\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{etex}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% ZONE ROUGE : intervention très fortement deconseillee
\usepackage[fourier]{preambule}
\usepackage{fancybox}
% \usepackage{pstricks}
% \usepackage{pst-plot}
% \usepackage{pst-char}
% \usepackage{pst-text}
% %\usepackage{psfig}
% \usepackage{ifthen}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% ZONE ORANGE : intervention deconseillee
\parindent=0pt
\textwidth 17.0cm
\textheight25.0cm
\hoffset-1.0cm
\voffset-3.0cm
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% ZONE VERTE : Intervention obligatoire
%%% ADAPTER SUIVANT LA NATURE DE L'EPREUVE
\def\Exam{BACCALAUR\'EAT BLANC}
\def\Serie{S}
\def\Session{Session 2010}
\def\Discipline{MATH\'EMATIQUES}
\def\Option{Enseignement Obligatoire}
%\def\Option{Enseignement de Sp\'ecialit\'e}
\def\Duree{Dur\'ee de l'épreuve : 4 heures}
\def\Coef{Coefficient : 7}
\def\Code{MASSIN1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\newcounter{nexo}
\setcounter{nexo}{1}
\newcommand{\Exo}[1]{\vspace{1cm}\centerline{\bf     \large     EXERCICE
    \arabic{nexo} (#1 points 
%\ifthenelse{#1 < 2}{point}{points}
 )\vspace{0.5cm}}
\addtocounter{nexo}{1} \par \medskip}
\newcommand{\Pb}[1]{\centerline{\bf \large PROBL\`EME  (#1
\ifthenelse{#1  < 2}{point}{points} )}
\par \medskip}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% ZONE BLEUE : Intervention parfois utile mais a faire prudemment
%%% TOUT COMMENTER OU TOUT DECOMMENTER

\rput{40}(7.5,-13){
       \psframebox[linecolor=white,linewidth=0pt]{
       \font\bigpala=pplb at 2.5cm
       \pscharpath[linestyle=none,linecolor=white,
       fillstyle=solid, fillcolor=lightgray]%
       {\bigpala O~b~l~i~g~a~t~o~i~r~e}}}



% \rput{45}(8,-13){
%        \psframebox[linecolor=white,linewidth=0pt]{
%        \font\bigpala=pplb at 2.5cm
%        \pscharpath[linestyle=none,linecolor=white,
%        fillstyle=solid, fillcolor=lightgray]%
%        {\bigpala S~p~\'e~c~i~a~l~i~t~\'e}}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% ZONE BLEUE : Intervention parfois utile mais a faire prudemment
%%% FAIRE UN CHOIX (3 choix possibles)
%%% 1)
{\bf \large \Code \hfill \Session \quad ~}
%%% 2)
%{\bf \large \hfill \Code \quad ~}
%%% 3)
%{\bf \large \hfill  \quad ~}
%
\vskip 3cm
%
%%% FAIRE UN CHOIX (3 choix possibles)
%%% 1)
\centerline{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
{\bf \huge \black \Exam}}
%%% 2)
%\centerline{\psframebox{\bf \LARGE  \Exam}}
%%% 3)
%\centerline{\bf \LARGE \Exam}
%
\vskip 1.5cm
%
\centerline{\bf \Large \Session}
%
\centerline{\rule{20mm}{1mm}}
\vskip 1.5cm
%
\centerline{\bf \LARGE \Discipline}
%
\vskip 0.7cm
%
\centerline{\bf \LARGE Série \Serie}
%
\vskip 1.5cm
%
\centerline{\bf \LARGE \Option}
%
\vskip 0.7cm
%
\centerline{\bf \Large \it \Duree}
%
\vskip 0.7cm
%
\centerline{\bf \Large \it \Coef}
%
\vskip 1.5cm
%
%%% FAIRE UN CHOIX (2 choix)
%%% 1)
\centerline{Les calculatrices électroniques de poche sont
autorisées conformément à la loi en vigueur.}
%%% 2)
%\centerline{Les calculatrices sont interdites.}
%
\vskip 0.5 cm
%
%\centerline{Autre indication éventuelle}
%
\vskip 1.5cm
%
%
\centerline{\psframebox{\it \begin{tabular}{c}
Le sujet est composé de 5 exercices indépendants. \\
Le candidat doit traiter tous les exercices. \\
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements\\ entreront pour une part
importante dans l'appréciation des copies.
\end{tabular}}}
%
\vskip 0.7cm
%
{\it Avant de composer, le candidat s'assurera que le sujet comporte  
bien 4
pages numérotées de 1 à 4.}


