'ee de vivre en deux dimensions,
% voici une autre mani\`ere de pr\'esenter la question. Vous habitez sur une
% plan\`ete, et vous voulez en conna\^{\i}tre la forme (est-ce une sph\`ere, un
% disque, un tore, l'une des quatre surfaces de la
% question~\ref{par:surfaces}.\ref{qst:surfaces}.\ref{sq:ciseaux},
% \textit{etc.}~?)~; mais vous
% ne pouvez pas d\'ecoller de la plan\`ete, et vous ne voyez rien de l'espace
% autour (il y a des nuages partout). Comment faire~?}
\een

%******************************************************
\subsubsection*{Conclusion}
%distribuer plus tard %?
On peut \'enoncer le th\'eor\`eme suivant (que l'on admettra !!!)~:
\begin{enonce1*}{Th\'eor\`eme}{}
Soit $S$ une surface, et $T$ une triangulation de $S$. Alors le nombre (S-A+F) ne d\'epend pas de
la triangulation $T$, il ne d\'epend que du type topologique de la surface $S$.
\end{enonce1*}
Ce nombre est donc un \emph{invariant topologique} associ\'e \`a la surface $S$~; on l'appelle
\emph{caract\'eristique d'Euler-Poincar\'e} de la surface.

Donner la caract\'eristique d'Euler-Poincar\'e des surfaces que vous avez \'etudi\'ees.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Un lien avec le point de vue du cours : comment d\'efinir
formellement l'\'equivalence topologique ?}
%? a ecrire
Reprenons le dessin d'un  carr\'e dans le plan  qui se d\'eforme en cercle
(figure~\ref{fig:topologie2}).
\begin{figure}[ht]
\begin{center}
\includegraphics[width=14cm]{topologie2.ps}
\caption{\label{fig:topologie2} Construction de l'application $h$.}
\end{center}
\end{figure}
 \'Etant donn\'e un point $x$ du carr\'e, on peut
suivre son d\'eplacement durant la d\'eformation~; quand la d\'eformation est finie, on obtient
ainsi un point $h(x)$ dans le cercle final. En faisant ceci pour chaque point $x$ du carr\'e, on
obtient une application $h$ du carr\'e dans le cercle.
\subsubsection*{}
Essayez de traduire formellement, \emph{sur l'application $h$},
 les id\'ees intuitives de la d\'efinition
d'\'equivalence topologique donn\'ee plus haut~:
\begin{itemize}
\item comment rendre compte de l'id\'ee qu'il n'y a pas de d\'echirure~?
\item comment rendre compte de l'id\'ee qu'il n'y a ni \'ecrasement~?
ni recollement~?
\end{itemize}

Sur le plan formel, l'id\'ee de d\'eformation continue est assez lourde \`a d\'efinir~; en
r\'ealit\'e, on d\'efinit l'\'equivalence topologique en conservant uniquement les propri\'et\'es
de la fonction finale $h$~: si $E$ et $F$ sont deux parties du plan (comme le carr\'e et le
cercle), elles sont dites topologiquement \'equivalentes (ou \emph{hom\'eomorphes}) s'il existe
une application $h$ de $E$ dans $F$ qui est une bijection, continue, dont la r\'eciproque est
continue. Une telle application s'appelle un \emph{hom\'eomorphisme}.

Formellement, la topologie est donc l'\'etude de toutes les propri\'et\'es qui sont conserv\'ees
par les hom\'eomorphismes.
%Par exemple,
%les notions de ferm\'es, d'ouverts, la compacit\'e, la connexit\'e par arcs, sont des notions topologiques (pourquoi ?...).

La topologie ne concerne pas uniquement les parties de $\bbr^n$~: il existe beaucoup d'ensembles
sur lesquels on peut mettre des structures topologiques, c'est-\`a-dire d\'efinir des notions
d'ouverts et de ferm\'es, et donc de continuit\'e. C'est le cas par exemple des espaces vectoriels
de fonctions, ou encore de l'ensemble des courbes du plan~...
%ceci permet de donner un sens \`a l'id\'ee de deux
%fonctions (ou de deux courbes) proches'' l'une de l'autre.
 Ces diff\'erentes structures topologiques
jouent un r\^ole tr\`es important en Analyse, par exemple dans la transformation de Fourier, ou
dans la th\'eorie des distributions. Explications dans un cours de Licence...

\end{document}
