%% Last modified: <MD2_13_matrix.tex modifié par  Guillaume CONNAN le mercredi 23 octobre 2013 à 16h 17min 24s>


\chapterimage{matrix_fail}
\chaptertext{Une   matrice,   c'est   juste   un  tableau   de   nombres,   tout
  simplement...mais  cela  n'empêche pas  la  matrice  d'être partout:  dans  la
  transmission d'information, dans  une image, dans un robot,  dans un complexe,
  dans un code secret, dans une relation, dans un GPS!

Entrons donc dans la matrice.}

\chapter{Les matrices} 


\section{La matrice}

\subsection{Un peu d'histoire}



\setindent{0cm}
\begin{flushleft}
\begin{minipage}[t]{3cm}
\begin{figure}
  \includegraphics[width=3cm]{sylvester}
\caption{J.\bsc{Sylvester (1814-1897)}}
\end{figure}
\end{minipage}
\end{flushleft}
\setindent{\indentationcours}
\vspace{-4.8cm}
\begin{minipage}[t]{\linewidth}
\end{minipage}

Vers 160 avant le petit Jésus, parut en Chine le
 Fang  Tcheng %\begin{CJK}{UTF8}{song}  方程 \end{CJK}  ^J (\textit{fang tcheng})
 ou, si vous préférez, \og la disposition rectangulaire\fg{}
 qui désigne en mandarin actuel \og équation mathématique\fg{}. C'est le
 huitième des \textit{Neuf chapitres  sur l'art mathématique}. Dès cette
 époque,  les   chinois  regroupaient  les   coefficients  des  systèmes
 d'équations  linéaires dans  un tableau  rectangulaire  et transformait
 celui-ci pas à  pas pour le résoudre. Cette  méthode sera reprise vingt
 siècles  plus  tard par  les  Allemands  Carl Friedrich  \textsc{Gauss}
 (1777 - 1855) et
 Wilhelm \textsc{Jordan} (1842 - 1899)(à ne pas confondre avec le mathématicien
 français Camille \textsc{Jordan}) et  c'est elle que nous programmerons
 en CAML.

Le terme \og matrice\fg{} pour  désigner ces tableaux a été introduit en
1850 par James \textsc{Sylvester} en 1850. Son ami Arthur \textsc{Cayley} (1821
- 1855) introduisit  le produit de matrices et  la notion d'inverse cinq
        années plus tard. Le terme  \og matrice\fg{} est dérivé du latin
        \textit{mater} qui signifie \og mère\fg{}...


\subsection{Qu'est-ce que c'est?}

\subsubsection{Vecteur}

Nous  appellerons \textit{vecteur}  une liste  d'éléments  d'un ensemble
$\bba$. Cet  ensemble  $\bba$  est   muni  de  deux  opérations,  $\boxplus$  et
$\boxdot$, qui lui confèrent une structure d'\textbf{anneau}:

\begin{itemize}
\item $(\bba,\boxplus)$ a une structure de groupe commutatif;
\item $(\bba,\boxdot)$ a une structure de monoïde;
\item $\boxdot$ est distributive sur $\boxplus$.
\end{itemize}

On désigne souvent  par $0_{\bba}$ l'élément neutre de  $\boxplus$ et par
$1_{\bba}$ l'élément neutre de $\boxdot$.

$(\bba,\boxdot)$ n'étant pas forcément  un groupe, tout le monde n'admet
pas forcément un inverse par $\boxdot$. 


\begin{recherche}
 Quels sont les éléments inversibles de $(\bbz,\cdot)$?
\end{recherche}

On notera $\bba^p$ l'ensemble des vecteurs à coefficients dans $\bba$ de
\textit{taille} $p$.

Notons  $u=[a_1,a_2,...,a_p]$ et  $v=[b_1,b_2,...,b_p]$  de vecteurs  de
même taille. On peut alors en faire la \textit{somme}:


$$u\boxplus v=[a_1\boxplus b_1,a_2\boxplus b_2,...,a_n\boxplus b_n]$$

On peut multiplier un  vecteur par un \textit{scalaire}, c'est-à-dire un
élément de $\bba$:

$$k u =[k\boxdot a_1,k \boxdot a_2,...,k\boxdot a_p]$$

On notera en particulier $-u = (-1_{\bba})u$.

On peut multiplier deux vecteurs composante par composante:

$$u\boxdot v = [a_1\boxdot b_1,a_2 \boxdot b_2,...,a_p\boxdot b_p]$$




\subsubsection{Matrice}

Une  matrice à  $n$ lignes  et $p$  colonnes est  un tableau  d'éléments
appartenant à un ensemble $\bba$.
On note alors $\bba^{n\times p}$ l'ensemble des matrices de $n$
lignes et $p$ colonnes à coefficients dans $\bba$. 


$$
\bordermatrix{
  &        &        &        &  j     &        &        \cr
  & a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,j} & \cdots & a_{1,p} \cr
  & \vdots & \vdots &        & \vdots &        &  \vdots \cr
i & a_{i,1} & a_{i,2} & \cdots & a_{i,j} & \cdots & a_{i,p} \cr
  & \vdots & \vdots &        & \vdots &        &  \vdots \cr
  & a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,j} & \cdots & a_{n,p} \cr
}
$$


On  note  souvent $a_{ij}$  le  coefficients  $a_{i,j}$  et $M_{ij}$  le
coefficient de M situé sur la ligne $i$ et la colonne $j$.

En fait, une matrice
est un vecteur dont les  coefficients sont eux-mêmes des vecteurs ce qui
facilitera notre tâche en programmation.




\subsection{Opérations sur les matrices}

\subsubsection{Égalité}

Deux  matrices sont  égales si,  et seulement  si, elles  ont  les mêmes
dimensions et des coefficients égaux.


\subsubsection{Opération terme à terme}

Notons $(S_{ij})_{\substack{1  \leqslant i  \leqslant n\\ 1  \leqslant j
\leqslant p}}$ la somme terme à terme des deux matrices $(A_{ij})_{\substack{1 \leqslant i \leqslant n\\ 1 \leqslant j
\leqslant p}}$ et $(B_{ij})_{\substack{1  \leqslant i  \leqslant n\\ 1  \leqslant j
\leqslant p}}$ alors chaque coefficient de S est obtenu par: 
$$S_{ij} = A_{ij}\boxplus N_{ij}$$

On peut  définir de la  même manière un  produit terme à terme  qu'il ne
faudra pas confondre avec le produit de matrices ou le produit par un scalaire...

\subsubsection{Multiplication par un scalaire}

Soit $k\in \bba$ et $M\in  \bba^{n\times p}$ alors la matrice $P=kM$ est
définie par:

$$P_{ij} = k\boxdot M_{ij}$$

\subsubsection{Produit de matrices}


Un petit rappel...

Notons $(p_{ij})_{\substack{1 \leqslant i \leqslant n\\ 1 \leqslant j \leqslant p}}$ 
le produit des deux matrices $(a_{ij})_{\substack{1 \leqslant i \leqslant n\\ 1 \leqslant j \leqslant m}}$ 
et $(b_{ij})_{\substack{1 \leqslant i \leqslant m\\ 1 \leqslant j \leqslant p}}$ 

alors $$p_{ij}=\displaystyle\boxsum_{k=1}^{m}a_{ik}\boxdot b_{kj}$$

\renewcommand\myunit{0.9cm}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex]
% unit

% the styles
\tikzset{node style sp/.style={draw,circle,minimum size=\myunit}}  
\tikzset{node style ge/.style={circle,minimum size=\myunit}}
\tikzset{arrow style mul/.style={draw,sloped,midway,fill=white}}
\tikzset{arrow style plus/.style={midway,sloped,fill=white}}
% defintion of matrices
\matrix (A) [matrix of math nodes,%
             nodes = {node style ge},%
             left delimiter  = (,%
             right delimiter = )] at (0,0)
{%
  a_{11} & a_{12}  & a_{13}  \\ 
  \node[node style sp] {a_{21}};& \node[node style sp] {a_{22}};& \node[node style sp] {a_{23}}; \\ 
  a_{31}& a_{32} & a_{33} \\ 
   a_{41}& a_{42}  & a_{43}  \\ 
}; 
\node [draw,below] at (A.south) { $A$ : \textcolor{red}{$4$ lignes} $3$ colonnes};
\matrix (B) [matrix of math nodes,%
             nodes = {node style ge},%
             left delimiter  = (,%
             right delimiter =)] at (5*\myunit,5*\myunit)
{% 
  b_{11} & \node[node style sp] {b_{12}};& b_{13} & b_{14} & b_{15}\\ 
  b_{21} & \node[node style sp] {b_{22}}; & b_{23}& b_{24} & b_{25} \\ 
  b_{31} & \node[node style sp] {b_{32}}; & b_{33} & b_{34} & b_{35} \\ 
};
\node [draw,above] at (B.north) { $B$ : $3$ lignes \textcolor{red}{$5$ colonnes}}; 
% matrice résultat
\matrix (C) [matrix of math nodes,%
             nodes = {node style ge},%
             left delimiter  = (,%
             right delimiter = )] at (5*\myunit,0)
{% 
  p_{11} & p_{12} & p_{13} & p_{14} & p_{15}\\ 
  p_{21}&  \node[node style sp,red] {p_{22}};& p_{23} & p_{24} & p_{25}\\ 
  p_{31}& p_{32} & p_{33} & p_{34} & p_{35}\\ 
  p_{41}&  p_{42} &  p_{43} & p_{44} & p_{45}\\
}; 
\node [draw,below] at (C.south) {$ P=A\times B$ : \textcolor{red}{$4$ lignes}  \textcolor{red}{$5$ colonnes}};
% arrows
\draw[blue] (A-2-1.north) -- (C-2-2.north);
\draw[blue] (A-2-1.south) -- (C-2-2.south);
\draw[blue] (B-1-2.west)  -- (C-2-2.west);
\draw[blue] (B-1-2.east)  -- (C-2-2.east);
 \draw[<->,red](A-2-1) to[in=180,out=90] (B-1-2);%
%       node[arrow style mul] (x) {$a_{21}\times b_{12}$};
 \draw[<->,red](A-2-2) to[in=180,out=90](B-2-2);%
%       node[arrow style mul] (y) {$a_{22}\times b_{22}$};
 \draw[<->,red](A-2-3) to[in=180,out=90](B-3-2);%
%       node[arrow style mul] (z) {$a_{23}\times b_{32}$};
% \draw[red,->] (x) to node[arrow style plus] {${\Large +}$} (y)%
%                   to node[arrow style plus] {${\Large +}$} (z);
%                   %
%                   % to (C-3-3.north west);
% \draw[->,red,decorate,decoration=zigzag] (z) -- (C-2-2.north west);
\end{tikzpicture} 
\end{center}

Nous  mettrons au  point des  fonctions nous  permettant de  calculer le
produit de deux matrices.





\begin{recherche}
  Montrez que $(\bba^{n\times n},+,\times)$ est un anneau. Est-il commutatif? 

