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\newcounter{Csum}[section]
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\newtheorem{summary}[Csum]{En résumé}
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\newenvironment{proof}[1]
[Démonstration]
{\noindent\textbf{#1:} }
{\ \fbox{cqfd.}
}
\renewcommand{\theenumi}{\arabic{enumi}}
\renewcommand{\theenumii}{\alph{enumii}}
\renewcommand{\theenumiii}{\roman{enumiii}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi)}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii)}}
\renewcommand{\labelenumiii}{\textbf{\theenumiii.}}


%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%
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\newcommand{\coche}{\rule[-0.3em]{1.1em}{1.1em}}
\DeclareMathOperator{\e}{e}

%%%%%%%%%%% Fin de mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%


\newcommand{\LeTitre}{}
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{\LeTitre}{#1}}
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\begin{itemize}
}{\end{itemize}}
\begin{document}%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 160418875532551--
%%--Corrigé du document N° 1316450839348--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\Etablissement{\small{Lycée Jules Fil}}
\Discipline{\small{Mathématique}}
\Titre{Correction du devoir \No 9}
\Classe{\small{Première SSI1}}
\Date{}
\Duree{}
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\thispagestyle{avecEntete}
\pagestyle{sansEntete}%

% Modif des puces
\renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$}
\renewcommand{\labelitemii}{$\odot$}
% Fin modif puces

\label{ForcePass2}
\quad
\begin{claim}
  \begin{enumerate}
  \item $f(x)=2x^{3}-3x^{2}+6x-6\quad$et $a=1$ ;
    \begin{itemize}
    \item \fbox{$f'(x)=6x^2-6x+6$} (simple dérivation de polynôme).
    \item $\mathcal{T}_1\,:\,y=f'(1)(x-1)+f(1)\Leftrightarrow
      y=6(x-1)-1\Leftrightarrow\,$\fbox{$y=6x-7$}.
    \end{itemize}

  \item $f(x)=\left(  2x-1\right)  ^{4}\quad$et $a=0$ ;
    \begin{itemize}
    \item $f(x)=\left[u(x)\right]^4$ avec $u(x)=2x-1$ et donc
      $u'(x)=2$.
        \hfill Rappel : \fbox{$\left(u^n\right)'=nu'u^{n-1}$}\\
        donc $f'(x)=4u'(x)[u(x)]^3=\,$\fbox{$8(2x-1)^3$}
      \item $\mathcal{T}_0\,:\,y=f'(0)(x-0)+f(0)\Leftrightarrow \,$\fbox{$y=-8x+1$}
    \end{itemize}
    
  \item $f(x)=x\cos x\quad$et $a=\pi/2$ ;
    \begin{itemize}
    \item $f(x)=u(x)\times v(x)$ avec 
      \begin{array}[t]{ll}
        u(x)=x&v(x)=\cos x\\
        u'(x)=1&v'(x)=-\sin x.
      \end{array}
      \hfill Rappel : \fbox{$(u\times v)'=u'v+uv'$}\\
      donc $f'(x)=1\times \cos x+x\times (-\sin x)=\,$\fbox{$\cos x
        -x\sin x$}
    \item
      $\mathcal{T}_{\frac{\pi}{2}}\,:\,y=f'\left(\frac{\pi}{2}\right)\left(x-\frac{\pi}{2}\right)+f\left(\frac{\pi}{2}\right)\Leftrightarrow y=-\frac{\pi}{2}\left(x-\frac{\pi}{2}\right)\Leftrightarrow\,$\fbox{$y=-\frac{\pi}{2}x+\frac{\pi^2}{4}$}
    \end{itemize}
    
  \item $f(x)=\dfrac{2x+1}{2x-1}\quad$et $a=1$ ;
    \begin{itemize}
    \item $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ avec 
      \begin{array}[t]{ll}
        u(x)=2x+1&v(x)=2x-1\\
        u'(x)=2&v'(x)=2.
      \end{array}
      \hfill Rappel : \fbox{$\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$}\\
      donc $f'(x)=\dfrac{2(2x-1)-(2x+1)\times 2}{(2x-1)^2}=\,$\fbox{$\dfrac{-4}{(2x-1)^2}$}
    \item $\mathcal{T}_1\,:\,y=f'(1)(x-1)+f(1)\Leftrightarrow
      y=-4(x-1)+3\Leftrightarrow\,$\fbox{$y=-4x+7$}
    \end{itemize}
    
