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[D�monstration]
{\noindent\textbf{#1:} }
{\ \fbox{cqfd.}
}
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\begin{itemize}
}{\end{itemize}}
\begin{document}%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N� 1386658548028--
%%--Corrig� du document N� 13122658612421--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%



\begin{claim}
On note $E_{N}$ l'\'{e}v\`{e}nement \og tirer une boule noire\fg et $E_{B}$
l'\'{e}v\`{e}nement \og tirer une boule blanche\fg

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item L'ensemble des tirages de $n$ boules successivement et avec remise est
mod\'{e}lis\'{e} par l'ensemble $\Omega$ des n-listes dont les composantes
sont dans $\{E_{N};E_{B}\}$.

Il y a donc $2^{n}$ tirages possibles $\left(  Card(\Omega)=2^{n}\right)  .$

D'autre part, il n'y a que deux fa\c{c}ons d'obtenir des tirages o\`{u} toutes
les boules sont de la m\^{e}me couleur: $\left(  E_{N};E_{N};\cdots
;E_{N}\right)  $ et $\left(  E_{B};E_{B};\cdots;E_{B}\right)  ;$ d'o\`{u} (cas
d'\'{e}quiprobabilit\'{e} \textbf{puisqu'il y a autant de boules noires que de
boules blanches}):%
\[
\fbox{$P($\og Toutes les boules sont de m\^{e}me couleur\fg$)=\dfrac{2}{2^{n}%
}=\dfrac{1}{2^{n-1}}$}%
\]


\item Il y a $n$ fa\c{c}ons de placer la boule blanche (en premier ou en
deuxi\`{e}me ou en troisi\`{e}me ou etc) et une seule fa\c{c}on de placer les
boules noires restantes, d'o\`{u}:%
\[
\fbox{$P($\og Il y a une seule boule blanche\fg$)=\dfrac{n}{2^{n}}$}%
\]


\item
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $P(A\cap B)=P($\og Il y a une seule boule blanche\fg$),$
d'o\`{u}:%
\[
\fbox{$P(A\cap B)=\dfrac{n}{2^{n}}$}%
\]


\item[$\bullet$] $P(A)=1-P(\overline{A})=1-P($\og Toutes les boules sont de
m\^{e}me couleur\fg$),$ d'o\`{u}:%
\[
\fbox{$P(A)=1-\dfrac{1}{2^{n-1}}$}%
\]


\item[$\bullet$] $P(B)=P($\og Toutes les boules sont noires\fg$)+P($\og Il y a
une seule boule blanche\fg$),$ d'o\`{u}:%
\[
\fbox{$P(B)=\dfrac{1}{2^{n}}+\dfrac{n}{2^{n}}=\dfrac{n+1}{2^{n}}$}%
\]

\end{itemize}
\end{enumerate}

\item \label{Q2_indep}%
\[%
\begin{array}
[c]{l}%
P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\\
\Leftrightarrow\dfrac{n}{2^{n}}=\left(  1-\dfrac{1}{2^{n-1}}\right)
\dfrac{n+1}{2^{n}}\\
\Leftrightarrow n=\left(  1-\dfrac{1}{2^{n-1}}\right)  \left(  n+1\right) \\
\Leftrightarrow n=n+1-\dfrac{n+1}{2^{n-1}}\\
\Leftrightarrow1=\dfrac{n+1}{2^{n-1}}\\
\Leftrightarrow2^{n-1}=n+1
\end{array}
\]


D'o\`{u}:%
\[
\fbox{$P(A\cap B)=P(A)\times P(B)\Leftrightarrow2^{n-1}=n+1$}%
\]


\item
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $u_{2}=2^{1}-3=-1\hspace*{\fill}u_{3}=2^{2}-4=0\hspace
*{\fill}u_{4}=2^{3}-5=3$

\item[$\bullet$] $\forall n\geq2:$%
\begin{align*}
u_{n+1}-u_{n}  & =2^{n}-\left(  n+2\right)  -2^{n-1}+n+1\\
& =2^{n}-2^{n-1}-1\\
& =2^{n-1}\left(  2-1\right)  -1\\
& =2^{n-1}-1
\end{align*}


Or, pour $n\geq2,$ on a $2^{n-1}\geq2$ et donc $u_{n+1}-u_{n}\geq1.$ D'o\`{u}:%
\[
\fbox{$\left(  u_{n}\right)  _{n\geq2}$ est strictement croissante }%
\]

\end{itemize}

\item $A$ et $B$ sont ind\'{e}pendants ssi $P(A\cap B)=P(A)\times P(B).$

Or, on a d\'{e}montr\'{e} (question \ref{Q2_indep}) que: $P(A\cap
B)=P(A)\times P(B)$ ssi $2^{n-1}=n+1$ (ie ssi $u_{n}=0$) donc $A$ et $B$ sont
ind\'{e}pendants ssi $u_{n}=0.$

Or $u_{3}=0$ et $\left(  u_{n}\right)  $ est strictement croissante donc
$u_{n}=0\Leftrightarrow n=3.$ D'o\`{u}:%
\[
\fbox{$A$ et $B$ sont ind\'{e}pendants ssi $n=3$}%
\]

\end{enumerate}
\end{claim}


\end{document}