On notera $\bbi_n$ l'élément neutre de $(\bba^{n\times n},\times)$: quelle est sa tête?
\end{recherche}



\subsubsection{Transposée d'une matrice}


Soit $M\in \bba^{n\times p}$. Sa transposée est la matrice $T$ de $\bba^{p\times n}$ définie par 

$$T_{ij}=A_{ji}$$

On note le plus souvent $T= \tr A$.




En pratique, on échange lignes et colonnes.

\begin{recherche}
  Démontrez que $\tr (A\times B) = \tr A \times \tr B$.
\end{recherche}




\subsection{Matrice carrée inversible}


Soit  $M\in  \bba^{n\times n}$.  M  est  inversible  (régulière) si,  et
seulement si, il existe une matrice N dans $\bba^{n\times n}$ telle que: 
 

$$M\times N = N \times M = \bbi_n$$

On note alors $N=M^{-1}$. 

On remarque (n'est-ce pas) que, d'après cette définition, $(M^{-1})^{-1}=M$.


Lorsque nous  aurons étudier  les déterminants, nous  pourrons démontrer
que  si A  et  B sont  deux  matrices carrées  de  taille $n$  vérifiant
$A\times B=\bbi_n$, alors elles sont régulières et $A=B^{-1}$.


\begin{recherche}
Si   A  et  B  sont  régulières   et  de  taille  $n$,
  alors comment calculer  $(A\times B)^{-1}$ à partir des  inverses de A
  te B?
\end{recherche}

\subsection{Opérations sur les lignes}



\subsubsection{Matrices élémentaires}

Nous désignerons  par $E_n^{ij}$ la  matrice carrée de  $\bba^{n\times n}$
dont tous  les coefficients  sont nuls sauf  le coefficient  $(i,j)$ qui
vaut $1_{\bba}$.
Par exemple, $E_3^{12}=\left(
\begin{smallmatrix}
  0&1&0\\
  0&0&0\\
  0&0&0\\
\end{smallmatrix}\right)
$ dans $\bbz^{3\times 3}$.




\setindent{0cm}
\begin{flushleft}
\begin{minipage}[t]{3cm}
\begin{figure}
  \includegraphics[width=3.1cm]{kronecker}
\caption{Leoplod \bsc{Kronecker} \\ (1823-1891)}
\end{figure}
\end{minipage}
\end{flushleft}
\setindent{\indentationcours}
\vspace{-5.3cm}

Leopold \textsc{Kronecker} est un mathématicien prussien né dans l'actuelle
Pologne. On lui doit la célèbre citation: \og \textit{Die ganzen Zahlen
hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk}\fg{}.


En son honneur, on a donné son nom à la fonction suivante:
$$\delta\colon\begin{array}{rll} \bbn\times\bbn  &\to & \bigl\{0;1\bigr\}
\\ (i,j) & \mapsto & 1 \text{ si } i=j, \ 0 \text{ sinon}\end{array}$$


On condense  souvent la notation en  $\delta_{ij}$ et on  parle alors de
\textbf{symbole de \textsc{Kronecker}}. Par exemple, la matrice identité
peut être définie par:

$$\bbi_n=(\delta_{ij})_{\substack{1  \leqslant i  \leqslant n\\ 1  \leqslant j
\leqslant n}}$$

\begin{recherche}
  Étudiez le  produit $E_n^{ij}\times E_n^{\ell k}$ et  exprimez-le à l'aide
  du symbole de \textsc{Kronecker}.

Simplifiez ensuite  le produit $(\bbi_n+\lambda E_n^{ij})\times(\bbi_n-\lambda E_n^{ij})$:
qu'en concluez-vous?
\end{recherche}


\subsubsection{Transvections de lignes}

On s'intéresse à la fonction:


$$T^{ij}_\lambda \colon\begin{array}{rll}\bba^{n\times p} &\to &\bba^{n\times p}
\\ M & \mapsto & (\bbi_n+\lambda E_n^{ij})\times M \end{array}$$


Calculez par exemple l'image par $T_\lambda ^{23}$ de $\left(
\begin{smallmatrix}
  a_1&b_1&c_1&d_1\\
  a_2&b_2&c_2&d_2\\
  a_3&b_3&c_3&d_3\\
\end{smallmatrix}\right)$

Ainsi, $T_\lambda ^{ij}(M)$ permet d'obtenir  la matrice construite à partir de
M en remplaçant la ligne $i$ par elle-même plus $\lambda $ fois la ligne $j$.

On   note  plus   commodément  cette   transformation   $L_i  \leftarrow
L_i\boxplus (\lambda \boxdot L_j)$.

Vous  aurez  bien  noté  que $(\bbi_n+\lambda  E_n^{ij})^{-1}  =  \bbi_n-\lambda
E_n^{ij}$.


\subsubsection{Dilatations de lignes}

On  veut effectuer  l'opération  $L_i\leftarrow \lambda \boxdot  L_i$. On  note
$$\Delta_n^{i,\lambda }= \bbi_n+(\lambda \boxplus (-1_{\bba}))E_n^{ii}$$

Calculez par exemple le produit de $\Delta_3^{2,\lambda}$ par $\left(
\begin{smallmatrix}
  a_1&b_1&c_1&d_1\\
  a_2&b_2&c_2&d_2\\
  a_3&b_3&c_3&d_3\\
\end{smallmatrix}\right)$


Le produit par $\Delta_n^{i,\lambda }$ est une dilatation de ligne.


\subsubsection{Échange de lignes}


On    considère   la    matrice   $S^{ij}_n=\Delta_n^{j,-1_{\bba}}\times
(\bbi_n+E_n^{ij})\times (\bbi_n-E_n^{ji})\times (\bbi_n+E_n^{ij})$.

Développez ce produit. Que vaut  le produit de $S_3^{23}$ par $\left(
\begin{smallmatrix}
  a_1&b_1&c_1&d_1\\
  a_2&b_2&c_2&d_2\\
  a_3&b_3&c_3&d_3\\
\end{smallmatrix}\right)$?

On note cette opération $L_i\leftrightarrow L_j$.


\subsubsection{Opérations sur les lignes}


De manière  plus générale, une fonction $\varphi$  de $\bba^{n\times p}$
dans  lui-même est  une \textbf{opération  sur les  lignes} si  c'est la
composée finie de transvections et de dilatations de lignes.

L'image d'une matrice par $\varphi$ est donc le produit à gauche par des
matrices de transvections ou de dilatations:

$$\varphi : M\mapsto ( F_k \times F_{k-1}\cdots \times F_1)\times M$$

avec chaque  $F_i$ inversible. La fonction $\varphi$  est donc elle-même
totale bijective et sa réciproque est: 


$$\varphi^{-1}  :  N\mapsto (  F_1^{-1}  \times F_{2}^{-1}\cdots  \times
F_k^{-1})\times N$$


On en déduit en particulier que  l'inverse de $\varphi \left( \bbi_{n}\right) $ existe et
que c'est $\varphi ^{-1}\left( \bbi_{n}\right) .$


\subsubsection{Lien avec les matrices régulières}

Voici  un théorème  important qui  nous  sera très  utile pour  calculer
l'inverse d'une matrice régulière. 


\begin{theoreme}
$\varphi $ étant une opération élémentaire sur les lignes,%

$$
M\text{ inversible}\lequiv \varphi (M)\text{ inversible}
$$

\end{theoreme}



En effet nous savons que $\varphi (M)=\varphi (\bbi_n)\times M.$ Si $M$ est
inversible, $\varphi (M)$ s'exprime comme le produit de deux matrices
inversibles et elle est donc inversible. Supposons maintenant $\varphi (M)$
inversible, comme $\varphi (\bbi_n)$ est inversible on obtient : 
$$
\varphi (\bbi_n)^{-1}\times \varphi (M)=\varphi (\bbi_n)^{-1}\times \left(
\varphi (\bbi_n)\times M\right)
$$%
qui se transforme en 
$$
\varphi (\bbi_n)^{-1}\times \varphi (M)=\left( \varphi (\bbi_n)^{-1}\times
\varphi (\bbi_n)\right) \times M=\bbi_n\times M
$$%
et en définitive 
$$
M=\varphi (\bbi_n)^{-1}\times \varphi (M)=\varphi ^{-1}(\bbi_n)\times \varphi
(M)
$$%
$M$ s'exprimant comme le produit de deux matrices inversibles est inversible.

\begin{theoreme}
Si $\varphi _{1},\varphi _{2},....,\varphi _{k}$ est une suite d'opé%
rations sur les lignes de $M$ qui transforme $M$ en $\bbi_n$ alors $M$ est
inversible et 
$$
M^{-1}=\varphi _{k}(\bbi_n)\times \varphi _{k-1}(\bbi_n)\times ....\times
\varphi _{1}(\bbi_n)=\varphi _{k}\circ \varphi _{k-1}\circ ...\circ \varphi
_{1}(\bbi_n)
$$
\end{theoreme}

En effet, si nous avons $\varphi _{k}\circ \varphi _{k-1}\circ ...\circ
\varphi _{1}(M)=\bbi_n$ alors%
$$
\varphi _{k}\circ \varphi _{k-1}\circ ...\circ \varphi _{1}(M)=\bbi_n=\left(
\varphi _{k}(\bbi_n)\times \varphi _{k-1}(\bbi_n)\times ....\times \varphi
_{1}(\bbi_n)\right) \times M
$$%
Nous avons trouvé une matrice carrée qui multipliant $M$ donne $%
\bbi_n,$ c'est son inverse.

