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\newenvironment{proof}[1]
[Démonstration]
{\noindent\textbf{#1:} }
{\ \fbox{cqfd.}
}
\renewcommand{\theenumi}{\arabic{enumi}}
\renewcommand{\theenumii}{\alph{enumii}}
\renewcommand{\theenumiii}{\roman{enumiii}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi)}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii)}}
\renewcommand{\labelenumiii}{\textbf{\theenumiii.}}


%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\cro}{
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\newcommand{\coche}{\rule[-0.3em]{1.1em}{1.1em}}
\DeclareMathOperator{\e}{e}

%%%%%%%%%%% Fin de mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%


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{\LeTitre}{#1}}
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\begin{itemize}
}{\end{itemize}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 16583835084172--
%%--Corrigé du document N° 963340116007--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\Etablissement{\small{Lycée Jules Fil}}
\Discipline{\small{Mathématique}}
\Titre{Correction du devoir \No 14}
\Classe{\small{Première SSI1}}
\Date{}
\Duree{}
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\rfoot{\thepage$/$\pageref{LastPage}}
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\thispagestyle{avecEntete}
\pagestyle{sansEntete}%

% Modif des puces
\renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$}
\renewcommand{\labelitemii}{$\odot$}
% Fin modif puces

\quad


%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 963340116007--
%%--Calculs de limites--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%

\begin{claim}

\begin{enumerate}
\item\quad

$\underset{x\rightarrow 0}{\lim}x^2=0^+$ donc \fbox{$\underset{x\rightarrow 0}{\lim}-\dfrac{1}{x^{2}}=-\infty$}.

\item
Comme 
$\left\vert x\right\vert =\left\{
      \begin{tabular}[c]{rr}
        $-x$&\text{si $x<0$}\\
        $x$&\text{si $x>0$}
      \end{tabular}\right.$ 
\qquad on a :\qquad  $\dfrac{\left\vert x\right\vert }{x}=\left\{
      \begin{tabular}[c]{rr}
        $-1$&\text{si $x<0$}\\
        $1$&\text{si $x>0$}
      \end{tabular}\right.$\\
et donc\qquad 
\fbox{$\underset{x\rightarrow 0^+}{\lim}\dfrac{\left\vert x\right\vert }{x}=1\quad\text{et}\quad\underset{x\rightarrow 0^-}{\lim}\dfrac{\left\vert x\right\vert }{x}=-1$}


\item
Il est clair que \fbox{$\underset{x\rightarrow +\infty}{\lim}-3x\sqrt{x}=-\infty$}.



\item
Comme $\underset{x\rightarrow +\infty}{\lim}5x^{2}+4=+\infty$ \qquad on a \qquad\fbox{$\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}\dfrac{-1}{5x^{2}+4}=0$}.


\item
On a $\underset{x\rightarrow\pi}{\lim}(1+\sin x)=1\quad\text{et}\quad
\underset{x\rightarrow\pi}{\lim}(1+\cos x)=0^+$\quad (car $\cos x\geq
-1$),\quad donc\quad\fbox{$\underset{x\rightarrow\pi}{\lim}\dfrac{1+\sin x}{1+\cos x}=+\infty$}.


\item
on a :\quad
$\underset{x\rightarrow0}{\lim}2x-5=-5\quad;\quad\underset{x\rightarrow0^+}{\lim}x=0^+\quad\text{et}\quad\underset{x\rightarrow0^-}{\lim}x=0^-$
donc \fbox{$\underset{x\rightarrow0^+}{\lim}\dfrac{2x-5}{x}=-\infty\quad\text{et}\quad\underset{x\rightarrow0^-}{\lim}\dfrac{2x-5}{x}=+\infty$}


\item
Comme
$\underset{x\rightarrow1}{\lim}2x^2+x-3=0\quad\text{et}\quad\underset{x\rightarrow1}{\lim}x-1=0,\quad \underset{x\rightarrow1}{\lim}
\dfrac{2x^{2}+x-3}{x-1}$ est une forme indéterminée.\\
Pour lever l'indétermination on factorise $2x^2+x-3$ par $x-1$ :
$2x^2+x-3=(x-1)(2x+3)$.\\
Ainsi $\dfrac{2x^{2}+x-3}{x-1}=\dfrac{(x-1)(2x+3)}{x-1}=2x+3$\quad pour
$x\neq1$ et donc \fbox{$\underset{x\rightarrow1}{\lim}\dfrac{2x^{2}+x-3}{x-1}=\underset{x\rightarrow1}{\lim}2x+3=5$}.



\item
On
a\quad$\dfrac{3-\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}}=\dfrac{\sqrt{x}\left(\dfrac{3}{\sqrt{x}}-1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}=\dfrac{\dfrac{3}{\sqrt{x}}-1}{\sqrt{x}-1}$.\\
Or
$\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}\dfrac{3}{\sqrt{x}}-1=-1\quad\text{et}\quad\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}\sqrt{x}-1=+\infty$
\quad donc :\quad
\fbox{$\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}\dfrac{3-\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}}=0$}.



