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\begin{document}
Copyright (c) 2004, Herv\'{e} OLLIVIER. Le contenu de ce document peut
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%TCIMACRO{\TeXButton{styleCours}{\Titre
%{Chapitre VII Géométrie dans le plan et l'espace: barycentre, droites et plans, produit scalaire}
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\Titre
{Chapitre VII Géométrie dans le plan et l'espace: barycentre, droites et plans, produit scalaire}
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\section{Barycentre de n points $(n$ $\in$ $%
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
).$}

\subsection{Rappels}

Soit $A_{1},A_{2},....,A_{n}$ $n$ points du plan ou de l'espace et $a_{1,}$
$a_{2,}...,a_{n,}$ $n$ r\'{e}els tels que $\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}%
}a_{i}\neq0.$ On appelle barycentre du syst\`{e}me de points pond\'{e}r\'{e}s
$\left\{  \left(  A_{i},a_{i}\right)  \right\}  _{1\leq i\leq n}$ l'unique
point $G$ tel que : $\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}a_{i}\overrightarrow
{GA_{i}}=\overrightarrow{0}.$

\begin{proposition}
Soit $k$ un r\'{e}el non nul. $G$ est le barycentre du syst\`{e}me de points
pond\'{e}r\'{e}s $\left\{  \left(  A_{i},a_{i}\right)  \right\}  _{1\leq i\leq
n} $ si, et seulement si, $G$ est le barycentre du syst\`{e}me de points
pond\'{e}r\'{e}s $\left\{  \left(  A_{i},ka_{i}\right)  \right\}  _{1\leq
i\leq n}.$
\end{proposition}

\begin{proposition}
Soit $\left\{  \left(  A_{i},a_{i}\right)  \right\}  _{1\leq i\leq n}$ un
syst\`{e}me de points pond\'{e}r\'{e}s \ et $M$ un point quelconque du plan ou
de l'espace.

$\left(  1\right)  $ Si $\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}a_{i}\neq0,$alors
$G$ est le barycentre du syst\`{e}me de points pond\'{e}r\'{e}s $\left\{
\left(  A_{i},a_{i}\right)  \right\}  _{1\leq i\leq n}$ si, et seulement si,
$\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}a_{i}\overrightarrow{MG}=\overset
{n}{\underset{i=1}{\sum}}a_{i}\overrightarrow{MA_{i}}.$

$\left(  2\right)  $ Si $\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}a_{i}=0,$ alors le
vecteur $\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}a_{i}\overrightarrow{MA_{i}}$ est constant.
\end{proposition}

\begin{proposition}
[Th\'{e}or\`{e}me d'associativit\'{e} ou th\'{e}or\`{e}me du barycentre
partiel]Soit $\left\{  \left(  A_{i},a_{i}\right)  \right\}  _{1\leq i\leq n}$
un syst\`{e}me de points pond\'{e}r\'{e}s tels que $\overset{n}{\underset
{i=1}{\sum}}a_{i}\neq0$ et $\overset{p}{\underset{i=1}{\sum}}a_{i}\neq0$
o\`{u} $p$ est un entier v\'{e}rifaint $2\leq p\leq n-1.$

On note $H$ le barycentre du syst\`{e}me de points pond\'{e}r\'{e}s $\left\{
\left(  A_{i},a_{i}\right)  \right\}  _{1\leq i\leq p}.$

$G$ est le barycentre du syst\`{e}me de points pond\'{e}r\'{e}s$\left\{
\left(  A_{i},a_{i}\right)  \right\}  _{1\leq i\leq n}$ si, et seulement si,
$G$ est le barycentre du syst\`{e}me de points pond\'{e}r\'{e}s$\left\{
\left(  H,\overset{p}{\underset{i=1}{\sum}}a_{i}\right)  ,\left(
A_{p+1},a_{p+1}\right)  ;...;\left(  A_{n},a_{n}\right)  \right\}  .$
\end{proposition}

\begin{proposition}
L'espace est rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re $(O;\overrightarrow
{i};\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}).$Soit un syst\`{e}me de points
pond\'{e}r\'{e}s $\left\{  \left(  A_{i},a_{i}\right)  \right\}  _{1\leq i\leq
n}$ avec $\left(  x_{i},y_{i},z_{i}\right)  $ les coordonn\'{e}es des points
$A_{i} $ pour $1\leq i\leq n.$

