\documentclass[a4paper,french]{article}%
\usepackage{amssymb}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[a4paper,noheadfoot]{geometry}
\usepackage{multicol}
\usepackage{lastpage}
\usepackage[french]{layout}
\usepackage{boxedminipage}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{sectsty}
\usepackage{theorem}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{afterpage}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{graphicx}%
%\usepackage{pst-plot}%
\usepackage{mathrsfs}
\setcounter{MaxMatrixCols}{30}

\geometry{
a4paper,
marginpar=2cm,
lmargin=2cm,
rmargin=2cm,
tmargin=1cm,
bmargin=3cm,
headsep=0cm,
footskip=1cm,
marginparsep=0cm,
includemp=false,
reversemp=true,
noheadfoot=false,
scale={1,1}
}
\setlength{\theorempostskipamount}{1\baselineskip}
\theoremheaderfont{\large\bfseries}
{  \theorembodyfont{\large\upshape\mdseries}
\theoremstyle{break}
\newtheorem{theorem}{Théorème}
}
\newcounter{Cack}[section]
{   \theorembodyfont{\large\upshape}
\theoremstyle{break}
\newtheorem  {acknowledgement}[Cack]{A savoir}
}
\newcounter{Calg}[section]
{  \theorembodyfont{\upshape}
\theoremstyle{break}
\newtheorem{algorithm}[Calg]{Méthode}
}
\newcounter{Caxi}[section]
{   \theorembodyfont{\itshape}
\newtheorem{axiom}[Caxi]{Axiome}
}
\newcounter{Ccas}[section]
{   \theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{case}[Ccas]{Cas}
}
\newcounter{Ccorr}[section]
\renewcommand{\theCcorr}{\Roman{Ccorr}}
{   \theorembodyfont{\upshape}
\theoremstyle{break}
\newtheorem{claim}[Ccorr]{Correction de l'exercice}
}
\newcounter{Cconc}[theorem]
{   \theorembodyfont{\large\mdseries}
\newtheorem{conclusion}[Cconc]{Conclusion}
}
\newcounter{Ccond}[theorem]
{  \theorembodyfont{\large\mdseries}
\newtheorem{condition}[Ccond]{Hypothèse}
}
\newcounter{Cconj}[section]
{   \theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{conjecture}[Cconj]{Conjecture}
}
\newcounter{Ccor}[section]
{   \theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{corollary}[Ccor]{Corollaire}
}
\newcounter{Ccrit}[section]
{   \theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{criterion}[Ccrit]{Critère}
}
\newcounter{Cdef}[section]
\newcounter{Cnot}[section]
{   \theorembodyfont{\large\upshape}
\theoremstyle{break}
\newtheorem{definition}[Cdef]{Définition}
\newtheorem{notation}[Cnot]{Notation}
}
\newcounter{Cexa}[section]
{   \theorembodyfont{\slshape}
\newtheorem{example}[Cexa]{Exemple}
}
\newcounter{Cexe}[section]
\renewcommand{\theCexe}{\Roman{Cexe}}
{   \theorembodyfont{\upshape}
\theoremstyle{break}
\newtheorem{exercise}[Cexe]{Exercice}
}
\newcounter{Clem}[section]
{   \theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{lemma}[Clem]{Lemme}
}
\newcounter{Cprob}[section]
\renewcommand{\theCprob}
{\Roman{Cprob}.}
{   \theorembodyfont{\upshape}
\theoremstyle{break}
\newtheorem{problem}[Cprob]{Problème}
}
{   \theorembodyfont{\large\mdseries}
\newcounter{Cprop}[section]
\theoremstyle{break}
\newtheorem{proposition}[Cprop]{Propriété}
}
\newcounter{Crem}[section]
{   \theorembodyfont{\itshape}
\newtheorem{remark}[Crem]{Remarque}
}
\newcounter{Csol}[section]
{   \theorembodyfont{\upshape}
\theoremstyle{break}
\newtheorem{solution}[Csol]{Solution}
}
\newcounter{Csum}[section]
{   \theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{summary}[Csum]{En résumé}
}
\newenvironment{proof}[1]
[Démonstration]
{\noindent\textbf{#1:} }
{\ \fbox{cqfd.}
}
\renewcommand{\theenumi}{\arabic{enumi}}
\renewcommand{\theenumii}{\alph{enumii}}
\renewcommand{\theenumiii}{\roman{enumiii}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi)}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii)}}
\renewcommand{\labelenumiii}{\textbf{\theenumiii.}}


%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\cro}{
\parbox{1.4cm}{
\setlength{\unitlength}{0.1cm}
\begin{picture}(14,7)
\put(0,0){\vector(2,1){14}}
\end{picture}
}
}
\newcommand{\dec}{
\parbox{1.4cm}{
\setlength{\unitlength}{0.1cm}
\begin{picture}(14,7)
\put(0,7){\vector(2,-1){14}}
\end{picture}
}
}

