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\theoremstyle{break}
\newtheorem{solution}[Csol]{Solution}
}
\newcounter{Csum}[section]
{   \theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{summary}[Csum]{En résumé}
}
\newenvironment{proof}[1]
[Démonstration]
{\noindent\textbf{#1:} }
{\ \fbox{cqfd.}
}
\renewcommand{\theenumi}{\arabic{enumi}}
\renewcommand{\theenumii}{\alph{enumii}}
\renewcommand{\theenumiii}{\roman{enumiii}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi)}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii)}}
\renewcommand{\labelenumiii}{\textbf{\theenumiii.}}


%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\cro}{
\parbox{1.4cm}{
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\begin{picture}(14,7)
\put(0,0){\vector(2,1){14}}
\end{picture}
}
}
\newcommand{\dec}{
\parbox{1.4cm}{
\setlength{\unitlength}{0.1cm}
\begin{picture}(14,7)
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\end{picture}
}
}

\renewcommand{\vec}[1]{\ensuremath{\overrightarrow{#1\;}}}
\newcommand{\vecteur}[1]{\ensuremath{\overrightarrow{#1\;}}}
\newcommand{\vi}{\vecteur{\imath}}
\newcommand{\vj}{\vecteur{\jmath}}
\newcommand{\vk}{\vecteur{k}}
\newcommand{\oij}{\ensuremath{(O;\vecteur{\imath},\vecteur{\jmath})}}
\newcommand{\oijk}{\ensuremath{\left(O;\vecteur{\imath},\vecteur{\jmath},\vecteur{k}\right)}}
\newcommand{\ouv}{\ensuremath{\left(O;\vecteur{u},\vecteur{v}\right)}}
\newcommand{\anglevec}[2]{\ensuremath{\left(\vecteur{#1};\vecteur{#2}\right)}}
\newcommand{\aire}[1]{\ensuremath{\mathcal{A}ire(#1)}}
\newcommand{\Lim}[1]{\underset{#1}{\lim }}
\newcommand{\coche}{\rule[-0.3em]{1.1em}{1.1em}}
\DeclareMathOperator{\e}{e}

%%%%%%%%%%% Fin de mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%


\newcommand{\LeTitre}{}
\newcommand{\Titre}[1]{\title{#1} \renewcommand
{\LeTitre}{#1}}
\newcommand{\LaClasse}{}
\newcommand
{\Classe}[1]{\renewcommand{\LaClasse} {#1}}
\newcommand{\LaDate}{}
\newcommand
{\Date}[1]{\author{#1}\renewcommand{\LaDate} {#1}}
\newcommand{\Duree}[1]{\date{#1}}
\newcommand{\Letablissement}{}
\newcommand{\Etablissement}[1]{\renewcommand{\Letablissement} {#1}}
\newcommand{\Ladiscipline}{}
\newcommand{\Discipline}[1]{\renewcommand{\Ladiscipline} {#1}}
\renewcommand{\thesection}
{\Alph{section}}
\renewcommand{\thesubsection}
{\thesection\arabic{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}
{\thesubsection.\arabic{subsubsection}}
\newenvironment{qcm}
{   \renewcommand{\labelitemi}{{\setlength{\fboxrule}{.05em}\setlength{\fboxsep}{0pt}\fbox{\rule[-0.3em]{0pt}{1em}\hspace{1em}}}}
\begin{itemize}
}{\end{itemize}}
\begin{document}%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 1686208528288--
%%--Corrigé du document N° 9633366313477--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%



% Modif des puces
\renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$}
\renewcommand{\labelitemii}{$\odot$}
% Fin modif puces