Le barycentre $G$ du syst\`{e}me de points pond\'{e}r\'{e}s $\left\{  \left(
A_{i},a_{i}\right)  \right\}  _{1\leq i\leq n}$ a pour coordonn\'{e}es :%
\[
\left(  \frac{\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}a_{i}x_{i}}{\overset
{n}{\underset{i=1}{\sum}}a_{i}};\frac{\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}%
a_{i}y_{i}}{\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}a_{i}};\frac{\overset
{n}{\underset{i=1}{\sum}}a_{i}z_{i}}{\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}a_{i}%
}\right)
\]

\end{proposition}

\begin{remark}
Le plan complexe \'{e}tant rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re direct, le
barycentre $G$ du syst\`{e}me de points pond\'{e}r\'{e}s $\left\{  \left(
A_{i},a_{i}\right)  \right\}  _{1\leq i\leq n}$ a pour affixe: $\dfrac
{\overset{n}{\underset{i=1}{\sum}}a_{i}z_{i}}{\overset{n}{\underset{i=1}{\sum
}}a_{i}},$ o\`{u} $z_{i}$ d\'{e}signe l'affixe du point $A_{i}.$
\end{remark}

\subsection{Caract\'{e}risation barycentrique d'une droite d'un segment, d'un
plan et d'un triangle.}

\begin{proposition}
Soit $A$ et $B$ deux points de l'espace.

$\left(  1\right)  $ $M$ appartient \`{a} la droite $\left(  AB\right)  $ si,
et seulement si il existe deux r\'{e}els $a$ et $b$ tels que $a+b\neq0$ et
tels que $M$ est le barycentre du syst\`{e}me de points pond\'{e}r\'{e}s
$\left\{  \left(  A,a\right)  ;\left(  B,b\right)  \right\}  .$

$\left(  2\right)  $ $M$ appartient au segment $\left[  AB\right]  $ si, et
seulement si il existe deux r\'{e}els de m\^{e}me signe $a$ et $b$
(\'{e}ventuellement un des deux est nul) tels que $a+b\neq0$ et tels que $M$
est le barycentre du syst\`{e}me de points pond\'{e}r\'{e}s $\left\{  \left(
A,a\right)  ;\left(  B,b\right)  \right\}  .$

\begin{proof}
voir livre page 269
\end{proof}
\end{proposition}

\begin{proposition}
Soit $A,$ $B$ et $C$ trois points non align\'{e}s de l'espace.

$\left(  1\right)  $ Un point $M$ appartient au plan $\left(  ABC\right)  $
si, et seulement si il existe trois r\'{e}els $a,$ $b$ et $c$ tels que
$a+b+c\neq0$ et tels que $M$ est le barycentre du syst\`{e}me de points
pond\'{e}r\'{e}s $\left\{  \left(  A,a\right)  ;\left(  B,b\right)  ;\left(
C,c\right)  \right\}  .$

$\left(  2\right)  $ Un point $M$ appartient \`{a} l'int\'{e}rieur du triangle
$ABC$ si, et seulement si il existe trois r\'{e}els $a,$ $b$ et $c,$de
m\^{e}me signe ou nuls, tels que $a+b+c\neq0$ et et tels que $M$ est le
barycentre du syst\`{e}me de points pond\'{e}r\'{e}s $\left\{  \left(
A,a\right)  ;\left(  B,b\right)  ;\left(  C,c\right)  \right\}  $

\begin{proof}
voir livre page 269.
\end{proof}
\end{proposition}

\subsection{Repr\'{e}sentation param\'{e}trique d'une droite}

L'espace est muni d'un rep\`{e}re $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow
{j},\overrightarrow{k})$

\begin{proposition}
[et d\'{e}finition]Soit $D$ la droite de l'espace passant par le point $A$de
coordonn\'{e}es $\left(  x_{A};y_{A};z_{A}\right)  $ et de vecteur directeur
$\overrightarrow{u} $ de coordonn\'{e}es $\left(  \alpha;\beta;\gamma\right)
.$

