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%%--Document N° 8818438118646--
%%--De la logique--
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%\title{Utilisation de $\Rightarrow$ et $\Leftrightarrow$}
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\title{Utilisation de $\Rightarrow$ et $\Leftrightarrow$}
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\thispagestyle{fancy}%
%EndExpansion
\label{Force2Pass}

\section{L'implication}

\subsection{Exemple}

L'\'{e}nonc\'{e}: $\ll$ Si $ABC$ est un triangle isoc\`{e}le en $A,$ alors les
angles $\widehat{CBA}$ et $\widehat{BCA}$ sont \'{e}gaux.$\gg$ affirme que
\textbf{s'il est vrai que} $ABC$ est isoc\`{e}le en $A$, \textbf{alors il est
vrai que} les angles $\widehat{CBA}$ et $\widehat{BCA}$ sont \'{e}gaux.

Autrement dit \textbf{lorsque la proposition\footnote{\`{A} notre niveau, une
proposition est une phrase (la d\'{e}finition des logiciens est plus
complexe).} (P)}: $\ll$ $ABC$ est un triangle isoc\`{e}le en $A$ $\gg$
\textbf{est vraie, alors la proposition (Q)}:$\ll$ les angles $\widehat{CBA} $
et $\widehat{BCA}$ sont \'{e}gaux $\gg$ \textbf{est vraie.}

On dit que (P) \textbf{implique} (Q) et l'on note \fbox{(P) $\Rightarrow$ (Q)}.

\underline{!Attention!}: (P) $\Rightarrow$ (Q) ne signifie pas que (P) est vraie.

\subsection{Cas g\'{e}n\'{e}ral}

Nous \'{e}crirons (P) $\Rightarrow$ (Q) pour signifier que \textbf{si} la
proposition (P) est vraie alors la proposition (Q) est aussi vraie, c'est
\`{a} dire que (Q) est une cons\'{e}quence de (P).

\subsubsection{Exemples:}

$x=2\Rightarrow x^{2}=4.$

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\Rightarrow ABCD$ est un parall\'{e}logramme.

\subsubsection{Remarques:}

\begin{itemize}
\item Lorsque (P) $\Rightarrow$ (Q), on dit aussi:

\begin{itemize}
\item que (P) est une \textbf{condition suffisante} pour (Q), ce qui
sous-entend \textbf{qu'il suffit} que (P) soit vraie pour que (Q) le soit
aussi. Ainsi, il suffit que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ pour que
$ABCD$ soit un parall\'{e}logramme.

\item que (Q) est une \textbf{condition n\'{e}cessaire} pour (P), ce qui
sous-entend \textbf{qu'il faut} que (Q) soit vraie pour que (P) le soit.
Ainsi, il est n\'{e}cessaire (il faut) que $ABCD$ soit un parall\'{e}logramme
pour que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}.$
\end{itemize}

\item La diff\'{e}rence entre (P) $\Rightarrow$ (Q) et (P) donc (Q) est que
cette derni\`{e}re affirme que \textbf{(P) est vraie} et donc que (Q) aussi;
alors que (P) $\Rightarrow$ (Q) affirme que \textbf{si (P) est vraie} alors
(Q) l'est aussi\footnote{Dans un \'{e}nonc\'{e} \'{e}crit sous la forme
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}%
%BeginExpansion
$<$%
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}%
%BeginExpansion
$<$%
%EndExpansion
Si (P) alors (Q)%
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}%
%BeginExpansion
$>$%
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}%
%BeginExpansion
$>$%
%EndExpansion
, (P) est l'hypoth\'{e}se et (Q) est la conclusion.}.

La m\^{e}me nuance se retrouve dans les deux \'{e}nonc\'{e}s suivants:

\begin{itemize}
\item Enonc\'{e} 1: Soient $a$ et $b$ deux r\'{e}els tels que $ab>0,$
d\'{e}montrer que $a$ et $b$ sont de m\^{e}me signe.

Il faut d\'{e}montrer $\ll$ $ab>0$ donc $a$ et $b$ sont de m\^{e}me signe
$\gg$.

\item Enonc\'{e} 2: D\'{e}montrer que $\ll$ si $ab>0$ alors $a$ et $b$ sont de
m\^{e}me signe $\gg$.