\setlength{\columnseprule}{0pt}

\pagebreak

\Exo{4}

Le plan complexe est rapport\'e \`a un rep\`ere orthonormal direct \Ouv.\\ 
On consid\`ere les points $A$ et $B$ d'affixes respectives i et $-$~ i.\\ 
Soit $f$ l'application qui \`a tout point $M$ du plan d'affixe $z$ distincte 
de $-$~ i associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que 
\[z' = \cfrac{1 + \text{i}z}{z + \text{i}}.\] 
\begin{enumerate} \item Quelle est l'image par l'application $f$ du 
point O ? \\ 
\item Quel est le point qui a pour image par l'application 
$f$ le point $C$ d'affixe $1 +i$ ?\\ 
\item Montrer que l'\'equation $\cfrac{1 + \text{i}z}{z + 
\text{i}} = z $ admet deux solutions que l'on d\'eterminera.\\ 
\item V\'erifier que $z' = \cfrac{\text{i}(z - \text{i})}{z + \text{i}}$, en d\'eduire 
$\text{O}M' = \cfrac{\text{A}M}{\text{B}M}$ et : 
\[\left(\vec{u} , \vect{\text{O}M'}\right) = 
\left(\vect{M\text{B}},~ 
\vect{M\text{A}}\right) + \cfrac{\pi}{2} + 2k\pi~~\text{avec}~ 
k \in \Z.\] 
\item Montrer que tous les points de l'axe des abscisses ont 
leurs images par l'application $f$ situ\'ees sur un m\^eme cercle 
$(\mathcal{C})$ que l'on pr\'ecisera.\\ 
\item Soit $M$ un point du cercle de diam\`etre 
[AB] diff\'erent de A et de B, montrer que son image $M'$ est situ\'ee sur 
l'axe des abscisses.\\ 
\end{enumerate} 



\Exo{3}


On consid\`ere les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ d\'efinies par $u_{0} =  0~ ;~v_{0} = 12~;$

\[u_{n+1} = \dfrac{u_{n} + v_{n}}{2}\quad \text{et} \quad v_{n+1} = \dfrac{u_{n} + 2v_{n}}{3}.\]

\begin{enumerate}\item D\'emontrer que la suite $\left(w_{n}\right)$ d\'efinie par $w_{n } = v_{n} - u_{n}$ est une suite g\'eom\'etrique convergente et que tous ses termes sont positifs.

\item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante puis que la suite $\left(v_{n}\right)$ est d\'ecroissante.

\item D\'eduire des deux questions pr\'ec\'edentes que les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont convergentes et ont la m\^eme limite.

\item On consid\`ere la suite $\left(t_{n}\right)$ d\'efinie par $t_{n} =  2u_{n} + 3v_{n}$.

Montrer qu'elle est constante.

\item Déterminez les limites des suites $(u_n)$ et $(v_n)$.