Un point $M$ de coordonn\'{e}es $\left(  x;y;z\right)  $ appartient \`{a} $D$
si, et seulement si il existe un r\'{e}el $k$ tel que $\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
x=x_{A}+k\alpha\\
y=y_{A}+k\beta\\
z=z_{A}+k\gamma
\end{array}
\right.  $ Ce syst\`{e}me est une repr\'{e}sentation param\'{e}trique de la
doite $D$(o\`{u} $k$ est le param\`{e}tre)

\begin{proof}
\ 

\ 

\ 

\ 

\ 

\ 

\ 

\ 

\ 
\end{proof}

\begin{example}
Recherchons la repr\'{e}sentation param\'{e}trique de la droite $D$ passant
par le point $A$ de coordonn\'{e}es $\left(  -1;2;5\right)  $ et par $B\left(
2;3;1\right)  .\vspace{5.05cm}$
\end{example}
\end{proposition}

\section{Produit scalaire}

Les d\'{e}finitions et propri\'{e}t\'{e}s ci-dessous sont aussi bien valables
dans le plan que dans l'espace. De plus comme deux vecteurs non
colin\'{e}aires d\'{e}finissent un unique plan, on se ram\`{e}ne aux
d\'{e}finitions et propri\'{e}t\'{e}s vues (et d\'{e}montr\'{e}es) en classe
de premi\`{e}re sauf cas particuliers (distance d'un point \`{a} une droite,...)

\subsection{D\'{e}finition(s) du produit scalaire, orthogonalit\'{e}}

\begin{definition}
Soit $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs. Le produit
scalaire de $\overrightarrow{u}$ et de $\overrightarrow{v}$ est le nombre
r\'{e}el not\'{e} $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ et d\'{e}fini par
\[
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\frac{1}{2}\left(  \left\Vert
\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right\Vert ^{2}-\left\Vert
\overrightarrow{u}\right\Vert ^{2}-\left\Vert \overrightarrow{v}\right\Vert
^{2}\right)
\]


\begin{remark}
Pour tout vecteur $\overrightarrow{u}$ du plan ou de l'espace,
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}=\left\Vert \overrightarrow
{u}\right\Vert ^{2}.$ On note $\overrightarrow{u}.\overrightarrow
{u}=\overrightarrow{u}^{2}.$ Ce r\'{e}el est appel\'{e} le carr\'{e} scalaire
du vecteur $\overrightarrow{u}.$
\end{remark}
\end{definition}

\begin{proposition}
Deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux
si, et seulement si $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0$
\end{proposition}

\begin{proposition}
[Autre expression du produit scalaire]$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow
{v}$ \'{e}tant deux vecteurs non nuls du plan ou de l'espace:
\[
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left\Vert \overrightarrow{u}\right\Vert
\times\left\Vert \overrightarrow{v}\right\Vert \times\cos\left(
\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)
\]

\end{proposition}

\subsection{Expression du produit scalaire dans une base orthonorm\'{e}e}

\begin{proposition}
$\left(  1\right)  $ L'ensemble des vecteurs du plan \'{e}tant muni d'une base
orthonorm\'{e}e, si $\overrightarrow{u}\left(  x;y\right)  $ et
$\overrightarrow{v}\left(  x^{\prime};y^{\prime}\right)  $ alors
\[
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx^{\prime}+yy^{\prime}%
\]


$\left(  2\right)  $ L'ensemble des vecteurs de l'espace \'{e}tant muni d'une
base orthonorm\'{e}e, si $\overrightarrow{u}\left(  x;y;z\right)  $ et
$\overrightarrow{v}\left(  x^{\prime};y^{\prime};z^{\prime}\right)  $ alors
\[
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx^{\prime}+yy^{\prime}+zz^{\prime}%
\]

\end{proposition}

\subsection{R\`{e}gles de calculs}

\begin{proposition}
Soit $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ trois
vecteurs \ et $k$ un r\'{e}el:

\begin{enumerate}
\item[$\left(  1\right)  $] $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}%
=\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}.$

