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\renewcommand{\theCprob}
{\Roman{Cprob}.}
{   \theorembodyfont{\upshape}
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}
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\newtheorem{remark}[Crem]{Remarque}
}
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\newtheorem{solution}[Csol]{Solution}
}
\newcounter{Csum}[section]
{   \theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{summary}[Csum]{En résumé}
}
\newenvironment{proof}[1]
[Démonstration]
{\noindent\textbf{#1:} }
{\ \fbox{cqfd.}
}
\renewcommand{\theenumi}{\arabic{enumi}}
\renewcommand{\theenumii}{\alph{enumii}}
\renewcommand{\theenumiii}{\roman{enumiii}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi)}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii)}}
\renewcommand{\labelenumiii}{\textbf{\theenumiii.}}


%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\cro}{
\parbox{1.4cm}{
\setlength{\unitlength}{0.1cm}
\begin{picture}(14,7)
\put(0,0){\vector(2,1){14}}
\end{picture}
}
}
\newcommand{\dec}{
\parbox{1.4cm}{
\setlength{\unitlength}{0.1cm}
\begin{picture}(14,7)
\put(0,7){\vector(2,-1){14}}
\end{picture}
}
}

\renewcommand{\vec}[1]{\ensuremath{\overrightarrow{#1\;}}}
\newcommand{\vecteur}[1]{\ensuremath{\overrightarrow{#1\;}}}
\newcommand{\vi}{\vecteur{\imath}}
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\newcommand{\vk}{\vecteur{k}}
\newcommand{\oij}{\ensuremath{(O;\vecteur{\imath},\vecteur{\jmath})}}
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\newcommand{\anglevec}[2]{\ensuremath{\left(\vecteur{#1};\vecteur{#2}\right)}}
\newcommand{\aire}[1]{\ensuremath{\mathcal{A}ire(#1)}}
\newcommand{\Lim}[1]{\underset{#1}{\lim }}
\newcommand{\coche}{\rule[-0.3em]{1.1em}{1.1em}}
\DeclareMathOperator{\e}{e}

%%%%%%%%%%% Fin de mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%


\newcommand{\LeTitre}{}
\newcommand{\Titre}[1]{\title{#1} \renewcommand
{\LeTitre}{#1}}
\newcommand{\LaClasse}{}
\newcommand
{\Classe}[1]{\renewcommand{\LaClasse} {#1}}
\newcommand{\LaDate}{}
\newcommand
{\Date}[1]{\author{#1}\renewcommand{\LaDate} {#1}}
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{\Alph{section}}
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{\thesection\arabic{subsection}}
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{\thesubsection.\arabic{subsubsection}}
\newenvironment{qcm}
{   \renewcommand{\labelitemi}{{\setlength{\fboxrule}{.05em}\setlength{\fboxsep}{0pt}\fbox{\rule[-0.3em]{0pt}{1em}\hspace{1em}}}}
\begin{itemize}
}{\end{itemize}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\Etablissement{\small{Lycée Jules Fil}}
\Discipline{\small{Mathématique}}
\Titre{Feuille d'exercices}
\Classe{\small{Seconde}}
\Date{}
\Duree{}
\fancypagestyle{avecEntete}{
\lhead{\small{\Letablissement}}
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\rhead{\small{\Ladiscipline}}
\lfoot{\scriptsize{Imprimé avec \LaTeXe}}
\cfoot{}
\rfoot{\thepage$/$\pageref{LastPage}}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}
\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
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\fancyhead{}
\lfoot{\scriptsize{\LaClasse}}
\cfoot{\scriptsize{\LeTitre}}
\rfoot{\thepage$/$\pageref{LastPage}}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}
}
\thispagestyle{avecEntete}
\pagestyle{sansEntete}%

% Modif des puces
\renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$}
\renewcommand{\labelitemii}{$\odot$}
% Fin modif puces

\quad

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 146242618420607--
%%--Triangles isométriques, triangles semblables--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{exercise}
Soient $ABC$ un triangle rectangle en $A$ et $H$ le pied de la hauteur issue
de l'angle droit.%

%TCIMACRO{\TeXButton{BeginMulticols}{\begin{multicols}{2}}}%
%BeginExpansion
\begin{multicols}{2}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item Rep\'{e}rer dans la figure ci-contre trois triangles semblables.

\item Etablir pr\'{e}cis\'{e}ment les correspondances entre les points, puis
\'{e}crire tous les rapports \'{e}gaux qui en d\'{e}coulent.

\item Montrer les relations suivantes:

\begin{enumerate}
\item $BH\times BC=BA^{2}$

\item $CH\times CB=CA^{2}$

\item $HB\times HC=HA^{2}$
\end{enumerate}

\item On donne $BH=\frac{5}{3}$ et $BA=\sqrt{5}$; calculer $BC$, $AC$ et $AH$.
\end{enumerate}

%% \begin{pspicture}(0,0)(8,2.5)
%% \psline(1.5,0)(6.5,0)
%% \psline(1.5,0)(5.3,2.4)
%% \psline(5.3,0)(5.3,2.4)
%% \psline(5.3,2.4)(6.5,0)
%% \psline(5.3,0.1)(5.4,0.1)(5.4,0)
%% \rput(1.2,-0.3){$B$}
%% \rput(6.8,-0.3){$C$}
%% \rput(5.8,2.4){$A$}
%% \rput(5.3,-0.3){$H$}
%% \end{pspicture}%
%TCIMACRO{\FRAME{itbpF}{2.3719in}{1.2229in}{0in}{}{}{fig.eps}%
%{\special{ language "Scientific Word";  type "GRAPHIC";
%maintain-aspect-ratio TRUE;  display "USEDEF";  valid_file "F";
%width 2.3719in;  height 1.2229in;  depth 0in;  original-width 2.2374in;
%original-height 1.1407in;  cropleft "0";  croptop "1";  cropright "1";
%cropbottom "0";  filename 'Include/fig.eps';file-properties "XNPEU";}}}%
%BeginExpansion
{\includegraphics[
height=1.2229in,
width=2.3719in
]%
{Include/fig.eps}%
}%
%EndExpansion
%