Le théorème précédent nous indique une méthode pour
trouver l'inverse de $M$ (s'il  existe), nous allons étudier plus en
détail cette technique et nous démontrerons plus loin que s'il est
impossible de transformer $M$ en $\bbi_n$ en utilisant les opérations 
élémentaires sur les lignes, alors $M$ n'est pas inversible.


\section{Rang d'une matrice}




Dans  tout   ce  qui  suit  nous  allons   utiliser  les  opérations
élémentaires sur les lignes d'une matrice et on travaille dans
$\bba^{n\times p}$.

\subsection{Matrices ligne-équivalentes}

Nous dirons que deux matrices $M$ et $N$ sont \textbf{ligne-équivalentes}
si, et seulement si, il existe une suite finie $\left( \varphi _{i}\right)
_{i\in \mathbb{N}_{k}}$ d'opérations élémentaires sur les lignes
de sorte que 

$$N=\varphi _{k}\circ \varphi _{k-1}\circ ...\circ \varphi_{1}(M)$$

 Nous écrirons alors $M\overset{\ell}{\equiv }N.$ La relation $%
\overset{\ell}{\equiv }$ est manifestement une relation d'équivalence
sur $\bba^{n\times p}$, on démontre sans peine que%
\begin{equation*}
\begin{array}{l}
M\overset{\ell}{\equiv }M \\ 
M\overset{\ell}{\equiv }N\limp N\overset{\ell}{\equiv }M \\ 
\left( M\overset{\ell}{\equiv }N\text{ et }N\overset{\ell}{\equiv }C\right)
\limp M\overset{\ell}{\equiv }C%
\end{array}%
\end{equation*}%
Nous savons que $\varphi _{k}\circ \varphi _{k-1}\circ ...\circ \varphi
_{1}(M)=\varphi _{k}\circ \varphi _{k-1}\circ ...\circ \varphi
_{1}(\bbi_n )\times M,$ par conséquent nous aurons $M\overset{\ell}{\equiv 
}N$ s'il existe une matrice $R$ inversible vérifiant 
\begin{equation*}
N=R\times M
\end{equation*}%
$R$ étant le résultat du produit de matrices du type $\varphi
(\bbi_n ).$ Pour obtenir cette matrice $R$ il suffit d'appliquer
successivement en parallèle les opérations élémentaires qui
transforment $M$ en $N$ sur $\bbi_n .$ Pour cela on utilise un tableau où
l'on juxtapose $M$ et $\bbi_n ,$ $M$ étant la partie gauche et $\bbi_n $ la
partie droite de ce tableau. Toute opération élémentaire sur les
lignes effectuée sur la partie gauche est simultanément effectué%
e sur la partie droite.

\begin{equation*}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
opérations\textbf{\ }$\varphi $ & Partie gauche & Partie droite & 
Remarques \\ \hline
& $M$ & $\bbi_n $ & initialisation du tableau \\ \hline
$\varphi _{1}$ & $M_{1}$ & $R_{1}$ & $M_{1}=\varphi _{1}(M),$ $R_{1}=\varphi
_{1}(\bbi_n )$ \\ \hline
$\varphi _{2}$ & $M_{2}$ & $R_{2}$ & $M_{2}=\varphi _{2}(M_{1}),$ $%
R_{2}=\varphi _{2}(R_{1})$ \\ \hline
$\vdots $ & $\vdots $ & $\vdots $ & $\vdots $ \\ \hline
$\varphi _{i}$ & $M_{i}$ & $R_{i}$ & $M_{i}=R_{i}\times M$ \\ \hline
$\vdots $ & $\vdots $ & $\vdots $ & $\vdots $ \\ \hline
$\varphi _{k}$ & $N$ & $R$ & $N=R\times M$ \\ \hline
\end{tabular}%
\end{equation*}

\subsection{L réduite échelonnée}

La matrice $M=\left( m_{ij}\right) \in \bba^{n\times p}(\mathbb{K)}$ est
dite \textbf{$\bm \ell$-réduite} ($\bm \ell$ pour \og ligne\fg{}) si, et seulement si, elle satisfait aux
conditions suivantes :

\begin{enumerate}
\item Toutes les lignes nulles (une ligne est nulle si elle ne comporte que
des zéros) sont au-dessous des lignes non nulles.

\item Dans chaque ligne non nulle le premier élément non nul est $ 1_{\bba}$
(on lit une ligne de la gauche vers la droite), ce $ 1_{\bba}$ est appelé\textbf{ pivot} ou 
élément pivot. La colonne où se trouve ce $ 1_{\bba}$ est appelée
colonne pivot et c'est le seul élément non nul de cette colonne.

\item Si, \textbf{de plus}, les pivots apparaissent en ordre croissant par
numéro de ligne \textbf{et} numéro de colonne, on dit que $M$ est 
\textbf{$\bm \ell$-réduite échelonnée }(en abrégé lré ou LR%
é).
\end{enumerate}

\begin{equation*}
\begin{array}{cc}
\begin{tabular}{l|}
1 \\ \hline
\end{tabular}
&  \\ 
& 
\begin{tabular}{|l}
\hline
Zone du prochain pivot%
\end{tabular}%
\end{array}%
\end{equation*}%
\vspace{0.3cm}

Donnons quelques exemples de matrices entières: 
\begin{eqnarray*}
&&\left( 
\begin{array}{cccc}
0 & 
\begin{tabular}{|l|}
\hline
1 \\ \hline
\end{tabular}
& 2 & 0 \\ 
\begin{tabular}{|l|}
\hline
1 \\ \hline
\end{tabular}
& 0 & 3 & -1 \\ 
0 & 0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) \text{ est $ \ell$-réduite non échelonnée} \\
&&\left( 
\begin{array}{ccc}
0 & 
\begin{tabular}{|l|}
\hline
1 \\ \hline
\end{tabular}
& 0 \\ 
0 & 2 & 0 \\ 
0 & 0 & 
\begin{tabular}{|l|}
\hline
1 \\ \hline
\end{tabular}%
\end{array}%
\right) \text{ n'est pas $ \ell$-réduite} \\
&&\left( 
\begin{array}{ccc}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
1 \\ \hline
\end{tabular}
& -2 & 0 \\ 
0 & 0 & 
\begin{tabular}{|l|}
\hline
1 \\ \hline
\end{tabular}
\\ 
0 & 0 & 0 \\ 
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) \text{ est $ \ell$-réduite échelonnée}
\end{eqnarray*}

\begin{theoreme}
Pour toute matrice $M\in \bba^{n\times p}$, il existe une unique matrice $ \ell$-r%
éduite   échelonnée  $N~\in~\bba^{n\times   p}$   telle  que
$M\overset{\ell}{\equiv }N,$ $N$ est appelée la $ \ell$-réduite échelonnée de $%
M$ que l'on peut noter par $N=\text{lré}\left( M\right) .$
\end{theoreme}

La démonstration de ce théorème se fait par récurrence sur $%
n $ et elle est un peu difficile.

Le \textbf{rang} de $M$, noté $\limfunc{rang}(M)$, est le nombre de
lignes non nulles de sa $ \ell$-réduite échelonnée, c'est donc aussi
le nombre de pivots da sa lré. $M$ est dite de plein rang si son rang
est égal à son nombre de lignes.

Nous énoncons les évidences (conséquences directes de la dé%
finition) :

\begin{enumerate}
\item Si $M\in \bba^{n\times p}$ le rang de $M$ est inférieur ou é%
gal à $n$ \textbf{et }à\textbf{\ }$p.$

\item Si $M\in \bba^{n\times n}$ et si $\limfunc{rang}(M)=n$ alors sa $ \ell$-ré%
duite échelonnée est $\bbi_n $ et nous avons précédemment d%
émontré que dans ce cas $M$ est inversible.

\item Deux matrices ligne-équivalentes ont la même $ \ell$-réduite 
échelonnée et ont donc même rang.

\item Si $M^{\prime }$ est une matrice extraite de $M,$ on a $\limfunc{rang}%
\left( M^{\prime }\right) \leq \limfunc{rang}\left( M\right) .$
\end{enumerate}











\section{Algorithme Fang-Tcheng}


\setindent{0cm}
\begin{flushleft}
\begin{minipage}[t]{3cm}
\begin{figure}
  \includegraphics[width=3cm]{wjordan}
\caption{Wilhelm \bsc{Jordan} \\ (1842-1899)}
\end{figure}
\end{minipage}
\end{flushleft}
\setindent{\indentationcours}
\vspace{-5.3cm}

Notre eurocentrisme préfère nommer cet algorithme \textsc{Gauss-Jordan}...

