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\newenvironment{proof}[1][Proof]{\noindent\textbf{#1.} }{\ \rule{0.5em}{0.5em}}
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\begin{document}
Copyright (c) 2004, Philippe Ivaldi. Le contenu de ce document peut \^{e}tre
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Documents Libres version 1.1 ou utl\'{e}rieure.\newline{}
%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 9036912617137--
%%--Trajectoire parabolique d\'un projectile--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{center}
{\LARGE Probl\`{e}mes de balistique}

\smallskip
\end{center}

Un projectile lanc\'{e} depuis le sol est suppos\'{e} avoir sa trajectoire
dans un plan vertical. Si l'on ne tient pas compte de la r\'{e}sistance de
l'air, cette trajectoire d\'{e}pend de deux param\`{e}tres:

\begin{itemize}
\item La vitesse initiale: $v_{0}$;

\item L'angle de lancement par rapport \`{a} l'hortizontale: $\alpha$ (on
suppose: $\alpha\in\left[  0;90\right]  $).
\end{itemize}

\section{Hauteur en fonction du temps}

Le temps \'{e}tant exprim\'{e} en seconde et le lancement ayant lieu \`{a}
l'instant 0, la hauteur, en m\`{e}tre, du projectile \`{a} l'instant $t$ est
donn\'{e}e par la formule:%
\[
h(t)=)-\frac{1}{2}gt^{2}+v_{0}t\sin\alpha
\]
dans laquelle $g$ est l'acc\'{e}l\'{e}ration de la pesanteur: $g\simeq10%
%TCIMACRO{\unit{m}}%
%BeginExpansion
\operatorname{m}%
%EndExpansion
/%
%TCIMACRO{\unit{s}}%
%BeginExpansion
\operatorname{s}%
%EndExpansion
^{2}$.%

%TCIMACRO{\FRAME{dtbpFUX}{196.125pt}{147.3125pt}{0pt}{\Qcb{%
%\begin{tabular}
%[c]{p{7cm}}%
%Hauteur en fonction du temps, d'un projectile lanc\'{e} \`{a} la vitesse
%$v_{0}$ avec un angle $\alpha$ par rapport \`{a} l'horizontale.
%\end{tabular}
%}}{}{Figure}{\special{ language "Scientific Word";  type "GRAPHIC";
%maintain-aspect-ratio TRUE;  display "USEDEF";  valid_file "T";
%width 196.125pt;  height 147.3125pt;  depth 0pt;  original-width 193.125pt;
%original-height 144.5625pt;  cropleft "0";  croptop "1";  cropright "1";
%cropbottom "0";
%tempfilename 'Include/h5fl5i0b.wmf';tempfile-properties "XPR";}}}%
%BeginExpansion
\begin{center}
\fbox{\includegraphics[
height=147.3125pt,
width=196.125pt
]%
{Include/i3fh0zgf.eps}%
}\\%
\begin{tabular}
[c]{p{7cm}}%
Hauteur en fonction du temps, d'un projectile lanc\'{e} \`{a} la vitesse
$v_{0}$ avec un angle $\alpha$ par rapport \`{a} l'horizontale.
\end{tabular}
\end{center}
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item On suppose ici que $v_{0}=100%
%TCIMACRO{\unit{m}}%
%BeginExpansion
\operatorname{m}%
%EndExpansion
/%
%TCIMACRO{\unit{s}}%
%BeginExpansion
\operatorname{s}%
%EndExpansion
$. Calculer, dans chacun des cas suivants, le temps que mettra le projectile
pour retomber:%

%TCIMACRO{\TeXButton{BeginMulticols}{\begin{multicols}{3}}}%
%BeginExpansion
\begin{multicols}{3}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item $\alpha=30%
%TCIMACRO{\unit{\U{b0}}}%
%BeginExpansion
\operatorname{{{}^\circ}}%
%EndExpansion
;$

\item $\alpha=45%
%TCIMACRO{\unit{\U{b0}}}%
%BeginExpansion
\operatorname{{{}^\circ}}%
%EndExpansion
;$

\item $\alpha=60%
%TCIMACRO{\unit{\U{b0}}}%
%BeginExpansion
\operatorname{{{}^\circ}}%
%EndExpansion
.$
\end{enumerate}

%

%TCIMACRO{\TeXButton{EndMulticols}{\end{multicols}}}%
%BeginExpansion
\end{multicols}%
%EndExpansion


\item On suppose ici que $v_{0}=150%
%TCIMACRO{\unit{m}}%
%BeginExpansion
\operatorname{m}%
%EndExpansion
/%
%TCIMACRO{\unit{s}}%
%BeginExpansion
\operatorname{s}%
%EndExpansion
$ et que le projectile met $15%
%TCIMACRO{\unit{s}}%
%BeginExpansion
\operatorname{s}%
%EndExpansion
$ pour toucher le sol. Quel est l'angle $\alpha$ de lancement?

