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[Démonstration]
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%%--Document N° 15028540811000--
%%--Corrigé du document N° 1498804768595--
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\Etablissement{\small{Lycée Jules Fil}}
\Discipline{\small{Mathématique}}
\Titre{Correction du devoir  N$^o$1}
\Classe{\small{Seconde 6}}
\Date{Le 5 octobre 2004}
\Duree{}
\maketitle
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%EndExpansion
\label{ForcePass2}

\begin{claim}\quad
  \begin{enumerate}
  \item
\begin{multicols}{3}
$\frac{1}{2}=0,5\in\mathbb{D}$;\\
$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\in\mathbb{D}$;\\ 
$-7\in\mathbb{Z}$;\\
$\sqrt{2}\in\mathbb{R}$;\\
$-\frac{1}{3}=-0,3333\overline{3}...\in\mathbb{Q}$;\\
$-\pi\in\mathbb{R}$;\\
$\frac{1}{0}$ n'existe pas (la division par 0 n'a pas de sens);\\
$\sqrt{-2}$ n'existe pas (la racine carré d'un nombre négatif n'existe pas);\\
$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2\in\mathbb{N}$;\\
$\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}=1,5\in\mathbb{D}$.
\end{multicols}  
   
  \item Les nombres qui sont à la fois dans $\mathbb{Z}$ et dans
    $\mathcal{E}$ sont les nombres de $\mathbb{Z}$ qui sont positifs
    i.e les nombres de $\mathbb{Z}^+$.
  \end{enumerate}
\end{claim}

\begin{claim}
  \begin{enumerate}
  \item 
    $540=2\times 270=2\times 2\times 135=2^2\times 5\times
    27=2^2\times 5\times 3\times 9$.\\
    La décomposition en produit de facteurs premiers de 540 est donc
    $2^2\times 3^3\times 5$.\\
    $315=5\times 63=5\times 3\times 21=5\times 3\times 3\times 7$.\\
    La décomposition en produit de facteurs premiers de 315 est donc
    $3^2\times 5\times 7$.
  \item Le plus petit dénominateur commun des fractions
    $\dfrac{1}{540}$ et $\dfrac{1}{315}$ est $540\times 7=315\times
    2^2\times 3=3780$.\\
    On a alors :
    $\dfrac{1}{540}-\dfrac{1}{315}=\dfrac{7}{3780}-\dfrac{12}{3780}=-\dfrac{5}{3780}$\\
    et  $\dfrac{540}{315}=\dfrac{2^2\times 3^3\times 5}{3^2\times
      5\times 7}=\dfrac{2^2\times 3}{7}=\dfrac{12}{7}$.
  \item 
    \begin{enumerate}
    \item
      Un nombre est le carré d'un entier SSI la décomposition en produit
      de facteurs premiers de ce nombre ne comporte que des puissances
      paires.\\
      Or $540=2^2\times 3^3\times 5$ donc $540\times 3\times 5=2^2\times 3^4\times 5^2$\\
      Le plus petit entier $n$ non nul tel que $540\times n$ soit le
      carré d'un entier est donc $3\times 5=15$.
    \item
      Un nombre est le cube d'un entier SSI la décomposition en produit
      de facteurs premiers de ce nombre ne comporte que des puissances
      multiples de 3.\\
      Or $540=2^2\times 3^3\times 5$ donc $540\times 2\times 5^2=2^3\times 3^3\times 5^3$\\
      Le plus petit entier $n$ non nul tel que $540\times n$ soit le
      cube d'un entier est donc $2\times 5^2=50$.

    \end{enumerate}
  \item $\dfrac{1}{540}=\dfrac{1}{2^2\times 3^3\times 5}$ qui n'est
    pas de la forme $\dfrac{a}{2^n\times 5^p}$ avec $a\in\mathbb{Z}$,
    $n$ et $p$ dans $\mathbb{N}$ ;\\
    $\dfrac{1}{540}$ n'est donc pas un décimal : $\dfrac{1}{540}\notin\mathbb{D}$.
  \end{enumerate}
\end{claim}

\begin{claim}
  \begin{enumerate}
  \item Écrire sous forme de fraction irréductible :
    \begin{eqnarray*}
      A&=&\frac{1}{\frac{1}{3}+\frac{1}{5}}=\frac{1}{\frac{5}{15}+\frac{3}{15}}=\frac{1}{\frac{8}{15}}=\frac{15}{8}.\\
      B&=&\frac{3-\frac{2}{7}}{5-\frac{2}{7}}=\frac{\frac{21}{7}-\frac{2}{7}}{\frac{35}{7}-\frac{2}{7}}=\frac{\frac{19}{7}}{\frac{33}{7}}=\frac{19}{7}\frac{7}{33}=\frac{19}{33}.\\
      C&=&\frac{\frac{4}{5}\times 9+1}{\frac{7}{6}\times 9+1}=\frac{\frac{36}{5}+\frac{5}{5}}{\frac{21}{2}+\frac{2}{2}}=\frac{\frac{41}{5}}{\frac{23}{2}}=\frac{41}{5}\frac{2}{23}=\frac{82}{115}.
    \end{eqnarray*}

