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\begin{document}%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 14575010012976--
%%--Systèmes d\'inéquations linéarires--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{exercise}
Le plan est muni d'un rep\`{e}re $(O;\overrightarrow{\imath\;},\overrightarrow
{\jmath\;})$ et on donne $A(2;2)$, $B(-2;-2)$ et $C(6;2)$.

Repr\'{e}senter, \`{a} l'aide d'un syst\`{e}me de contraintes, l'int\'{e}rieur
du triangle $ABC$, fronti\`{e}re comprise.

On pourra commencer par d\'{e}terminer les \'{e}quations r\'{e}duites
respectives de $(AB)$, $(AC)$ et $(BC)$.
\end{exercise}

\begin{exercise}
$\vspace*{-0.35cm}$

\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer l'ensemble des points $M(x;y)$ tels que: %

%TCIMACRO{\TeXButton{BeginMulticols}{\begin{multicols}{2}}}%
%BeginExpansion
\begin{multicols}{2}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item $x>0$ 

\item $y\leqslant0$ 

\item $x\geqslant2$ 

\item $y=2x-1$
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{EndMulticols}{\end{multicols}}}%
%BeginExpansion
\end{multicols}%
%EndExpansion


\item On se propose maintenant de d\'{e}terminer l'ensemble $\mathcal{E}%
=\{M(x;y)/y>2x-1\}$.

\begin{enumerate}
\item Placer les points suivants dans le rep\`{e}re $(O;\overrightarrow
{\imath\;},\overrightarrow{\jmath\;})$:%

%TCIMACRO{\TeXButton{BeginMulticols}{\begin{multicols}{4}} }%
%BeginExpansion
\begin{multicols}{4}
%EndExpansion
$A(3;5)$ $B(2;6)$ $C(1;-2)$ $D(-1;-1)$ $F(-3;4)$ $G(0;-2)$ $H(4;0)$ $I(0;4)$
%TCIMACRO{\TeXButton{EndMulticols}{\end{multicols}}}%
%BeginExpansion
\end{multicols}%
%EndExpansion


\item D\'{e}terminer parmi ces points, ceux qui appartiennent \`{a}
$\mathcal{E}$. 

\item Que peut-on conjecturer concernant $\mathcal{E}$? 
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
R\'{e}soudre graphiquement les syst\`{e}mes d'in\'{e}quations lin\'{e}aires suivants:%

%TCIMACRO{\TeXButton{BeginMulticols}{\begin{multicols}{4}}}%
%BeginExpansion
\begin{multicols}{4}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}


\item $%
\begin{cases}
x\geqslant1\\
y>1-x
\end{cases}
$ 

\item $%
\begin{cases}
y\geqslant-x-3\\
y\leqslant x+2
\end{cases}
$ 

\item $%
\begin{cases}
2x+y<3\\
x-y>2
\end{cases}
$ 

\item $%
\begin{cases}
-3x+y<3\\
x-y\leqslant4
\end{cases}
$
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{EndMulticols}{\end{multicols}}}%
%BeginExpansion
\end{multicols}%
%EndExpansion

\end{exercise}

\begin{exercise}
Un artisan fabrique des sacs de toile et de cuir de deux types diff\'{e}rents
(types $A$ et $B$).

La r\'{e}alisation d'un sac de type $A$ demande $0,5$ m\`{e}tre de toile et
$0,4$ m\`{e}tre de cuir; celle d'un sac $B$ $0,6$ m\`{e}tre de toile et $0,7$
m\`{e}tre de cuir.

L'artisan dispose chaque semaine de $15$ m\`{e}tres de toile et de $14$
m\`{e}tres de cuir.

Les profits r\'{e}alis\'{e}s sont de $6$ euros par sac de type $A$ et $8$
euros par sac de type $B$.

On d\'{e}signe respectivement par $x$ et $y$ les nombres de sacs $A$ et $B$
fabriqu\'{e}s chaque semaine.

\begin{enumerate}
\item Montrer que les contraintes de fabrication peuvent s'\'{e}crire :%
\[%
\begin{cases}
x>0\\
y\leqslant0\\
5x+6y<150\\
4x+7y<140
\end{cases}
\]


\item L'artisan peut-il fabriquer $16$ sacs de type $A$ et $11$ sacs de type
$B$? Justifier. 