\item
La limite cherchée est de forme indéterminée. Pour lever
l'indétermination on peut procéder ainsi :\\
$\dfrac{x-x^{2}}{\sqrt{x}-1}=\dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-x\sqrt{x})}{\sqrt{x}\left(1-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)}=\dfrac{\sqrt{x}-x\sqrt{x}}{1-\dfrac{1}{\sqrt{x}}}$.\\
Or
$\sqrt{x}-x\sqrt{x}=\sqrt{x}\left(1-x\right)\xrightarrow[]{\,x\longrightarrow+\infty\,}-\infty\quad\text{et}\quad\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}1-\dfrac{1}{\sqrt{x}}=1$\quad
donc \quad \fbox{$\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}\dfrac{x-x^{2}}{\sqrt{x}-1}=-\infty$}.

\item
Il faut bien voir que $\underset{x\rightarrow3\pi^+}{\lim}\sin
x=0^-\quad\text{et}\quad\underset{x\rightarrow3\pi^-}{\lim}\sin x=0^+$
et donc :
$$\fbox{$\underset{x\rightarrow3^+}{\lim}\dfrac{1}{\sin(\pi x)}=-\infty\quad\text{et}\quad\underset{x\rightarrow3^-}{\lim}\dfrac{1}{\sin(\pi x)}=+\infty$}.$$

\end{enumerate}%

\end{claim}

\begin{claim}
  \begin{enumerate}
  \item 
Il suffit de prendre une fonction définie par morceau sur $\left[\,-1;\,1\right]$ comme suit :
$$f(x)=\left\{
  \begin{array}[c]{rl}
    x-1& \mathrm{pour}\ x\in\left[\,-1;\,0\right]\\
    x+1& \mathrm{pour}\ x\in\left]\,0;\,1\right]
  \end{array}
\right.$$
Il est alors clair que la fonction $f$ vérifie les conditions demandées
(faire un graphique pour s'en convaincre). On ne peut pas utiliser le
théorème donné dans le cours (th. des valeurs intermédiaires) car $f$
n'est pas dérivable sur $\left[\,-1;\,1\right]$ ($f$ n'est pas
dérivable en 0).

  \item Il suffit de prendre $f(x)=-\dfrac{1}{x}$ définie sur $D=\mathbb{R}^\star$.
    \begin{itemize}
    \item $f$ est définie et dérivable sur $D$ ;
    \item $\forall x\in D,\;f'(x)=\dfrac{1}{x^2}>O$ ;
    \item $f$ n'est pas croissante sur $D$ car $-1<1\nRightarrow
    f(-1)<f(1)$ puisque $f(-1)=1>f(1)=-1$.
    \end{itemize}
\fbox{On ne peut parler de variations d'une fonction que sur des intervalles}, ici $D$ n'est pas un intervalle !

  \item La fameuse fonction $f(x)=E(x)$ est définie sur
    $\mathbb{R}$ et vérifie :
    \begin{itemize}
    \item $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}\backslash\mathbb{Z}$ car
    $f$ est constante sur chacun des intervalles
    $\left]\,n;\,n+1\right[,\quad n\in\mathbb{Z}$;
    \item\quad 
      \begin{itemize}
      \item[\textbf{\underline{Rappel} :}] Une fonction $f$ est dérivable en $a$ SSI
        $\underset{x\rightarrow a}{\lim}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ existe et est finie.\\
      \end{itemize}
      $f$ n'est dérivable en aucun point de $\mathbb{Z}$.\\
      En effet, soit $n\in\mathbb{Z},\quad
      E(x)\xrightarrow[]{\,x\longrightarrow n^-,}n-1$ et donc
      $\underset{x\rightarrow
        n^-}{\lim}\dfrac{E(x)-E(n)}{x-n}=\underset{x\rightarrow
        n^-}{\lim}\dfrac{E(x)-n}{x-n}=+\infty$.
    \end{itemize}
  \end{enumerate}
\end{claim}


\begin{claim}
  \begin{enumerate}
  \item Démontrons le théorème pour un minimum (la démonstration est
  identique pour un maximum).\\
  Soit $f$ une fonction positive sur $I$ et $a\in I$ tel que $f^2(a)$
  est un minimum de $f^2$ sur $I$.\\
On a donc : $\forall x\in I,\; 0\leq f^2(a)\leq f^2(x)$ i.e. $\forall x\in I,\;
  \sqrt{f^2(a)}\leq \sqrt{f^2(x)}$ car $x\longmapsto \sqrt{x}$ est
  croissante sur $\mathbb{R}^+$, ce qui équivaut à : $\forall x\in I,\;\left\vert
  f(a)\right\vert\leq\left\vert f(x)\right\vert$ soit $\forall x\in
  I,\;f(a)\leq f(x)$ car $f\geq0$.\\
Ce qui prouve que $f(a)$ est un minimum de $f$ sur $I$.
  \item

    \begin{itemize}
    \item[\textbf{\underline{Modélisation} :}]
      On peut modéliser le problème par la figure suivante :
      $$\includegraphics{Include/echelle.ps}$$
      Il est
      important de noter que le point $O$ est fixe, et que la droite
      $d$, qui représente l'échelle, peut pivoter autour de $O$. Le
      problème est de savoir pour quelle pente de $d$ la distance $AB$
      est minimale.

