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\newtheorem{summary}[Csum]{En r�sum�}
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[D�monstration]
{\noindent\textbf{#1:} }
{\ \fbox{cqfd.}
}
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\begin{itemize}
}{\end{itemize}}
\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N� 13165929326516--
%%--Corrig� du document N� 13165932748914--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{center}
{\Large Rem\'{e}diation:}
\end{center}

\begin{exercise}
Pas de correction...
\end{exercise}

\begin{exercise}
$\vspace*{-0.35cm}$

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item
\begin{itemize}
\item On a:%
\[
x\leq2\quad\Leftrightarrow\quad-2x\ldots\ldots\ldots-4\quad\Leftrightarrow
\quad-2x+6\ldots\ldots\ldots2
\]


On en d\'{e}duit que:%
\[
\fbox{si $x\leq2$ alors $6-2x$ est $\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots
\ldots\ldots\ldots.$}%
\]


\item D'autre part:%
\[
x\leq2\quad\Leftrightarrow\quad3x\ldots\ldots\ldots6\quad\Leftrightarrow
\quad3x-6\ldots\ldots\ldots0.
\]


On en d\'{e}duit que:%
\[
\fbox{si $x\leq2$ alors $3x-6$ est $\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots
\ldots\ldots\ldots.$}%
\]

\end{itemize}

\item
\begin{itemize}
\item On a:%
\[
x\geq3\quad\Leftrightarrow\quad-2x\ldots\ldots\ldots\ldots\quad\Leftrightarrow
\quad-2x+6\ldots\ldots\ldots\ldots.
\]


On en d\'{e}duit que:%
\[
\fbox{si $x\geq3$ alors $6-2x$ est $\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots
\ldots\ldots\ldots.$}%
\]


\item On d\'{e}montre de m\^{e}me que:%
\[
\fbox{si $x\geq3$ alors $3x-6$ est $\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots
\ldots\ldots\ldots.$}%
\]

\end{itemize}

\item
\begin{itemize}
\item On a vu que:%
\begin{align*}
x  & \in]-\infty;2]\quad\Leftrightarrow\quad x\ldots\ldots2\quad
\Longrightarrow\quad6-2x\ldots\ldots0\\
& et\\
x  & \in]-\infty;2]\quad\Leftrightarrow\quad x\ldots\ldots2\quad
\Longrightarrow\quad3x-6\ldots\ldots0.
\end{align*}


On en d\'{e}duit que:%
\[
\fbox{si $x\in]-\infty;2]$ alors $(6-2x)(3x-6)\ldots\ldots0.$}%
\]


\item On a vu aussi que:%
\begin{align*}
x  & \in[3;+\infty\lbrack\quad\Longrightarrow\quad6-2x\ldots\ldots0\\
& et\\
x  & \in[3;+\infty\lbrack\quad\Longrightarrow\quad3x-6\ldots\ldots0.
\end{align*}


On en d\'{e}duit que:%
\[
\fbox{si $x\in\lbrack3;+\infty\lbrack$ alors $(6-2x)(3x-6)\ldots\ldots0.$}%
\]


\item Des deux points pr\'{e}c\'{e}dents, on d\'{e}duit que:%
\[
x\in]-\infty;2]\cup\lbrack3;+\infty\lbrack\quad\Longrightarrow\quad
(6-2x)(3x-6)\ldots\ldots0.
\]

\end{itemize}
\end{enumerate}

\item
\begin{itemize}
\item On a:%
\[
x\in\left[  2;3\right]  \quad\Leftrightarrow\quad\ldots\ldots\leq x\leq
\ldots\ldots\quad\Leftrightarrow\quad\ldots\ldots\ldots\leq-2x\leq\ldots
\ldots\ldots\quad\Leftrightarrow\quad\ldots\ldots\ldots-2x+6\ldots\ldots
\ldots.
\]


On en d\'{e}duit que:%
\[
\fbox{si $x\in\left[  2;3\right]  $ alors $6-2x$ est $\ldots\ldots\ldots
\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots.$}%
\]


\item On a:%
\[
x\in\left[  2;3\right]  \quad\Leftrightarrow\quad\ldots\ldots\leq3x\leq
\ldots\ldots\quad\Leftrightarrow\quad\ldots\ldots\leq3x-6\leq\ldots\ldots.
\]


On en d\'{e}duit que:%
\[
\fbox{si $x\in\left[  2;3\right]  $ alors $3x-6$ est $\ldots\ldots\ldots
\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots.$}%
\]


