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\newenvironment{proof}[1]
[Démonstration]
{\noindent\textbf{#1:} }
{\ \fbox{cqfd.}
}
\renewcommand{\theenumi}{\arabic{enumi}}
\renewcommand{\theenumii}{\alph{enumii}}
\renewcommand{\theenumiii}{\roman{enumiii}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi)}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii)}}
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\newenvironment{qcm}
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\begin{itemize}
}{\end{itemize}}
\begin{document}

\title{Correction partielle du devoir N$^{o}$1}
\author{Le 20 septembre 2004}
\date{}
\maketitle

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 14953685414507--
%%--Corrigé du document N° 1315725758513--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\renewcommand{\Letablissement} {\small{Lycée Jules Fil}} \renewcommand{\Ladiscipline} {\small{Mathématique}}

\renewcommand
{\LeTitre}{Correction partielle du devoir N$^o$1} \renewcommand{\LaClasse} {\small{Première SSI1}}

\renewcommand{\LaDate} {Le 20 septembre 2004}

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\lfoot{\scriptsize{Imprimé avec \LaTeXe}}
\cfoot{}
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\label{ForcePass2}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 1315725758513--
%%--Calculs numériques--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{claim}
Corrigé en classe...
\end{claim}

\begin{claim}
\begin{enumerate}
\item En utilisant la méthode de multiplication par l'expression conjuguée on
obtient:
\begin{align*}
a  &  =\frac{2}{3\sqrt{3}-5}=\frac{2(3\sqrt{3}+5)}{(3\sqrt{3}-5)(3\sqrt{3}%
-5)}\\
&  =\frac{2(3\sqrt{3}+5)}{(3\sqrt{3})^{2}-5^{2}}=\frac{2(3\sqrt{3}+5)}%
{27-25}\\
&  =\frac{2(3\sqrt{3}+5)}{2}=5+3\sqrt{3}=b
\end{align*}


\item Corrigé en classe...
\end{enumerate}
\end{claim}

\begin{claim}
\begin{enumerate}
\item $\sqrt{2x-3}$ existe \textbf{ssi} $2x-3\geq0$. Or : $2x-3\geq
0\Leftrightarrow x\geq\frac{3}{2}$, donc $f(x)$ existe \textbf{ssi}
$x\in\left[  \frac{3}{2}\,;\,\infty\right[  $.

\item Pour tout $x\in\mathbb{R}$ on a $x^{2}\geq0$ donc $x^{2}+1\geq0$.

On en déduit que $f(x)$ existe pour tout $x$ appartenant à $\mathbb{R}$.

\item Corrigé en classe.
\end{enumerate}
\end{claim}

\begin{claim}
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $A=6a-10c$
\item $B=-a^3-2a^2-8a$
\item $C=a^2-a$ pour $a\geq 0$
\item $D=2a+2b$ pour $a\geq 0$ et $b\geq 0$
\item $E=a$ pour $a\geq 0$
\item $f(x)=x^3+5x^2-2x-7$
\item Corrigé en classe...
\item $h(x)=20-9x^2$
\item Corrigé en classe...
\item Corrigé en classe...
\end{enumerate}
\end{multicols}

\end{claim}

\begin{claim}
\begin{enumerate}
\item $f(x)=3(x-5)^{2}+(x-5)(2x+1)=(x-5)(3(x-5)+2x+1)=(x-5)(5x-14)$

\item En utilisant l'égalité $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ on obtient:\newline%
$f(x)=5x^{2}-1=(\sqrt{5}x-1)(\sqrt{5}x+1)$

\item $f(x)=(3x-4)^{2}+5(4-3x)=(3x-4)^{2}-5(3x-4)=(3x-4)(3x-4-5)=(3x-4)(3x-9)$

\item $f(x)=4x^{2}+4x\sqrt{3}+3=\left(  2x+\sqrt{3}\right)  ^{2}$

\item En utilisant l'égalité $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ on obtient:\newline%
$f(x)=(2x+3)^{2}-\left(  x^{2}-1\right)  ^{2}=(2x+3+(x^{2}-1))(2x+3-(x^{2}%
-1))=(x^{2}+2x+2)(-x^{2}+2x+4)$

\item
\begin{align*}
f(x)  &  =(x-1)(x+2)^{2}-(x^{2}-1)(x+2)=(x-1)(x+2)^{2}-(x-1)(x+1)(x+2)\\
&  =(x-1)(x+2)(x+2-(x+1))=(x-1)(x+2)
\end{align*}