%TCIMACRO{\TeXButton{EndMulticols}{\end{multicols}}}%
%BeginExpansion
\end{multicols}%
%EndExpansion

\end{exercise}

\begin{exercise}
On consid\`{e}re la figure \ref{1805011630} de la page \pageref{1805011630},
o\`{u} $AB=AC=AD=5$ et $CB=CD=CE=3$.%

%TCIMACRO{\FRAME{fpFU}{3.4072in}{2.2856in}{0pt}{\Qcb{$\quad$}}{\Qlb{1805011630}%
%}{Include/triangle.eps}{\special{ language "Scientific Word";  type "GRAPHIC";
%maintain-aspect-ratio TRUE;  display "USEDEF";  valid_file "F";
%width 3.4072in;  height 2.2856in;  depth 0pt;  original-width 3.2271in;
%original-height 2.1561in;  cropleft "0";  croptop "1";  cropright "1";
%cropbottom "0";  filename 'Include/triangle.eps';file-properties "XNPEU";}}}%
%BeginExpansion
\begin{figure}
[p]
\begin{center}
\includegraphics[
height=2.2856in,
width=3.4072in
]%
{Include/triangle.eps}%
\caption{$\quad$}%
\label{1805011630}%
\end{center}
\end{figure}
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item Montrer que les triangles $ABC$ et $ACD$ sont isom\'{e}triques.

\item Montrer que $\widehat{DCE}=\widehat{BAC}$.

\item En d\'{e}duire que:

\begin{enumerate}
\item les triangles $ABC$ et $CDE$ sont semblables et leur rapport de similitude;

\item que les droites $(AC)$ et $(DE)$ parall\`{e}les.
\end{enumerate}

\item En d\'{e}duire que les triangles $ACF$ et $DEF$ sont semblables et leur
rapport de similitude.

\item On pose $DF=x$. Montrer que: $\frac{5+x}{5}=\frac{5x}{9}$.
D\'{e}terminer la longueur $DF$.
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
L'unit\'{e} de longueur est le centim\`{e}tre.

Soit $[AB]$ un segment de longueur $12$ et de milieu $O$.

Soit un point $D$ appartenant \`{a} la m\'{e}diatrice de $[AB]$ tel que $OD=3$.

La perpendiculaire \`{a} $(AD)$ passant par $B$ recoupe $(AD)$ en $C$.

\begin{enumerate}
\item Calculer la distance $AD$.

\item Montrer que les triangles $ACB$ et $OAD$ sont semblables.

En d\'{e}duire les longueurs des segments $[AC]$ et $[BC]$.

\item Soit $E$ le point de $(DO)$ tel que $OE=6$ et $O$ appartient au segment
$[DE]$. Montrer que:

\begin{enumerate}
\item les quatre points $A$, $B$, $C$ et $E$ sont sur un m\^{e}me cercle;

\item la droite $(CE)$ est la bissectrice de l'angle $\widehat{ACB}$.
\end{enumerate}

\item La parall\`{e}le \`{a} $(AC)$ passant par $B$ recoupe $(CE)$ en $F$.
D\'{e}terminer la longueur $BF$.

\item Les droites $(CE)$ et $(AB)$ ce coupent en $P$.

En comparant les triangles $PBF$ et $PAC$, calculer le rapport
$\cfrac{PB}{PA}$, puis les longueurs $PA$ et $PB$.
\end{enumerate}
\end{exercise}

%% {\LARGE Aide \`{a} la correction:}%
%% %TCIMACRO{\FRAME{dtbpF}{3.5633in}{3.3649in}{0pt}{}{}{fig.eps}%
%% %{\special{ language "Scientific Word";  type "GRAPHIC";
%% %maintain-aspect-ratio TRUE;  display "USEDEF";  valid_file "F";
%% %width 3.5633in;  height 3.3649in;  depth 0pt;  original-width 3.3757in;
%% %original-height 3.1855in;  cropleft "0";  croptop "1";  cropright "1";
%% %cropbottom "0";  filename 'Include/fig8.eps';file-properties "XNPEU";}}}%
%% %BeginExpansion
%% \begin{center}
%% \includegraphics[
%% height=3.3649in,
%% width=3.5633in
%% ]%
%% {Include/fig8.eps}%
%% \end{center}
%% %EndExpansion


\begin{exercise}%
%TCIMACRO{\TeXButton{Partie}{\subsection*{Partie A : questions préliminaires}%
%}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie A : questions préliminaires}%
%EndExpansion


En consid\'{e}rant le parall\'{e}logramme $ABCD$ et le triangle $BCE$ de la
figure \ref{2410011730} page \pageref{2410011730}.