\item On d\'{e}duit des deux points pr\'{e}c\'{e}dents que:%
\[
\fbox{$x\in\lbrack2;3]\quad\Longrightarrow\quad(6-2x)(3x-6)\ldots\ldots0.$}%
\]

\end{itemize}

\item
\begin{itemize}
\item On a vu que:%
\begin{align*}
x  & \in]-\infty;2]\cup\lbrack3;+\infty\lbrack\quad\Longrightarrow
\quad(6-2x)(3x-6)\ldots\ldots0\\
& et\\
x  & \in[2;3]\quad\Longrightarrow\quad(6-2x)(3x-6)\ldots\ldots0
\end{align*}


Donc:%

\[%
\begin{tabular}
[c]{l}%
$\text{si }(6-2x)(3x-6)\geq0\text{ alors }x\in\ldots\ldots\ldots\ldots
\ldots\ldots$\\
\multicolumn{1}{c}{et}\\
$\text{si }x\in\lbrack2;3]\text{ alors }(6-2x)(3x-6)\ldots\ldots0$%
\end{tabular}
\]


Ce qui se traduit, en une seule ligne, par:%
\[
\fbox{$(6-2x)(3x-6)\geq0\ldots\ldots\ldots x\in\lbrack2;3].$}%
\]


\item On a vu que: si $(6-2x)(3x-6)>0$ alors $x\in]2;3[$ et donc $x\in
\lbrack2;3].$

D'o\`{u}: $(6-2x)(3x-6)>0\ldots\ldots\ldots x\in\lbrack2;3].$

Mais si $x\in\lbrack2;3]$ il est possible que $(6-2x)(3x-6)=0,.$en prenant
$x=\ldots\ldots$ ou $\ldots\ldots.$

D'o\`{u}: $x\in\lbrack2;3]\quad\nRightarrow\quad(6-2x)(3x-6)>0.$

On ne peut donc pas dire mieux que:%
\[
\fbox{$(6-2x)(3x-6)>0\ldots\ldots\ldots x\in\lbrack2;3].$}%
\]


\item $(6-2x)(3x-6)\geq0\quad\Leftrightarrow\quad x\in\lbrack2;3]\ldots
\ldots\ldots x\in\lbrack2;4]$ mais $x\in\lbrack2;4]\quad\nRightarrow
\quad(6-2x)(3x-6)\geq0.$

On ne peut donc pas dire mieux que:%
\[
\fbox{$(6-2x)(3x-6)\geq0\ldots\ldots\ldots x\in\lbrack2;4].$}%
\]


\item On a vu que:%
\begin{align*}
(6-2x)(3x-6)  & \geq0\ldots\ldots\ldots x\in\lbrack2;3].\\
& et\\
(6-2x)(3x-6)  & =0\quad\Leftrightarrow\quad x=\ldots\ldots\text{ ou }%
\ldots\ldots
\end{align*}


Donc: $x\notin]2;3[\quad\Leftrightarrow\quad(6-2x)(3x-6)\ldots\ldots0.$

Or $x\notin]2;3[\quad\Leftrightarrow\quad x\in\ldots\ldots\ldots\ldots
\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$

Donc:%
\[
\fbox{$(6-2x)(3x-6)\leq0\ldots\ldots\ldots x\in]-\infty;2]\cup\lbrack
3;+\infty\lbrack.$}%
\]


\item On a vu que:%
\[
(6-2x)(3x-6)\leq0\ldots\ldots\ldots x\in]-\infty;2]\cup\lbrack3;+\infty
\lbrack.
\]


et l'on a:%
\begin{align*}
x  & \in]-\infty;2]\cup\lbrack3;+\infty\lbrack\quad\Longrightarrow\quad
x\in]-\infty;1]\cup\lbrack3;+\infty\lbrack\\
& et\\
x  & \in]-\infty;1]\cup\lbrack3;+\infty\lbrack\quad\nRightarrow\quad
x\in]-\infty;2]\cup\lbrack3;+\infty\lbrack
\end{align*}


Donc:%
\[
x\in]-\infty;1]\cup\lbrack3;+\infty\lbrack\quad\nRightarrow\quad
(6-2x)(3x-6)\leq0
\]


et l'on ne peut pas dire mieux que:%
\[
\fbox{$(6-2x)(3x-6)\leq0\ldots\ldots\ldots x\in]-\infty;1]\cup\lbrack
3;+\infty\lbrack.$}%
\]