Nous allons le présenter sur un exemple. Soit à chercher la $\ell$-ré%
duite échelonnée de la matrice 
\begin{equation*}
A=\left( 
\begin{array}{rrrr}
2 & 5 & -2 & 3 \\ 
3 & 6 & 3 & 6 \\ 
1 & 2 & -1 & 2%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
Nous allons faire appara\^{\i}tre les pivots ordonnés par numéro de
ligne et numéro de colonne, cela veut dire que si un pivot (qui sera
toujours égal à 1) est obtenu à la ligne $i$ et colonne $j,$ le
pivot suivant sera au moins\ en ligne $i+1$ et en colonne $j+1$ et on
s'imposera de trouver la solution minimale en numéro de ligne et numé%
ro de colonne.

\begin{itemize}
\item \textbf{Première étape.} On repère l'élément de la
première colonne qui est le plus grand en valeur absolue (il peut y
avoir plusieurs choix). Si le résultat est nul (la première colonne
ne contient que des zéros), la première colonne ne peut être une
colonne pivot et on passe à la colonne suivante. Ici c'est 3 qui se
trouve sur la deuxième ligne première colonne. On permute alors la
première ligne avec la deuxième ligne et on obtient%
\begin{equation*}
A_{1}=\left( 
\begin{array}{rrrr}
3 & 6 & 3 & 6 \\ 
2 & 5 & -2 & 3 \\ 
1 & 2 & -1 & 2%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
On divise tous les éléments de la première ligne par 3 : 
\begin{equation*}
A_{2}=\left( 
\begin{array}{rrrr}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
1 \\ \hline
\end{tabular}
& 2 & 1 & 2 \\ 
2 & 5 & -2 & 3 \\ 
1 & 2 & -1 & 2%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
On fait appara\^{\i}tre ensuite des zéros sous le premier 1 de la premi%
ère colonne en utilisant les opérations $L_{2}\leftarrow
L_{2}-2L_{1} $ et $L_{3}\leftarrow L_{3}-1L_{1}$ : 
\begin{equation*}
A_{3}=\left( 
\begin{array}{rrrr}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
1 \\ \hline
\end{tabular}
& 2 & 1 & 2 \\ 
0 & 1 & -4 & -1 \\ 
0 & 0 & -2 & 0%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
La première colonne est une colonne pivot et elle ne devra pas être
modifiée par la suite.

\item \textbf{Deuxième étape.} On repère dans la deuxième
colonne (en fait la colonne qui suit la dernière colonne pivot obtenue), 
à partir de la deu\-xième ligne (en fait à partir du numéro
de ligne qui suit le numéro de la ligne qui a donné le dernier
pivot), le plus grand élément en valeur absolue (si on obtient zé%
ro on passe à la colonne suivante, etc$\cdots ).$ Ici on obtient 1 qui
se trouve sur la deuxième ligne et deuxième colonne et il n'y a pas
de permutation de lignes à faire. Maintenant il faut faire appara\^{\i}%
tre des zéros dans la colonne pivot en ligne 1 et en ligne 3. On utilise
les opérations $L_{1}\leftarrow L_{1}-2L_{2}$ et $L_{3}\leftarrow
L_{3}-0L_{2}$ (qui ne sert à rien) ; on obtient : 
\begin{equation*}
A_{4}=\left( 
\begin{array}{rrrr}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
1 \\ \hline
\end{tabular}
& 0 & 9 & 4 \\ 
0 & 
\begin{tabular}{|l|}
\hline
1 \\ \hline
\end{tabular}
& -4 & -1 \\ 
0 & 0 & -2 & 0%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
La deuxième colonne est une colonne pivot, elle ne devra pas être
mo\-difiée dans la suite.

\item \textbf{Troisième étape. }On repère dans la colonne qui
suit la dernière colonne pivot obtenue et à partir de la ligne qui
suit la ligne qui a donné le dernier pivot le plus grand élément
en valeur asolue. Ici c'est -2 qui se trouve sur la troisième ligne et
troisième colonne, la troisième colonne est alors la troisième
colonne pivot. Il n'y a pas de permutation de lignes à faire, nous
n'avons qu'à faire appara\^{\i}tre un 1 à la place de -2 puis faire
appara\^{\i}tre des zéros dans la colonne pivot en conservant é%
videmment le pivot 1. Appliquons à $A_{4}$ l'opération $%
L_{3}\leftarrow -\frac{1}{2}L_{3}$%
\begin{equation*}
A_{5}=\left( 
\begin{array}{rrrr}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
1 \\ \hline
\end{tabular}
& 0 & 9 & 4 \\ 
0 & 
\begin{tabular}{|l|}
\hline
1 \\ \hline
\end{tabular}
& -4 & -1 \\ 
0 & 0 & 1 & 0%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
puis appliquons $L_{1}\leftarrow L_{1}-9L_{3}$ et $L_{2}\leftarrow
L_{2}+4L_{3}$%
\begin{equation*}
A_{6}=\left( 
\begin{array}{rrrr}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
1 \\ \hline
\end{tabular}
& 0 & 0 & 4 \\ 
0 & 
\begin{tabular}{|l|}
\hline
1 \\ \hline
\end{tabular}
& 0 & -1 \\ 
0 & 0 & 
\begin{tabular}{|l|}
\hline
1 \\ \hline
\end{tabular}
& 0%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
Nous venons d'obtenir la $\ell$-réduite échelonnée de $A,$ $A$ est de
rang 3.
\end{itemize}


Nous avons utilisé, ici, la méthode dite du pivot partiel en
cherchant dans chaque colonne le plus grand élément en valeur
absolue. Si nous avions choisi de prendre le premier élément rencontr%
é non nul, en vertu de l'unicité de la $\ell$-réduite échelonn%
ée, nous aurions obtenu le même résultat final. Il est conseill%
é, en programmation, d'utiliser la méthode dite pivot partiel pour 
éviter une trop grande propagation des erreurs lors des divisions par
des petits nombres. Si on fait les calculs à la main il vaut mieux se
contenter de choisir, tant que c'est possible, des nombres sympathiques.


\begin{theoreme}
$A$ est une matrice carrée d'ordre $n$ inversible si, et seulement si,
le rang de $A$ est égal à $n.$
\end{theoreme}

Nous avons en fait déjà démontré une partie de ce théor%
ème mais, vu son importance, nous allons reprendre ce qui a été
dit. Supposons donc que le rang de $A$ est égal à $n,$ dans ces
conditions la $\ell$-réduite échelonnée de $A$ est $\bbi_n ,$ cela
signifie que $A\overset{\ell}{\equiv }\bbi_n $ et donc qu'il existe $A^{\prime
}$ vérifiant $A^{\prime }\times A=\bbi_n ,$ $A^{\prime }$ est l'inverse de 
$A.$ Supposons maintenant que la rang de $A$ est strictement inférieur 
à $n,$ il est alors s\^{u}r que la dernière ligne de la $\ell$-ré%
duite échelonnée de $A$ est une ligne nulle. Notons $B$ cette $\ell$-r%
éduite échelonnée, nous savons que $A$ inversible équivaut 
à écrire que $B$ est inversible puisque $A\overset{\ell}{\equiv }B.$
Supposons $B$ inversible, il existe alors $B^{\prime }$ vérifiant $%
B\times B^{\prime }=\bbi_n $ or cette égalité est impossible car la
dernière ligne de $B$ étant nulle, la dernière ligne du produit $%
B\times B^{\prime }$ sera aussi nulle et donc distincte de la dernière
ligne de $\bbi_n .$ Nous venons de démontrer%
\begin{equation*}
\text{rg}\left( A\right) <n\limp A\text{ non inversible}
\end{equation*}%
et donc $A$ inversible $\limp \text{rg}\left( A\right) =n$.

\textbf{Pratique : }pour rechercher la matrice inverse de $A$, si elle
existe, on applique simultanément sur $\bbi_n $ les opérations faites
pour déterminer la $\ell$-réduite échelonnée de $A.$ Pour cela on
considère le tableau 
\begin{equation*}
\left[ A\left\vert \bbi_n \right. \right]
\end{equation*}%
on applique l'algorithme Fang Tcheng %\begin{CJK}{UTF8}{song}  方程 \end{CJK} ^J à $A,$ la partie gauche du
tableau, et chaque opération faite sur la partie gauche est reproduite
sur la partie droite. Si la $\ell$-réduite de $A$ est la matrice $\bbi_n $ (le r%
ésultat de la partie gauche est $\bbi_n )$ alors $A$ est inversible et sa
matrice inverse est donnée par la partie droite. Si la partie gauche ne
donne pas $\bbi_n ,$ $A$ n'est pas inversible, son rang est strictement inf%
érieur à $n.$


\section{Résolution de systèmes}




\subsection{Généralités}

\setindent{0cm}
\begin{flushleft}
\begin{minipage}[t]{3cm}
\begin{figure}
  \includegraphics[width=3cm]{cramer}
\caption{Gabriel \bsc{Cramer} \\ (1704-1752)}
\end{figure}
\end{minipage}
\end{flushleft}
\setindent{\indentationcours}
\vspace{-4.5cm}

On appelle \textbf{système de }$n$\textbf{\ équations linéaires 
à }$p$\textbf{\ inconnues} dans $\mathbb{A}$  tout système de la forme : 
\begin{equation*}
(S):\left\{ 
\begin{array}{c}
\sum\limits_{j=1}^{p}a_{i,j}x_{j}=b_{i} \\ 
i\in \left\{ 1,2,\cdots ,n\right\} \\ 
a_{i,j}\text{ et }b_{i}\in \mathbb{K}%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}%
Soit aussi%
\begin{equation*}
(S):\left\{ 
\begin{array}{c}
a_{1,1}x_{1}+a_{1,2}x_{2}+\cdots +a_{1,p}x_{p}=b_{1} \\ 
\vdots \\ 
a_{n,1}x_{1}+a_{n,2}x_{2}+\cdots +a_{n,p}x_{p}=b_{p}%
\end{array}%
\right. \vspace{0.2cm}
\end{equation*}%
$x_{1},x_{2},\cdots ,x_{p}$ sont les $p$ inconnues, les $a_{i,j}$ sont appel%
és les coefficients du système $(S)$ et les $b_{i}$ sont appelés
les seconds membres (ce sont aussi des coefficients du système $(S)).$

Notons $A=(a_{i,j})\in \bba^{n\times p}$ ($A$ est appelée
la matrice du système).