\renewcommand{\vec}[1]{\ensuremath{\overrightarrow{#1\;}}}
\newcommand{\vecteur}[1]{\ensuremath{\overrightarrow{#1\;}}}
\newcommand{\vi}{\vecteur{\imath}}
\newcommand{\vj}{\vecteur{\jmath}}
\newcommand{\vk}{\vecteur{k}}
\newcommand{\oij}{\ensuremath{(O;\vecteur{\imath},\vecteur{\jmath})}}
\newcommand{\oijk}{\ensuremath{\left(O;\vecteur{\imath},\vecteur{\jmath},\vecteur{k}\right)}}
\newcommand{\ouv}{\ensuremath{\left(O;\vecteur{u},\vecteur{v}\right)}}
\newcommand{\anglevec}[2]{\ensuremath{\left(\vecteur{#1};\vecteur{#2}\right)}}
\newcommand{\aire}[1]{\ensuremath{\mathcal{A}ire(#1)}}
\newcommand{\Lim}[1]{\underset{#1}{\lim }}
\newcommand{\coche}{\rule[-0.3em]{1.1em}{1.1em}}
\DeclareMathOperator{\e}{e}

%%%%%%%%%%% Fin de mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%


\newcommand{\LeTitre}{}
\newcommand{\Titre}[1]{\title{#1} \renewcommand
{\LeTitre}{#1}}
\newcommand{\LaClasse}{}
\newcommand
{\Classe}[1]{\renewcommand{\LaClasse} {#1}}
\newcommand{\LaDate}{}
\newcommand
{\Date}[1]{\author{#1}\renewcommand{\LaDate} {#1}}
\newcommand{\Duree}[1]{\date{#1}}
\newcommand{\Letablissement}{}
\newcommand{\Etablissement}[1]{\renewcommand{\Letablissement} {#1}}
\newcommand{\Ladiscipline}{}
\newcommand{\Discipline}[1]{\renewcommand{\Ladiscipline} {#1}}
\renewcommand{\thesection}
{\Alph{section}}
\renewcommand{\thesubsection}
{\thesection\arabic{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}
{\thesubsection.\arabic{subsubsection}}
\newenvironment{qcm}
{   \renewcommand{\labelitemi}{{\setlength{\fboxrule}{.05em}\setlength{\fboxsep}{0pt}\fbox{\rule[-0.3em]{0pt}{1em}\hspace{1em}}}}
\begin{itemize}
}{\end{itemize}}
\begin{document}%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 16360199211549--
%%--Etude de triangles de périmètre et d\'aire donnés--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\Etablissement{\small{Lycée Jules Fil}}
\Discipline{\small{Mathématique}}
\Titre{Devoir \textit{(non surveillé)}  N$^o$12}
\Classe{\small{Première SSI1}}
\Date{Le 28 février 2005}
\Duree{}
\maketitle
\begin{center}
  \hrulefill\scriptsize{\emph{\textbf{ La qualité de la rédaction et la précision des raisonnements influent sur la notation}%
    }}
  \hrulefill
\end{center}
\fancypagestyle{avecEntete}{
\lhead{\small{\Letablissement}}
\chead{\small{\LaClasse}}
\rhead{\small{\Ladiscipline}}
\lfoot{\scriptsize{Imprimé avec \LaTeXe}}
\cfoot{}
\rfoot{\thepage$/$\pageref{LastPage}}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}
\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
}
\fancypagestyle{sansEntete}{
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\fancyhead{}
\lfoot{\scriptsize{\LaClasse}}
\cfoot{\scriptsize{\LeTitre}}
\rfoot{\thepage$/$\pageref{LastPage}}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}
}
\thispagestyle{avecEntete}
\pagestyle{sansEntete}%

% Modif des puces
\renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$}
\renewcommand{\labelitemii}{$\odot$}
% Fin modif puces

\label{ForcePass2}

\begin{exercise}
On considère un triangle $ABC$ isocèle en A de périmètre $2P$ ($P$ est
donc la moitié du périmètre) et d'aire $S$. On pose :
$$AB=AC=x\quad\text{et}\quad BC=b.$$

%TCIMACRO{\TeXButton{TeX field}{{\renewcommand{\thesubsection}{Partie \Roman{subsection}}\subsection{}}}}%
%BeginExpansion 
{\renewcommand{\thesubsection}{Partie \Roman{subsection}}
\subsection{}}%
%EndExpansion
\label{parta_dv12}
Le but de cette partie est de déterminer les dimensions de $ABC$
connaissant son périmètre et son aire.
\begin{enumerate}
\item 
  \begin{enumerate}
  \item \'Ecrire le système d'équation vérifié par $x$ et $b$.
  \item En déduire que $Pb^3-P^2b^2+4S^2=0$.
\end{enumerate}
\item On pose $f(b)=Pb^3-P^2b^2+4S^2$ avec $P=49$ et $S=420$.
  \begin{enumerate}
  \item \'Etudier les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.
  \item En déduire, rigoureusement, que $f$ admet trois racines
    réelles dont deux sur l'intervalle $\left[0\,;\,P\right]$.
  \item Calculer $f(-15)$ puis exprimer $f(b)$ comme produit de
    trois polynômes de degré 1.
  \item \label{q2d_dv12}Quelles sont les dimensions des triangles isocèles de
    périmètre 98 et d'aire 420 ?
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