Il faut d\'{e}montrer que $\ll$ $ab>0\Rightarrow a$ et $b$ sont de m\^{e}me
signe $\gg$.
\end{itemize}
\end{itemize}

\subsubsection{ReExemple:}

La r\'{e}daction correcte au probl\`{e}me suivant:

\begin{center}
$\ll$ Soit $x$ un r\'{e}el tel que $1-x>2.$ D\'{e}montrer que $x<0.$ $\gg$
\end{center}

pourrait \^{e}tre:

\begin{center}
On sait que $1-x>2\Rightarrow-x>1\Rightarrow x<-1\Rightarrow x<0.$

Or $x$ est tel que $1-x>2,$ donc $x<0.$
\end{center}

On tol\`{e}re cependant la r\'{e}daction suivante, incorrecte mais plus rapide:

\begin{center}
On sait que $1-x>2\Rightarrow-x>1\Rightarrow x<-1\Rightarrow x<0$ donc $x<0. $
\end{center}

\section{L'\'{e}quivalence}

\subsection{D\'{e}finition}

\begin{itemize}
\item On dit que deux propositions (P) et (Q) sont \'{e}quivalentes lorsque:%
\[
\left\{
\begin{tabular}
[c]{c}%
(P) $\Rightarrow$ (Q)\\
et\\
(Q) $\Rightarrow$ (P)
\end{tabular}
\right.  \text{.}%
\]


\item $\ll$ (P) et (Q) sont \'{e}quivalentes $\gg$ se note: \fbox{(P)
$\Leftrightarrow$ (Q)} et signifie aussi:
\end{itemize}

\begin{center}
(P) \textbf{\'{e}quivaut \`{a}} (Q)\quad ou\quad(P) \textbf{si et seulement
si} (Q).
\end{center}

\begin{example}
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\Leftrightarrow ABCD$ est un parall\'{e}logramme.
\end{example}

\begin{example}
$\ll$ $a$ et $b$ \'{e}tant deux r\'{e}els positifs, $a^{2}\leq b^{2}$
\'{e}quivaut \`{a} $a\leq b$ $\gg$ peut s'\'{e}crire: $\ll$ $a$ et $b$
\'{e}tant deux r\'{e}els positifs, $a^{2}\leq b^{2}$ si et seulement si $a\leq
b$ $\gg$

ou encore $\ll$ $a$ et $b$ \'{e}tant deux r\'{e}els positifs, $a^{2}\leq
b^{2}$ $\Leftrightarrow$ $a\leq b$ $\gg$.
\end{example}

\begin{itemize}
\item Quand (P) $\Leftrightarrow$ (Q) on dit que (P) [resp. (Q)] est une
\textbf{condition n\'{e}cessaire et suffisante} pour (Q) [resp.~(P)].

Ainsi chercher une condition n\'{e}cessaire et suffisante pour qu'une
proposition (P) soit vraie, c'est chercher une proposition (Q) qui soit vraie
et \'{e}quivalente \`{a} (P).
\end{itemize}

\begin{example}
$ABC$ \'{e}tant un triangle, une condition n\'{e}cessaire et suffisante pour
que $\ll ABC$ soit \'{e}quilat\'{e}ral$\gg$ est $\ll$ $\widehat{B}=\widehat
{C}=\pi/3$ rad $\gg$.
\end{example}

\section{Commentaires sur l'emploi de $\Rightarrow$ et de $\Leftrightarrow$}

\begin{itemize}
\item $\Rightarrow$ et $\Leftrightarrow$ ne sont pas des abr\'{e}viations
st\'{e}nographiques mais des signes math\'{e}matiques (plus
pr\'{e}cis\'{e}ment de la branche des math\'{e}matiques qui \'{e}tudie la
logique). En aucun cas, ils ne doivent \^{e}tre m\'{e}lang\'{e}s aux mots d'un
texte r\'{e}dig\'{e} en langage usuel. Ainsi, n'\'{e}crivez pas dans une
r\'{e}daction, $\ll$ $ABC$ est isoc\`{e}le en $A$ $\Rightarrow$ $AB=AC$ $\gg$.
Remplacez le $\ll$ $\Rightarrow$ $\gg$ par $\ll$ donc $\gg$.