\end{enumerate}


%\pagebreak

\Exo{3,5}

Soit $f$ la fonction d\'efinie sur l'intervalle $]1 ~;~ +\infty[$ par 
$\displaystyle f (x) = \dfrac{x}{\ln x}$

\begin{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item D\'eterminer les limites de la fonction $f$ en $1$ et en $+\infty$.
\item \'Etudier les variations de la fonction $f$.
\end{enumerate}
\item Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite d\'efinie par $u_{0} = 5$ et $u_{n+1}  =f\left(u_{n}\right)$ pour tout entier naturel $n$.
\begin{enumerate}
\item  On  a trac\'e  la  courbe  repr\'esentative  $\mathcal{C}$ de  la
  fonction $f$ sur la figure \vref{exo3} qui sera rendue avec la copie. Construire la droite d'\'equation $y = x$ et les points $M_{1}$ et $M_{2}$ de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisses respectives $u_{1}$ et $u_{2}$. Proposer une conjecture sur le comportement de la suite $\left(u_{n}\right)$.
\item D\'emontrer que pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n} \geqslant  \text{e}$ (on pourra utiliser la question 1. b.).
\item D\'emontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers un r\'eel  $\ell$ de l'intervalle $[\text{e} ~ ;~ +\infty[$.
\item Déterminer la valeur de $\ell$.

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}


\emph{\`A compl\'eter et \`a rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\begin{figure}
\begin{center}
\psset{unit=1.85cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(5.5,5.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2](0,0)(-0.5,-0.5)(5.5,5.2)
\psgrid[gridwidth=1.75pt,gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10](0,0)(5,5)
\uput[dl](0,0){O} \uput[u](5.1,3.2){$\mathcal{C}$}
\psplot{1.28}{5.2}{x x ln div}
\end{pspicture}
\caption{question 2.a)\label{exo3}}
\end{center}
\end{figure}
\end{center}


\Exo{4,5}


\noindent \textbf{Partie A}

Soit $f$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par 
$f(x) = \dfrac{3\text{e}^{\frac{x}{4}}}{2+ \text{e}^{\frac{x}{4}}}.$

\begin{enumerate}\item[a.] D\'emontrer que $f(x) = \dfrac{3}{1 + 2\text{e}^{-\frac{x}{4}}}$.

\item[b.] \'Etudier les limites de la fonction $f$ en $+ \infty$ et en $- \infty$.

\item[c .] \'Etudier les variations de la fonction $f$.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{Partie B}

\begin{enumerate}\item On a \'etudi\'e en laboratoire l'\'evolution d'une population de petits rongeurs. La taille de la population, au temps $t$, est not\'ee $g(t)$. On d\'efinit ainsi une fonction $g$ de l'intervalle $[0~;~ + \infty[$ dans $\R$. La variable r\'eelle $t$ d\'esigne le temps, exprim\'e en ann\'ees. L'unit\'e choisie pour $g(t)$ est la centaine d'individus. Le mod\`ele utilis\'e pour d\'ecrire cette \'evolution consiste  \`a prendre pour $g$ une solution, sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$, de l'\'equation diff\'erentielle 

\[(\text{E}_{1}) y' = \dfrac{y}{4}.\]

\begin{enumerate}\item R\'esoudre l'\'equation diff\'erentielle (E$_{1}$).

\item D\'eterminer l'expression de $g(t)$ lorsque,  \`a la date $t = 0$, la population comprend 100 rongeurs, c'est- \`a-dire $g(0) =1$.

\item Apr\`es combien d'ann\'ees la population d\'epassera-t-elle 300 rongeurs pour la premi\`ere fois ?

\end{enumerate}

\item En r\'ealit\'e, dans un secteur observ\'e d'une r\'egion donn\'ee,
  un pr\'edateur  emp\^eche une telle  croissance en tuant  une certaine
  quantit\'e de rongeurs. On note  $u(t)$ le nombre des rongeurs vivants
  (exprimé en centaines) au temps  $t$ (exprim\'e en ann\'ees) dans cette
  r\'egion, et on admet que  la fonction $u$, ainsi d\'efinie, satisfait
  aux conditions : 

\[(\text{E}_{2}) \left\{\begin{array}{l c l}
 u'(t) &=&	 \dfrac{u(t)}{4} - \dfrac{[u(t)]^2}{12}~ \text{pour tout nombre r\'eel}~ t~ \text{positif ou nul,}\\
u(0)& =&1.\\
 \end{array}\right.\]
 
 où $u'$ d\'esigne la fonction d\'eriv\'ee de la fonction $u$.
 