\item On munit le plan d'un rep\`{e}re orthonorm\'{e} $(O;\overrightarrow
{\imath\;},\overrightarrow{\jmath\;})$.

Tracer les droites $D_{1}$ et $D_{2}$ d'\'{e}quations respectives
$y=-\frac{5}{6}x+25$ et $y=-\frac{4}{7}x+20$.

\item Hachurer l'ensemble des points $M$ de coordonn\'{e}es $(x;y)$ du plan
pour lesquels la fabrication est possible. 

\item D\'{e}terminer en fonction de $x$ et $y$ le profit $P$ r\'{e}alis\'{e}
par semaine. 

\item D\'{e}terminer la fabrication qui assure un profit maximal et calculer
ce profit maximal.
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
Une entreprise \'{e}quip\'{e}e d'un atelier d'\'{e}lectronique et d'un atelier
de montage fabrique deux types d'appareil:

\begin{itemize}
\item l'appareil $A$ n\'{e}cessitant $2$ heures de travail dans l'atelier
d'\'{e}lectronique, $45$ minutes dans l'atelier de montage et $2$ puces \'{e}lectroniques

\item l'appareil $B$ n\'{e}cessitant $1,5$ heures de travail dans l'atelier
d'\'{e}lectronique, $1$ heure dans l'atelier de montage et $1$ puce \'{e}lectronique
\end{itemize}

L'usine re\c{c}oit quotidiennement $64$ puces. L'atelier d'\'{e}lectronique
compte $9$ ouvriers et celui de m\'{e}canique en compte $5$. Chaque ouvrier
travaille $8$ heures par jour.

L'entreprise r\'{e}alise un b\'{e}n\'{e}fice de $25$ euros par appareil $A$
vendu et $15$ euros par appareil $B$ vendu. On suppose que toute la production
est vendue.

On note respectivement $x$ et $y$ le nombre d'appareils $A$ et $B$ fabriqu\'{e}s.

Le but de l'exercice est de d\'{e}terminer les entiers $x$ et $y$ permettant
de r\'{e}aliser chaque jour un b\'{e}n\'{e}fice maximal.

\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer l'in\'{e}galit\'{e} traduisant les contraintes sur les puces.

\item Traduire de m\^{e}me les contraintes portant sur les heures de travail
en \'{e}lectronique et m\'{e}canique.

\item V\'{e}rifier que $(x;y)$ est solution de : $(S)$ $%
\begin{cases}
x\geqslant0\\
y\geqslant0\\
y\leqslant-2x+64\\
y\leqslant-\frac{4}{3}x+48\\
y\leqslant-\frac{3}{4}x+40
\end{cases}
$

\item On munit le plan d'un rep\`{e}re $(O;\overrightarrow{\imath
\;},\overrightarrow{\jmath\;})$.

\begin{enumerate}
\item Construire les droites $D_{1}$, $D_{2}$ et $D_{3}$ d'\'{e}quations
r\'{e}duites respectives:%

%TCIMACRO{\TeXButton{BeginMulticols}{\begin{multicols}{3}}}%
%BeginExpansion
\begin{multicols}{3}%
%EndExpansion


$y=-2x+64$

\smash {$y=-\cfrac{4}{3}x+48$}

\smash {$y=-\cfrac{3}{4}x+40$}%

%TCIMACRO{\TeXButton{EndMulticols}{\end{multicols}}}%
%BeginExpansion
\end{multicols}%
%EndExpansion


\item D\'{e}terminer graphiquement l'ensemble des points $M(x;y)$ tels que
$(x;y)$ v\'{e}rifie le syst\`{e}me $(S)$.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Ecrire en fonction de $x$ et $y$ le b\'{e}n\'{e}fice $b$ r\'{e}alis\'{e}
par la fabrication de $x$ appareils $A$ et $y$ appareils $B$.

\item Ecrire $y$ en fonction de $x$ et $b$.

\item L'\'{e}quation obtenue \`{a} la question pr\'{e}c\'{e}dente est
l'\'{e}quation d'une droite.

Tracer la droite $D$ correspondant \`{a} un b\'{e}n\'{e}fice de $300$ euros.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer graphiquement la droite correspondant au b\'{e}n\'{e}fice maximal.

\item D\'{e}terminer les coordonn\'{e}es du point d'intersection de $D_{1}$ et
$D_{2}$.

\item En d\'{e}duire la valeur du b\'{e}n\'{e}fice maximal.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}


\end{document}