\item Surtout ne pas croire que $\ll$ $\Rightarrow$ $\gg$ remplace le mot
$\ll$ alors $\gg$. On rencontre tr\'{e}s souvent la faute comme, par exemple,
$\ll$ si $ABC$ est isoc\`{e}le en $A\Rightarrow AB=AC$ $\gg$ ce qui n'a aucun
sens. Le r\'{e}dacteur a voulu dire $\ll$ puisque $ABC$ est isoc\`{e}le en
$A$, alors $AB=AC$ $\gg$, et le lecteur lit $\ll$ si $ABC$ est isoc\`{e}le en
$A$ entraine $AB=AC$ $\gg$.

\item Beaucoup d'erreurs proviennent aussi de ce que l'on emploie
$\Leftrightarrow$ lorsqu'il faudrait seulement $\Rightarrow,$ et inversement.
Lorsqu'on emploie $\Leftrightarrow,$ il faut \^{e}tre s\^{u}r que
l'implication est vraie \textbf{dans les deux sens} ce qui demande
\textbf{toujours} r\'{e}flexion. Par exemple $\ll$ $x>2\Leftrightarrow
x^{2}>4$ $\gg$ est faux car $\ll$ $x>2\Rightarrow x^{2}>4$ $\gg$ est vrai mais
$\ll$ $x^{2}>4\Rightarrow x>2$ $\gg$ est faux (car $\ll$ $x^{2}>4\Rightarrow
x>2$ ou $x<-2$ $\gg$).

\item En conclusion, avant d'utiliser les $\ll$ fl\`{e}ches $\gg$, comprenez
bien le sens des mots $\ll$ implique $\gg$ (qui se traduit par $\ll$ entraine
$\gg$ ou $\ll$ si...allors... $\gg$) et $\ll$ \'{e}quivaut $\gg$ (qui se
traduit par $\ll$ si et seulement si $\gg$).\newpage
\end{itemize}

\section{Exercices}

\begin{enumerate}
\item Dans chacun des cas suivants, d\'{e}terminer si l'affirmation est vraie;
expliquer:%
%TCIMACRO{\TeXButton{BeginMulticols}{\begin{multicols}{2}}}%
%BeginExpansion
\begin{multicols}{2}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item $x^{2}=1\Rightarrow x=1;$

\item Si $x^{2}=1\Rightarrow$ $x=1$ ou $-1;$

\item $x=1\Rightarrow x^{2}=1;$

\item $x^{2}=1\Rightarrow$ un carr\'{e} est toujours positif;

\item Un carr\'{e} est toujours positif $\Rightarrow(1-x)^{2}\geq0;$

\item Un carr\'{e} est toujours n\'{e}gatif $\Rightarrow(1-x)^{2}\leq0;$

\item $2\geq1;$

\item $2x=3x\Rightarrow\frac{2x}{x}=\frac{3x}{x}\Rightarrow2=3;$

\item $x=1$ ou $x=2\Rightarrow x=1;$

\item $x=1\Rightarrow x=2$ ou $x=1;$

\item $ab=0\Rightarrow a=0$ et $b=0;$

\item $a=0$ et $b=0\Rightarrow ab=0;$

\item $x>1\Rightarrow x^{2}>1;$

\item $x<1\Rightarrow x^{2}<1;$

\item $x^{2}=-1\Rightarrow(x^{2})^{2}=1;$

\item $\sqrt{x}=1\Rightarrow x\geq0;$

\item $a^{2}=b^{2}\Rightarrow a=b;$

\item Soit $f(x)=\sqrt{x}.$

\begin{enumerate}
\item $f(x)$ existe $\Rightarrow x\geq-1;$

\item $f(x)$ existe $\Rightarrow x\geq0\Rightarrow\mathcal{D}_{f}=%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{+}.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{EndMulticols}{\end{multicols}}}%
%BeginExpansion
\end{multicols}%
%EndExpansion


\item Supposons que l'affirmation $(A)\Rightarrow(B)$ soit vraie. Les
affirmations suivantes sont-elles correctes d'un point de vue logique; dans la
n\'{e}gative donner un contre exemple:%
%TCIMACRO{\TeXButton{BeginMulticols}{\begin{multicols}{2}}}%
%BeginExpansion
\begin{multicols}{2}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item $(A)$ est vrai;

