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% \let\parallel\undefined
% 	\DeclareMathSymbol{\mthdotlessiup}{\mathalpha}{operators}{25}%

%  	\DeclareMathSymbol{\mthdotlessiup}{\mathalpha}{operators}{16}%
	

% \usepackage[upright]{fourier}

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\entete{{\Large      \sffamily       \bfseries      TD      informatique
    n°2}}{\rightmark}{BTS domotique}%g,d,b

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\setcounter{tocdepth}{2}

\title{Journée de formation à l'algorithmique et la programmation}

\author{IREM de Nantes}

% \thanks{Merci  à  René  \textsc{Thoraval}  d'avoir  eu  la  patience  de
%   m'initier   au    merveilleux   langage   CAML,    si   puissant,   si
%   intelligent....si mathématique}


\begin{document}



\psshadowbox*[fillcolor=0.8white,framearc=.25]{%
\begin{minipage}{\textwidth}
\smallskip
{\LARGE\bfseries \begin{center} TD d'informatique - BTS domotique \end{center}}
\smallskip
\end{minipage}
}
\vspace{1cm}

\setlength{\parindent}{0pt}
\thispagestyle{empty}

\incmargin{1em}
\dontprintsemicolon
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%\maketitle

\newcommand\xc{\lstset{numbers=none,language=XCAS,xleftmargin=10pt,%
keywordstyle
=\color{0.2white}\usefont{OT1}{cmtt}{b}{n},basicstyle=\ttfamily\color{0.2white},commentstyle=\normalfont\small\itshape,breaklines=true,backgroundcolor=\color{ciel},frame=trBL,framerule=1pt,framesep=4pt,rulesep=1pt}
}


\newcommand\caml{\lstset{numbers=none,language=caml,xleftmargin=10pt,%
keywordstyle
=\color{0.2white}\usefont{OT1}{cmtt}{b}{n},basicstyle=\ttfamily\color{0.2white},commentstyle=\normalfont\small\itshape,breaklines=true,frame=trBL,framerule=1pt,framesep=4pt,rulesep=1pt,backgroundcolor=\color{creme}}
}



\section{Base 2}


Une  méthode  pour  obtenir  l'écriture   en  base  2  d'un  nombre  est
d'effectuer des divisions successives. Par exemple pour 11~:

\begin{center}
\opidiv[remainderstyle=\bfseries\large\color{gray},resultstyle=\color{blue}]{11}{2}\hspace{1cm}
\opidiv[remainderstyle=\bfseries\large\color{gray},resultstyle=\color{blue}]{5}{2}
\hspace{1cm}
\opidiv[remainderstyle=\bfseries\large\color{gray},resultstyle=\color{blue}]{2}{2}
\hspace{1cm}
\opidiv[remainderstyle=\bfseries\large\color{gray},resultstyle=\color{blue}]{1}{2}

\end{center}

\begin{align*}
11 &=\Bigl(2\times5+1\Bigr)
\\ &=\Bigl(2\times\bigl(2\times2+1\bigr)+1\Bigr)
\\ &=\Bigl(2\times\bigl(2\times(2\times 1)+1\bigr)+1\Bigr)
\\ &=\Bigl(2\times (2^2+1)+1\Bigr)
\\ &=2^3+2+1
\\ &=1\times 2^3+0\times 2^2+1\times 2^1+1\times 2^0 
\end{align*}



L'écriture de  11 en base  2 est donc  1011~:~c'est la liste  des restes
obtenus mais dans l'ordre inverse.

En  XCAS,  le  reste  de  la  division  de  $n$  par  2  est  donné  par
\texttt{irem(n,2)} et le quotient par \texttt{iquo(n,2)}.

Que fait le programme suivant~:

\begin{lstlisting}
Binaire(n):={
    if (n<2){return n}
    else{
      return(Binaire(iquo(n,2)),irem(n,2));
    }
 }:;
\end{lstlisting}

Essayez   d'écrire  ce   programme  sans   récursion  avec   une  boucle
\texttt{while} et des affectations.

\section{Probabilités}


\subsection{Pile ou face}

On lance trois fois de suite  une pièce de monnaie. On compte combien de
fois pile (ou face) tombe.

Avec XCAS~:

\begin{lstlisting}
piece(n):={
T:=NULL;
for(k:=1;k<=n;k++){
X:=0;
if(rand(2)==1){X:=X+1}
if(rand(2)==1){X:=X+1}
if(rand(2)==1){X:=X+1}
T:=T,X;
}
return(evalf([count_eq(0,[T])/n,count_eq(1,[T])/n,count_eq(2,[T])/n,count_eq(3,[T])/n])
)}:;
\end{lstlisting}


Sachant que~:

\begin{itemize}
\item \texttt{rand(k)}  renvoie un entier aléatoirement compris  entre 0 et
  $k-1$~;
\item  \texttt{count\_eq(entier,liste)}  compte  le  nombre de  fois  ou
  \texttt{entier} apparaît dans \texttt{liste}
\end{itemize}

Expliquez les résultats obtenus à l'aide d'un arbre pondéré.


\subsection{Les boules}


On dispose de trois urnes, la  première contenant 7 boules blanches et 4
noires, la deuxième 5 blanches et 2 noires, la troisième 6 blanches et 3
noires.

On  tire une  boule dans  chaque urne  et on  note le  nombre  de boules
blanches obtenues.

Utilisez XCAS pour  avoir une approximation de la  loi de probabilité de
la variable aléatoire prenant pour  valeurs le nombre de boules blanches
obtenues.

\subsection{Problème du Duc de Toscane}

Cosme II de Médicis  (Florence 1590-1621), Duc de Toscane, fut le  protecteur de l'illustre Gallilée
(né à Pise le 15 février 1564 et mort à Florence le 8 janvier 1642) son ancien précepteur. Profitant
d'un moment de répit du savant entre l'écriture d'un théorème sur la chute des corps et la création
de la lunette astronomique, le Grand Duc lui soumet le problème suivant~:~il a observé qu'en lançant
trois dés cubiques et en  faisant la somme des numéros des faces, on obtient  plus souvent 10 que 9,
alors qu'il y a autant de façons d'obtenir 9 que 10, à savoir six. 

Après  quelques réflexions,  Galilée  rédigea  un petit  mémoire  sur les  jeux  de  hasard en  1620
expliquant le phénomène. 

Comme vous avez un ordinateur  sous la main, utilisez-le pour simuler de
nombreuses   parties   et    retrouver   le   résultat   pressenti   par
Cosme. Prouvez-le ensuite...


\end{document}
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%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 
