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[Démonstration]
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{\ \fbox{cqfd.}
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\begin{itemize}
}{\end{itemize}}

\begin{document}%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 1579256667502--
%%--Problème de 2° degré : volume d\'eau pour recouvrir une bille--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%

\begin{exercise}
  Dans un cylindre à base circulaire de $10\,cm$ de rayon (et de hauteur
  aussi grande que l'on veut), repose une bille, de $7\,cm$ de rayon, que
  l'on recouvre d'eau jusqu'à affleurement.\\
  On remplace la bille par une autre bille, de $x\,cm$ de rayon ($0\leq
  x\leq10$), la quantité d'eau dans le cylindre restant la même.\\
  Le problème consiste à savoir si la bille est sous l'eau, sort de
  l'eau ou est à fleur d'eau, suivant la valeur de $x$.\vspace{5mm}

  \begin{description}
  \item[\underline{Modélisation du problème}]\quad\vspace*{3mm}
    \begin{itemize}
    \item Nous appellerons ``bille x'', la bille de rayon $x\,cm$ (en
      particulier ``la bille 7'' est la bille initiale).
    \item On note $V(x)$ le volume d'eau, en $cm^3$, dans le cylindre
      qui permet de recouvrir exactement ``la bille~x'' (en
      particulier $V(7)$ est le volume d'eau initiale, celui qui
      permet le recouvrement exacte de la ``bille~7'').
    \end{itemize}
  \end{description}
  \begin{enumerate}
  \item Dire quelle est la position de la ``bille x'' par rapport à la
    surface de l'eau suivant que :
    $$\bullet\;
    V(x)-V(7)<0\hspace{10mm}\bullet\;V(x)-V(7)=0\hspace{10mm}\bullet\;
    V(x)-V(7)>0$$


  \item Exprimer $V(x)$ en fonction de $x$ et écrire $V(x)$ sous la forme $\frac{4\pi}{3}P(x)$ où $P(x)$ est un polynôme du $3^\text{iéme}$ degré.
    \begin{description}
    \item[Rappels :]\quad\\ Le volume du cylindre de rayon $R$ et de hauteur
      $h$ est $\pi R^2h$.\\
      Le volume de la sphère de rayon $R$ est $\frac{4\pi}{3}R^3$.
    \end{description}
  \item 
    \begin{enumerate}
    \item Démontrer que le signe de $V(x)-V(7)$ est le même que le signe de $Q(x)=P(x)-P(7)$.
    \item Donner la valeur de $Q(7)$ et factoriser $Q(x)$.
    \item Déterminer le signe de $Q(x)$ pour $x\in\left[0\,;\,10\right]$.
    \end{enumerate}
  \item Conclure sur la position de ``la bille x'' par rapport à la
    surface de l'eau.
    \begin{description}
    \item[Remarque :] \quad\\
      on sera amené à distinguer quatre cas :
      $$x<7\quad;\quad7<x<\alpha\quad;\quad x=\alpha\quad;\quad x>\alpha$$
      où $\alpha$ est un nombre que vous aurez déterminé.

    \end{description}
  \end{enumerate}
\end{exercise}

\end{document}
