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\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 1440639347305--
%%--Démonstration de irrationalité de racine de 2--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{exercise}
On se propose dans cet exercice de démontrer que $\sqrt{2}$ n'est pas un
rationnel, c'est à dire qu'il ne s'écrit pas comme le rapport de deux entiers.

Pour cela nous allons raisonner par l'absurde, c'est à dire que nous allons
supposer que $\sqrt{2}$ est un rationnel et cela conduira à une contradiction.
Ce qui prouvera que $\sqrt{2}$ n'est un rationnel.

\begin{enumerate}
\item Questions préliminaires:

soit $a$ et $b$ deux entiers naturels non nuls.

\begin{enumerate}
\item Quel peut être le chiffre des unités de $a^{2}$?

\item Quel peut être le chiffre des unités de $2b^{2}$?

\item Montrer que l'égalité $a^{2}=2b^{2}$ n'est possible que si le chiffre
des unités de $a^{2}$ et de $2b^{2}$ est égal à $0$.

\item En déduire alors que $a$ et $b$ sont des multiples de $5$
\end{enumerate}

\item Montrer qu'il n'existe pas deux entiers naturels $p$ et $q$, premiers
entre eux, tels que $\frac{p}{q}=\sqrt{2}$.
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
On se propose dans cet exercice de démontrer que $\sqrt{2}$ est un nombre
irrationnel; pour cela nous allons utiliser le raisonnement par l'absurde.
Dans un premier temps, nous allons supposer que ce nombre est rationnel, les
questions de l'exercice ayant pour but de nous mener à une contradiction
mettant ainsi en défaut l'hypothèse de départ.

Hypothèse formulée: $\sqrt{2}$ est un nombre rationnel.

\begin{enumerate}
\item Soit $p$ et $q$ deux entiers naturels non nuls tels que $\sqrt{2}%
=\frac{p}{q}$ avec $\frac{p}{q}$ \textbf{irréductible}.

Vérifier que $p^{2}=2q^{2}$.

\item Montrer que si $p$ est impair alors $p^{2}$ est impair. En déduire que
$p$ est pair.

\item On pose alors $p=2n$ ($n\in\mathbb{N}\xspace$). Montrer que
$q^{2}=2n^{2}$ puis que $q$ est pair.

\item Expliquer en quoi les résultats démontrés aux questions précédentes
mettent en défaut l'hypothèse de départ.
\end{enumerate}
\end{exercise}


\end{document}