\label{ForcePass2}

\begin{claim}[Mécanisme articulé]
Remarquons tout d'abord que, comme $t\in \left[0\,;\,6\right]$, le
point $M$ décrit exactement deux fois le cercle $\mathscr{C}$ et donc \fbox{$\left(\vec{OA}\,;\;\vec{OM}\right)\in \left[0\,;\,4\pi\right]$}.
\begin{enumerate}
\item 
  \begin{eqnarray*}
    \text{$N$ est en $A$}&\quad\text{SSI}\quad& OMA\text{ est équilatérale}\\
    &\quad\text{SSI}\quad&\cos \left(\vec{OA}\,;\;\vec{OM}\right)=\frac{1}{2}\\
    &\quad\text{SSI}\quad&\left(\vec{OA}\,;\;\vec{OM}\right)=\dfrac{\pi}{3}\quad\text{ou}\quad 2\pi-\dfrac{\pi}{3}\quad\text{ou}\quad \dfrac{\pi}{3}+2\pi \quad\text{ou}\quad 2\pi-\dfrac{\pi}{3}+2\pi\\
     &\quad\text{SSI}\quad&\left(\vec{OA}\,;\;\vec{OM}\right)=\dfrac{\pi}{3}\quad\text{ou}\quad \dfrac{5\pi}{3}\quad\text{ou}\quad \dfrac{7\pi}{3}\quad\text{ou}\quad \dfrac{11\pi}{3}.\\
  \end{eqnarray*}
  Or $M$ parcourt un tour en $3\,$s i.e. $2\pi$\,rad en $3\,$s soit $1\,$rad en $\dfrac{3}{2\pi}\,$s. Donc $N$ est en $A$ SSI :
  \begin{eqnarray*}
    &\quad&t=\dfrac{\pi}{3}\times \dfrac{3}{2\pi}\,\text{s}\quad\text{ou}\quad \dfrac{5\pi}{3}\times \dfrac{3}{2\pi}\,\text{s}\quad\text{ou}\quad \dfrac{7\pi}{3}\times \dfrac{3}{2\pi}\,\text{s}\quad\text{ou}\quad \dfrac{11\pi}{3}\times \dfrac{3}{2\pi}\,\text{s}.\\
    &\text{i.e SSI}\quad&\fbox{$t=\dfrac{1}{2}\,\text{s}\quad\text{ou}\quad \dfrac{5}{2}\,\text{s}\quad\text{ou}\quad \dfrac{7}{2}\,\text{s}\quad\text{ou}\quad \dfrac{11}{2}\,\text{s}$}.\\
  \end{eqnarray*}

\item $OMN$ est isocèle en $M$ donc $15\cos \left(\vec{ON}\,;\;\vec{OM}\right)=\frac{1}{2}x(t)$, i.e $x(t)=30\cos\left(\vec{ON}\,;\;\vec{OM}\right)$.\\
  Or $\left(\vec{ON}\,;\;\vec{OM}\right)=\frac{2\pi}{3}t$, donc \fbox{$x(t)=30\cos(\frac{2\pi}{3}t)$}.

\item La vitesse intantanée de $N$ au temps $t$ est donnée par $\dot x=\frac{dx}{dt}=30\times \frac{2\pi}{3}\times \left(-\sin \left(\frac{2\pi}{3}t\right)\right)=-20\pi\sin \left(\frac{2\pi}{3}t\right)$\\
  qui est maximum SSI $\sin \left(\frac{2\pi}{3}t\right)$ est minimum i.e $\sin \left(\frac{2\pi}{3}t\right)=-1$.\\
  Or : 
  \begin{eqnarray*}
    \sin \left(\frac{2\pi}{3}t\right)=-1&\Leftrightarrow &\dfrac{2\pi}{3}t=\dfrac{3\pi}{2}+2k\pi \quad\text{où}\quad k\in \mathbb{Z}\\
    &\Leftrightarrow &t=\dfrac{3\pi}{2}\times \dfrac{3}{2\pi}+2k\pi\times \dfrac{3}{2\pi}\\
    &\Leftrightarrow &t=\dfrac{9}{4}+3k\\
    &\Leftrightarrow &t=\dfrac{9}{4} \quad\text{ou}\quad \dfrac{9}{4}+3 \quad\text{car}\quad t\in \left[0\,;\,6\right]\\
  \end{eqnarray*}
  Donc la vitesse du point $N$ est maximale au temps \fbox{$t=\dfrac{9}{3}\,s$} et au temps \fbox{$t=\dfrac{21}{4}\,s$} et vaut $20\pi\,cm.s^{-1}$.
\end{enumerate}
\end{claim}



\end{document}