\item[$\left(  2\right)  $] $\overrightarrow{u}.\left(  \overrightarrow
{v}+\overrightarrow{w}\right)  =\overrightarrow{u}.\overrightarrow
{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}.$

\item[$\left(  3\right)  $] $k\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=k\left(
\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}\right)  .$
\end{enumerate}
\end{proposition}

\subsection{Produit scalaire et projection orthogonale sur une droite}

\begin{definition}
Soit $\mathcal{D}$ une droite de l'espace. La projection orthogonale sur la
droite $\mathcal{D}$ est l'application qui associe \`{a} tout point $M$ de
l'espace, le point $M^{\prime}$ intersection de $\mathcal{D}$ et du plan
$\mathcal{P}$ perpendiculaire \`{a} $\mathcal{D}$ et passant par $M.$
\end{definition}

\begin{remark}
Si $M$ appartient \`{a} la droite $\mathcal{D},M$ est invariant par la
projection orthogonale sur $\mathcal{D}.$
\end{remark}

\begin{remark}
Si $M$ n'appartient pas \`{a} la droite $\mathcal{D},$ la droite $\mathcal{D}
$ est orthogonale \`{a} la droite $\left(  MM^{\prime}\right)  ,$ qui est
incluse dans le plan $\mathcal{P}.$
\end{remark}

\begin{remark}
$MM^{\prime}$ est la distance de $M$ \`{a} la droite $\mathcal{D}.$
\end{remark}

\vspace{2.25cm}

\begin{proposition}
Soit $A,B,M$ trois points du plan ou de l'espace \ tels que $A$ et $B$ sont
distincts. Si on note $H$ le projet\'{e} orthogonal de $M$ sur $\left(
AB\right)  $ alors:%
\[
\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow
{AH}%
\]


\begin{proof}


\item
\begin{itemize}
\item Si $M$ appartient \`{a} $\left(  AB\right)  ....$

\item Si $M$ n'appartient pas \`{a} $\left(  AB\right)  ...\vspace{4.85cm}$
\end{itemize}
\end{proof}
\end{proposition}

\subsection{Distance d'un point \`{a} une droite dans un rep\`{e}re
orthonorm\'{e} du plan.}

\begin{proposition}
Le plan est muni d'un rep\`{e}re orthonorm\'{e}. \ Soit $\mathcal{D}$ une
droite d'\'{e}quation cart\'{e}sienne $ax+by+c=0$ et $A$ un point de
coordonn\'{e}es $\left(  x_{A};y_{A}\right)  .$

La distance du point $A$ \`{a} la droite $\mathcal{D},$ not\'{e}e $d\left(
A;\mathcal{D}\right)  $ est:%
\[
d\left(  A;\mathcal{D}\right)  =\frac{\left\vert ax_{A}+by_{A}+c\right\vert
}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}%
\]


\begin{proof}
Le plan \'{e}tant muni d'un rep\`{e}re orthonorm\'{e}, on consid\`{e}re la
droite $\mathcal{D}$ d'\'{e}quation $ax+by+c=0$ , $A$ un point de
coordonn\'{e}es $\left(  x_{A};y_{A}\right)  $ et $H\left(  x_{H}%
;y_{H}\right)  $ le projet\'{e} orthogonal de $A$ sur $\mathcal{D}$ . Par
d\'{e}finition $AH=d\left(  A;\mathcal{D}\right)  .$%
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\end{center}
%EndExpansion


On consid\`{e}re le vecteur $\overrightarrow{n}\left(  a;b\right)  $ qui est
un vecteur normal \`{a} la droite $\mathcal{D}$ (rappel: pour une droite dont
l\textquotedblright\'{e}quation est $ax+by+c=0,$ un vecteur directeur est
$\overrightarrow{u}\left(  -b;a\right)  $ et un vecteur normal (direction
perpendiculaire) est $\overrightarrow{n}\left(  a;b\right)  $).\vspace{5.65cm}
\end{proof}
\end{proposition}

