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\newcounter{Csum}[section]
{   \theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{summary}[Csum]{En résumé}
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\newenvironment{proof}[1]
[Démonstration]
{\noindent\textbf{#1:} }
{\ \fbox{cqfd.}
}
\renewcommand{\theenumi}{\arabic{enumi}}
\renewcommand{\theenumii}{\alph{enumii}}
\renewcommand{\theenumiii}{\roman{enumiii}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi)}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii)}}
\renewcommand{\labelenumiii}{\textbf{\theenumiii.}}


%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\cro}{
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\begin{picture}(14,7)
\put(0,0){\vector(2,1){14}}
\end{picture}
}
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\newcommand{\dec}{
\parbox{1.4cm}{
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\end{picture}
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\renewcommand{\vec}[1]{\ensuremath{\overrightarrow{#1\;}}}
\newcommand{\vecteur}[1]{\ensuremath{\overrightarrow{#1\;}}}
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\newcommand{\aire}[1]{\ensuremath{\mathcal{A}ire(#1)}}
\newcommand{\Lim}[1]{\underset{#1}{\lim }}
\newcommand{\coche}{\rule[-0.3em]{1.1em}{1.1em}}
\DeclareMathOperator{\e}{e}

%%%%%%%%%%% Fin de mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%


\newcommand{\LeTitre}{}
\newcommand{\Titre}[1]{\title{#1} \renewcommand
{\LeTitre}{#1}}
\newcommand{\LaClasse}{}
\newcommand
{\Classe}[1]{\renewcommand{\LaClasse} {#1}}
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\begin{itemize}
}{\end{itemize}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}Copyright (c) 2005, Philippe Ivaldi. Le contenu de ce document peut être redistribué sous les conditions énoncées dans la Licence pour Documents Libres version 1.1 ou utlérieure.\newline{}%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 162861644426703--
%%--Corrigé du document N° 161366806250640--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%

\label{force2_pas}
\Etablissement{\small{Lycée Jules Fil}}
\Discipline{\small{Mathématique}}
\Titre{Correction du devoir \No 11}
\Classe{\small{Première SSI1}}
\Date{}
\Duree{}
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\thispagestyle{avecEntete}
\pagestyle{sansEntete}%

% Modif des puces
\renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$}
\renewcommand{\labelitemii}{$\odot$}
% Fin modif puces
\quad
\begin{exercise}
    \begin{enumerate}
    \item
      $\vec{AB}-2\vec{AC}=\vec{0}\overset{\text{Définition}}{\Leftrightarrow} \fbox{$A=\text{Bar}\{(B\,;\,1)\,;\,(C\,;\,-2)\}$}$.
    \item 
      \begin{eqnarray*}
        B=\text{Bar}\{(A\,;\,2)\,;\,(C\,;\,3)\}&\Leftrightarrow&2\vec{BA}+2\vec{BC}=\vec{0}\Leftrightarrow 2\vec{BA}+3\vec{BA}+3\vec{AC}=\vec{0}\\
        &\Leftrightarrow&-5\vec{AB}+2\vec{AC}=\vec{0}\Leftrightarrow \fbox{$A=\text{Bar}\{(B\,;\,-5)\,;\,(C\,;\,3)\}$}.
      \end{eqnarray*}
    \item 
      \begin{eqnarray*}
        \vec{BC}=\frac{3}{4}\vec{AB}&\Leftrightarrow&\vec{BA}+\vec{AC}-\frac{3}{4}\vec{AB}=\vec{0}\Leftrightarrow -\frac{7}{4}\vec{AB}+\vec{AC}=\vec{0}\\
        &\Leftrightarrow&-7\vec{AB}+4\vec{AC}=\vec{0}\Leftrightarrow \fbox{$A=\text{Bar}\{(B\,;\,-7)\,;\,(C\,;\,4)\}$}.
      \end{eqnarray*}
    \item 
      \begin{eqnarray*}
        \vec{BC}+2\vec{BA}=2\vec{AC}&\Leftrightarrow&\vec{BA}+\vec{AC}+2\vec{BA}-2\vec{AC}=\vec{0}\\
        &\Leftrightarrow& -3\vec{AB}-\vec{AC}=\vec{0}\Leftrightarrow\fbox{$A=\text{Bar}\{(B\,;\,3)\,;\,(C\,;\,1)\}$}.
      \end{eqnarray*}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
Soit $(O\,;\,I\,,\,J)$ le repère tel que défini dans la figure
ci-dessous. Il faut bien comprendre que l'on ne peut utiliser que des
coordonnées multiples de 0.5 dans ce repère (puisqu'il faut utiliser le
quadrillage !).\\
Voici deux méthodes pour construire $G$ en utilisant le quadrillage :
\begin{itemize}
\item[\textbf{Méthode 1 :}]\quad\\
On a $G=\text{Bar}\{(A\,;\,1)\,;\,(B\,;\,2)\,;\,(C\,;\,3)\}$ donc
$\vec{AG}=\frac{2}{6}\vec{AB}+\frac{3}{6}\vec{AC}$ soit
$\vec{AG}=\frac{1}{3}\vec{AB}+\frac{1}{2}\vec{AC}$.\\
Comme le quadrillage divise le segment $[AB]$ en 6 parties égales, on peut placer le
point $D$ tel que $\vec{AD}=\frac{1}{3}\vec{AB}$.\\
Comme le quadrillage divise le segment $[AC]$ en 4 parties égales, on peut placer le
point $E$ tel que $\vec{AE}=\frac{1}{2}\vec{AC}$.\\
Pour placer $G$ défini par $AG=\vec{AD}+\vec{AE}$ il suffit de tracer
le segment $[EF]$ tel que $\vec{EF}=\vec{AB}$ ($E$ a pour coordonnées
$(8\,;\,4.5)$).\\
$G$ est le point d'intersection de $[EF]$ avec la droite $(d)$ du quadrillage.