  \item $f(x)=\sin(3x+1)\quad$et~$a=-1/3$ ;
    \begin{itemize}
    \item $f(x)=u(v(x))$ avec 
      \begin{array}[t]{ll}
        u(x)=\sin x&v(x)=3x+1\\
        u'(x)=\cos x&v'(x)=3.
      \end{array}
      \hfill Rappel : \fbox{$(u(v(x))'=v'(x)\times u'(v(x))$}\\
      donc \fbox{$f'(x)=3\cos(3x+1)$}
    \item
      $\mathcal{T}_{-\frac{1}{3}}\,:\,y=f'(\frac{1}{3})(x-\frac{-1}{3})+f(\frac{-1}{3})\Leftrightarrow y=3(x+\frac{1}{3})+0\Leftrightarrow\,$\fbox{$y=3x+1$}
    \end{itemize}
    
  \item $f(x)=\left(\dfrac{x+1}{1-x}\right)^{4}\quad$et $a=0$ ;
    \begin{itemize}
    \item $f(x)=[u(x)]^4$ avec $u(x)=\dfrac{x+1}{1-x}$.
      \begin{itemize}
      \item calcul de $u'(x)$ :\\
        $u(x)=\dfrac{g(x)}{h(x)}$ avec $g(x)=x+1$ et $h(x)=1-x$.\\
        D'où
        $u'(x)=\dfrac{g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{(h(x))^2}=\dfrac{1(1-x)-(x+1)(-1)}{(1-x)^2}=\dfrac{2}{(1-x)^2}$.
      \item on en déduit $f'(x)$ :\\
        $f'(x)=4u'(x)[u(x)]^3=4\dfrac{2}{(1-x)^2}\left(\dfrac{x+1}{1-x}\right)^3=\,$\fbox{$\dfrac{8(x+1)^3}{(1-x)^5}$}
      \end{itemize}
    \item $\mathcal{T}_0\,:\,y=f'(0)(x-0)+f(0)\Leftrightarrow\,$\fbox{$y=8x+1$}
    \end{itemize}
  \item $f(x)=\cos^{2}(3x)\quad$et $a=\pi/3$.
    \begin{itemize}
    \item $f(x)=[u(x)]^2$ avec $u(x)=\cos(3x)$ et donc $u'(x)=-3\sin
      (3x)$.\\
      Comme $f'(x)=2u'(x)u(x)$ on a $f'(x)=2(-3\sin(3x))\cos
      (3x)=\,$\fbox{$-6\sin(3x)\cos(3x)$}
    \item
      $\mathcal{T}_\frac{\pi}{3}\,:\,y=f'(\frac{\pi}{3})(x-\frac{\pi}{3})+f(\frac{\pi}{3})\Leftrightarrow y=0+1\Leftrightarrow\,$\fbox{$y=1$}
    \end{itemize}
  \end{enumerate}%