\item Si $(A)$ est faux alors $(B)$ est faux;

\item Si $(B)$ est faux alors $(A)$ est faux;

\item Si $(B)$ est vrai alors $(A)$ est vrai;
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{EndMulticols}{\end{multicols}}}%
%BeginExpansion
\end{multicols}%
%EndExpansion


\item Appelons $(I)$ l'affirmation $(A)\Rightarrow(B).$ Les affirmations
suivantes sont-elles correctes d'un point de vue logique; dans la n\'{e}gative
donner un contre exemple:

\begin{enumerate}
\item $(I)$ est fausse $\Rightarrow$ $(A)$ est faux;

\item $($ $(I)$ est fausse et $(A)$ est vrai $)\Rightarrow(B)$ est faux;

\item $($ $(I)$ est fausse et $(A)$ est faux $)\Rightarrow(B)$ est vraie;

\item $($ $(I)$ est fausse et $(B)$ est faux $)\Rightarrow(A)$ est faux;

\item $($ $(I)$ est vraie et $(B)$ est faux $)\Rightarrow(A)$ est
faux;\newline
\end{enumerate}

\item \'{E}crire les affirmations suivantes en utilisant le symbole
$\Rightarrow$ et d\'{e}terminer si elles sont vraies$:$%
%TCIMACRO{\TeXButton{BeginMulticols}{\begin{multicols}{2}}}%
%BeginExpansion
\begin{multicols}{2}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item Si $n$ est divisible par $6$ alors $n$ est pair;

\item $n$ est divisible par $6$ donc $n$ est pair;

\item Si $n$ est divisible par $3$ alors $n$ est impair;

\item Deux r\'{e}els qui ont m\^{e}me valeur absolue sont \'{e}gaux;

\item Comme $n=6$ on a $n$ pair;

\item $x\geq0$ donc $x-1\geq-1;$

\item $x^{2}=1$ quand $x=1.$

\item $x^{2}=1$ pour $x=1.$
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{EndMulticols}{\end{multicols}}}%
%BeginExpansion
\end{multicols}%
%EndExpansion


\item Les solutions des exercices suivants sont mal r\'{e}dig\'{e}es; les
\'{e}crire correctement:

\begin{enumerate}
\item Soient $x$ et $y$ deux r\'{e}els tels que $0<x<2$ et $0<y<2.$
D\'{e}montrer que $1/x+1/y>1.$

\begin{enumerate}
\item[ ] \emph{Solution:}
\end{enumerate}

$f:x\mapsto1/x$ est d\'{e}croissante sur $\left]  0;+\infty\right[
\Rightarrow1/x>1/2$ et $1/y>1/2\Rightarrow1/x+1/y>1/2+1/2=1.$

\item D\'{e}terminer la valeur de $x$ qui minimise $x^{2}+x+1.$

\begin{enumerate}
\item[ ] \emph{Solution:}
\end{enumerate}

On a $(x+1/2)^{2}=x^{2}+x+1/4\Rightarrow x^{2}+x+1=(x+1/2)^{2}-1/4+1$

$\Rightarrow(x+1/2)^{2}+3/4$

$(x+1/2)^{2}\geq0\Rightarrow(x+1/2)^{2}+3/4\geq3/4$

$\Rightarrow$ la valeur qui minimise $x^{2}+x+1$ est $-1/2.$\newpage
\end{enumerate}

\item Dans chacun des cas suivants, d\'{e}terminer si l'affirmation est vraie
et, dans la n\'{e}gative, proposer une modification valide:%
%TCIMACRO{\TeXButton{BeginMulticols}{\begin{multicols}{2}}}%
%BeginExpansion
\begin{multicols}{2}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item $x=1\Leftrightarrow x^{2}=1;$

\item $x^{2}=-1\Leftrightarrow2x^{2}=-2;$

\item $(x+1)^{2}\Leftrightarrow x^{2}+2x+1;$

\item $x^{2}+2x+1=0\Leftrightarrow(x+1)^{2}=0\Leftrightarrow\mathcal{S}%
=\{-1\};$

\item $a=b\Leftrightarrow a^{2}=b^{2};$

\item $f(x)=1/x\Leftrightarrow\mathcal{D}_{f}=%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{\star}.$