\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
$\vspace*{-0.35cm}$

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item
\begin{itemize}
\item On a:%
\begin{align*}
4  & <b<5\\
\quad & \Leftrightarrow\quad\ldots\ldots\ldots-b\ldots\ldots\ldots\ldots\\
\quad & \Leftrightarrow\quad\ldots\ldots<-b<\ldots\ldots
\end{align*}


et comme:%
\[
2<a<3
\]


on en d\'{e}duit que:%
\[
\fbox{$\ldots\ldots\ldots<a-b<\ldots\ldots\ldots.$}%
\]


\item On a:%
\begin{align*}
4  & <b<5\\
\quad & \Leftrightarrow\quad\ldots\ldots\ldots\dfrac{1}{b}\ldots\ldots
\ldots\text{ car }b\text{ est }\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\\
\quad & \Leftrightarrow\quad\ldots\ldots<\dfrac{1}{b}<\ldots\ldots
\end{align*}


et comme:%
\[
2<a<3
\]


on en d\'{e}duit que:%
\[
\ldots\ldots\ldots<a\times\dfrac{1}{b}<\ldots\ldots\ldots
\]


c'est \`{a} dire:%
\[
\fbox{$\ldots\ldots\ldots<\dfrac{a}{b}<\ldots\ldots\ldots$}%
\]

\end{itemize}

\item On a:%
\begin{align*}
-5  & <b<-4\\
\quad & \Leftrightarrow\quad\ldots\ldots\ldots-b\ldots\ldots\ldots\\
\quad & \Leftrightarrow\quad\ldots\ldots<-b<\ldots\ldots
\end{align*}


et comme:%
\[
2<a<3
\]


on en d\'{e}duit que:%
\begin{gather*}
\ldots\ldots\ldots<a\times(-b)<\ldots\ldots\ldots\\
\text{car on peut multiplier des encadrements quand}\ldots\ldots\ldots
\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots
\ldots\ldots\ldots
\end{gather*}


D'o\`{u}:%
\[
\fbox{$\ldots\ldots\ldots ab\ldots\ldots\ldots$}%
\]

\end{enumerate}

\item Si $2<x<3$ et $y<-1$ on ne peut pas conclure que $-2>xy>-3$ car:%
\[
\text{en prenant }x=\ldots\ldots\quad et\quad y=\ldots\ldots
\]


on obtient:%
\[
xy=\ldots\ldots\ldots\text{ qui n'est pas compris entre }-2\text{ et }-3.
\]

\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
$a$ est tel que: $0<a<1$ et l'on pose:%
\[
A=(1-a)\quad;\quad B=(1-a)^{2}\quad;\quad C=\dfrac{1}{1+a}.
\]


\begin{enumerate}
\item On a:%
\begin{align*}
0  & <a<1\\
\quad & \Leftrightarrow\quad\ldots\ldots<-a<\ldots\ldots\\
\quad & \Leftrightarrow\quad\ldots\ldots<1-a<\ldots\ldots
\end{align*}


D'o\`{u}, en multipliant l'encadrement par $(1-a)$ qui est un nombre
$\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots:$%
\[
\ldots\ldots\ldots<(1-a)^{2}<\ldots\ldots\ldots
\]


C'est \`{a} dire:%
\[
\fbox{$A\ldots\ldots\ldots B$}%
\]


\item On a:%
\begin{align*}
A-C  & =\left(  1-a\right)  -\dfrac{1}{1+a}\\
& =\dfrac{(1-a)(\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots)}{1+a}-\dfrac{1}{1+a}\\
& =\dfrac{\ldots\ldots^{2}-\ldots\ldots^{2}-1}{1+a}\\
& =\dfrac{\ldots\ldots\ldots}{1+a}%
\end{align*}


Or $\ldots\ldots\ldots<0$ car $a^{2}>0$ et $1+a>0,$ donc $A-C\ldots
\ldots\ldots0.$ c'est \`{a} dire:%
\[
\fbox{$A\ldots\ldots\ldots C$}%
\]


\item \label{compar}On a d\'{e}montr\'{e} que:%
\begin{align*}
& A\ldots\ldots\ldots B\\
& et\\
& A\ldots\ldots\ldots C
\end{align*}