\end{claim}

\begin{claim}
\begin{enumerate}
\item 
  \begin{itemize}
  \item Calculons $f'(x)$ :\\
    $\forall x\in\mathbb{R}\backslash\{-\frac{1}{2}\}$ on a :\\
    $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ avec 
    \begin{array}[t]{ll}
      u(x)=2x^2+3x-1&v(x)=2x+1\\
      u'(x)=4x+3&v'(x)=2.
    \end{array}\\
donc $f'(x)=\dfrac{(4x+3)(2x+1)-(2x^2+3x-1)\times
  2}{(2x+1)^2}=\,$\fbox{$\dfrac{4x^2+4x+5}{(2x+1)^2}$}
\item Calculons $g'(x)$ :\\
    $\forall x\in\mathbb{R}\backslash\{-\frac{1}{2}\}$ on a :\\
    $g'(x)=\dfrac{2(2x+1)-2(2x-1)}{(2x+1)^2}=\,$\fbox{$\dfrac{4}{(2x+1)^2}$}
  \item Vérifions que $f'(x)=g'(x)+1$ :\\
    $\forall x\in\mathbb{R}\backslash\{-\frac{1}{2}\}$ on a :
    \begin{eqnarray*}
      g'(x)+1&=&\frac{4}{(2x+1)^2}+1=\frac{4}{(2x+1)^2}+\frac{(2x+1)^2}{(2x+1)^2}\\
             &=&\frac{4+4x^2+4x+1}{(2x+1)^2}=\frac{4x^2+4x+5}{(2x+1)^2}\\
             &=&f'(x).
    \end{eqnarray*}
  \end{itemize}
\item $\forall x\in\mathbb{R}\backslash\{-\frac{1}{2}\}$ on a :\\
  \begin{eqnarray*}
    f(x)-g(x)&=&\frac{2x^2+3x-1}{2x+1}-\frac{2x-1}{2x+1}=\frac{2x^2+x}{2x+1}\\
             &=&\frac{x(2x+1)}{2x+1}=x
  \end{eqnarray*}
Ainsi, comme $f(x)-g(x)=x$, on a (en dérivant l'égalité)
$f'(x)-g'(x)=1$ soit $f'(x)=g'(x)+1$.

\end{enumerate}

\end{claim}


\begin{claim}
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item 
$f(x)$ est de la forme $ax^2+bx+c$ avec $a=\frac{1}{2}$, $b=-2$ et
$c=3$. $\mathcal{C}_f$ est donc une parabole dont l'abscisse du
sommet est $-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2\frac{1}{2}}=2$ et l'ordonnée
$f(2)=1$.\\
On en déduit que $f$ est décroissante sur
$\left]-\infty\,;\,2\right[$, croissante sur
$\left]2\,;\,+\infty\right[$.\\
La courbe de $f$ est tracée sur la figure \ref{parab} page \pageref{parab}.

\item Il semble qu'il y ait deux tangentes à $\mathcal{C}_f$ passant par
  $A$.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item On a $f'(x)=x-2$ et $T_a$ a pour équation $y=f'(a)(x-a)+f(a)$
  donc $T_a$ a pour équation :
$$ \fbox{$y=(a-2)(x-a)+\frac{a^2}{2}-2a+3$}$$

\item 
  \begin{eqnarray*}
    A(1;-1)\in T_a &\text{SSI}&(a-2)(1-a)+\frac{a^2}{2}-2a+3=1\\
                    &\text{SSI}&a-a^2-2+2a+\frac{a^2}{2}-2a+3=1\\
                    &\text{SSI}&-\frac{a^2}{2}+a+2=0\\
                    &\text{SSI}&\fbox{$a^2-2a-4=0$}\qquad\text{en multipliant
                      l'égalité précédente par -2}
  \end{eqnarray*}

\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item On a vu à la question précédente que la tangente à 
  $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$ passe\linebreak{}par $A$ SSI
  $a^2-2a-4=0$ ;\\
  or $a^2-2a-4=0$ a pour discriminant $\Delta=2^2-4\times
  (-4)=20=\left(2\sqrt{5}\right)^2$ et donc pour solutions :
  $$a_1=\frac{2+2\sqrt{5}}{2}=1+\sqrt{5}\quad\text{et}\quad
  a_2=1-\sqrt{5}$$
  On en déduit que \fbox{$T_a$ passe par $A$ SSI $a=1+\sqrt{5}$ ou $a=1-\sqrt{5}$}

\item \'{E}tant donné que, après calculs laissés aux soins du lecteur, on a :
$$
    \begin{array}[b]{lllll}
      f\left(1+\sqrt{5}\right)=4-\sqrt{5}&\hspace{1cm}&f'\left(1+\sqrt{5}\right)=\sqrt{5}-1\\
      \multicolumn{3}{l}{f'\left(1+\sqrt{5}\right)\left(x-\left(1+\sqrt{5}\right)\right)+f\left(1+\sqrt{5}\right)=\left(\sqrt{5}-1\right)x-\sqrt{5}}\\
      f\left(1-\sqrt{5}\right)=4+\sqrt{5}&\hspace{1cm}&f'\left(1-\sqrt{5}\right)=-\sqrt{5}-1\\
      \multicolumn{3}{l}{f'\left(1-\sqrt{5}\right)\left(x-\left(1-\sqrt{5}\right)\right)+f\left(1-\sqrt{5}\right)=\left(-\sqrt{5}-1\right)x+\sqrt{5}}
    \end{array}
$$