\section{Equations de plans.}

\subsection{Projection orthogonale sur un plan.}

\begin{definition}
Soit $\mathcal{P}$ un plan. \ La projection orthogonale sur le plan $P$ est
est l'application qui associe \`{a} tout point $M$ de l'espace, le point
$M^{\prime}$ intersection du plan $\mathcal{P}$ et de la droite $\mathcal{D}$
perpendiculaire \`{a} $\mathcal{P}$ passant par $M.$ $M^{\prime}$\ est
appel\'{e} le projet\'{e} orthogonal de $M$ sur $\mathcal{P}$ \vspace{4.7cm}
\end{definition}

\subsection{vecteur normal \`{a} un plan}

\begin{definition}
Dire qu'un vecteur \textbf{non nul} $\overrightarrow{n}$ est normal \`{a} un
plan $\mathcal{P}$ signifie que toute droite $\mathcal{D}$ de vecteur
directeur $\overrightarrow{n}$ est perpendiculaire \`{a} $\mathcal{P}.$

\begin{remark}
Si deux vecteurs sont deux vecteurs normaux \`{a} un m\^{e}me plan
$\mathcal{P},$alors ils sont.............
\end{remark}

\begin{remark}
Si un vecteur $\overrightarrow{n}$ est normal \`{a} un plan $\mathcal{P}$
alors il est orthogonal \`{a} tout vecteur $\overrightarrow{MN}~,$ o\`{u} $M$
et $N$ sont .................................................

\ 
\end{remark}
\end{definition}

\begin{proposition}
Soit un vecteur \textbf{non nul} $\overrightarrow{n}$ et $\mathcal{P}$ un plan
de vecteurs directeurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}.$

Le vecteur $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal \ du plan $\mathcal{P}$
si, et seulement si, il est orthogonal aux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et
$\overrightarrow{v}.$

\begin{proof}
Dans les conditions de la proposition, on peut trouver trois points $A,B$ et
$C$ tels que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow
{v}=\overrightarrow{AC}.$

\begin{itemize}
\item Si \ $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal \`{a} $\mathcal{P},$ et
$\mathcal{D}$ une droite de vecteur directeur $\overrightarrow{n},$ alors
$\mathcal{D}$ est perpendiculaire \`{a} $P,$ donc orthogonale \`{a} toute
droite contenue dans $\mathcal{P}.$ En particulier ......................................................

\ 

\item R\'{e}ciproquement, si $\overrightarrow{n}$ est orthogonal aux vecteurs
$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ alors toute droite $\mathcal{D}$
de vecteur directeur $\overrightarrow{n}$ est orthogonale aux droites $\left(
AB\right)  $ et$\left(  AC\right)  $ qui sont deux droites s\'{e}cantes de
$P,$ donc $\mathcal{D}$ est perpendiculaire \`{a} $\mathcal{P} $
(th\'{e}or\`{e}me vu en premi\`{e}re). \ On en d\'{e}duit que $\overrightarrow
{n}$ est un vecteur normal \ du plan $\mathcal{P}$.
\end{itemize}
\end{proof}

\item
\begin{enumerate}
Pour tout vecteur non nul $\overrightarrow{n}$ et pour tout point $A$ de
l'espace, il existe un et un seul plan passant par $A$ et de vecteur normal
$\overrightarrow{n}.$

\item Pour tout vecteur non nul $\overrightarrow{n}$ et pour tout point $A$ de
l'espace, l'ensemble des points $M$de l'espace tels que $\overrightarrow
{n}.\overrightarrow{AM}=0$ est le plan passant par $A$ et de vecteur normal
$\overrightarrow{n}.$
\end{enumerate}

\begin{proof}
\item
\begin{enumerate}
Cet \'{e}nonc\'{e} est la traduction vectorielle d'un \'{e}nonc\'{e} vu (et
admis) en seconde : \guillemotleft Par un point passe un et un seul plan
orthogonal \`{a} une droite donn\'{e}e\guillemotright 

\item Soit $P$ le plan passant par $A$ et de vecteur normal $\overrightarrow
{n}.$Pour tout point $M$ de l'espace on consid\`{e}re le point $M^{\prime}$ le
projet\'{e} orthogonal de $M$ sur $P.$