$X=\left( 
\begin{array}{c}
x_{1} \\ 
x_{2} \\ 
\vdots \\ 
x_{p}%
\end{array}
\right) $ est la matrice colonne des inconnues et $B=\left( 
\begin{array}{c}
b_{1} \\ 
b_{2} \\ 
\vdots \\ 
b_{n}%
\end{array}
\right) $ est la matrice colonne des seconds membres, le système $(S)$ s'%
écrit matriciellement : 
\begin{equation*}
\left( 
\begin{array}{cccccc}
a_{1,1} & a_{1,2} & . & . & . & a_{1,p} \\ 
a_{2,1} & a_{2,2} & . & . & . & a_{2,p} \\ 
. & . & . & . & . & . \\ 
. & . & . & . & . & . \\ 
a_{n,1} & a_{n,2} & . & . & . & a_{n,p}%
\end{array}
\right) \times \left( 
\begin{array}{c}
x_{1} \\ 
x_{2} \\ 
\vdots \\ 
x_{p}%
\end{array}
\right) =\left( 
\begin{array}{c}
b_{1} \\ 
b_{2} \\ 
\vdots \\ 
b_{n}%
\end{array}
\right)
\end{equation*}
soit aussi 
\begin{equation*}
A\times X=B\text{ ou }^{t}X\times ^{t}A=^{t}B
\end{equation*}

Résoudre le système $(S)$ c'est chercher tous les $p$-uplets $%
(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{p})$ de $\mathbb{A}^{p}$ qui vérifient simultan%
ément les $n$ équations. C'est aussi chercher toutes les matrices $%
X=\left( 
\begin{array}{c}
x_{1} \\ 
x_{2} \\ 
\vdots \\ 
x_{p}%
\end{array}%
\right) \in \bba^{p\times 1}$ vérifiant l'égalité
matricielle $A\times X=B.$ C'est pourquoi, dans ce qui suit, nous serons
souvent amenés à confondre le $p$-uplet $(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{p})$
avec la matrice colonne $\left( 
\begin{array}{c}
x_{1} \\ 
x_{2} \\ 
\vdots \\ 
x_{p}%
\end{array}%
\right) .$ Attention, en informatique et plus particulièrement en ré%
seaux, le $p$-uplet $(x,x_{2},\cdots ,x_{p})$ est aussi noté
matriciellement par 
\begin{equation*}
\left( 
\begin{array}{llll}
x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{p}%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
qui n'est autre que la transposée de $X.$

Le système est dit\textbf{\ homogène} si, et seulement si, tous les
seconds membres (les coefficients $b_{i}$) sont nuls. Dans ce cas le syst%
ème admet forcément au moins une solution : la solution nulle ou
solution banale qui est le $p$-uplet 
\begin{equation*}
(0,0,\cdots ,0)\in \mathbb{A}^{p}
\end{equation*}%
ou bien la matrice nulle $0_{p,1}$ si on note matriciellement cette solution.

Le système $A\times X=B$ est dit \textbf{régulier} ou de \textbf{%
Cramer} si, et seulement si, il a autant d'équations que d'inconnues et
si $A$ est inversible (le système ayant autant d'équations que
d'inconnues on a $n=p$ et $A$ est une matrice carrée$).$ $A$ étant
inversible, $A^{-1}$ existe et 
\begin{eqnarray*}
A\times X &=&B\text{ se transforme en} \\
A^{-1}\times (A\times X) &=&A^{-1}\times B,\text{ c'est-à-dire} \\
X &=&A^{-1}\times B
\end{eqnarray*}%
Le système admet donc au moins une solution qui est $A^{-1}\times B.$
Nous allons prouver qu'il n'y en a pas d'autre. Pour cela supposons
l'existence d'une autre solution $X^{\prime },$ nous avons alors simultan%
ément 
\begin{equation*}
A\times X=B\text{ et }A\times X^{\prime }=B
\end{equation*}%
En retranchant membre à membre on obtient : 
\begin{equation*}
A\times (X-X^{\prime })=0_{n,1}
\end{equation*}%
Multiplions maintenant les deux membres par $A^{-1}$%
\begin{eqnarray*}
A^{-1}\times \left( A\times (X-X^{\prime })\right) &=&A^{-1}\times
0_{n,1}=0_{n,1} \\
(A^{-1}\times A)\times (X-X^{\prime }) &=&0_{n,1} \\
\bbi_n \times (X-X^{\prime }) &=&0_{n,1}=X-X^{\prime }\text{ et pour finir} \\
X &=&X^{\prime }
\end{eqnarray*}%
Nous retiendrons que si le système $A\times X=B$ est tel que $A$ est
inversible (il est nécessaire que $A$ soit carrée et donc que le syst%
ème possède autant d'équations que d'inconnues) alors il admet
une unique solution qui est 
\begin{equation*}
X=A^{-1}\times B
\end{equation*}

\subsection{Systèmes équivalents et résolution}

Deux systèmes linéaires $(S)$ et $(S^{\prime })$ sont \textbf{é%
quivalents }si, et seulement si, ils possèdent le même ensemble
solution.

Nous allons définir trois opérations élémentaires :

\begin{enumerate}
\item Multiplication d'une équation par un scalaire (un élément
de $\mathbb{A)}$ non nul. Si $E_{i}$ est la $i\eme$ équation,
le résultat de la multiplication de $E_{i}$ par $\alpha \in \mathbb{A}$
est noté $\alpha E_{i}$ et nous écrirons $E_{i}\leftarrow \alpha
E_{i}.$%
\begin{eqnarray*}
E_{i} &:&\sum\limits_{j=1}^{p}a_{i,j}x_{j}=b_{i} \\
\alpha E_{i} &:&\sum\limits_{j=1}^{p}\alpha a_{i,j}x_{j}=\alpha b_{i}
\end{eqnarray*}%
Pour retrouver l'équation initiale il suffit de multiplier l'é%
quation obtenue par $\frac{1}{\alpha }$ et par conséquent le système
obtenu par cette opération est équi\-valent au système initial.

\item Permutation de deux équations, nous noterons $E_{i}%
\longleftrightarrow E_{j}$ l'opération qui consiste à permuter l'%
équation numéro $i$ avec l'équation numéro $j.$ Pour
retrouver le système initial il suffit d'appliquer de nouveau cette op%
ération, cela nous permet d'affirmer que cette opération transforme
un système en un système équivalent.

\item Ajout à une équation une autre équation multipliée par
un scalaire : si on ajoute à l'équation $E_{i}$ l'équation $%
E_{h\neq i}$ multipliée par $\beta $ nous noterons $E_{i}\leftarrow
E_{i}+\beta E_{h}$%
\begin{equation*}
\left\{ 
\begin{array}{l}
E_{i}:\sum\limits_{j=1}^{p}a_{i,j}x_{j}=b_{i} \\ 
E_{h}:\sum\limits_{j=1}^{p}a_{h,j}x_{j}=b_{h} \\ 
E_{i}\leftarrow E_{i}+\beta E_{h}:\sum\limits_{j=1}^{p}(a_{i,j}+\beta
a_{h,j})x_{j}=b_{i}+\beta b_{h}%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}%
Pour retrouver l'équation de départ il suffit d'appliquer au ré%
sultat l'opéra\-tion $E_{i}\leftarrow E_{i}-\beta E_{h}$ et cette opé%
ration, comme les précédentes, transforme un système en un syst%
ème équivalent.
\end{enumerate}

Nous allons maintenant passer à la résolution : nous pouvons é%
crire le système 
\begin{equation*}
(S):\left\{ 
\begin{array}{c}
\sum\limits_{j=1}^{p}a_{i,j}x_{j}=b_{i} \\ 
i\in \left\{ 1,2,\cdots ,n\right\} \\ 
a_{i,j}\text{ et }b_{i}\in \mathbb{A}%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}%
sous la forme 
\begin{equation*}
\left[ A\mid B\right]
\end{equation*}%
où $A$ est la matrice du système et $B$ la matrice colonne des
seconds membres. Nous notons $T$ cette matrice (ou ce tableau), le nombre de
lignes de $T$ est égal au nombre de lignes de $A$ soit aussi le nombre d'%
équations de $\left( S\right) ,$ le nombre de colonnes de $T$ est é%
gal au nombre de colonnes de $A+1$ soit aussi le nombre d'inconnues $+1.$
Les opérations élémentaires sur les équations sont alors des
opérations élémentaires sur les lignes de ce tableau, les opé%
rations se faisant simultanément sur la partie gauche et sur la partie
droite, c'est-à-dire sur le tableau $T.$ Appliquons à ce tableau
l'algorithme de Gauss-Jordan pour obtenir la $ \ell$-réduite échelonné%
e de $A$ (on ne cherchera pas pour le moment à faire appara\^{\i}tre un
pivot dans la dernière colonne du tableau) et notons $R$ cette $ \ell$-ré%
duite échelonnée. Nous notons le résultat 
\begin{equation*}
T^{\prime }=\left[ R\mid H\right] ,R=\text{lré}\left( A\right)
\end{equation*}%
Le système est alors devenu $R\times X=H.$ Comme on a $A\overset{\ell}{%
\equiv }R$ et $B\overset{\ell}{\equiv }H$, il existe $P$ (rappel, $P$ est
inversible) telle que 
\begin{eqnarray*}
R &=&P\times A \\
H &=&P\times B
\end{eqnarray*}%
Si nous notons $U$ une solution du système ($S)$, $U$ vérifie 
\begin{equation*}
A\times U=B
\end{equation*}%
et en multipliant les deux membres à gauhe par $P$ on obtient 
\begin{eqnarray*}
P\times A\times U &=&P\times B\text{ soit} \\
R\times U &=&H
\end{eqnarray*}%
De même toute solution de $R\times X=H$ est solution de $A\times X=B,$
en effet notons de même $U$ une solution de $R\times X=H$, on a 
\begin{eqnarray*}
R\times U &=&H\text{ donc} \\
P\times A\times U &=&P\times B
\end{eqnarray*}%
et en multipliant les deux membres à gauche par $P^{-1}$ on obtient 
\begin{equation*}
A\times U=B
\end{equation*}%
On a bien prouvé que les deux systèmes $A\times X=B$ et $R\times X=H$
sont équivalents. Il nous reste à résoudre le système $%
R\times X=H.$

Continuons, si besoin, le calcul de la $ \ell$-réduite échelonnée de $%
T $ et notons $T^{\prime \prime }$ le résultat :%
\begin{equation*}
T^{\prime }=\left[ R\mid H\right] ,T^{^{\prime \prime }}=\left[ R\mid
H^{\prime }\right]
\end{equation*}%
Si on arrive à faire appara\^{\i}tre un pivot dans la dernière
colonne, les opérations sur les lignes ne modifieront pas la partie
gauche car la partie gauche de cette ligne pivot est constituée de zé%
ros.

\begin{itemize}
\item Si le système est homogène (tous les seconds membres sont
nuls) on a forcément $T^{\prime }=T^{\prime \prime }$ et le système
admet, rappelons-le, au moins la solution nulle.