%\caption{$\quad$}\label{2410011730}%
%TCIMACRO{\FRAME{fpFU}{3.9219in}{1.384in}{0pt}{\Qcb{$\quad$}}{\Qlb{2410011730}%
%}{fig2.eps}{\special{ language "Scientific Word";  type "GRAPHIC";
%maintain-aspect-ratio TRUE;  display "USEDEF";  valid_file "F";
%width 3.9219in;  height 1.384in;  depth 0pt;  original-width 3.7177in;
%original-height 1.2943in;  cropleft "0";  croptop "1";  cropright "1";
%cropbottom "0";  filename 'Include/fig2.eps';file-properties "XNPEU";}}}%
%BeginExpansion
\begin{figure}
[p]
\begin{center}
\includegraphics[
height=1.384in,
width=3.9219in
]%
{Include/fig2.eps}%
\caption{$\quad$}%
\label{2410011730}%
\end{center}
\end{figure}
%EndExpansion


D\'{e}montrer la proposition $41$ du Livre I des \'El\'{e}ments d'Euclide:
\og Si un parall\'{e}logramme a la m\^{e}me base qu'un triangle et est dans
les m\^{e}mes parall\`{e}les, le parall\'{e}logramme est le double du triangle\fg .%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie}{\subsection*{Partie B}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie B}%
%EndExpansion


Le but de cette partie est de d\'{e}montrer que le th\'{e}or\`{e}me de Pythagore:%

\[%
\begin{tabular}
[c]{|c|}\hline
Soit $ABC$ un triangle.\\
Si $ABC$ est rectangle en $A$ alors $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$.\\\hline
\end{tabular}
\]


On ne peut donc utiliser ce th\'{e}or\`{e}me dans cet exercice, puisqu'il
s'agit de le d\'{e}montrer.

\bigskip On consid\`{e}re donc un triangle $ABC$ rectangle en $A$, et on
construit les carr\'{e}s $BDEC$, $ABFG$ et $ACKH$ ext\'{e}rieurement au
triangle et sur les c\^{o}t\'{e}s respectifs $[BC]$, $[AB]$ et $[AC]$, comme
indiqu\'{e} sur la figure \ref{2410011735} de la page \pageref{2410011735}%

%TCIMACRO{\FRAME{fpFU}{2.9439in}{3.1855in}{0pt}{\Qcb{$\quad$}}{\Qlb{2410011735}%
%}{fig1.eps}{\special{ language "Scientific Word";  type "GRAPHIC";
%maintain-aspect-ratio TRUE;  display "USEDEF";  valid_file "F";
%width 2.9439in;  height 3.1855in;  depth 0pt;  original-width 2.7845in;
%original-height 3.0154in;  cropleft "0";  croptop "1";  cropright "1";
%cropbottom "0";  filename 'Include/fig10.eps';file-properties "XNPEU";}}}%
%BeginExpansion
\begin{figure}
[p]
\begin{center}
\includegraphics[
height=3.1855in,
width=2.9439in
]%
{Include/fig10.eps}%
\caption{$\quad$}%
\label{2410011735}%
\end{center}
\end{figure}
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que les triangles $BCF$ et $ABD$ sont isom\'{e}triques.

\item En d\'{e}duire que les droites $(AD)$ et $(FC)$ perpendiculaires

\item D\'{e}terminer deux parall\'{e}logrammes dont les aires valent le double
de celle de ces triangles.

\item Montrer que les triangles $BCK$ et $ACE$ sont isom\'{e}triques.

\item D\'{e}terminer deux parall\'{e}logrammes dont les aires valent le double
de celle de ces triangles.
\end{enumerate}

\item D\'{e}montrer le th\'{e}or\`{e}me de Pythagore.
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
\vspace*{-0.35cm}$\quad$%

%TCIMACRO{\TeXButton{BMinipage}{\begin{minipage}{8cm}}}%
%BeginExpansion
\begin{minipage}{8cm}%
%EndExpansion
$ABCD$ est un carr\'{e}. $AA^{\prime}=BB^{\prime}=CC^{\prime}=DD^{\prime}$.

D\'{e}terminer de plusieurs fa\c{c}ons la nature du quadrilat\`{e}re
$A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$.%

%TCIMACRO{\TeXButton{EMinipage}{\end{minipage}}}%
%BeginExpansion
\end{minipage}%
%EndExpansion
\hfill%
%TCIMACRO{\TeXButton{BMinipage}{\begin{minipage}{4.2cm}}}%
%BeginExpansion
\begin{minipage}{4.2cm}%
%EndExpansion
\hfill%
%TCIMACRO{\FRAME{itbpF}{1.6621in}{1.6048in}{0in}{}{}{fig.eps}%
%{\special{ language "Scientific Word";  type "GRAPHIC";
%maintain-aspect-ratio TRUE;  display "USEDEF";  valid_file "F";
%width 1.6621in;  height 1.6048in;  depth 0in;  original-width 1.5608in;
%original-height 1.5052in;  cropleft "0";  croptop "1";  cropright "1";
%cropbottom "0";  filename 'Include/fig9.eps';file-properties "XNPEU";}}}%
%BeginExpansion
{\includegraphics[
height=1.6048in,
width=1.6621in
]%
{Include/fig9.eps}%
}%
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\TeXButton{EMinipage}{\end{minipage}}}%
%BeginExpansion
\end{minipage}%
%EndExpansion

\end{exercise}

\begin{exercise}
$\vspace*{-0.35cm}\quad$%

%TCIMACRO{\TeXButton{BMinipage}{\begin{minipage}{8.2cm}}}%
%BeginExpansion
\begin{minipage}{8.2cm}%
%EndExpansion
$ABCD$ est un parall\'{e}logramme.

$AA^{\prime}=BB^{\prime}=CC^{\prime}=DD^{\prime}$.