$$\includegraphics{Include/bary_dv11.eps}$$
% Code générant la figure (utilise le paquetage pst-plot)
%    \begin{figure}
%      \begin{center}
%        \psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
%      \begin{pspicture}(0,0)(8,7.5)
%        \newrgbcolor{gris}{.7 .7 .7}
%        \psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=2,subgridwidth=0.1pt,
%        subgriddots=0,gridwidth=0.2pt,griddots=0,subgridcolor=gris,xunit=1,yunit=1](0,0)(0,0)(8,7)
%        \psdot(1,1)
%        \psdot(7,2) \psdot(3,6)
%        \uput{.2}[135](1,1){$A$}
%        \uput{.2}[-45](7,2){$B$}
%        \uput{.2}[135](3,6){$C$}
%        \psline(1,1)(7,2)(3,6)(1,1)
%
%        \psline(2,3.5)(8,4.5)\psdot(8,4.5)\uput{.1}[0](8,4.5){$F$}
%        \psline[linewidth=2pt]{->}(1,1)(3,1.33333)
%        \uput{.1}[-90](2,1.15){$\frac{1}{3}\vec{AB}$}
%        \psdots(2,3.5)\uput{.1}[-45](3,1.333333){$D$}\psdots(3,1.333333)
%
%        \psline[linewidth=2pt]{->}(1,1)(2,3.5)
%        \uput{.1}[180](1.5,2.25){$\frac{1}{2}\vec{AC}$}
%        \psdots(2,3.5)\uput{.1}[135](2,3.5){$E$}
%
%        \psline[linewidth=2pt]{->}(2,3.5)(4,3.83333)\uput{.1}[-90](3,3.65){$\frac{1}{3}\vec{AB}$}
%        \psdot(4,3.833333)\uput{.2}[45](4,3.83333){$G$}
%
%        \psdot(5,1.666666)\uput{.1}[-45](5,1.666666){$G_1$}
%        \psline(3,6)(5,1.66666)
%        \psdot(2.5,4.75)\uput{.1}[180](2.5,4.75){$G_2$}
%        \psline(7,2)(2.5,4.75)
%
%        \psline[linewidth=1pt](4,0)(4,7)\uput{.1}[0](4,0.5){$(d)$}
%        \psdot(0,0)\uput{.1}[-130](0,0){$O$}
%        \psdot(1,0)\uput{.1}[-90](1,0){$I$}
%        \psdot(0,1)\uput{.1}[180](0,1){$J$}
%
%      \end{pspicture}
%    \end{center}
%\end{figure}

