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\newtheorem{remark}[Crem]{Remarque}
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\newtheorem{solution}[Csol]{Solution}
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\newcounter{Csum}[section]
{   \theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{summary}[Csum]{En résumé}
}
\newenvironment{proof}[1]
[Démonstration]
{\noindent\textbf{#1:} }
{\ \fbox{cqfd.}
}
\renewcommand{\theenumi}{\arabic{enumi}}
\renewcommand{\theenumii}{\alph{enumii}}
\renewcommand{\theenumiii}{\roman{enumiii}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi)}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii)}}
\renewcommand{\labelenumiii}{\textbf{\theenumiii.}}


%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\cro}{
\parbox{1.4cm}{
\setlength{\unitlength}{0.1cm}
\begin{picture}(14,7)
\put(0,0){\vector(2,1){14}}
\end{picture}
}
}
\newcommand{\dec}{
\parbox{1.4cm}{
\setlength{\unitlength}{0.1cm}
\begin{picture}(14,7)
\put(0,7){\vector(2,-1){14}}
\end{picture}
}
}

\renewcommand{\vec}[1]{\ensuremath{\overrightarrow{#1\;}}}
\newcommand{\vecteur}[1]{\ensuremath{\overrightarrow{#1\;}}}
\newcommand{\vi}{\vecteur{\imath}}
\newcommand{\vj}{\vecteur{\jmath}}
\newcommand{\vk}{\vecteur{k}}
\newcommand{\oij}{\ensuremath{(O;\vecteur{\imath},\vecteur{\jmath})}}
\newcommand{\oijk}{\ensuremath{\left(O;\vecteur{\imath},\vecteur{\jmath},\vecteur{k}\right)}}
\newcommand{\ouv}{\ensuremath{\left(O;\vecteur{u},\vecteur{v}\right)}}
\newcommand{\anglevec}[2]{\ensuremath{\left(\vecteur{#1};\vecteur{#2}\right)}}
\newcommand{\aire}[1]{\ensuremath{\mathcal{A}ire(#1)}}
\newcommand{\Lim}[1]{\underset{#1}{\lim }}
\newcommand{\coche}{\rule[-0.3em]{1.1em}{1.1em}}
\DeclareMathOperator{\e}{e}

\newcommand{\norme}[1]{\ensuremath{\Vert {#1} \Vert}}

%%%%%%%%%%% Fin de mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%


\newcommand{\LeTitre}{}
\newcommand{\Titre}[1]{\title{#1} \renewcommand
{\LeTitre}{#1}}
\newcommand{\LaClasse}{}
\newcommand
{\Classe}[1]{\renewcommand{\LaClasse} {#1}}
\newcommand{\LaDate}{}
\newcommand
{\Date}[1]{\author{#1}\renewcommand{\LaDate} {#1}}
\newcommand{\Duree}[1]{\date{#1}}
\newcommand{\Letablissement}{}
\newcommand{\Etablissement}[1]{\renewcommand{\Letablissement} {#1}}
\newcommand{\Ladiscipline}{}
\newcommand{\Discipline}[1]{\renewcommand{\Ladiscipline} {#1}}
\renewcommand{\thesection}
{\Alph{section}}
\renewcommand{\thesubsection}
{\thesection\arabic{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}
{\thesubsection.\arabic{subsubsection}}
\newenvironment{qcm}
{   \renewcommand{\labelitemi}{{\setlength{\fboxrule}{.05em}\setlength{\fboxsep}{0pt}\fbox{\rule[-0.3em]{0pt}{1em}\hspace{1em}}}}
\begin{itemize}
}{\end{itemize}}
\begin{document}%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 17216070210081--
%%--Base produit scalaire--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\Etablissement{\small{Lycée Jules Fil}}
\Discipline{\small{Mathématique}}
\Titre{Devoir \textit{(surveillé)}  N$^o$19}
\Classe{\small{Première SSI1}}
\Date{Le 27 mai 2005}
\Duree{}
\maketitle
\begin{center}
  \hrulefill\scriptsize{\emph{\textbf{ La qualité de la rédaction et la précision des raisonnements influent sur la notation}%
    }}
  \hrulefill
\end{center}
\fancypagestyle{avecEntete}{
\lhead{\small{\Letablissement}}
\chead{\small{\LaClasse}}
\rhead{\small{\Ladiscipline}}
\lfoot{\scriptsize{Imprimé avec \LaTeXe}}
\cfoot{}
\rfoot{\thepage$/$\pageref{LastPage}}
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\cfoot{\scriptsize{\LeTitre}}
\rfoot{\thepage$/$\pageref{LastPage}}
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}
\thispagestyle{avecEntete}
\pagestyle{sansEntete}%

% Modif des puces
\renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$}
\renewcommand{\labelitemii}{$\odot$}
% Fin modif puces

\label{ForcePass2}
\vspace{-5mm}
\begin{exercise}
Pour chacune des questions suivantes, plusieurs des affirmations
proposées peuvent être exactes. Préciser lesquelles en cochant les cases
correspondantes (on ne demande pas de justifier).