D\'{e}terminer de plusieurs fa\c{c}ons la nature du quadrilat\`{e}re
$A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$.%

%TCIMACRO{\TeXButton{EMinipage}{\end{minipage}}}%
%BeginExpansion
\end{minipage}%
%EndExpansion
\hfill%
%TCIMACRO{\TeXButton{BMinipage}{\begin{minipage}{8.2cm}}}%
%BeginExpansion
\begin{minipage}{8.2cm}%
%EndExpansion
\hfill%
%TCIMACRO{\FRAME{itbpF}{1.956in}{1.3092in}{0in}{}{}{fig.eps}%
%{\special{ language "Scientific Word";  type "GRAPHIC";
%maintain-aspect-ratio TRUE;  display "USEDEF";  valid_file "F";
%width 1.956in;  height 1.3092in;  depth 0in;  original-width 1.8398in;
%original-height 1.2229in;  cropleft "0";  croptop "1";  cropright "1";
%cropbottom "0";  filename 'Include/fig11.eps';file-properties "XNPEU";}}}%
%BeginExpansion
{\includegraphics[
height=1.3092in,
width=1.956in
]%
{Include/fig11.eps}%
}%
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\TeXButton{EMinipage}{\end{minipage}}}%
%BeginExpansion
\end{minipage}%
%EndExpansion

\end{exercise}

\begin{exercise}
Dans la figure \ref{fig_uitueuzz} de la page \pageref{fig_uitueuzz}, $ABC$ est
triangle rectangle en $A$, $H$ est le pied de la hauteur issue de $A$, $I$ est
le milieu de $[BC]$, $M$ et $N$ sont les projet\'{e}s de $H$ sur
respectivement $(AB)$ et $(AC)$.

\begin{enumerate}
\item Quelles sont les triangles semblables?

\item D\'{e}terminer les longueurs de la m\'{e}diane et de la hauteur issue de
$A$ dans le triangles $AMN$.
\end{enumerate}

%

%TCIMACRO{\FRAME{fpF}{2.4666in}{1.2204in}{0pt}{}{\Qlb{fig_uitueuzz}}%
%{fig.eps}{\special{ language "Scientific Word";  type "GRAPHIC";
%maintain-aspect-ratio TRUE;  display "USEDEF";  valid_file "F";
%width 2.4666in;  height 1.2204in;  depth 0pt;  original-width 2.4375in;
%original-height 1.193in;  cropleft "0";  croptop "1";  cropright "1";
%cropbottom "0";  filename 'Include/fig12.eps';file-properties "XNPEU";}}}%
%BeginExpansion
\begin{figure}
[p]
\begin{center}
\includegraphics[
height=1.2204in,
width=2.4666in
]%
{Include/fig12.eps}%
\label{fig_uitueuzz}%
\end{center}
\end{figure}
%EndExpansion

\end{exercise}

\begin{exercise}
\vspace*{-0.35cm}$\quad$%

%TCIMACRO{\TeXButton{BMinipage}{\begin{minipage}{8cm}}}%
%BeginExpansion
\begin{minipage}{8cm}%
%EndExpansion
\rule{0pt}{1.3em}$ABCD$ est un carr\'{e}, $I$ et $J$ sont les milieux
respectifs des c\^{o}t\'{e}s $[AD]$ et $[AB]$.

D\'{e}terminer les aires des surfaces gris\'{e}es.%

%TCIMACRO{\TeXButton{EMinipage}{\end{minipage}}}%
%BeginExpansion
\end{minipage}%
%EndExpansion
\hfill%
%TCIMACRO{\TeXButton{BMinipage}{\begin{minipage}{5.2cm}}}%
%BeginExpansion
\begin{minipage}{5.2cm}%
%EndExpansion
\hfill%
%TCIMACRO{\FRAME{itbpF}{1.5641in}{1.5492in}{0in}{}{}{fig.eps}%
%{\special{ language "Scientific Word";  type "GRAPHIC";
%maintain-aspect-ratio TRUE;  display "USEDEF";  valid_file "F";
%width 1.5641in;  height 1.5492in;  depth 0in;  original-width 1.467in;
%original-height 1.452in;  cropleft "0";  croptop "1";  cropright "1";
%cropbottom "0";  filename 'Include/fig0.eps';file-properties "XNPEU";}}}%
%BeginExpansion
{\includegraphics[
height=1.5492in,
width=1.5641in
]%
{Include/fig0.eps}%
}%
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\TeXButton{EMinipage}{\end{minipage}}}%
%BeginExpansion
\end{minipage}%
%EndExpansion

\end{exercise}

\begin{exercise}
\vspace*{-0.35cm}$\quad$%

%TCIMACRO{\TeXButton{BMinipage}{\begin{minipage}{7.8cm}}}%
%BeginExpansion
\begin{minipage}{7.8cm}%
%EndExpansion


\rule{0pt}{1.3em}Le triangle $ABC$ est \'{e}quilat\'{e}ral de c\^{o}t\'{e} $1$
et $D$ est le point du petit arc $\overset{\smallfrown}{AB}$ tel que $AD=2BD$.

La parall\`{e}le \`{a} $(CD)$ passant par $B$ coupe $(AD)$ en~$E$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que $BDE$ est \'{e}quilat\'{e}ral.

\item D\'{e}terminer le rapport de similitude entre $ABC$ et $BDE$.
\end{enumerate}

%

%TCIMACRO{\TeXButton{EMinipage}{\end{minipage}}}%
%BeginExpansion
\end{minipage}%
%EndExpansion
\hfill%
%TCIMACRO{\TeXButton{BMinipage}{\begin{minipage}{7.7cm}}}%
%BeginExpansion
\begin{minipage}{7.7cm}%
%EndExpansion
\hfill%
%TCIMACRO{\FRAME{itbpF}{3.0876in}{2.2159in}{0in}{}{}{fig.eps}%
%{\special{ language "Scientific Word";  type "GRAPHIC";
%maintain-aspect-ratio TRUE;  display "USEDEF";  valid_file "F";
%width 3.0876in;  height 2.2159in;  depth 0in;  original-width 2.9207in;
%original-height 2.088in;  cropleft "0";  croptop "1";  cropright "1";
%cropbottom "0";  filename 'Include/fig13.eps';file-properties "XNPEU";}}}%
%BeginExpansion
{\includegraphics[
height=2.2159in,
width=3.0876in
]%
{Include/fig13.eps}%
}%
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\TeXButton{EMinipage}{\end{minipage}}}%
%BeginExpansion
\end{minipage}%
%EndExpansion

\end{exercise}

\begin{exercise}
Soit $\mathcal{C}$ un demi-cercle de diam\`{e}tre $[BC]$ et $A$ un point de
$\mathcal{C}$ distinct de $B$ et de $C$. $H$ est le pied de la hauteur issue
de $A$ dans le triangle $ABC$.