Donc:%
\[
\fbox{%
\begin{tabular}
[b]{c}%
\vspace*{0.1cm}%
\end{tabular}
$\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$%
\begin{tabular}
[b]{c}%
\vspace*{0.1cm}%
\end{tabular}
}%
\]


\item Pour $a=4\times10^{-15}$ la calculatrice donnent les r\'{e}sultats
suivants:%
\begin{align*}
A  & =1-4\times10^{-15}\simeq1\\
B  & =\left(  1-4\times10^{-15}\right)  ^{2}\simeq1\\
C  & =\dfrac{1}{1+4\times10^{-15}}\simeq1
\end{align*}


On ne peut donc pas comparer $A,B$ et $C$ avec la calculatrice. Mais il ne
faut pas croire que $A=B=C$ comme le laisse penser les approximations; on a
d'ailleur d\'{e}montr\'{e} au \ref{compar}) que $A\neq B\neq C$ et $A\neq C$
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
$\vspace*{-0.35cm}$

\begin{enumerate}
\item D'apr\`{e}s le th\'{e}or\`{e}me de pythagore dans le triangle rectangle
$ADC$ on a $AC^{2}=c^{2}+c^{2}=2c^{2}.$

D'o\`{u}:%
\[
\fbox{$AC=\sqrt{2c^{2}}=c\sqrt{2}.$}%
\]


\item
\begin{enumerate}
\item Notons $\mathcal{A}_{\mathcal{C}}$ l'aire du carr\'{e} $ABCD;$ on
a:$\mathcal{A}_{\mathcal{C}}=c^{2}.$

Or $3.9<c<4.1\quad\Longrightarrow\quad3.9^{2}<c^{2}<4.1^{2}$ car $c$ est positif.

Donc:%
\[
\fbox{$3.9^{2}<\mathcal{A}_{\mathcal{C}}<4.1^{2}$}%
\]


\item Notons $\mathcal{A}_{\mathcal{D}}$ l'aire du disque; on a:%
\[
\mathcal{A}_{\mathcal{D}}=\pi\times OC^{2}=\pi\left(  \dfrac{AC}{2}\right)
^{2}=\pi\left(  \dfrac{c\sqrt{2}}{2}\right)  ^{2}=\pi c^{2}\dfrac{2}{4}%
=\dfrac{1}{2}\pi c^{2}%
\]


or:%
\begin{align*}
3.14  & <\pi<3.15\\
& et\\
3.9^{2}  & <c^{2}<4.1^{2}%
\end{align*}


donc:%
\[
3.14\times3.9^{2}<\pi c^{2}<3.15\times4.1^{2}%
\]


d'o\`{u}:%
\[
\fbox{$\dfrac{3.14\times3.9^{2}}{2}<\dfrac{1}{2}\pi c^{2}=\mathcal{A}%
_{\mathcal{D}}<\dfrac{3.15\times4.1^{2}}{2}$}%
\]


\item Notons $\mathcal{A}_{\mathcal{H}}$ l'aire de la surface hachur\'{e}e; on
a $\mathcal{A}_{\mathcal{H}}=\mathcal{A}_{\mathcal{D}}-\mathcal{A}%
_{\mathcal{C}}.$

Or
\begin{align*}
3.9^{2}  & <\mathcal{A}_{\mathcal{C}}<4.1^{2}\\
\quad & \Leftrightarrow\quad-4.1^{2}<-\mathcal{A}_{\mathcal{C}}<-3.9^{2}%
\end{align*}


et comme:%
\[
\dfrac{3.14\times3.9^{2}}{2}<\mathcal{A}_{\mathcal{D}}<\dfrac{3.15\times
4.1^{2}}{2}%
\]


on d\'{e}duit que:%
\[
\dfrac{3.14\times3.9^{2}}{2}-4.1^{2}<\mathcal{A}_{\mathcal{D}}-\mathcal{A}%
_{\mathcal{C}}<\dfrac{3.15\times4.1^{2}}{2}-3.9^{2}%
\]


c'est \`{a} dire:%
\[
\fbox{$7.0697<\mathcal{A}_{\mathcal{H}}<11.26575$}%
\]

\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
$\vspace*{-0.35cm}$

Rappels:

\begin{enumerate}
\item $x$ et $b$ \'{e}tant des nombres r\'{e}els, la distance de $x$ \`{a} $b
$ se note $d(x;b)$ et s'obtient en calculant $\left\vert x-b\right\vert :$%
\[
\text{distance de }x\text{ \`{a} }b=d(x;b)=\left\vert x-b\right\vert
\]