\item $x^{2}=1$ quand $x=1.$
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{EndMulticols}{\end{multicols}}}%
%BeginExpansion
\end{multicols}%
%EndExpansion


\item Supposons que l'\'{e}quivalence $(A)\Leftrightarrow(B)$ soit vraie. Dans
chacun des cas suivants, d\'{e}terminer si l'affirmation est vraie et, dans la
n\'{e}gative, donner un contre exemple:%
%TCIMACRO{\TeXButton{BeginMulticols}{\begin{multicols}{2}}}%
%BeginExpansion
\begin{multicols}{2}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item $(A)$ est vrai;

\item Si $(A)$ est vrai alors $(B)$ est vrai;

\item Si $(A)$ est faux alors $(B)$ est faux;

\item Si $(B)$ est faux alors $(A)$ est faux;

\item Si $(B)$ est vrai alors $(A)$ est vrai.
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{EndMulticols}{\end{multicols}}}%
%BeginExpansion
\end{multicols}%
%EndExpansion


\item Appelons $(E)$ l'\'{e}quivalence $(A)\Leftrightarrow(B).$ Dans chacun
des cas suivants, d\'{e}terminer si l'affirmation est vraie:

\begin{enumerate}
\item Si $(E)$ est fausse alors $(A)\nRightarrow(B);$

\item Si $(E)$ est fausse et $(B)$ est vrai alors $(B)\Rightarrow(A);$

\item Si $(E)$ est fausse alors il est possible que $(A)\Rightarrow(B);$

\item Si $(E)$ est vraie alors $(A)\Rightarrow(B);$

\item Si $(E)$ est vraie et $(B)$ est faux alors $(A)$ est faux;

\item Si ( $(A)$ est faux $\Rightarrow$ $(B)$ est faux ) et ( $(B)$ est vrai
$\Rightarrow(A)$ est vrai ) alors $(E)$ est faux;

\item Si ( $(A)$ est faux $\Rightarrow$ $(B)$ est faux ) et ( $(B)$ est faux
$\Rightarrow(A)$ est faux ) alors $(E)$ est faux.
\end{enumerate}

\item Les solutions des exercices suivants sont mal r\'{e}dig\'{e}es; les
\'{e}crire correctement:

\begin{enumerate}
\item Soit $f(x)=a^{2}x+1.$ d\'{e}terminer les nombres $a$ tels que
$M(1;2)\in\mathcal{C}_{f}.$

\begin{enumerate}
\item[ ] \emph{Solution 1:}
\end{enumerate}

$M(1;2)\in\mathcal{C}_{f}$ quand $f(1)=2\Leftrightarrow a^{2}+1=2$

d'o\`{u} $a=1$ ou $a=-1.$

Pour que $M(1,2)$ appartienne \`{a} $\mathcal{C}_{f}$ il faut que $a=1$ ou
$a=-1.\smallskip$

\begin{enumerate}
\item[ ] \emph{Solution 2:}
\end{enumerate}

$f(x)=a^{2}x+1\Leftrightarrow a^{2}+1=2\Leftrightarrow a=1$ ou $a=-1.$

D'o\`{u} $\mathcal{S=}\left\{  1;-1\right\}  $

\item R\'{e}soudre $x^{2}=1.$

\begin{enumerate}
\item[ ] \emph{Solution:}
\end{enumerate}

$x^{2}=1$ quand $x=1$ ou $-1$ d'o\`{u} $\mathcal{S}=\{-1;1\}.$

\item Soit $f$ une fonction d\'{e}finie sur $%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
$ telle que $f(f(x))=x.$ D\'{e}montrer que:%
\[
M(x,y)\in\mathcal{C}_{f}\Leftrightarrow M^{\prime}(y,x)\in\mathcal{C}_{f}.
\]


\begin{enumerate}
\item[ ] \emph{Solution:}
\end{enumerate}

Si $M(x,y)\in\mathcal{C}_{f}$ alors $f(x)=y\Leftrightarrow
f(f(x))=f(y)\Leftrightarrow x=f(y).$

D'o\`{u} $M(x,y)\in\mathcal{C}_{f}\Leftrightarrow M^{\prime}(y,x)\in
\mathcal{C}_{f}.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{document}