\end{exercise}
\begin{enumerate}
 \item
    $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont deux vecteurs tels que
    $\norme{\vec{u}}^2=\norme{\vec{v}}^2$.
     \begin{qcm}
    \begin{multicols}{4}
      \item $\vec{u}=\vec{v}$
      \item $\norme{\vec{u}}=\norme{\vec{v}}$
      \item $\left(\vec{u}+\vec{v}\right)$ et $\left(\vec{u}-\vec{v}\right)$ sont orthogonaux
    \end{multicols}
     \end{qcm}
  \item $A$, $B$ et $C$ sont trois points non alignés tels que :
    $AB=1 \quad;\quad AC=2 \quad\text{et}\quad
    \vec{AB}\cdot\vec{AC}=k.$
    \begin{multicols}{4}%
      \begin{qcm}
        \item $k\in \left[-2\,;\,2\right] $
        \item $k\in \left]-2\,;\,2\right[ $
        \item $k>0$
        \item ${BC}^2=5-2k$
      \end{qcm}
    \end{multicols}
  \item $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont des vecteurs non
  nuls tels que $\vec{u}\cdot \vec{v}=\vec{u}\cdot \vec{w}$.
  \begin{multicols}{3}%
  \begin{qcm}
    \item $\vec{v}=\vec{w}$
    \item $\vec{u}$ est orthogonal à $\left(\vec{v}-\vec{w}\right)$
    \item $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont colinéaires
  \end{qcm}
  \end{multicols}
\item $ABC$ est un triangle tel que $AB=3$, $AC=4$, $BC=6$, $I$ est le
  milieu de $[BC]$ et $H$ est le projeté orthogonal de $A$ sur $(BC)$.
  \begin{multicols}{2}
    \begin{qcm}
      \item $AB^2+AC^2=2AI^2+\dfrac{BC^2}{2}$
      \item  $AI=2 \sqrt{2}$
      \item $\vec{AB}\cdot \vec{AC}<12$
      \item $\vec{IH}\cdot \vec{CB}=\dfrac{7}{2}$
    \end{qcm}
  \end{multicols}
\end{enumerate}
\begin{exercise}
Déterminer, \textbf{en justifiant brièvement votre réponse}, la véracité des
affirmations suivantes :
\begin{enumerate}
\item Si deux vecteurs sont colinéaires, leur produit scalaire est
  égal au produit de leur norme.
\item Dire que deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont
  orthogonaux équivaut à  dire que 
  $\left(\vec{u}-\vec{v}\right)$ ont la même norme.
\item Si $A$, $B$ et $C$ sont trois points non alignés, il existe un
  point $M$ unique, distinct de $B$, tel que l'on ait, à la fois $\vec{MA}\cdot
  \vec{MB}=0$ et $\vec{AB}\cdot \vec{CM}=0$.
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[\small Toutes les questions sont indépendantes]
  \begin{enumerate}
  \item Soient $M$, $N$ et $P$ trois points tels que $MN=4$, $MP=8$ et
   $\vec{MN}\cdot \vec{MP}=-16$.\\
  Donner la valeur exacte de l'angle $\widehat{NMP}$.
  \item Dans un repère orthogonal, on considère les points
   $A \left(-4\,;\,-2\right)$,
   $B \left(4\,;\,4\right)$ et
   $C\left(-3\,;\,5\right)$.
  \begin{enumerate}
  \begin{multicols}{2}%
  \item Calculer la valeur exacte de $\widehat{BAC}$
  \item Déterminer l'équation de la hauteur issue de $A$.
  \end{multicols}
  \end{enumerate}
\item Montrer que dans un losange $ABCD$ on a $\vec{AB}\cdot
  \vec{AC}=\frac{1}2{}AC^2$.
  \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
  On considère la suite $\left(u_n\right)_{n\in\mathbb{N}}$ définie
  par $\left\{
  \begin{array}[c]{l}
    u_0=3\\
    u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+u_n}\quad\text{pour $n\in \mathbb{N}$}
  \end{array}\right.$
%\begin{multicols}{2}%
  \begin{enumerate}
  \item Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
  \item Justifier que : $\forall n\in \mathbb{N},\;u_n>0$.
  \item Déterminer le sens de variation de $(u_n).$
  \end{enumerate}
%\end{multicols}
\end{exercise}

\end{document}