\item En utilisant l'égalité $a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$ on
obtient:\newline$f(x)=x^{3}-2^{3}=(x-2)(x^{2}+2x+4)$

\item Corrigé en classe...
\end{enumerate}
\end{claim}

\begin{claim}
\begin{enumerate}
\item $P(x)=(x-3)(x-1)$

\item $Q(x)=\left(  x+1-\sqrt{6}\right)  \left(  x+1+\sqrt{6}\right)  $

\item A faire...
\end{enumerate}
\end{claim}

\begin{claim}
$\quad$

\begin{enumerate}
\item $\dfrac{2x^{2}+x}{x}$ existe \textbf{ssi} $x\neq0$, donc $\mathcal{D}%
_{f}=\mathbb{R}^{\star}$.\newline Pour tout $x\in\mathbb{R}^{\star}$ on a:
$f(x)=\dfrac{2x^{2}+x}{x}=\dfrac{x(2x+1)}{x}=2x+1$.

\item Corrigé en classe...

\item $\dfrac{x^{2}-4x}{(x-1)^{2}-1}$ existe \textbf{ssi} $(x-1)^{2}-1\neq0$.
Or:
\begin{align*}
(x-1)^{2}-1=0  &  \Leftrightarrow(x-1-1)(x-1+1)=0\\
&  \Leftrightarrow x-2=0 \text{ ou } x=0\\
&  \Leftrightarrow x=2 \text{ ou } x=0
\end{align*}
D'où $\mathcal{D}_{f}=\mathbb{R}^{\star}-\{2\}$.\newline De plus, pour
$x\in\mathcal{D}_{f}$, on a:
\begin{align*}
f(x)  &  =\dfrac{x^{2}-4x}{(x-1)^{2}-1}=\dfrac{x(x-4)}{x(x-2)}\\
&  =\dfrac{x-4}{x-2}%
\end{align*}

\end{enumerate}
\end{claim}

\begin{claim}
Avec:%
\[
A=\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\quad;\quadB=\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\quad
;\quadC=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}%
\]
on a:
\begin{align*}
A^{2}+B^{2}+C^{2}  &  =\dfrac{y^{2}}{z^{2}}+2\dfrac{y}{z}\dfrac{z}{y}%
+\dfrac{z^{2}}{y^{2}} +\dfrac{z^{2}}{x^{2}}+2\dfrac{z}{x}\dfrac{x}{z}%
+\dfrac{x^{2}}{z^{2}}+\dfrac{x^{2}}{y^{2}}+2\dfrac{x}{y}\dfrac{y}{x}%
+\dfrac{y^{2}}{x^{2}}\\
&  =6+\dfrac{y^{2}+z^{2}}{x^{2}}+\dfrac{x^{2}+z^{2}}{y^{2}}+\dfrac{x^{2}%
+y^{2}}{z^{2}}%
\end{align*}
et:
\begin{align*}
ABC  &  =\left(  \frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)  \left(  \frac{z}{x}+\frac
{x}{z}\right)  \left(  \frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right) \\
&  =\left(  \dfrac{yz}{xz}+\dfrac{xy}{z^{2}}+\dfrac{z^{2}}{xy}+\dfrac{xz}%
{yz}\right)  \left(  \dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right) \\
&  =\dfrac{xy}{xy}+\dfrac{y^{2}}{x^{2}}+\dfrac{x^{2}y}{z^{2}y}+\dfrac{xy^{2}%
}{xz^{2}}+\dfrac{xz^{2}}{xy^{2}}+\dfrac{yz^{2}}{x^{2}y}+\dfrac{x^{2}}{z^{2}%
}+\dfrac{xy}{xy}\\
&  =2+\dfrac{y^{2}+z^{2}}{x^{2}}+\dfrac{x^{2}+z^{2}}{y^{2}}+\dfrac{x^{2}%
+y^{2}}{z^{2}}%
\end{align*}
D'où $A^{2}+B^{2}+C^{2}-ABC=6-2=4$ qui est indépendant de $x,y,z$.
\end{claim}

\begin{claim}
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item On trouve facilement que $c=-\frac{4}{3}$.

\item On trouve (tout aussi facilement) que $c=-\frac{3}{5}$.
\end{enumerate}

\item Corrigé en classe...
\end{enumerate}
\end{claim}


\end{document}