\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer trois triangles semblables.

\item En d\'{e}duire que si $BH=x$ et $HC=y$, alors $AH=\sqrt{\smash[b]{xy}}$.

\item On donne un segment de longueur $1$.

Donner le programme de construction \`{a} la r\`{e}gle et au compas d'un
segment de longueur $\sqrt{7}$. \emph{(Si vous faites une figure,
l'\'{e}chelle sera de 1 unit\'{e} pour 2 cm.)}
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
$\vspace*{-0.35cm}\quad$%

%TCIMACRO{\TeXButton{BMinipage}{\begin{minipage}{8cm}}}%
%BeginExpansion
\begin{minipage}{8cm}%
%EndExpansion


Montrer que les rectangles $ABCD$ et $AEFG$ ont m\^{e}me format.

\emph{Remarque:}

\begin{itemize}
\item \emph{le format d'un rectangle est le rapport de son grand c\^{o}t\'{e}
\`{a} son petit; }

\item \emph{on pourra montrer que }$\widehat{ADG}=\widehat{AEG}$\emph{. }
\end{itemize}

%

%TCIMACRO{\TeXButton{EMinipage}{\end{minipage}}}%
%BeginExpansion
\end{minipage}%
%EndExpansion
\hfill%
%TCIMACRO{\TeXButton{BMinipage}{\begin{minipage}{8.1cm}}}%
%BeginExpansion
\begin{minipage}{8.1cm}%
%EndExpansion
\hfill%
%TCIMACRO{\FRAME{itbpF}{3.2104in}{1.6994in}{0in}{}{}{fig.eps}%
%{\special{ language "Scientific Word";  type "GRAPHIC";
%maintain-aspect-ratio TRUE;  display "USEDEF";  valid_file "F";
%width 3.2104in;  height 1.6994in;  depth 0in;  original-width 3.0394in;
%original-height 1.5948in;  cropleft "0";  croptop "1";  cropright "1";
%cropbottom "0";  filename 'Include/fig1.eps';file-properties "XNPEU";}}}%
%BeginExpansion
{\includegraphics[
height=1.6994in,
width=3.2104in
]%
{Include/fig1.eps}%
}%
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\TeXButton{EMinipage}{\end{minipage}}}%
%BeginExpansion
\end{minipage}%
%EndExpansion

\end{exercise}

\begin{exercise}%
%TCIMACRO{\TeXButton{Partie}{\subsection*{Partie A}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie A}%
%EndExpansion


Dans la figure \ref{0710021923} de la page \pageref{0710021923}:

\begin{itemize}
\item $ABC$ est un triangle tel que $AB=AC=5$ et $BC=4$.

\item On appelle respectivement $H$ le milieu de $[AC]$ et $I$ le pied de la
hauteur issue de $B$ dans le triangle $ABC$.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item D\'{e}montrer que les triangles $AHC$ et $BIC$ sont semblables.

\item En d\'{e}duire que $CI=\frac{8}{5}$.
\end{enumerate}

%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie}{\subsection*{Partie B}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie B}%
%EndExpansion


Soit $D$ tel que $AD=5$ et $CD=4$; les droites $(AD)$ et $(BC)$ se coupent en
$F$, $E$ est le point de $[CF]$ tel que $CE=4$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que les triangles $ABC$ et $ACD$ sont isom\'{e}triques.

\item Montrer que $B$, $I$ et $D$ sont align\'{e}s.

\item Montrer que $\widehat{DCE}=\widehat{BAC}$.

\item En d\'{e}duire que les triangles $ABC$ et $CDE$ sont semblables puis que
$DE=\frac{16}{5}$.

\item Montrer que les droites $(AC)$ et $(DE)$ sont parall\`{e}les.

\item Montrer que si $DF=x$ alors $x$ v\'{e}rifie:
\[
\frac{x+5}{5}=\frac{5x}{16}%
\]
En d\'{e}duire $DF$.
\end{enumerate}

%

%TCIMACRO{\FRAME{fpFU}{6.3387in}{2.0789in}{0pt}{\Qcb{$\quad$}}{\Qlb{0710021923}%
%}{fig.eps}{\special{ language "Scientific Word";  type "GRAPHIC";
%maintain-aspect-ratio TRUE;  display "USEDEF";  valid_file "F";
%width 6.3387in;  height 2.0789in;  depth 0pt;  original-width 6.0249in;
%original-height 1.9585in;  cropleft "0";  croptop "1";  cropright "1";
%cropbottom "0";  filename 'Include/fig14.eps';file-properties "XNPEU";}}}%
%BeginExpansion
\begin{figure}
[p]
\begin{center}
\includegraphics[
height=2.0789in,
width=6.3387in
]%
{Include/fig14.eps}%
\caption{$\quad$}%
\label{0710021923}%
\end{center}
\end{figure}
%EndExpansion

\end{exercise}

\begin{exercise}
Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$. On note $D$ le milieu de
l'hypot\'{e}nuse $[BC]$. La m\'{e}diatrice de $[BC]$ coupe $(AB)$ en $E$.
D\'{e}montrer que $BC^{2}=2AB\times EC$.
\end{exercise}

\begin{exercise}%
%TCIMACRO{\TeXButton{BeginMulticols}{\begin{multicols}{2}}}%
%BeginExpansion
\begin{multicols}{2}%
%EndExpansion


$ABCD$ est un rectangle tel que $AB=3\times AD$;

$AEGD$, $EFHG$ et $FBCH$ sont des carr\'{e}s.

\begin{enumerate}
\item Calculer les rapports $\frac{ED}{HG}$, $\frac{DB}{GB}$ et $\frac{BE}%
{BH}$.

