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[Démonstration]
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\begin{itemize}
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\begin{document}%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 1386342287785--
%%--Probabilités--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{exercise}
[{\small extrait de la maquette du BAC 2004}]On consid\`{e}re 7 boules
num\'{e}rot\'{e}es de 1 \`{a} 7. L'exp\'{e}rience consiste \`{a} en tirer
simultan\'{e}ment 3.

\begin{enumerate}
\item Soit $k$ un entier v\'{e}rifiant $3\leq k\leq7$. Combien y-a-t-il de
tirages de 3 boules dont le plus grand num\'{e}ro est $k$?

\item En d\'{e}duire une expression de $%
%TCIMACRO{\dsum \limits_{k=3}^{7}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\sum\limits_{k=3}^{7}}
%EndExpansion
\dbinom{k-1}{2}$ sous forme d'un unique coefficient binomial.
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
[{\small extrait de la maquette du BAC 2004}]Un quincailler ach\`{e}te des
ampoules \`{a} trois fournisseurs dans les proportions suivantes: $20\%$ au
premier fournisseur, $50\%$ au deuxi\`{e}me fournisseur et $30\%$ au
troisi\`{e}me fournisseur.

Le premier fournisseur fabrique $97\%$ d'ampoules sans d\'{e}faut, le
deuxi\`{e}me fournisseur fabrique $98\%$ d'ampoules sans d\'{e}faut et le
troisi\`{e}me fournisseur fabrique $95\%$ d'ampoules sans d\'{e}faut.

\begin{enumerate}
\item On choisit une ampoule au hasard dans le stock. On note $D$
l'\'{e}v\'{e}nement \og l'ampoule est d\'{e}fectueuse\fg, $F_{1}$
l'\'{e}v\'{e}nement \og l'ampoule provient du premier fournisseur\fg, $F_{2}$
l'\'{e}v\'{e}nement \og l'ampoule provient du deuxi\`{e}me fournisseur\fg\ et
$F_{3}$ l'\'{e}v\'{e}nement \og l'ampoule provient du troisi\`{e}me fournisseur\fg.

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilit\'{e} de l'\'{e}v\'{e}nement $D$, not\'{e} $P(D)$.

\item Sachant que l'ampoule choisie est d\'{e}fectueuse, quelle est la
probabilit\'{e} $P_{D}(F_{1})$ qu'elle provienne du premier fournisseur?

Donner la valeur exacte et une valeur approch\'{e}e \`{a} $10^{-3}$ pr\`{e}s
de $P_{D}(F_{1})$.
\end{enumerate}

\item On suppose que la probabilit\'{e} qu'une ampoule soit sans d\'{e}faut
est de $0,969$.

On monte 12 ampoules sur un lustre. Calculer la probabilit\'{e} $R$ qu'une
ampoule au plus soit d\'{e}fectueuse.

On donnera une valeur approch\'{e}e \`{a} $10^{-3}$ pr\`{e}s de $R$.

\item La dur\'{e}e de vie en heures d'une ampoule, not\'{e}e $T$, suit une loi
de dur\'{e}e de vie sans vieillessement (ou loi exponentielle) de
param\`{e}tre $\lambda=\dfrac{1}{50000}=2.10^{-5}$.

Selon cette loi, pour tout $x$ de $[0;+\infty\lbrack:$%
\[
P(T\leq x)=\int_{0}^{x}\lambda e^{-\lambda t}dt
\]


\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilit\'{e} $P_{1}$ qu'une ampoule dure plus de 25000
heures? Donner la valeur exacte de $P_{1}$.

\item Quelle est la probabilit\'{e} $P_{2}$ qu'une ampoule dure plus de 50000
heures? Donner la valeur exacte de $P_{2}.$

\item Quelle est la probabilit\'{e} $P_{3}$ qu'une ampoule dure plus
  de 50000 heures,
sachant qu'elle a d\'{e}j\`{a} dur\'{e} plus de 25000 heures? Donner la valeur exacte
de $P_{3}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}


\end{document}