%TCIMACRO{\TeXButton{BMinipage}{\begin{minipage}[t]{10cm}}}%
%BeginExpansion
\begin{minipage}[t]{11cm}%
%EndExpansion
    \item[\textbf{\underline{Résolution} :}]
      Choisissons un repère orthogonal dans lequel l'équation réduite
      de la droite $d$ sera la plus simple possible, c'est à dire le
      repère $\left(O,Ox,Oy\right)$ comme indiquer dans la figure
      ci-contre. On note $m$ le coefficient directeur de la droite $d$
      (le choix du repère implique $m>0$).
      \begin{itemize}
      \item La droite $(AB)$ a pour équation $y=mx$, $\Delta$ a pour
        équation $x=0,1$.
      \item Comme $A$ a pour ordonné $-2,7$ et appartient à $(AB)$  on
        en déduit que $A$ a pour coordonnées $\left(\frac{-2,7}{m}\,;\,-2,7\right)$
      \item Comme $B$ a pour abscisse $0,1$ et appartient à $(AB)$ on
        en déduit que $B$ a pour coordonnées $\left(0,1\,;\,0,1m\right)$
      \item Des deux points précédents on déduit que :
        \begin{eqnarray*}
          AB&=&\sqrt{\left(0,1+\dfrac{2,7}{m}\right)^2+\left(0,1m+2,7\right)^2}\\
        \end{eqnarray*}
      \end{itemize}
%TCIMACRO{\TeXButton{EMinipage}{\end{minipage}}}%
%BeginExpansion
\end{minipage}%
%EndExpansion
\hfill%
%TCIMACRO{\TeXButton{BMinipage}{\begin{minipage}[t]{4cm}}}%
%BeginExpansion
\begin{minipage}[t]{4cm}%
%EndExpansion
      $$\includegraphics{Include/repere_ech.eps}$$
%TCIMACRO{\TeXButton{EMinipage}{\end{minipage}}}%
%BeginExpansion
\end{minipage}%
%EndExpansion

Le problème se réduit donc à déterminer le réel $m$ qui minimise
$AB$ et donc $AB^2$ (d'après le théorème précédemment démontré). Posons donc
$f(m)=\dfrac{\left(0,1m+2,7\right)^2}{m^2}+\left(0,1m+2,7\right)^2$\quad
pour $m>0$.\\
$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}^{\star+}$ et :
\begin{eqnarray*}
  f'(m)&=&2\times\frac{-2,7}{m^2}\left(0,1+\frac{2,7}{m}\right)+2\times 0,1\left(0,1m+2,7\right)\\
       &=&-5,4 \dfrac{0,1m+2,7}{m^3}+ 0,2(0,1m+2,7)=(0,1m+2,7)\left(\dfrac{-5,4}{m^3}+0,2\right)\\
       &=&(0,1m+2,7)\dfrac{-5,4+0,2m^3}{m^3}\\
       &=&0,2(0,1m+2,7)\dfrac{m^3-27}{m^3}\\
\end{eqnarray*}
qui est du signe de $m^3-27$ puisque $m>0$. D'où le tableau de variation de f:
$$
\begin{tabular}
[t]{c|ccc|cccc}%
$m$     &0&    &\multicolumn{2}{c}{\makebox[0mm][c]{$3$}}& &$+\infty$\\\hline
\       &  &   &        &              & &\\
$f'(m)$ &  &$-$&\multicolumn{2}{c}{\makebox[0mm][c]{$0$}}&+ &\\
\       &  &   &        &              & &\\\hline
\       &  &    &       &                  & &\\
$f$     &  &\dec&       &                  &\cro& \\
\       &  &    &\multicolumn{2}{c}{\makebox[0mm][c]{$f(3)$}}& &
\end{tabular}
$$
$AB^2$ est minimum pour $m=3$, donc $AB$ aussi, et $AB=\sqrt{\left(0,1+\dfrac{2,7}{3}\right)^2+\left(0,3+2,7\right)^2}$\\
i.e. $AB=\sqrt{10}\simeq3,162$.
$$\fbox{L'échelle de longueur minimale répondant aux contraintes du
  problème mesure donc $\sqrt{10}\,m$}$$
\end{itemize}
  \end{enumerate}
\end{claim}

\end{document}
