\documentclass{article}%
\usepackage{amsmath}%
\setcounter{MaxMatrixCols}{30}%
\usepackage{amsfonts}%
\usepackage{amssymb}%
\usepackage{graphicx}
%TCIDATA{OutputFilter=latex2.dll}
%TCIDATA{Version=5.00.0.2552}
%TCIDATA{CSTFile=40 LaTeX article.cst}
%TCIDATA{Created=Sunday, September 26, 2004 19:13:57}
%TCIDATA{LastRevised=Sunday, September 26, 2004 19:14:11}
%TCIDATA{<META NAME="GraphicsSave" CONTENT="32">}
%TCIDATA{<META NAME="SaveForMode" CONTENT="1">}
%TCIDATA{<META NAME="DocumentShell" CONTENT="Standard LaTeX\Blank - Standard LaTeX Article">}
\newtheorem{theorem}{Theorem}
\newtheorem{acknowledgement}[theorem]{Acknowledgement}
\newtheorem{algorithm}[theorem]{Algorithm}
\newtheorem{axiom}[theorem]{Axiom}
\newtheorem{case}[theorem]{Case}
\newtheorem{claim}[theorem]{Claim}
\newtheorem{conclusion}[theorem]{Conclusion}
\newtheorem{condition}[theorem]{Condition}
\newtheorem{conjecture}[theorem]{Conjecture}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollary}
\newtheorem{criterion}[theorem]{Criterion}
\newtheorem{definition}[theorem]{Definition}
\newtheorem{example}[theorem]{Example}
\newtheorem{exercise}[theorem]{Exercise}
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
\newtheorem{notation}[theorem]{Notation}
\newtheorem{problem}[theorem]{Problem}
\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition}
\newtheorem{remark}[theorem]{Remark}
\newtheorem{solution}[theorem]{Solution}
\newtheorem{summary}[theorem]{Summary}
\newenvironment{proof}[1][Proof]{\noindent\textbf{#1.} }{\ \rule{0.5em}{0.5em}}
\begin{document}%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 1495376524751--
%%--Corrigé du document N° 1483418742666--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%



\begin{claim}
\begin{enumerate}


\item On trouve facilement que:%
\[
f(-5)=-32\quad;\quad f(0)=3\quad;\quad f(-\frac{5}{3})=-\frac{28}{9}%
\quad;\quad f(1+2\sqrt{3})=-8
\]


\item Pour tout r\'{e}el $x$, on a $4-(x-1)^{2}=4-(x^{2}-2x+1)=-x^{2}%
+2x+3=f(x)$.\newline On en d\'{e}duit que $f(x)=(2-(x-1))(2+(x-1))=(3-x)(x+1)$%
. 

\item Les ant\'{e}c\'{e}dents de 4 par $f$ sont les solutions de
l'\'{e}quation $f(x)=4$.\newline Or $f(x)=4\Leftrightarrow4-(x-1)^{2}%
=4\Leftrightarrow(x-1)^{2}=0\Leftrightarrow x=1$\newline donc le seul
ant\'{e}c\'{e}dent de 4 est 1. 

\item On a :
\[
f(x)=-1\Leftrightarrow4-(x-1)^{2}=-1\Leftrightarrow(x-1)^{2}=5\Leftrightarrow
\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
x-1=\sqrt{5}\\
\text{ou}\\
x-1=-\sqrt{5}%
\end{array}
\right.
\]
donc $1-\sqrt{5}$ et $1+\sqrt{5}$ sont les ant\'{e}c\'{e}dents de -1 par $f$. 

\item On a $f(x)=5\Leftrightarrow(x-1)^{2}=-1$ qui n'a pas de solution dans
$\mathbb{R}$. 5 n'a donc pas d'ant\'{e}c\'{e}dents par $f$. 

\item
\begin{itemize}


\item[$\bullet$]  Soient $x$ et $x^{\prime}$ tels que $x<x^{\prime}<1$, on a
alors:
\begin{align*}
x<x^{\prime}<1  & \Rightarrow x-1<x^{\prime}-1<0\\
& \Rightarrow(x-1)^{2}>(x^{\prime}-1)^{2}\quad\text{(deux nombres n\'{e}gatifs
sont dans l'ordre inverse de leur carr\'{e})}\\
& \Rightarrow-(x-1)^{2}<-(x^{\prime}-1)^{2}\\
& \Rightarrow4-(x-1)^{2}<4-(x^{\prime}-1)^{2}\\
& \Rightarrow f(x)<f(x^{\prime}).
\end{align*}
donc, sur $]-\infty\,;\,1[$, les images sont dans le m\^{e}me ordre que leurs
ant\'{e}c\'{e}dents i.e la fonction $f$ est croissante sur $]-\infty\,;\,1[$ 

\item[$\bullet$]  Soient $x$ et $x^{\prime}$ tels que $x>x^{\prime}>1$, on a
alors:
\begin{align*}
x>x^{\prime}>1  & \Rightarrow x-1>x^{\prime}-1>0\\
& \Rightarrow(x-1)^{2}>(x^{\prime}-1)^{2}\quad\text{(deux nombres positifs
sont dans le m\^{e}me ordre que leur carr\'{e})}\\
& \Rightarrow-(x-1)^{2}<-(x^{\prime}-1)^{2}\\
& \Rightarrow4-(x-1)^{2}<4-(x^{\prime}-1)^{2}\\
& \Rightarrow f(x)<f(x^{\prime}).
\end{align*}
donc, sur $]1\,;\,+\infty\lbrack$, les images sont dans l'ordre inverse de
leurs ant\'{e}c\'{e}dents i.e la fonction $f$ est d\'{e}croissante sur
$]1\,;\,+\infty\lbrack$ 
\end{itemize}

\item Le graphe est laiss\'{e} aux soins du lecture...\newline L'axe de
sym\'{e}trie $(\Delta)$ de $\mathcal{C}_{f}$ a pour \'{e}quation $x=1$. 

\item Pour tout r\'{e}el $h$, on a :\newline$f(1+h)=4-(1+h-1)^{2}=4-h^{2}$ et
$f(1-h)=4-(1-h-1)^{2}=4-(-h)^{2}=4-h^{2}$\newline donc $f(1+h)=f(1-h)$%
.\newline Pour tout point $M$ de $\mathcal{C}_{f}$, il existe un r\'{e}el $h$
tel les coordonn\'{e}es de $M$ s'\'{e}crivent $(1+h,f(1+h))$.\newline$M$ a
alors pour sym\'{e}trique par rapport \`{a} $(\Delta)$ le point $M^{\prime}$
de coordonn\'{e}e $(1-h,f(1+h))$ et comme $f(1+h)=f(1-h)$, $M^{\prime}$ a pour
coordonn\'{e}es $(1-h,f(1-h))$ ce qui prouve que $M^{\prime}\in\mathcal{C}%
_{f}$.\newline Ainsi le sym\'{e}trique par rapport \`{a} $(\Delta)$ de tout
point de $\mathcal{C}_{f}$ est un point $\mathcal{C}_{f}$, autrement dit
$\mathcal{C}_{f}$ est sym\'{e}trique par rapport \`{a} $(\Delta)$. 
\end{enumerate}
\end{claim}


\end{document}