Par exemple:%
\[
d(-5;-3)=\left\vert -5-(-3)\right\vert =\left\vert -5+3\right\vert =\left\vert
-2\right\vert =2.
\]


\item Il faut savoir que ($a$ et $b$ sont des r\'{e}els avec $b\geq0$):%
\begin{align*}
d(x;a)  & \leq b\quad\Leftrightarrow\quad\left\vert x-a\right\vert \leq
b\quad\Leftrightarrow\quad-b\leq x-a\leq b\\
& et\\
d(x;a)  & \geq b\quad\Leftrightarrow\quad\left\vert x-a\right\vert \geq
b\quad\Leftrightarrow\quad\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
x-a\geq b\\
\text{ou}\\
x-a\leq-b
\end{array}
\right.
\end{align*}


Le sch\'{e}ma ci-desous r\'{e}sume ce qu'il faut savoir ($a$ et $b$ sont des
r\'{e}els avec $b\geq0$):

$%
%TCIMACRO{\TeXButton{Sch�ma}{\unitlength1mm \linethickness{0.4pt}
%\ifx\plotpoint\undefined\newsavebox{\plotpoint}\fi\begin{picture}%
%(150,50)(-20,35)
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%(57.35,45)(66.33,46.56)(72.79,56.76)
%\put(38.05,56.76){\vector(0,1){.07}}\qbezier
%(57.35,45)(39.1,47.51)(38.05,56.76)
%\put(76.73,56.76){\vector(0,1){.07}}\qbezier
%(57.35,45)(75.68,47.51)(76.73,56.76)
%\put(33.11,56.76){\vector(0,1){.07}}\qbezier(57.35,45)(34,46.25)(33.11,56.76)
%\put(81.67,56.76){\vector(0,1){.07}}\qbezier
%(57.35,45)(80.78,46.25)(81.67,56.76)
%\put(30.06,58){\vector(-1,-2){.07}}\qbezier(57.35,65)(40.78,78)(30.06,58)
%\put(84.72,58){\vector(1,-2){.07}}\qbezier(57.35,65)(74,78)(84.72,58)
%\put(26.07,58){\vector(-1,-4){.07}}\qbezier(57.35,65)(31.01,85)(26.07,58)
%\put(88.71,58){\vector(1,-4){.07}}\qbezier(57.35,65)(83.77,85)(88.71,58)
%\put(18.18,58){\vector(0,-1){.07}}\qbezier(57.35,65)(21.34,92)(18.18,58)
%\put(96.6,58){\vector(0,-1){.07}}\qbezier(57.35,65)(93.44,92)(96.6,58)
%\put(9.25,58){\vector(-1,-4){.07}}\qbezier(57.35,65)(18.03,95)(9.25,58)
%\put(105.53,58){\vector(1,-4){.07}}\qbezier(57.35,65)(96.76,95)(105.53,58)
%\put(115.73,57.29){\vector(1,0){.07}}
%\put(7.67,57.29){\line(1,0){108.055}}
%\put(9.25,67){\makebox(0,0)[rc]{$x-a\leq-b$}}
%\put(105.53,67){\makebox(0,0)[lc]{$x-a\geq b$}}
%\put(114,60){\makebox(0,0)[cc]{$x$}}
%\put(57.6,40.5){\makebox(0,0)[cc]{$\left\vert x-a\right\vert\leq
%b\Leftrightarrow-b\leq x-a\leq b\Leftrightarrow a-b\leq x\leq a+b$}}
%\put(57.6,75){\makebox(0,0)[cc]{$\left\vert x-a\right\vert\geq b$}}
%\end{picture}}}%
%BeginExpansion
\unitlength1mm \linethickness{0.4pt}
\ifx\plotpoint\undefined\newsavebox{\plotpoint}\fi\begin{picture}%
(150,50)(-20,35)
\put(7.67,57.23){\line(1,0){107}}
\put(57.42,59.73){\line(0,-1){4.5}}
\put(33.4,60.23){\vector(-1,-1){.07}}\qbezier
(56.1,59.81)(44.33,70.53)(33.4,60.23)
\put(81.33,60.23){\vector(1,-1){.07}}\qbezier
(58.62,59.81)(70.4,70.53)(81.33,60.23)
\put(32.35,59.39){\line(0,-1){3.58}}