\item Que peut-on en d\'{e}duire?

\item Montrer que $\widehat{BDC}+\widehat{BGC}=\widehat{BHC}$.
\end{enumerate}

\hfill
%% \begin{pspicture}(-1,-0.5)(7,2.5)
%% \psline(0,0)(6,0)
%% \psline(0,2)(6,2)
%% \psline(0,0)(0,2)
%% \psline(2,0)(2,2)
%% \psline(4,0)(4,2)
%% \psline(6,0)(6,2)
%% \psline(0,0)(2,2)
%% \psline(0,0)(6,2)
%% \psline(2,0)(6,2)
%% \psline(4,0)(6,2)
%% \rput(0,-0.3){$D$}
%% \rput(2,-0.3){$G$}
%% \rput(4,-0.3){$H$}
%% \rput(6,-0.3){$C$}
%% \rput(0,2.3){$A$}
%% \rput(2,2.3){$E$}
%% \rput(4,2.3){$F$}
%% \rput(6,2.3){$B$}
%% \end{pspicture}%
%TCIMACRO{\FRAME{itbpF}{2.5405in}{1.1797in}{0in}{}{}{fig.eps}%
%{\special{ language "Scientific Word";  type "GRAPHIC";
%maintain-aspect-ratio TRUE;  display "USEDEF";  valid_file "F";
%width 2.5405in;  height 1.1797in;  depth 0in;  original-width 2.3993in;
%original-height 1.0992in;  cropleft "0";  croptop "1";  cropright "1";
%cropbottom "0";  filename 'Include/fig3.eps';file-properties "XNPEU";}}}%
%BeginExpansion
{\includegraphics[
height=1.1797in,
width=2.5405in
]%
{Include/fig3.eps}%
}%
%EndExpansion
%

%TCIMACRO{\TeXButton{EndMulticols}{\end{multicols}}}%
%BeginExpansion
\end{multicols}%
%EndExpansion

\end{exercise}

\begin{exercise}
Dans la figure \ref{fig_partiy} de la page \pageref{fig_partiy}, $A$, $B$, $C$
sont trois points non align\'{e}s, $D$ est le mileu de $[BC]$ et $P$ est un
point de $[BC]$ distinct de $D$. La parall\`{e}le \`{a} $(AD)$ passant par $P$
coupe $(AB)$ en $M$ et $(AC)$ en~$N$.%

%TCIMACRO{\TeXButton{BeginMulticols}{\begin{multicols}{2}}}%
%BeginExpansion
\begin{multicols}{2}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item Montrer que $ACD$ et $NCP$ sont semblables.

En d\'{e}duire que $PN=\frac{AD\times CP}{CD}$.

\item Montrer que $BMP$ et $BAD$ sont semblables.

En d\'{e}duire que $PM=\frac{AD\times BP}{BD}$.

\item Montrer que $PM+PN=2AD$.
\end{enumerate}

%

%TCIMACRO{\TeXButton{EndMulticols}{\end{multicols}}}%
%BeginExpansion
\end{multicols}%
%EndExpansion


%% \begin{pspicture}(0,-0.3)(6,5.3)
%% \psline(1,1)(5,0)
%% \psline(3,0.5)(2,3)
%% \psline(1,1)(2,3)
%% \psline(2,0.75)(0.3,5)
%% \psline(0,5)(5,0)
%% \rput(0.7,0.7){$B$}
%% \rput(1.7,0.45){$P$}
%% \rput(3,0.2){$D$}
%% \rput(5.3,-0.3){$C$}
%% \rput(1.1,2.1){$M$}
%% \rput(2.3,3.3){$A$}
%% \rput(0.8,4.8){$N$}
%% \end{pspicture}%
%TCIMACRO{\FRAME{fpFU}{2.2034in}{2.2183in}{0pt}{\Qcb{$\quad$}}{\Qlb{fig_partiy}%
%}{fig.eps}{\special{ language "Scientific Word";  type "GRAPHIC";
%maintain-aspect-ratio TRUE;  display "USEDEF";  valid_file "F";
%width 2.2034in;  height 2.2183in;  depth 0pt;  original-width 2.0764in;
%original-height 2.0905in;  cropleft "0";  croptop "1";  cropright "1";
%cropbottom "0";  filename 'Include/fig4.eps';file-properties "XNPEU";}}}%
%BeginExpansion
\begin{figure}
[p]
\begin{center}
\includegraphics[
height=2.2183in,
width=2.2034in
]%
{Include/fig4.eps}%
\caption{$\quad$}%
\label{fig_partiy}%
\end{center}
\end{figure}
%EndExpansion

\end{exercise}

\begin{exercise}
Soit $ABC$ un triangle donn\'{e}.

Construire un triangle $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ semblable \`{a} $ABC$
tel que l'aire de $ABC$ soit \'{e}gale \`{a} neuf fois l'aire de $A^{\prime
}B^{\prime}C^{\prime}$.
\end{exercise}

\begin{exercise}
$ABC$ est un triangle, $I$ le milieu de $[BC]$. On appelle $F$ et $G$ les
projet\'{e}s orthogonaux respectifs de $B$ et $C$ sur $(AI)$.

\begin{enumerate}
\item Montrer, en utilisant des triangles isom\'{e}triques, que $BF=CG$.