les deux tangentes, $T_{1+\sqrt{5}}$ et $T_{1-\sqrt{5}}$, à
$\mathcal{C}_f$ passant par $A$ ont pour
  équations respectives :
$$
\fbox{$T_{1+\sqrt{5}}\,:\,y=\left(\sqrt{5}-1\right)x-\sqrt{5}\quad;\quad
  T_{1-\sqrt{5}}\,:\,y=\left(-\sqrt{5}-1\right)x+\sqrt{5}$}
$$
Les tangentes sont tracées sur la figure \ref{parab} page \pageref{parab}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{claim}

\begin{claim}
  \begin{enumerate}
  \item On utilise la relation \fbox{$f(x)\approx f'(a)(x-a)+f(a)$}
    pour $x\approx a$.\\
    Ainsi, comme $f$ est dérivable sur $\left]-1\,;+\infty\,\right[$
    avec $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{1+x}}$ on a :
    $$f(x)\approx \dfrac{1}{2\sqrt{1+0}}(x-0)+\sqrt{1+0}\text{\quad i.e.\quad}f(x)\approx 1+\dfrac{x}{2}$$

  \item 
    \begin{enumerate}
      \item
        \begin{eqnarray*}
          e(x)&=&\left\vert f(x)-\left(1+\dfrac{x}{2}\right)\right\vert=\left\vert
            f(x)-\left(1+\dfrac{x}{2}\right)\right\vert\times \dfrac{\left\vert
              f(x)+\left(1+\dfrac{x}{2}\right)\right\vert}{\left\vert
              f(x)+\left(1+\dfrac{x}{2}\right)\right\vert}\\
          &=&\frac{\left\vert f(x)-\left(1+\dfrac{x}{2}\right)\right\vert\times\left\vert
              f(x)+\left(1+\dfrac{x}{2}\right)\right\vert}{\left\vert
              f(x)+\left(1+\dfrac{x}{2}\right)\right\vert}\\
          &=&\frac{\left\vert \left(f(x)-\left(1+\dfrac{x}{2}\right)\right)\times\left(
                f(x)+\left(1+\dfrac{x}{2}\right)\right)\right\vert}{\left\vert
              f(x)+\left(1+\dfrac{x}{2}\right)\right\vert}\text{\quad car $\vert
            a\vert\times\vert b\vert=\vert a\times b\vert$}\\
          &=&\frac{\left\vert (f(x))^2-\left(1+\dfrac{x}{2}\right)^2\right\vert}{\left\vert
              f(x)+\left(1+\dfrac{x}{2}\right)\right\vert}=\frac{\left\vert 1+x-\left(1+x+\dfrac{x^2}{4}\right)\right\vert}{\left\vert
              f(x)+\left(1+\dfrac{x}{2}\right)\right\vert}\\
          &=&\frac{\left\vert \dfrac{x^2}{4}\right\vert}{\left\vert
              f(x)+\left(1+\dfrac{x}{2}\right)\right\vert}=\frac{\dfrac{x^2}{4}}{\left\vert
              \sqrt{1+x}+\left(1+\dfrac{x}{2}\right)\right\vert}\text{\quad car $\dfrac{x^2}{4}\geq0$}
        \end{eqnarray*}

      \item \underline{On suppose que: $-1\leq x\leq1.$}

      \begin{enumerate}
      \item Les fonctions :
        $$u\,:\,x\longmapsto \sqrt{1+x}\quad\text{et}\quad
        v\,:\,x\longmapsto 1+\frac{x}{2}$$
        sont toutes les deux croissantes sur $\left[-1\,;\,1\right]$,
        donc $u+v$ est aussi croissante sur $\left[-1\,;\,1\right]$.\\
        D'où $\forall x\in \left[-1\,;\,1\right],\,(u+v)(x)\geq
        (u+v)(-1)$ i.e. $\sqrt{1+x}+(1+\frac{x}{2})\geq1/2$