\item Si le rang de $T$ est supérieur au rang de $R$ (c'est donc que le
rang de $T$ est d$^{\text{'}}$une unité supérieure au rang de $A,$
on ne peut créer qu'un seul nouveau pivot au maximum) cela signifie
qu'il y a plus de lignes nulles dans $R$ que dans $T^{\prime \prime }$ et
par conséquent que le système $R\times X=H^{\prime }$ contient l'%
équation du type 
\begin{equation*}
0x_{1}+0x_{2}+\cdots +0x_{p}=1
\end{equation*}%
ou que le système $R\times X=H$ contient au moins une équation du
type%
\begin{equation*}
0x_{1}+0x_{2}+\cdots +0x_{p}=h\text{ avec }h\neq 0
\end{equation*}%
ce qui est impossible et le système n'admet pas de solution.

\item Si $\limfunc{rang}(T)=\limfunc{rang}(R)=r,$ c'est que $T^{\prime
}=T^{^{\prime \prime }}$ et la résolution de $A\times X=B$ équivaut 
à la résolution des $r$ équations non nulles de $R\times X=H.$
Deux cas peuvent se présenter :

\begin{enumerate}
\item $r=p,$ le système à résoudre est alors de la forme : 
\begin{equation*}
\left\{ 
\begin{array}{ccccc}
x_{1} &  &  &  & =h_{1} \\ 
& x_{2} &  &  & =h_{2} \\ 
&  & \vdots &  & \vdots \\ 
&  &  & x_{p} & =h_{p}%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}%
et il est résolu, il y a unicité de la solution.

\item $r<p.$ Nous appelons inconnues pivots ou inconnues principales $\left(
IP\right) $ les $r$ inconnues $x_{j_{1}},x_{j_{2}},\cdots ,x_{j_{r}}$
correspondant aux $r$ colonnes pivots $j_{1},j_{2},\cdots ,j_{r}$ de $R.$
Les $p-r$ autres inconnues sont appelées inconnues non principales $%
\left( INP\right) ,$ certains les appellent aussi des inconnues ou des
variables libres ou encore des paramètres. Pour résoudre le systè%
me la métho\-de consiste à faire passer dans les seconds membres\
les inconnues non principales, le système devient alors un sytème de
Cramer résolu dont les solutions dépendent des $p-r$ inconnues non
principales (ces inconnues non principales sont, à ce stade, considér%
ées comme des paramètres), \textbf{il y a donc une infinité de
solutions }; si l'on désire une solution particulière, il suffit de
donner des valeurs arbitraires aux inconnues non principales. 
\begin{equation*}
\left\{ 
\begin{array}{ccccc}
x_{j_{1}} &  &  &  & =h_{j_{1}}+e_{j_{1}} \\ 
& x_{j_{2}} &  &  & =h_{j_{2}}+e_{j_{2}} \\ 
&  & \vdots &  & \vdots \\ 
&  &  & x_{j_{r}} & =h_{j_{r}}+e_{j_{r}}%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}%
où les $e_{j_{i}}$ sont des expressions linéaires des $\left(
p-r\right) $ $INP.$
\end{enumerate}
\end{itemize}

Il faut remarquer que si l'on modifie l'ordre d'écriture des inconnues
nous n'obtiendrons pas forcément les mêmes inconnues principales et
non principales mais l'ensemble solution sera évidemment le même.







%%%%
%
%                                      E X E R C I C E S 
%
%%%%%%%%


\vfill

\eject

\modeexercice
\section{EXERCICES}



\begin{exercice}
  L'ensemble des matrices à coefficients dans un corps $\bbk$ de la forme:

$$
\begin{pmatrix}
  a & a+b\\
  a+b & b
\end{pmatrix}
$$

muni de  l'addition matricielle ainsi que  de la multiplication par  un scalaire
est-il un espace vectoriel?


Même question avec les matrices de la forme $\begin{pmatrix}
  a & 0_\bbk\\
  1_\bbk & b
\end{pmatrix}$ et celles de la forme  $\begin{pmatrix}
   0_\bbk & a\\
   b & 0_\bbk
\end{pmatrix}$
\end{exercice}


















\begin{exercice}
On considère les matrices suivantes à coefficients réels : 
\begin{equation*}
A=\left( 
\begin{array}{rrr}
1 & 2 & 0 \\ 
2 & -1 & 2 \\ 
0 & 1 & 3%
\end{array}%
\right) ,B=\left( 
\begin{array}{rr}
2 & 0 \\ 
1 & 5 \\ 
-1 & -3%
\end{array}%
\right) ,C=\left( 
\begin{array}{r}
4 \\ 
5 \\ 
6%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
\begin{equation*}
D=\left( 
\begin{array}{rrr}
1 & 2 & 3%
\end{array}%
\right) ,E=\left( 
\begin{array}{rrrr}
1 & 2 & 4 & -3 \\ 
1 & -2 & 0 & 5 \\ 
0 & 3 & 1 & 6%
\end{array}%
\right) ,F=\left( 
\begin{array}{rr}
7 & 0 \\ 
5 & -6 \\ 
-3 & 0 \\ 
-1 & 1%
\end{array}%
\right) ,G=\left( 
\begin{array}{rrr}
1 & 2 & -1 \\ 
-1 & 0 & 1 \\ 
1 & -1 & 1%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
\vspace{0.5cm}
\end{exercice}

\begin{enumerate}
\item Calculer : $A-2G,$\ $3A+2G,$\ $^{t}A,$\ $^{t}G.$

\item Calculer $B\times A,A\times B,E\times F,D\times C,C\times
D,A^{2},A\times G,G\times A.$
\end{enumerate}




\begin{exercice}
  Soit $A=
  \begin{pmatrix}
    1&0&0\\
    0&0&1\\
    1&1&0\\
  \end{pmatrix}
$ et $B=
\begin{pmatrix}
  0&1&1\\
  1&0&0\\
  0&1&0\\
\end{pmatrix}
$ deux matrices booléennes. Calculez $A\times B$, $B\times A$, $A^2$.
\end{exercice}




\begin{exercice}[Matrices et relations]

Considérons par exemple la relation $\RR$ définie par son dictionnaire d'association:


\begin{center}
             \begin{tabularx}{0.15\textwidth}{Y{0}}
	     \whline
             De & Vers\\
\whline
 a & $\gamma$\\
\hline
b & $\beta$,$\delta$\\
\hline
c & $\gamma$\\
\hline
d& $\delta$\\

             \whline
             \end{tabularx}
             \end{center}

Donnez sa représentation matricielle. 


Donnez la représentation matricielle d'une relation incluse dans $\bbr$.




À votre  avis, pourquoi le nom  \og transposée\fg{} a-t-il été  bien choisi pour
désigner la relation réciproque?



Donnez la représentation matricielle de se
transposée. Généralisez.

Quelle est la représentation matricielle de la négation de $\RR$?



Soit la relation $\RR'$:


\begin{center}
             \begin{tabularx}{0.15\textwidth}{Y{0}}
	     \whline
             De & Vers\\
\whline
 a & $α,\gamma$\\
\hline
b & $α,\beta,δ$\\
\hline
c & $β,δ$\\
\hline
d& $α,β,γ$\\

             \whline
             \end{tabularx}
             \end{center}

Quelle est la représentation matricielle de $\RR\cap \RR'$? De $\RR\cup\RR'$?


Quelle est le rapport entre composition de relations et calcul matriciel?

Quelle est la représentation matricielle de $\RR \circ \tr \RR' $?





\end{exercice}




\begin{exercice}
\begin{enumerate}
\item   Donner la représentation  matricielle des relations suivantes définies
  sur $\bigl\{1,2,3,4\bigr\}$:
  \begin{enumerate}
  \item $\bigl\{(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)\bigr\}$;
  \item $ \bigl\{(1,1),(1,4),(2,2),(3,3),(4,1)\bigr\}$;
  \item                                                                 $
    \bigl\{(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),$

        $(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)\bigr\}$;
   \item $ \bigl\{(2,4),(3,1),(3,2),(3,4)\bigr\}$
  \end{enumerate}
\item  Quelles sont, parmi  ces relations,  celles qui  sont réflexives?
  irrefléxives?  symétriques? antisymétriques?  transitives?  Donner des
  algorithmes qui répondent à ces  questions en prenant les relations en
  arguments et en effectuant des calculs sur les matrices.
\end{enumerate}
\end{exercice}







\begin{exercice}
  Soit $\ER=\bigl\{1,2,3,4,5\bigr\}$ et $\RR$ une relation sur $\ER$ qui
  contient  les  couples $(1,3)$,  $(2,4)$,  $(3,1)$, $(3,5)$,  $(4,3)$,
  $(5,1)$, $(5,2)$ et $(5,4)$. Déterminez:

  \begin{multicols}{3}
    \begin{enumerate}
    \item $\RR^2$ \item $\RR^3$ \item $\RR^4$
    \item $\RR^5$ \item $\RR^6$ 
    \end{enumerate}
  \end{multicols}
Utilisez  le calcul  matriciel.