\item Retrouver ce r\'{e}sultat en utilisant une transformation.
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
$\vspace*{-0.35cm}\quad$%

%TCIMACRO{\TeXButton{BMinipage}{\begin{minipage}{10cm}}}%
%BeginExpansion
\begin{minipage}{10cm}%
%EndExpansion
$ABCD$ est un trap\`{e}ze de bases $[AB]$ et $[CD]$;

$(AC)$ et $(BD)$ se coupent en $I$, $(AD)$ et $(BC)$ se coupent en $J$.

\begin{enumerate}
\item D\'{e}montrer que les triangles $IAB$ et $ICD$ sont semblables.

\item D\'{e}montrer que les triangles $JAB$ et $JDC$ sont semblables.
\end{enumerate}

%

%TCIMACRO{\TeXButton{EMinipage}{\end{minipage}}}%
%BeginExpansion
\end{minipage}%
%EndExpansion
\hfill%
%TCIMACRO{\TeXButton{BMinipage}{\begin{minipage}{7cm}}}%
%BeginExpansion
\begin{minipage}{7cm}%
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\TeXButton{bcenter}{\begin{center}}}%
%BeginExpansion
\begin{center}%
%EndExpansion
%% \begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(3.5,3.5)
%% \psline(0,0)(3,0)
%% \psline(0,0)(2,3)
%% \psline(3,0)(2,3)
%% \psline(1.333,2)(2.333,2)
%% \psline(3,0)(1.333,2)
%% \psline(0,0)(2.333,2)
%% \rput(-0.3,-0.3){$D$}
%% \rput(3.3,-0.3){$C$}
%% \rput(2.633,2){$B$}
%% \rput(1.033,2){$A$}
%% \rput(2.3,3){$J$}
%% \rput(1.8,1.8){$I$}
%% \end{pspicture}%
%TCIMACRO{\FRAME{itbpF}{1.5791in}{1.4637in}{0in}{}{}{fig.eps}%
%{\special{ language "Scientific Word";  type "GRAPHIC";
%maintain-aspect-ratio TRUE;  display "USEDEF";  valid_file "F";
%width 1.5791in;  height 1.4637in;  depth 0in;  original-width 1.4811in;
%original-height 1.3699in;  cropleft "0";  croptop "1";  cropright "1";
%cropbottom "0";  filename 'Include/fig5.eps';file-properties "XNPEU";}}}%
%BeginExpansion
{\includegraphics[
height=1.4637in,
width=1.5791in
]%
{Include/fig5.eps}%
}%
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\TeXButton{ecenter}{\end{center}}}%
%BeginExpansion
\end{center}%
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\TeXButton{EMinipage}{\end{minipage}}}%
%BeginExpansion
\end{minipage}%
%EndExpansion

\end{exercise}

\begin{exercise}
On consid\`{e}re un carr\'{e} $ABCD$ et $E$, $F$ deux points situ\'{e}s
respectivement sur $[CD]$ et $[BC]$ tels que $DE=CF$.

\begin{enumerate}
\item Que peut-on dire des triangles $ADE$ et $DCF$? des droites $(AE)$ et
$(DF)$?

\item En comparant deux triangles convenablement choisis, montrer que $(BE)$
et $(AF)$ sont perpendiculaires.

\item Soit $I$ le point d'intersection de $(BE)$ et $(DF)$. Que repr\'{e}sente
$I$ dans $AEF$?

\item Que peut-on dire de $(AI)$ et $(EF)$?
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
Soit $ABCD$ un parall\'{e}logramme. On construit ext\'{e}rieurement le
triangle $AIB$ isoc\`{e}le rectangle en $I$ et le carr\'{e} $BEFC$.

\begin{enumerate}
\item Faire une figure.

\item D\'{e}montrer que les triangles$AID$ et $BIE$ sont isom\'{e}triques.

\item D\'{e}montrer que le triangle $DIE$ est isoc\`{e}le rectangle.
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
$\vspace*{-0.35cm}\quad$%

%TCIMACRO{\TeXButton{BMinipage}{\begin{minipage}[b]{7.8cm}}}%
%BeginExpansion
\begin{minipage}[b]{7.8cm}%
%EndExpansion
Le triangle $ABC$ est \'{e}quilat\'{e}ral de c\^{o}t\'{e} $1$ et $D$ est le
point du petit arc $\overset{\smallfrown}{AB}$ tel que $BD=2AD$.

La parall\`{e}le \`{a} $(CD)$ passant par $B$ coupe $(AD)$ en~$E$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que $BDE$ est \'{e}quilat\'{e}ral.

\item D\'{e}terminer le rapport de similitude entre $ABC$ et $BDE$.

\item Soit $F$ le point d'intersection des droites $(AB)$ et $(CD)$.

\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer tous les triangles semblables. 

\item D\'{e}terminer la longueur $CF$. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{EMinipage}{\end{minipage}}}%
%BeginExpansion
\end{minipage}%
%EndExpansion
\hfill%
%TCIMACRO{\TeXButton{BMinipage}{\begin{minipage}[b]{7.7cm}}}%
%BeginExpansion
\begin{minipage}[b]{7.7cm}%
%EndExpansion
\hfill%
%TCIMACRO{\FRAME{itbpF}{3.0876in}{2.2159in}{0in}{}{}{fig.eps}%
%{\special{ language "Scientific Word";  type "GRAPHIC";
%maintain-aspect-ratio TRUE;  display "USEDEF";  valid_file "F";
%width 3.0876in;  height 2.2159in;  depth 0in;  original-width 2.9207in;
%original-height 2.088in;  cropleft "0";  croptop "1";  cropright "1";
%cropbottom "0";  filename 'Include/fig6.eps';file-properties "XNPEU";}}}%
%BeginExpansion
{\includegraphics[
height=2.2159in,
width=3.0876in
]%
{Include/fig6.eps}%
}%
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\TeXButton{EMinipage}{\end{minipage}}}%
%BeginExpansion
\end{minipage}%
%EndExpansion

\end{exercise}

\begin{exercise}
Dans la figure \ref{0704021145} page \pageref{0704021145}, $ABC$ est un
triangle rectangle en $A$ et $H$ est le pied de la hauteur issue de $A$.