\begin{enumerate}\item On suppose que, pour tout r\'eel positif $t$, on a $u(t) > 0$. On consid\`ere, sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$, la fonction $h$ d\'efinie par $h = \dfrac{1}{u}$. D\'emontrer que la fonction $u$ satisfait aux conditions (E$_{2}$) si et seulement si la fonction $h$ satisfait aux conditions

\[(\text{E}_{3}) \left\{\begin{array}{l c l}
h'(t) &=&	 - \dfrac{1}{4}h(t)  + \dfrac{1}{12}~ \text{pour tout nombre r\'eel}~ t~ \text{positif ou nul,}\\
h(0)& =&1.\\
\end{array}\right.\] 
 
où $h'$ d\'esigne la fonction d\'eriv\'ee de la fonction $h$.

\item Donner les solutions de l'\'equation diff\'erentielle $y' = - \dfrac{1}{4}y	+ \dfrac{1}{12}$ et en d\'eduire l'expression de la fonction $h$, puis celle de la fonction $u$.

\item Dans ce mod\`ele, comment se comporte la taille de la population \'etudi\'ee lorsque $t$
tend vers $+ \infty$ ?

\end{enumerate}

\end{enumerate}


\Exo{5}



\begin{enumerate}

\item \textbf{Restitution organisée de connaissances}\\

\textit{Prérequis}
 On admettra les résultats suivants~:
\[\text{Pour  tout   réel  }   a>0  \text{  et   tout  réel  }   b>0,  \
\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)\qquad \text{et} \ln(1)=0\]

Exprimez les nombres suivants en  fonction de $\ln(a)$ ou $\ln(b)$. Vous
justifierez vos réponses.

\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $\ln \left(\frac{1}{b}\right)$~;
\item $\ln \left(\frac{a}{b}\right)$~;
\item $\ln \left(a^n\right)$ avec $n\in\bbn$.
\end{enumerate}
\end{multicols}

\medskip



\item Pour chaque  question, répondre par  \textbf{VRAI ou FAUX}. Les  réponses devront
être JUSTIFIÉES.

\begin{enumerate}
\item Soit $z\in\bbc$.

\begin{multicols}{2}
  \begin{enumerate}
  \item
    $\left|z\right|=\left|1-z\right|\Longleftrightarrow z=\frac{1}{2}$~;
  \item $-\frac{2}{3}+\frac{4}{3}{\rm i}$  est la solution de l'équation
    $2z+{\rm i}\overline{z}+2{\rm i}=0$.
  \end{enumerate}
\end{multicols}



\item Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur $\bbr$ par~:
\[f(x)=\frac{{\rm e}^x+{\rm e}^{-x}}{2}\qquad \text{et}\qquad g(x)=\frac{{\rm
    e}^x-{\rm e}^{-x}}{2}\]

\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item Pour tout réel $x$, $f(x)+g(x)>0$~;
\item Pour tout réel $x$, $\left(f(x)\right)^2-\left(g(x)\right)^2=1$~;
\item Pour tout réel $x$, $2f(x)\cdot g(x)=g(2x)$.
\end{enumerate}
\end{multicols}

\end{enumerate}

\item
  \begin{enumerate}
  \item Déterminez une  primitive sur $\bbr$ de la  fonction $f$ définie
    par                                                    $f(x)=\dfrac{2
      \mathrm{e}^{3x}}{\left(\mathrm{e}^{3x}+1\right)^2}$~;
    \item
      \begin{enumerate}
      \item   Soit   $f$   la    fonction   définie   sur   $\bbr$   par
        $f(x)=(2x+1)\mathrm{e}^{-x}$.  Déterminez les  réels $a$  et $b$
        pour que la  fonction F définie par $F(x)=(ax+b)\mathrm{e}^{-x}$
        soit une primitive de $f$ sur $\bbr$.
        \item Déterminez la primitive G de $f$ sur $\bbr$ telle que $G(0)=\pi$.
      \end{enumerate}

  \end{enumerate}



\end{enumerate}











\end{document}
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%%% End: 
