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\newenvironment{proof}[1][Démonstration]{\noindent\textbf{#1:}}{\ \fbox{cqfd.}}
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\newcommand{\vecteur}[1]{\overrightarrow{#1\;}}
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\newcommand{\Intof}[2]{\left]#1;#2\right]}
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\newcommand{\Lim}[1]{\underset{#1}{\lim }}
\newcommand{\Sc}[2]{#1\times 10^{#2}}
\newenvironment{listerd}
{   \renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$}
\renewcommand{\labelitemii}{.}
\begin{itemize}
}{\end{itemize}}
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\everymath{\displaystyle}
\def \points#1%
{\if -#1 \xspace \else {\small ( #1 points )}\xspace\fi }
\DeclareMathOperator{\e}{e}
\begin{document}%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 1446854509636--
%%--La masse manquante de l\'univers, histoire de la moyenne harmonique--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{exercise}


\begin{listerd}
\item \textsl{entre 20 et 30: c'est le nombre de neutrinos qu'on a pu
d\'{e}tecter  \`{a} la suite d'une exp\'{e}rience tr\`{e}s d\'{e}licate,
effectu\'{e}e dans un  laboratoire enterr\'{e} \`{a} \nombre{1000} m\`{e}tres
sous une montagne en Italie; }

\item \textsl{entre 20 et 30: mais quelle valeur choisir pour conduire les
calculs et  peut-\^{e}tre r\'{e}soudre la fameuse \'{e}nigme de la \og masse
manquante  de l'univers\fg? }

\item \textsl{environ 99\% de la masse de l'univers est actuellement
invisible. }
\end{listerd}

%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie}{\subsection*{A : Le choix naturel: \og
%Taper au milieu\fg}} }%
%BeginExpansion
\subsection*{A : Le choix naturel: \og Taper au milieu\fg}
%EndExpansion
Soit $x$ le r\'{e}sultat exact --- inconnu --- de l'exp\'{e}rience: on sait
seulement  que $x\in[20;30]$.

Dans ce paragraphe, on prend pour $x$ la valeur \og moyenne\fg $a=25$.

On note l'erreur relative commise: $y=\cfrac{|a-x|}{x}$, c'est un  pourcentage.

\begin{enumerate}
\item Tabuler $y$ pour $x\in[20;30]$ au pas de $1$. 

\item Tracer la courbe de la fonction $x\mapsto y$. 

\item Quelle est la plus grande valeur possible de $y$? 
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie}{\subsection*{B : Peut-on mieux faire?}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{B : Peut-on mieux faire?}%
%EndExpansion
\label{1609022020}  On suppose que l'on prend pour $x$ une valeur quelconque
$a$ appartenant \`{a}  $[20;30]$.

On note toujours $y$ l'erreur relative commise. Un fois $a$ choisi, $y$ est
une fonction de $x$.

\begin{enumerate}
\item Recherche de l'erreur maximale. 

\begin{enumerate}
\item \makebox[8.5cm][s]{Montrer, que la fonction \mbox{$x\mapsto y$} est
d\'{e}finie par}: \smash{$\begin{cases}
y=\cfrac{a}{x}-1\text{ si }x\in[20;a]\\
y=1-\cfrac{a}{x}\text{ si }x\in[a;30]
\end{cases}$} 

\item \'{E}tablir le tableau de variations de $y$ pour $x\in\lbrack20;30]$. 

\item Pour quelle(s) valeur(s) de $x$ l'erreur $y$ est-elle la plus grande? 
\end{enumerate}

\item Minimum de l'erreur maximale.

On note $m$ et $M$ les valeurs extr\^{e}me de l'erreur $y$:
$m=\cfrac{a}{20}-1$ et $M=1-\cfrac{a}{30}$.

\begin{enumerate}
\item Tracer sur m\^{e}me graphique les courbes repr\'{e}sentatives des
fonctions $a\mapsto m$ et $a\mapsto M$. 

\item Soit $Y$ la plus grande valeur possible de $y$: $Y$ est le plus grand
des $2$ nombres $m$ et $M$.

Faire appara\^{\i}tre sur le graphique la courbe repr\'{e}sentative de la
fonction $a\mapsto Y$.

\item En d\'{e}duire la valeur de $a$ qui minimise $Y$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie}{\subsection*{C : Un théorème datant de 1950 $\dots
%$}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{C : Un théorème datant de 1950 $\dots$}%
%EndExpansion


\textsc{G. Polya}, un math\'{e}maticien hongrois, a d\'{e}montr\'{e} en 1950
un th\'{e}or\`{e}me que l'on peut \'{e}noncer ainsi: \og si on doit approcher
un nombre compris entre deux bornes $a$ et $b$, on minimise la plus grande
erreur possible en choisissant la \textit{moyenne harmonique} $h$ de $a$ et
$b$ telle que: $\cfrac{2}{h}=\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}$\fg.

Calculer la moyenne harmonique de $20$ et $30$ et comparer avec le
r\'{e}sultat obtenu \`{a} la partie \ref{1609022020}.
\end{exercise}


\end{document}