Soit $I$ l'image de $H$ dans la r\'{e}flexion d'axe $(AB)$ et $J$ l'image de
$H$ dans la r\'{e}flexion d'axe $(AC)$.

On compl\'{e}tera la figure \ref{0704021145} avec toutes les informations que
l'on jugera utiles.%

%TCIMACRO{\FRAME{fpFU}{3.4221in}{2.0764in}{0pt}{\Qcb{$\quad$}}{\Qlb{0704021145}%
%}{fig.eps}{\special{ language "Scientific Word";  type "GRAPHIC";
%maintain-aspect-ratio TRUE;  display "USEDEF";  valid_file "F";
%width 3.4221in;  height 2.0764in;  depth 0pt;  original-width 3.2412in;
%original-height 1.956in;  cropleft "0";  croptop "1";  cropright "1";
%cropbottom "0";  filename 'Include/fig7.eps';file-properties "XNPEU";}}}%
%BeginExpansion
\begin{figure}
[p]
\begin{center}
\includegraphics[
height=2.0764in,
width=3.4221in
]%
{Include/fig7.eps}%
\caption{$\quad$}%
\label{0704021145}%
\end{center}
\end{figure}
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item Montrer que les triangles $ABH$ et $ABI$ sont isom\'{e}triques.

On admettra que les triangles $ACH$ et $ACJ$ sont isom\'{e}triques pour les
m\^{e}mes raisons.

\item En d\'{e}duire que: 

\begin{enumerate}


\item les points $A$, $I$, $J$ sont align\'{e}s; 

\item les droites $(BI)$ et $(CJ)$ sont parall\`{e}les; 
\end{enumerate}

\item Montrer que le triangle $HIJ$ est rectangle en $H$.

\item Montrer que les points $A$, $B$, $H$ et $I$ sont sur un m\^{e}me cercle
dont  on pr\'{e}cisera le diam\`{e}tre.

\item Montrer que les triangles $ABC$ et $HIJ$ sont semblables.

\item Dans cette question $AB=3$, $AC=4$ et $BC=5$. 

\begin{enumerate}


\item Calculer l'aire du triangle $ABC$. 

\item En exprimant l'aire du triangle $ABC$ d'une autre fa\c{c}on, montrer
que $AH=\frac{12}{5}$. 

\item En d\'{e}duire le rapport de similitude entre les triangles $ABC$ et
$HIJ$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
Dans la figure \ref{0512002213} page \pageref{0512002213}, $ABC$ est un
triangle isoc\`{e}le rectangle en $A$ et $(AI)$ la m\'{e}diane issue de $A$.

\begin{enumerate}
\item Quelles sont les mesures des angles $\widehat{ABI}$ et $\widehat{ICA}$?

\item Pour chacune des questions suivantes, donner le num\'{e}ro de la (ou
des) propri\'{e}t\'{e}s utilis\'{e}es pour justifier votre r\'{e}ponse.

\begin{itemize}
\item[Propri\'{e}t\'{e} 1:] \textbf{Si} deux triangles ont trois c\^ot\'{e}s
respectivement de m\^emes  longueurs, \textbf{alors} ils ont leurs trois
angles respectivement \'{e}gaux  et ils sont isom\'{e}triques.

\item[Propri\'{e}t\'{e} 2:] \textbf{Si} deux triangles ont un angle de m\^eme
mesure compris entre  deux c\^ot\'{e}s respectivement de m\^emes longueurs,
\textbf{alors} ils  sont isom\'{e}triques.

\item[Propri\'{e}t\'{e} 3:] \textbf{Si} deux triangles ont un c\^ot\'{e} de
m\^eme longueur adjacent \`{a}  deux angles respectivement de m\^emes mesures,
\textbf{alors} ils  sont isom\'{e}triques.

\item[Propri\'{e}t\'{e} 4:] Dans un triangle isoc\`{e}le de sommet principal
$A$, la m\'{e}diane issue de $A$  est aussi la hauteur issue de $A$ et la
bissectrice de l'angle  $\widehat{A}$.

\item[Propri\'{e}t\'{e} 5:] Dans un triangle rectangle, le milieu de
l'hypoth\'{e}nuse est le centre du  cercle circonscrit \`{a} ce triangle.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Montrer que $AI=BI$ et $AI=CI$.

\item Soit les points $K$ et $L$ des segments respectifs $[AC]$ et $[AB]$ tels
que $CK=AL$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que les triangles $AIL$ et $CIK$ sont isom\'{e}triques. 

\item En d\'{e}duire que $\widehat{KIC}=\widehat{LIA}$. 
\end{enumerate}

\item Montrer que le triangle $IKL$ est isoc\`{e}le et rectangle en $I$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\FRAME{ftbpFU}{3.5334in}{1.9784in}{0pt}{\Qcb{$\quad$}}%
%{\Qlb{0512002213}}{figure.eps}{\special{ language "Scientific Word";
%type "GRAPHIC";  maintain-aspect-ratio TRUE;  display "USEDEF";
%valid_file "F";  width 3.5334in;  height 1.9784in;  depth 0pt;
%original-width 3.3466in;  original-height 1.8622in;  cropleft "0";
%croptop "1";  cropright "1";  cropbottom "0";
%filename 'Include/figure.eps';file-properties "XNPEU";}}}%
%BeginExpansion
\begin{figure}
[ptb]
\begin{center}
\includegraphics[
height=1.9784in,
width=3.5334in
]%
{Include/figure.eps}%
\caption{$\quad$}%
\label{0512002213}%
\end{center}
\end{figure}
%EndExpansion

\end{exercise}


\end{document}