\end{exercice}









\begin{exercice}
$A$ et $B$ sont deux matrices carrées d'ordre $n,$ développer


\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\left( A+B\right) ^{2}$

\item $\left( A+B\right) ^{3}$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\end{exercice}

\begin{exercice}
$A=\left( 
\begin{array}{rrr}
1 & 1 & 1 \\ 
0 & 1 & 1 \\ 
0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right) ,$ calculer $A^{n}.$
\end{exercice}

\begin{exercice}
$A\in \bba^{3\times 2}$, peut-on trouver une matrice $B$ de sorte que $%
A\times B=B\times A$ ?
\end{exercice}

\begin{exercice}
$A=(a_{ij})\in \bbr^{n\times n}$. Expliciter la matrice $A$ dans
les cas suivants :
\end{exercice}

\begin{enumerate}
\item $a_{ij}=i+j$\ si $i>j$\ et $a_{ij}=0$\ sinon.

\item $a_{ij}=j$\ si $i\leq j$\ et $a_{ij}=i$\ si $i>j.$

\item $a_{ij}=\left\vert i-j-1\right\vert $
\end{enumerate}




\begin{exercice}
$A=\left( a_{i,j}\right) \in \bba^{n\times n}$ et $B=^{t}A\times A.$
\end{exercice}

\begin{enumerate}
\item Démontrer que $B$\ est symétrique.

\item $B=\left( b_{i,j}\right) ,$\ calculer $b_{i,j}$\ en fonction des $%
a_{k,l}.$
\end{enumerate}

\begin{exercice}
$A=(a_{i,j})$ est une matrice carrée d'ordre $n$ à coefficients r%
éels. $D=(d_{i,j})$ est une matrice carrée diagonale d'ordre $n$ 
à coefficients réels ayant ses éléments diagonaux tous
distincts. Démontrer : 
\begin{equation*}
A\times D=D\times A\limp A\text{ est diagonale.}
\end{equation*}
\end{exercice}

\begin{exercice}
$A=(a_{ij})\in \bbr^{n\times n},$ on appelle trace de $A$ la
somme de ses éléments diagonaux que l'on note tr($A)$ ce nombre : $%
\func{tr}(A)=\sum\limits_{i=1}^{n}a_{ii}.$ Démontrer : 
\begin{equation*}
A=(a_{ij})\in \bbr^{n\times n}\text{ et }B=(a_{ij})\in \bbr^{n\times n}
\limp \func{tr}(A\times B)=\func{tr}(B\times A)
\end{equation*}
\end{exercice}

\begin{exercice}
$A=(a_{ij})\in \bbr^{n\times n},$ calculer la trace de $%
^{t}A\times A.$
\end{exercice}

\begin{exercice}
$A=\left( 
\begin{array}{rrr}
0 & 1 & -1 \\ 
-3 & 4 & -3 \\ 
-1 & 1 & 0%
\end{array}%
\right) \vspace{0.5cm}$
\end{exercice}

\begin{enumerate}
\item Calculer $A^{2}.$

\item Calculer $A^{2}-3A+2I_{3}.$

\item En déduire que $A$\ est inversible et déterminer $A^{-1}.$
\end{enumerate}

\begin{exercice}
Déterminer les $\ell$-réduites échelonnées (lré) des
matrices suivantes et donner leur rang :
\end{exercice}

\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $A=\left( 
\begin{array}{rrrr}
1 & 2 & 0 & 1 \\ 
-1 & 2 & 1 & 1 \\ 
3 & 1 & 0 & -2%
\end{array}%
\right) $

\item $A=\left( 
\begin{array}{rrrrrr}
1 & 1 & 2 & 2 & 2 & 2 \\ 
1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 \\ 
0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 
2 & 1 & -1 & 0 & -1 & 2%
\end{array}%
\right) $

\item $\left( 
\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 \\ 
4 & 5 & 6 \\ 
7 & 8 & 9%
\end{array}%
\right) $

\item $\left( 
\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 \\ 
4 & 5 & 6 \\ 
5 & 5 & 10%
\end{array}%
\right) $
\end{enumerate}
\end{multicols}


\begin{exercice}
Les matrices suivantes sont-elles inversibles ? On cherchera, pour chacune
d'elles, l'inverse par la méthode de Gauss.
\end{exercice}


\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $A=\left( 
\begin{array}{rrr}
0 & 1 & 1 \\ 
1 & 0 & 1 \\ 
1 & 1 & 0%
\end{array}%
\right) $

\item $B=\left( 
\begin{array}{rrr}
1 & 0 & -1 \\ 
0 & 2 & 2 \\ 
-1 & 1 & 4%
\end{array}%
\right) $

\item $C=\left( 
\begin{array}{rrr}
1 & 2 & -1 \\ 
-1 & -1 & 2 \\ 
2 & 1 & 1%
\end{array}%
\right) $

\item $D=\left( 
\begin{array}{rrr}
1 & 2 & 3 \\ 
4 & 5 & 6 \\ 
7 & 8 & 9%
\end{array}%
\right) $
\end{enumerate}
\end{multicols}

\begin{exercice}
Soit $D=\lceil d_{1,1},d_{2,2},\ldots ,d_{n,n}\rfloor $ une matrice
diagonale, démontrer que $D$ est inversible si, et seulement si,  $\prod%
\limits_{i=1}^{n}d_{i,i}\neq 0.$
\end{exercice}




\begin{exercice}
  \begin{itemize}\item[a)] Soit $U=\begin{pmatrix}0&0&5\\1&0&2\\0&1&0\end{pmatrix}$. Exprimer de façon simple la matrice $U^3$ en fonction de $U^2$, $U$ et $I_3$. En déduire que $U$ est inversible et donner $U^{-1}$.
\item[b)] Soit $U=\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}$. Déterminer $(a,b)\in\R^2$ tel que $(U-aI_3)(U-bI_3)=O_3$. En déduire que $U$ est inversible et donner $U^{-1}$.
\item[c)] Inverser les matrices suivantes:
$$\begin{array}{llll}
A=\begin{pmatrix}
1&2\\2&5
\end{pmatrix}&
B=\begin{pmatrix}
1&1&1\\1&0&2\\
2&1&3
\end{pmatrix}&
C=\begin{pmatrix}
i&2&-3\\0&i&2\\0&0&i
\end{pmatrix}&
D=\begin{pmatrix}
2&2&3\\1&-1&0\\-1&2&1
\end{pmatrix}
\end{array}$$
\end{itemize}
\end{exercice}











\begin{exercice}
Ecrire matriciellement de deux façons les systèmes suivants :
\end{exercice}


\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $\left\{ 
\begin{array}{c}
x-2y+3z=2 \\ 
2x-5y-4z=-1 \\ 
4y-3z=8%
\end{array}%
\right. $

\item $\left\{ 
\begin{array}{c}
3x-z=6 \\ 
5y-4z=-3 \\ 
4x-3y=7%
\end{array}%
\right. $

\item $\left\{ 
\begin{array}{c}
5x+2y+3z=2 \\ 
2x-5y-6z=-2 \\ 
4y-3z=8 \\ 
4x+3y+2z=0%
\end{array}%
\right. $
\end{enumerate}
\end{multicols}



\begin{exercice}
Résoudre le système : 
\begin{equation*}
\left\{ 
\begin{array}{c}
x-2y+z=a \\ 
2x-3y-2z=b \\ 
x-y+z=c%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}%
obligatoirement par la méthode  \textsc{Gauss-Jordan}   où $x,y$ et $z$ sont les
inconnues. En déduire que la matrice $A=\left( 
\begin{array}{rrr}
1 & -2 & 1 \\ 
2 & -3 & -2 \\ 
1 & -1 & 1%
\end{array}%
\right) $ est inversible et donner son inverse.
\end{exercice}

\begin{exercice}
Résoudre les systèmes suivants par la méthode de  \textsc{Gauss-Jordan}   :
\end{exercice}

\begin{multicols}{3}

\begin{enumerate}
\item $\left\{ 
\begin{array}{c}
x+2y+3z=1 \\ 
4x+5y+6z=2 \\ 
7x+8y+9z=3%
\end{array}%
\right. $

\item $\left\{ 
\begin{array}{c}
x+2y+3z=1 \\ 
4x+5y+6z=2 \\ 
5x+7y+9z=3%
\end{array}%
\right. $

\item $\left\{ 
\begin{array}{c}
x+2y+3z+4t=1 \\ 
4x+5y+6z+2t=2 \\ 
7x+8y+9z-t=3%
\end{array}%
\right. $

\item $\left\{ 
\begin{array}{c}
x+y+z=1 \\ 
x-y-2z=3 \\ 
2x+3y+5z=0 \\ 
4x+3y+4z=4%
\end{array}%
\right. $

\item $\left\{ 
\begin{array}{c}
x+y+z=1 \\ 
x-y-2z=3 \\ 
2x+3y+5z=0 \\ 
4x+3y+4z=1%
\end{array}%
\right. $