\item Un projectile lanc\'{e} avec un angle de $15%
%TCIMACRO{\unit{\U{b0}}}%
%BeginExpansion
\operatorname{{{}^\circ}}%
%EndExpansion
$ met $12%
%TCIMACRO{\unit{s}}%
%BeginExpansion
\operatorname{s}%
%EndExpansion
$ pour retomber au sol. Avec quelle vitesse a-t-il \'{e}t\'{e} lanc\'{e}?

\item R\'{e}soudre en fonction de $v_{0}$ et $\sin\alpha,$ l'\'{e}quation
$h(t)=0$.

\item On suppose maintement que $v_{0}=120%
%TCIMACRO{\unit{m}}%
%BeginExpansion
\operatorname{m}%
%EndExpansion
/%
%TCIMACRO{\unit{s}}%
%BeginExpansion
\operatorname{s}%
%EndExpansion
$ et $\alpha=50%
%TCIMACRO{\unit{\U{b0}}}%
%BeginExpansion
\operatorname{{{}^\circ}}%
%EndExpansion
$.

En \'{e}crivant $h(t)$ sous forme canonique, d\'{e}terminer la hauteur
maximale atteinte par le projectile en pr\'{e}cisant la valeur de $t$ correspondante.
\end{enumerate}

\section{Hauteur en fonction de la distance}

La distance au sol \'{e}tant exprim\'{e}e en m\`{e}tre et le lancement ayant
lieu \`{a} la distance $0$ du lanceur, la hauteur, en m\`{e}tre, du projectile
\`{a} la distance $x$ du lanceur est donn\'{e}e par la formule:%
\[
h(x)=\frac{-g}{2v_{0}^{2}}\left(  1+\tan^{2}\alpha\right)  x^{2}+x\tan
\alpha\text{.}%
\]


On suppose que le projectile est lanc\'{e} \`{a} la vitesse initiale $v_{0}=30%
%TCIMACRO{\unit{m}}%
%BeginExpansion
\operatorname{m}%
%EndExpansion
/%
%TCIMACRO{\unit{s}}%
%BeginExpansion
\operatorname{s}%
%EndExpansion
.$ D\'{e}terminer, \`{a} l'aide du changement de variable $u=\tan\alpha$, pour
quelles valeurs de $\tan\alpha$ le projectile retombe \`{a} $60%
%TCIMACRO{\unit{m}}%
%BeginExpansion
\operatorname{m}%
%EndExpansion
$ du lanceur; en d\'{e}duire \`{a} l'aide de la touche $\fbox{$\tan^{-1}$}$ ou
\fbox{$\arctan$} de votre calculatrice, les angles $\alpha$ correspondants.

\bigskip

\textbf{Remarque:} on obtient ainsi deux tirs diff\'{e}rents pour un m\^{e}me
impact au sol:

\begin{itemize}
\item un tir dit tendu;

\item un tir dit en cloche (en gras dans le graphique ci-dessous).
\end{itemize}

%

%TCIMACRO{\FRAME{dtbpFUX}{6.9062cm}{5.206cm}{0pt}{\Qcb{%
%\begin{tabular}
%[c]{p{7cm}}%
%Les vecteurs vitesses ont la m\^{e}me longueur (la vitesse initiale de
%lancement) mais des directions diff\'{e}rentes.
%\end{tabular}
%}}{}{Figure}{\special{ language "Scientific Word";  type "GRAPHIC";
%maintain-aspect-ratio TRUE;  display "USEDEF";  valid_file "T";
%width 6.9062cm;  height 5.206cm;  depth 0pt;  original-width 193.125pt;
%original-height 144.5625pt;  cropleft "0";  croptop "1.0055";
%cropright "1.0018";  cropbottom "0";
%tempfilename 'Include/h5fl5i0c.wmf';tempfile-properties "XPR";}}}%
%BeginExpansion
\begin{center}
\fbox{\includegraphics[
trim=0.000000pt 0.000000pt -0.347614pt -0.795088pt,
height=5.206cm,
width=6.9062cm
]%
{Include/i3fh10gh.eps}%
}\\%
\begin{tabular}
[c]{p{7cm}}%
Les vecteurs vitesses ont la m\^{e}me longueur (la vitesse initiale de
lancement) mais des directions diff\'{e}rentes.
\end{tabular}
\end{center}
%EndExpansion



\end{document}