$\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{n}.\overrightarrow
{AM^{\prime}}+\overrightarrow{n}.\overrightarrow{M^{\prime}M}$ donc
$\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AM}=0$ \'{e}quivaut \`{a} $\overrightarrow
{n}.\overrightarrow{AM^{\prime}}+\overrightarrow{n}.\overrightarrow{M^{\prime
}M}=0.$

Comme $A$ et $M^{\prime}$ sont des points de $P,$ $\overrightarrow
{n}.\overrightarrow{AM^{\prime}}=0$ donc

$\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AM}=0$ \'{e}quivaut \`{a} $\overrightarrow
{n}.\overrightarrow{M^{\prime}M}=0.$

Mais \ les vecteurs $\overrightarrow{n}$ et $\overrightarrow{M^{\prime}M}$
sont .....................................

Donc\vspace{3.05cm}
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{proposition}

\subsection{Equation cart\'{e}siennes d'un plan dans un rep\`{e}re
orthonorm\'{e}}

\begin{proposition}
L'espace est muni d'un rep\`{e}re orthonorm\'{e} $(O;\overrightarrow
{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}).$

\begin{enumerate}
\item Tout plan $P$ de vecteur normal $\overrightarrow{n}(a;b;c)$ a une
\'{e}quation du type $ax+by+cz+d=0.$

\item R\'{e}ciproquement, si $a,b,c$ et $d$ sont quatre r\'{e}els tels que
l'un au moins des r\'{e}els $a,b,c$ n'est pas nul, l'ensemble des points
$M\left(  x;y;z\right)  $ de l'espace tels que $ax+by+cz+d=0$ est un plan de
vecteur normal $\overrightarrow{n}(a;b;c).$
\end{enumerate}

\begin{proof}
\item
\begin{enumerate}
Soit $P$ un plan et $\overrightarrow{n}(a;b;c)$ un vecteur normal \`{a} $P$ et
$A\left(  x_{A};y_{A};z_{A}\right)  $ un point de $P.$ D'apr\`{e}s la
proposition III.2........... \vspace{3.05cm}

\item $a,b,c$ et $d$ \'{e}tant quatre r\'{e}els tels que l'un au moins des
r\'{e}els $a,b,c$ n'est pas nul, on consid\`{e}re l'ensemble $E$ des points
$M\left(  x;y;z\right)  $ tels que $ax+by+cz+d=0.$

Supposons que $a\neq,$le point $A\left(  \frac{-d}{a};0;0\right)  $ est un
point de $E.$

Pour tout point $M\left(  x;y;z\right)  :$ $\overrightarrow{AM}\left(
x+\frac{d}{a};y;z\right)  $donc $\overrightarrow{n}.\overrightarrow
{AM}=..................\vspace{3.05cm}$
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{proposition}

\subsection{Distance d'un point par rapport \`{a} un plan dans un rep\`{e}re
orthonorm\'{e}.}

\begin{definition}
Soit $P$ un plan et $A$ un point de l'espace \ et $H$ son projet\'{e}
orthogonal sur le plan $P.$ La distance du point $A$ au plan $P,$not\'{e}e
$d\left(  A;P\right)  $ est la distance $AH.$
\end{definition}

\vspace{3.05cm}

\begin{proposition}
[admise]L'espace est muni d'un\ rep\`{e}re orthonorm\'{e} $(O;\overrightarrow
{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k}).$Soit $P$ le plan d'\'{e}quation
$ax+by+cz+d=0$ et $A\left(  x_{A};y_{A};z_{A}\right)  .$ La distance de $A$
\`{a} $P$ est :%
\[
d\left(  A;P\right)  =\frac{\left\vert ax_{A}+by_{A}+cz_{A}+d\right\vert
}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}%
\]

\end{proposition}

\subsection{Position relative des droites et des plans dans l'espace.}

\subsubsection{Position relative de deux plans}

\begin{proposition}
[admise]Soit $P$ et $P^{\prime}$ deux plans de \ vecteurs normaux respectifs
$\overrightarrow{n}$et $\overrightarrow{n^{\prime}}.$

\begin{enumerate}
\item $P$ et $P^{\prime}$ sont parall\`{e}les si, et seulement si
$\overrightarrow{n}$et $\overrightarrow{n^{\prime}}$ sont colin\'{e}aires.