\item $\left\{ 
\begin{array}{c}
x+y+z=1 \\ 
x-y-2z=3 \\ 
2x-z=4 \\ 
3x+y=5%
\end{array}%
\right. $
\end{enumerate}
\end{multicols}

\begin{exercice}
  Déterminer le rang des systèmes linéaires d'inconnues réelles suivants, en fonction du paramètre $m\in\R$. On donnera l'ensemble des solutions.
$$ \begin{array}{lll}
a)\left\{\begin{array}{c}mx+y+z=m\\
x+my+z=m\\
x+y+mz=m
\end{array}\right.&
b)\left\{\begin{array}{c}(m+1)x+my=2m\\
mx+(m+1)y=1
\end{array}\right.&
c)\left\{\begin{array}{c}x-my+m^2z=2m\\
mx-m^2y+mz=2m\\
mx+y-m^2z=1-m
\end{array}\right.
\end{array}
$$
\end{exercice}


\begin{exercice}
  Soit la matrice $A=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}$.
\begin{itemize}
\item[a)] Déterminer $A^n$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
\item[b)] On considère les deux suites $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et
$(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définies par la donnée de $u_0$ et $v_0$ et
les relations de récurrence
\[\left\{\begin{array}{ccc}u_{n+1}&=&u_n-v_n\\
v_{n+1}&=&-u_n+v_n
\end{array}\right.\]
\begin{itemize}
\item[(i)] On pose $W_n=\begin{pmatrix}u_n\\v_n\end{pmatrix}$. Etablir
une relation entre $W_{n+1}$, $A$ et $W_n$.
\item[(ii)] En déduire une expression de $u_n$ et $v_n$ en fonction de $u_0$, $v_0$ et
$n$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{exercice}











\begin{exercice}
  Soit $A=
  \begin{pmatrix}
    10&7&8&7\\
    7&5&6&5\\
    8&6&10&9\\
    7&5&9&10
  \end{pmatrix}$, $B_1=
  \begin{pmatrix}
    32 \\ 23 \\ 33 \\ 31
  \end{pmatrix}
$ et $B_2=
\begin{pmatrix}
  32,1\\22,9\\33,1\\30,9
\end{pmatrix}
$

Résolvez les systèmes $A\times X= B_1$ et $A\times X= B_2$: commentaires?

\end{exercice}



\begin{exercice}
  Soit $A=
  \begin{pmatrix}
    10^{-16} & 1\\
    1 & 1
  \end{pmatrix}
$ et $B=
\begin{pmatrix}
  1 \\ 2
\end{pmatrix}
$.  Supposons  que les  nombres  flottants  soient représentés  avec  10
chiffres  significatifs.  Résolvez  le  système   $A\times  X  =  B$  en
choisissant $10^{-16}$  comme premier  pivot. Recommencez  en commençant
par permuter les deux lignes puis en prenant 1 comme pivot.

Généralisez en  remplaçant $10^{-16}$ par un  nombre strictement positif
quelconque $\varepsilon$: des commentaires?


\end{exercice}





\begin{exercice}
Dans toute la suite $U$ désigne une suite de 4 bits qui peut être
représentée par la matrice 
\begin{equation*}
U=\left( 
\begin{array}{llll}
x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{4}%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
et la transposée de $U$ est notée $X$ : 
\begin{equation*}
^{t}U=X=\left( 
\begin{array}{l}
x_{1} \\ 
x_{2} \\ 
x_{3} \\ 
x_{4}%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
et il est bien entendu que les éléments $x_{i}$ sont considér%
és comme des éléments du corps $\mathbb{F}_{2}$ en ce sens que $%
1+1=0.$ Pour améliorer la sécurité de la transmission des cha%
\^{\i}nes de 4 bits on décide de transformer le message $U$ en 
\begin{equation*}
V=U\times B
\end{equation*}%
où $B$ est une matrice (judicieusement choisie) à coefficients dans $%
\mathbb{F}_{2}$ ou, si l'on préfère, on transforme le message $X$
en $Y=A\times X$
\end{exercice}

\begin{enumerate}
\item Quelle relation existe-t-il entre $Y$\ et $V$\ ? Entre $A$\ et $B$\ ?

\item Si on veut que $V=\left( 
\begin{array}{lllll}
x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{4} & x_{2}%
\end{array}%
\right) ,$\ donner la matrice $B.$

\item Si on veut que $Y=\left( 
\begin{array}{c}
x_{1} \\ 
x_{1}+x_{2} \\ 
x_{3} \\ 
x_{1+}x_{4} \\ 
x_{2} \\ 
x_{3}%
\end{array}%
\right) ,$\ donnner la matrice $A.$

\item On veut rajouter au message\ $U$\ un bit de parité\ paire (pour
un bit de parité impaire, ce qui suit est impossible), décrire alors 
$V$\ et donner alors $B$\ ?

\item On veut que $V=\left( 
\begin{array}{llllllll}
x_{4} & x_{3} & x_{2} & x_{1} & x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{4}%
\end{array}%
\right) ,$\ déterminer $B.$

\item Quelqu'un décide de choisir 
\begin{equation*}
B=\left( 
\begin{array}{llllll}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 
0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 
1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 
1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}

\begin{enumerate}
\item Calculer les images des éléments suivants : 
\begin{equation*}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
$U$ & $V$ \\ \hline
$1111$ & \hspace{1in} \\ \hline
1100 &  \\ \hline
0011 &  \\ \hline
0110 &  \\ \hline
0101 &  \\ \hline
0010 &  \\ \hline
1010 &  \\ \hline
0100 &  \\ \hline
\end{tabular}%
\ 
\end{equation*}

\item Qelle remarque faites-vous sur le choix de $B$\ ?

\item Donner une matrice $B^{^{\prime }}$\ ayant la même taille que $B$\
et qui ne possède pas à coup s\^{u}r le défaut précédent.

\item Donner une matrice $B^{\prime \prime }$\ ayant la même taille que $%
B$\ et ayant le défaut (même pire\ si vous le voulez) de $B.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{exercice}
Soit $\mathcal{B}=\left( i,j\right) $\ une base du plan ou $\mathcal{B}%
=\left( i,j,k\right) $\ une base de l'espace$,$\ nous savons que tout
vecteur se décompose de façon unique dans la base $\mathcal{B}.$\
Nous fixons un point $O$\ appelé origine$,$\ pour tout point $M$\ de
notre plan ou espace, le vecteur $\overrightarrow{OM}$\ se décompose de
façon unique dans la base $\mathcal{B}$\ et nous obtenons les coordonn%
ées du vecteur $\overrightarrow{OM}$\ qui correspondent au coordonné%
es du point $M$\ dans le repère $\mathcal{R}=\left( O,i,j\right) $\ ou $%
\mathcal{R}=\left( O,i,j,k\right) .$%


%schéma

Ces coordonnées se notent, respectivement, par%
\begin{equation*}
M\left( 
\begin{array}{c}
x \\ 
y%
\end{array}%
\right) _{\mathcal{R}}\text{ , }M\left( 
\begin{array}{c}
x \\ 
y \\ 
z%
\end{array}%
\right) _{\mathcal{R}}
\end{equation*}%
Un changement de repère peut concerner un changement d'origine ou un
changement de base ou les deux. Soit donc le repère $\mathcal{R}=\left(
O,i,j,j\right) $\ avec $\mathcal{B}=\left( i,j,k\right) $\ la base associ%
ée et $\mathcal{R}^{\prime }=\left( O^{\prime },i^{\prime },j^{\prime
},k^{\prime }\right) $\ un autre repère avec $\mathcal{B}^{\prime
}=\left( i^{\prime },j^{\prime },k^{\prime }\right) $\ la base associée.
Nous notons%
\begin{equation*}
M\left( 
\begin{array}{c}
x \\ 
y \\ 
z%
\end{array}%
\right) _{\mathcal{R}},M\left( 
\begin{array}{c}
x^{\prime } \\ 
y^{\prime } \\ 
z^{\prime }%
\end{array}%
\right) _{\mathcal{R}^{\prime }},O^{\prime }\left( 
\begin{array}{c}
\alpha \\ 
\beta \\ 
\gamma%
\end{array}%
\right) _{\mathcal{R}}\text{ et }M\left( 
\begin{array}{c}
x_{1} \\ 
y_{1} \\ 
z_{1}%
\end{array}%
\right) _{\mathcal{R}_{1}=\left( O,i^{\prime },j^{\prime },k^{\prime
}\right) }
\end{equation*}%
et $P=\left( p_{i,j}\right) $\ la matrice de passage de $\mathcal{B}$\ à 
$\mathcal{B}^{\prime },$\ c'est-à-dire la matrice des coordonnées
des vecteurs de $\mathcal{B}^{\prime }$\ dans la base $\mathcal{B}.$
\end{exercice}

\begin{enumerate}
\item Quelle sont les coordonnées de $O$ dans le repère $\mathcal{R}$
?

\item Démontrer que $P$\ est inversible en cherchant les coordonnées
des vecteurs de $\mathcal{B}$\ dans la base $\mathcal{B}^{\prime }.$

\item On note $X=\left( 
\begin{array}{c}
x \\ 
y \\ 
z%
\end{array}%
\right) ,X^{\prime }=\left( 
\begin{array}{c}
x^{\prime } \\ 
y^{\prime } \\ 
z^{\prime }%
\end{array}%
\right) ,X_{1}=\left( 
\begin{array}{c}
x_{1} \\ 
y_{1} \\ 
z_{1}%
\end{array}%
\right) .$\ Démontrer que $X_{1}=P\times X.$

\item Déterminer $X^{\prime }$\ en fonction de $X$\ et de $P.$
\end{enumerate}





\begin{exercice}
  Une  matrice est  dite \textbf{orthogonale}  si, et  seulement  si, sa
  transposée est égale à son inverse.

  \begin{enumerate}
  \item La matrice $I_n$ est-elle orthogonale?
\item La matrice $A=
  \begin{pmatrix}
    \sin(t)&\cos(t)\\-\cos(t)&\sin(t)
  \end{pmatrix}
$ est-elle orthogonale pour tout $t\in\bbr$?

\item Déterminez la troisième ligne de la matrice orthogonale:
  $\begin{pmatrix}
    1/3&2/3&2/3\\2/3&-2/3&1/3\\ & &
  \end{pmatrix}$
  \end{enumerate}
\end{exercice}










\modenormal

%%% Local Variables: 
%%% TeX-master: "PolyMD2_13"
%%% End: 