\item[\textbf{Méthode 2 :}]\quad\\
La deuxième est plus simple mais plus subtile...\
Comme $G=\text{Bar}\{(A\,;\,1)\,;\,(B\,;\,2)\,;\,(C\,;\,3)\}$ on a
aussi $G=\text{Bar}\{(G_1\,;\,3)\,;\,(C\,;\,3)\}$ où
$G_1=\text{Bar}\{(A\,;\,1)\,;\,(B\,;\,2)\}$.\\
On place alors le point $G_1$ défini par
$\vec{AG_1}=\frac{2}{3}\vec{AB}$, ce qui ne pose pas de problème
puisque le segment $[AB]$ est divisé en $6$.\\
Le point $G$ est alors le mileu de $[CG_1]$.\\
On peut procéder de la même manière en écrivant $G=\text{Bar}\{(G_2\,;\,4)\,;\,(B\,;\,2)\}$ où
$G_2=\text{Bar}\{(A\,;\,1)\,;\,(C\,;\,3)\}$.\\

\end{itemize}

\end{exercise}

\begin{exercise}
  $$I=\text{Bar}\{(A\,;\,3)\,;\,(B\,;\,-1)\}\quad;\quad
  J=\text{Bar}\{(A\,;\,3)\,;\,(C\,;\,-5)\}\quad\text{et}\quad
  K=\text{Bar}\{(B\,;\,-1)\,;\,(C\,;\,5)\}.$$
  \begin{enumerate}
    \item  
      \begin{eqnarray*}
        J=\text{Bar}\{(A\,;\,3)\,;\,(C\,;\,-5)\}&\Leftrightarrow&3\vec{JA}-5\vec{JC}=\vec{0}\Leftrightarrow 3\vec{JC}+3\vec{CA}-5\vec{JC}=\vec{0}\\
        &\Leftrightarrow&2\vec{CJ}+3\vec{CA}=\vec{0}\Leftrightarrow \fbox{$C=\text{Bar}\{(J\,;\,2)\,;\,(A\,;\,3)\}$}.
\end{eqnarray*}
    \item On utilise l'associativité du barycentre :\\
      $$\text{Bar}\{(B\,;\,-1)\,;\,\underset{(C\,;\,5)}{\underbrace{(J\,;\,2)\,;\,(A\,;\,3)}}\}=\text{Bar}\{(B\,;\,-1)\,;\,(C\,;\,5)\}=K.$$
    \item D'un autre coté, toujours par associativité du barycentre on a :
      $$K=\text{Bar}\{(J\,;\,2)\,;\,\underset{(I\,;\,2)}{\underbrace{(B\,;\,-1)\,;\,(A\,;\,3)}}\}=\text{Bar}\{(J\,;\,2)\,;\,(I\,;\,2)\}=\text{mileu de }[IJ].$$
  \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
  $$I=\text{Bar}\{(A\,;\,1)\,;\,(B\,;\,4)\}\quad;\quad
  J=\text{Bar}\{(A\,;\,3)\,;\,(C\,;\,-5)\}\quad\text{et}\quad K=(BJ)\cap(CI)$$
  \begin{enumerate}
  \item 
    Posons
    $K'=\text{Bar}\{(A\,;\,3)\,;\,(B\,;\,12)\,;\,(C\,;\,-5)\}$\\
    \begin{itemize}
    \item[Remarque :]\textit{La multiplication des poids de $I$ par 3
      permet d'avoir du $(A\,;\,3)$ dans l'expression de $I$ et de $J$
      ce qui va nous permettre d'utiliser l'associativité du
      barycentre...en tout cas on espère.}
    \end{itemize}
    \begin{itemize}
    \item Comme
      $I=\text{Bar}\{(A\,;\,1)\,;\,(B\,;\,4)\}=\text{Bar}\{(A\,;\,3)\,;\,(B\,;\,12)\}$ on a, par associativité du barycentre :
      $$K'=\text{Bar}\{\underset{(I\,;\,15)}{\underbrace{(A\,;\,3)\,;\,(B\,;\,12)}}\,;\,(C\,;\,-5)\}=\text{Bar}\{(I\,;\,15)\,;\,(C\,;\,-5)\}.$$
D'où $K'\in(CI)$.
    \item On a, par associativité du barycentre :
      $$K'=\text{Bar}\{(A\,;\,3)\,;\,(B\,;\,12)\,;\,(C\,;\,-5)\}=\text{Bar}\{\underset{(J\,;\,-2)}{\underbrace{(A\,;\,3)\,;\,(C\,;\,-5)}}\,;\,(B\,;\,12)\}=\text{Bar}\{(J\,;\,-2)\,;\,(B\,;\,12)\}.$$
D'où $K'\in(BJ)$.
    \end{itemize}
    Finalement $K'\in(BJ)\cap(CI)$ donc $K'=K$ et donc \fbox{$K=\text{Bar}\{(A\,;\,3)\,;\,(B\,;\,12)\,;\,(C\,;\,-5)\}$}.