\item $P$ et $P^{\prime}$ sont s\'{e}cants si, et seulement si
$\overrightarrow{n}$et $\overrightarrow{n^{\prime}}$ ne sont pas colin\'{e}aires.
\end{enumerate}
\end{proposition}

\begin{proposition}
Soit $P$ et $P^{\prime}$ deux plans d'\'{e}quations cart\'{e}siennes
respectives
\[
ax+by+cz+d=0\text{ \ et }a^{\prime}x+b^{\prime}y+c^{\prime}z+d^{\prime}=0
\]


\begin{enumerate}
\item $P$ et $P^{\prime}$ sont parall\`{e}les si, et seulement si les deux
suites $\left(  a;b;c\right)  $ et $\left(  a^{\prime};b^{\prime};c^{\prime
}\right)  $ sont proportionnelles.

\item $P$ et $P^{\prime}$ sont s\'{e}cants si, et seulement si les deux suites
$\left(  a;b;c\right)  $ et $\left(  a^{\prime};b^{\prime};c^{\prime}\right)
$ ne sont pas proportionnelles.
\end{enumerate}
\end{proposition}

\subsubsection{Position relative d'une droite et d'un plan}

\begin{proposition}
[admise]Soit $P$ un plan de vecteur normal $\overrightarrow{n}$ et $D$ une
droite de vecteur directeur $\overrightarrow{u}.D$ et $P$ sont parall\`{e}les
si, et seulement si $\overrightarrow{n}$ et $\overrightarrow{u}$ sont orthogonaux.
\end{proposition}

\begin{example}
Etudier la position relative du plan $P$ d'\'{e}quation $x+2y-z-4=0$ et de la
droite $D$ d\'{e}finie par $A\left(  1;-3;0\right)  $ et $\overrightarrow
{u}\left(  0;1;2\right)  \vspace{3.05cm}$
\end{example}

\begin{example}
Etudier la position relative du plan $P$ d'\'{e}quation $x+2y-z-4=0$ et de la
droite $D$ d\'{e}finie par $A\left(  1;-3;0\right)  $ et $\overrightarrow
{u}\left(  -1;0;2\right)  \vspace{5.6cm}$
\end{example}

\subsubsection{Intersection de trois plans.}

\begin{proposition}
[admise]Soit $P_{1},P_{2}$ et $P_{3}$ trois plans distincts non parall\`{e}les
deux \`{a} deux, de vecteurs normaux respectifs $\overrightarrow{n_{1}%
},\overrightarrow{n_{2}}$ et $\overrightarrow{n_{3}}.$

\begin{itemize}
\item Si $\overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}}$ et $\overrightarrow
{n_{3}}$ sont coplanaires, alors l'intersection de $P_{1},P_{2}$ et $P_{3}$
est soit un l'ensemble vide (lorsque la droite d'intersection de deux plans
est strictement parall\`{e}le au troisi\`{e}me) soit une droite.

\item Si $\overrightarrow{n_{1}},\overrightarrow{n_{2}}$ et $\overrightarrow
{n_{3}}$ ne sont pas coplanaires, alors l'intersection de $P_{1},P_{2}$ et
$P_{3}$ est un point.
\end{itemize}
\end{proposition}

Illustration:\vspace{7.8cm}

\begin{example}
\item
\begin{enumerate}
Etudier l'intersection des plans $P_{1},P_{2}$ et $P_{3}$ d'\'{e}quations
respectives :%
\[
x+2y-z-4=0,\text{ \ }-2x+3y+z-1=0\text{ et }-5x+4y+3z+2=0
\]


\item Etudier l'intersection des plans $P_{1},P_{2}$ et $P_{3}$
d'\'{e}quations respectives :%
\[
x-y-2z-4=0,\text{ \ }4x-y+z-7=0\text{ et }2x+y+5z-5=0
\]


\item Etudier l'intersection des plans $P_{1},P_{2}$ et $P_{3}$
d'\'{e}quations respectives :%
\[
x-y-2z-4=0,\text{ \ }4x-y-z-7=0\text{ et }2x+y+5z-5=0
\]

\end{enumerate}
\end{example}


\end{document}