%TCIMACRO{\TeXButton{TeX field}{{\renewcommand{\thesubsection}{Partie \Roman{subsection}}\subsection{}\label{part2_dv12}}}}%
%BeginExpansion 
{\renewcommand{\thesubsection}{Partie \Roman{subsection}}
\subsection{}\label{part2_dv12}}%
%EndExpansion

Le but de cette partie est, dans un premier temps, d'étudier le lien
entre le périmètre et l'aire de $ABC$, dans un second temps,
d'utiliser cette étude pour retrouver les résultats de la question
\ref{parta_dv12}.\ref{q2d_dv12}.
\begin{enumerate}
\item On note $\theta$ l'angle $\widehat{ABC}$
  ($0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$).
  \begin{enumerate}
  \item Exprimer $x$ et $b$ en fonction de $P$ et $\theta$.
  \item On note $A(\theta)$ l'aire du triangle $ABC$. Démontrer que :
    $$A(\theta)=P^2\dfrac{\sin\theta \cos\theta}{(1+\cos\theta)^2}.$$
  \item Démontrer que :
    $$A'(\theta)=P^2\dfrac{2\cos(\theta)-1}{(1+\cos\theta)^2}.$$
    En déduire le tableau de variation de $A$ pour $\theta\in\left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]$.
    \begin{itemize}
    \item[\textbf{Indications :}]\quad
      \begin{itemize}
      \item Bien entendu, $A'(\theta)$ signifie que l'on dérive $A$
        par rapport à $\theta$. En fait $A$ dépend de $P$ et de
        $\theta$ et l'on devrait écrire $A(P,\theta)$ au lieu de
        $A(\theta)$ et $\frac{dA(P,\theta)}{d\theta}$ au lieu de
        $A'(\theta)$;
      \item On pourra remplacer $\sin^2\theta$ par $1-cos^2\theta$
        (puisque $\cos^2x+\sin^2x=1$ pour tout $x\in\mathbb{R}$)
        pour n'avoir que du $\cos$ dans l'expression brute de
        dérivation de $A'(\theta)$.
      \end{itemize}
    \end{itemize}
  \item Pour $P$ fixé, reconnaitre le triangle isocèle d'aire maximale
    et calculer son aire.
  \end{enumerate}
\item On prend ici $P=49$.
  \begin{enumerate}
  \item Représenter graphiquement la fonction 
    $\theta\,:\,x\longmapsto A(\theta)$, pour
    $\theta\in\left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]$.
  \item \'A l'aide d'une calculatrice, donner un encadrement
    d'amplitude $10^{-3}$ pour chacune des solutions de l'équation
    $A(\theta)=420$.\\
\emph{On fera apparaître 3 tableaux de pas respectifs 0,1; 0,01; 0,001
  encadrant chaque solution (9 tableaux en tout... ).}
\item Conparer les résultats obtenus avec ceux de la question \ref{parta_dv12}.\ref{q2d_dv12}.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

%TCIMACRO{\TeXButton{TeX field}{{\renewcommand{\thesubsection}{Partie \Roman{subsection}}\subsection{}}}}%
%BeginExpansion 
{\renewcommand{\thesubsection}{Partie \Roman{subsection}}
\subsection{}}%
%EndExpansion
Le but de cette partie est de démontrer le théorème suivant:
$$\shadowbox{\parbox{7cm}{De tous les triangles ayant le même périmètre, le triangle équilatéral a la plus grande aire.}}$$
Soit $MBC$ un triangle et $ABC$ un triangle isocèle en $A$ (de base
$[BC]$) ayant le même périmètre. Pour comparer leurs aires, on
introduit le triangle $PBC$ où $P$ est le projeté orthogonal de $M$
sur la médiatrice de $[BC]$.
\begin{enumerate}
\item Comparer les périmètres et aires de $PBC$ et $MBC$.
  \begin{itemize}
  \item[\textbf{Indications :}]\quad
    \begin{itemize}
    \item On pourra considérer, à moins qu'il y ait mieux, le point $C'$, symétrique de $C$ par
      rapport à $(MP)$ et démontrer que $B$, $P$ et $C'$ sont alignés;
    \item On sera alors, peut-être, amené à utiliser l'inégalité dite
      triangulaire :\\
      {\center Pour tout triangle $ABC$, $AB\leq AC+BC$}
      qui signifie simplement que le plus court chemin entre deux
      points est la ligne droite.
    \end{itemize}
  \end{itemize}
\item Comparer les périmètres et aires de $PBC$ et $ABC$.\\
  Que peut-on en conclure ?
\item En utilisant les résultats de ``\ref{part2_dv12}'', terminer la démonstration du
  théorème précité.
\end{enumerate}
\end{exercise}

\end{document}