  \item Il est assez naturel de poser $L'=\text{Bar}\{(B\,;\,12)\,;\,(C\,;\,-5)\}$. On a alors :
    \begin{itemize}
    \item $L'\in(BC)$ car $L$ est barycentre de $B$ et $C$ ;
    \item
      $L'=\text{Bar}\{(A\,;\,-3)\,;\,\underset{(K\,;\,10)}{\underbrace{(A\,;\,3)\,;\,(B\,;\,12)\,;\,(C\,;\,-5)}\}}=\text{Bar}\{(A\,;\,3)\,;\,(K\,;\,10)\}\in(AK)$.
    \end{itemize}
    Finalement, $L'=(BC)\cap(AK)$ donc \fbox{$L'=L=\text{Bar}\{(B\,;\,12)\,;\,(C\,;\,-5)\}$}.
  \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
$$\includegraphics{Include/plaquef_cor.eps}$$
% code générant la figure (utilise la paquetage pst-plot)
%    \begin{figure}
%      \begin{center}
%        \psset{xunit=1.5cm,yunit=1.5cm}
%      \begin{pspicture}(0,0)(7,7)
%        \newrgbcolor{gris}{.7 .7 .7}
%        \newrgbcolor{grisclair}{.9 .9 .9}
%        \pscustom[linestyle=none,liftpen=2]{%Début pscustom
%          \psline(1,1)(2,1)(2,3)(5,3)(5,4)(2,4)(2,5)(6,5)(6,6)(1,6)(1,1)
%          \stroke[linestyle=solid, linewidth=2pt]
%          \fill[fillstyle=solid, fillcolor=grisclair]
%          }%Fin pscustom
%        \psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=10,subgridwidth=0.1pt,
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%        (0,0)(0,0)(7,7)
%        \psline(1,1)(2,5)
%        \psline(2,1)(1,5)
%        \psdot(1.5,3)\uput*{.2}[180](1.5,3){$(G_2\,;\,4)$}
%
%        \psline(1,6)(6,5)
%        \psline(1,5)(6,6)
%        \psdot(3.5,5.5)\uput*{.3}[90](3.5,5.5){$(G_1\,;\,5)$}
%
%        \psline(2,4)(5,3)
%        \psline(2,3)(5,4)
%        \psdot(3.5,3.5)\uput*{.3}[-90](3.5,3.5){$(G_3\,;\,3)$}
%       
%        \psline(3.5,3.5)(3.5,5.5)
%        \psdot(3.5,4.75)\uput*{.2}[-45](3.5,4.75){$(G'\,;\,8)$}
%
%        \psline(1.5,3)(3.5,4.75)
%        \psdot(2.833333,4.1666666)\uput*{.2}[135](2.833333,4.1666666){$G$}
%
%      \end{pspicture}
%    \end{center}
%\end{figure}
Notons $G$ le centre de gravité de la plaque.\\
La figure ci-dessus définit clairement $G_1$, $G_2$ et $G_3$.\\
Pour placer le barycentre $G'$ de $\{(G_1\,;\,5)\,;\,(G_3\,;\,3)\}$ on
utilise l'égalité $\vec{G_1G'}=\frac{3}{8}\vec{G_1G_3}$.\\
Enfin pour placer $G=\text{Bar}\{(G_2\,;\,4)\,;\,(G'\,;\,8)\}=\text{Bar}\{(G_2\,;\,1)\,;\,(G'\,;\,2)\}$ on
utilise l'égalité $\vec{G_2G}=\frac{2}{3}\vec{G_2G'}$.
\end{exercise}
\end{document}