\item
  \begin{eqnarray*}
    D&=&\frac{a}{a+1}-\frac{a}{a-1}=\frac{a(a-1)}{(a+1)(a-1)}-\frac{a(a+1)}{(a+1)(a-1)}=\frac{a^2-a-(a^2+a)}{(a+1)(a-1)}=\frac{-2a}{a^2-1}.\\
    E&=&\frac{a^2+1}{(a-1)^2}-\frac{a+1}{a-1}=\frac{a^2+1}{(a-1)^2}-\frac{(a+1)(a-1)}{(a-1)^2}=\frac{a^2+1-(a^2-1)}{(a-1)^2}=\frac{2}{(a-1)^2}.
  \end{eqnarray*}

  \end{enumerate}
\end{claim}

\begin{claim}
  \begin{enumerate}
  \item 
    \begin{eqnarray*}
      A&=&\frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}.\\
      B&=&\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=\frac{\sqrt{2}+1}{2-1}=\sqrt{2}+1.\\
      C&=&\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=\frac{(2-\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=\frac{(2-\sqrt{3})^2}{4-3}=4-4\sqrt{3}+3=7-4\sqrt{3}.
    \end{eqnarray*}

\item Soient $x=7+3\sqrt{2}$ et $y=7-3\sqrt{2}$.\\
  \begin{eqnarray*}
    x+y&=&7+3\sqrt{2}+7-3\sqrt{2}=14\in\mathbb{N}.\\
    xy&=&(7+3\sqrt{2})(7-3\sqrt{2})=7^2-(3\sqrt{2})^2=49-18=31\in\mathbb{N}.\\
    x^2+y^2&=&(7+3\sqrt{2})^2+(7-3\sqrt{2})^2=7^2+6\sqrt{2}+(3\sqrt{2})^2+7^2-6\sqrt{2}+(3\sqrt{2})^2=98+36=134\in\mathbb{N}.
  \end{eqnarray*}
  
  \end{enumerate}
\end{claim}

\begin{claim}
  \begin{eqnarray*}
    A&=&\frac{3^4}{21^5}=\frac{3^4}{3^5\times 7^5}=3^{-1}\times 7^{-5}.\\
    B&=&\left(\frac{3}{7^3}\right)^2=\frac{3^2}{7^6}=3^2\times 7^{-6}.\\
    C&=&\frac{\left(21^2\right)^3}{(3\times7)^6}=\frac{21^6}{21^6}=1.\\
    D&=&\left(7\sqrt{3}\right)^4=7^4\times\sqrt{3}^4=7^4\times\left(\sqrt{3}^2\right)^2=7^4\times 3^2.
  \end{eqnarray*}
\end{claim}

\begin{claim}
\begin{eqnarray*}
N_A&=&\nombre{6022,045}.10^{20}=\nombre{6,022045}.10^3.10^{20}=\nombre{6,022045}.10^{24}.\\
m_e&=&\nombre{910,9534}.10^{-33}=\nombre{9,109534}.10^2.10^{-33}=\nombre{9,109534}.10^{-31}.\\
g&=&\nombre{980,665}.10^{-2}=\nombre{9,80665}.10^{-2}.10^{-2}=\nombre{9,80665}.\\
e&=&\nombre{1602,1892}.10^{-22}=\nombre{1,6021892}.10^3.10^{-22}=\nombre{1,6021892}.10^{-19}.\\
\mathcal{F}&=&\nombre{96484,56}=\nombre{9,648456}.10^4.\\
u&=&\nombre{166,0565}.10^{-29}=\nombre{1,660565}.10^2.10^{-29}=\nombre{1,660565}.10^{-27}.\\
h&=&\nombre{0,6626176}.10^{-33}=\nombre{6,626176}.10^{-1}.10^{-33}=\nombre{6,626176}.10^{-34}.\\
c&=&\nombre{299792458}=\nombre{2,99792458}.10^8.
\end{eqnarray*}

\end{claim}
\end{document}