      \item D'après la question précédente on a : $\forall x\in
        \left[-1\,;\,1\right],\,\sqrt{1+x}+(1+\frac{x}{2})\geq1/2$.\\
Or comme :
        \begin{eqnarray*}
          \sqrt{1+x}+(1+\dfrac{x}{2})\geq1/2&\Rightarrow&
          \left\vert\sqrt{1+x}+(1+\dfrac{x}{2})\right\vert\geq1/2\Rightarrow \dfrac{1}{\left\vert\sqrt{1+x}+(1+\dfrac{x}{2})\right\vert}\leq 2\\
          &\Rightarrow& \dfrac{\dfrac{x^2}{4}}{\left\vert \sqrt{1+x}+\left(1+\dfrac{x}{2}\right)\right\vert}\leq 2\dfrac{x^2}{4}=\dfrac{x^2}{2}
        \end{eqnarray*}
on a : $\forall x\in\left[-1\,;\,1\right],\,e(x)\leq x^{2}/2.$
      \end{enumerate}
    \end{enumerate}

  \item  On a vu à la question précédente que $\forall
    x\in\left[-1\,;\,1\right],\,e(x)\leq x^{2}/2$. Or :
    \begin{eqnarray*}
      e(x)\leq\frac{x^2}{2}&\Leftrightarrow&\left\vert\sqrt{1+x}-\left(1+\frac{x}{2}\right)\right\vert\leq\frac{x^2}{2}\\
      &\Leftrightarrow& -\frac{x^2}{2}\leq
      \sqrt{1+x}-\left(1+\frac{x}{2}\right)\leq\frac{x^2}{2}\text{\quad car \fbox{$\vert a\vert\leq b$ (avec $b>0$) $\Leftrightarrow -b\leq a\leq b$}}\\
          &\Leftrightarrow&-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x}{2}+1\leq\sqrt{1+x}\leq\frac{x^{2}}{2}+\frac{x}{2}+1
    \end{eqnarray*}
D'où le résultat demandé.
  \end{enumerate}

\end{claim}












\begin{figure}[p]
\begin{center}
\shadowbox{\includegraphics{Include/parab.eps}}
\caption{\ }\label{parab}
\end{center}
\end{figure}
% Code pstricks générant la figure (utilise le paquetage pst-plot)
%\begin{figure}[h]
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(-2.5,-2.5)(6.5,10.5)
%\newrgbcolor{gris}{.7 .7 .7}
%\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=10,subgridwidth=0.1pt,
%subgriddots=0,gridwidth=0.2pt,griddots=0,subgridcolor=gris,xunit=1,yunit=1]%
%(0,0)(-2,-2)(6,10)
%\psaxes[linewidth=0.6pt,xunit=1,yunit=1]{->}(0,0)(-2.5,-2.5)(6.5,10.5)
%\psplot{-2}{6}{x x mul 0.5 mul 2 x mul sub 3 add}
%\psplot{0.5}{6}{1.23607 x mul 2.23607 sub}
%\psplot{-2}{1.2}{-3.23607 x mul 2.23607 add}
%\psline[linestyle=dashed](-1.23607,-0.05)(-1.23607,6.23607)
%\psdot(-1.23607,6.23607)
%\psline[linestyle=dashed](3.23607,-0.05)(3.23607,1.7639)
%\psdot(3.23607,1.7639)
%\uput{.2}[225](0,0){$0$}
%\uput{.2}[270](6.5,0){$x$}
%\uput{.2}[0](0,10.5){$y$}
%\uput*{.2}[0](2.7,8.5){$y=\dfrac{x^2}{2}-2x+3$}
%\uput*{0}[0](5.2,3.7){$T_{a_1}$}
%\uput*{0}[0](0.8,0.5){$T_{a_2}$}
%\uput{0.1}[-90](-1.23607,0){$a_2$}
%\uput{0.1}[-90](3.23607,0){$a_1$}
%\psdot(1,-1)
%\uput{.1}[-43](1,-1){$A$}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%\end{figure}

\end{document}