\put(82.38,59.39){\line(0,-1){3.58}}
\put(57.58,52.7){\makebox(0,0)[cc]{$a=\tfrac{y_{1}+y_{2}}{2}$}}
\put(32.37,53.7){\makebox(0,0)[rc]{$y_1=a-b$}}
\put(82.62,53.7){\makebox(0,0)[lc]{$y_2=a+b$}}
\put(43.83,67.5){\makebox(0,0)[cc]{$-b$}}
\put(70.95,67.5){\makebox(0,0)[cc]{$+b$}}
\put(47.08,56.76){\vector(-1,2){.07}}\qbezier
(57.35,45)(51.61,45.19)(47.03,56.76)
\put(67.8,56.76){\vector(1,2){.07}}\qbezier
(57.35,45)(63.17,45.19)(67.75,56.76)
\put(40.99,56.76){\vector(-1,2){.07}}\qbezier
(57.35,45)(48.46,46.56)(40.99,56.76)
\put(72.79,56.76){\vector(1,2){.07}}\qbezier
(57.35,45)(66.33,46.56)(72.79,56.76)
\put(38.05,56.76){\vector(0,1){.07}}\qbezier
(57.35,45)(39.1,47.51)(38.05,56.76)
\put(76.73,56.76){\vector(0,1){.07}}\qbezier
(57.35,45)(75.68,47.51)(76.73,56.76)
\put(33.11,56.76){\vector(0,1){.07}}\qbezier(57.35,45)(34,46.25)(33.11,56.76)
\put(81.67,56.76){\vector(0,1){.07}}\qbezier
(57.35,45)(80.78,46.25)(81.67,56.76)
\put(30.06,58){\vector(-1,-2){.07}}\qbezier(57.35,65)(40.78,78)(30.06,58)
\put(84.72,58){\vector(1,-2){.07}}\qbezier(57.35,65)(74,78)(84.72,58)
\put(26.07,58){\vector(-1,-4){.07}}\qbezier(57.35,65)(31.01,85)(26.07,58)
\put(88.71,58){\vector(1,-4){.07}}\qbezier(57.35,65)(83.77,85)(88.71,58)
\put(18.18,58){\vector(0,-1){.07}}\qbezier(57.35,65)(21.34,92)(18.18,58)
\put(96.6,58){\vector(0,-1){.07}}\qbezier(57.35,65)(93.44,92)(96.6,58)
\put(9.25,58){\vector(-1,-4){.07}}\qbezier(57.35,65)(18.03,95)(9.25,58)
\put(105.53,58){\vector(1,-4){.07}}\qbezier(57.35,65)(96.76,95)(105.53,58)
\put(115.73,57.29){\vector(1,0){.07}}
\put(7.67,57.29){\line(1,0){108.055}}
\put(9.25,67){\makebox(0,0)[rc]{$x-a\leq-b$}}
\put(105.53,67){\makebox(0,0)[lc]{$x-a\geq b$}}
\put(114,60){\makebox(0,0)[cc]{$x$}}
\put(57.6,40.5){\makebox(0,0)[cc]{$\left\vert x-a\right\vert\leq
b\Leftrightarrow-b\leq x-a\leq b\Leftrightarrow a-b\leq x\leq a+b$}}
\put(57.6,75){\makebox(0,0)[cc]{$\left\vert x-a\right\vert\geq b$}}
\end{picture}%
%EndExpansion
$
\end{enumerate}

\begin{itemize}
\item Le nombre qui se trouve \`{a} \'{e}gale distance de $-3$ et de $6$ est:
$a=\dfrac{\ldots\ldots+\ldots\ldots}{2}=\dfrac{\ldots\ldots}{2}.$

La distance entre $a$ et $6$ est: $\left\vert \ldots\ldots-\ldots
\ldots\right\vert =\dfrac{\ldots\ldots}{2}.$

La distance entre $a$ et $-3$ est: $\left\vert \ldots\ldots-\ldots
\ldots\right\vert =\dfrac{\ldots\ldots}{2}.$%

\[
\text{Si }x\in\lbrack-3;6]\text{ alors la distancede }x\text{ \`{a} }a\text{
est inf\'{e}rieure \`{a} }\dfrac{\ldots\ldots\ldots}{2}%
\]


et r\'{e}ciproquement:%
\[
\text{si la distance de }x\text{ \`{a} }a\text{ est inf\'{e}rieure \`{a}
}\dfrac{\ldots\ldots\ldots}{2}\text{ alors }x\in\lbrack-3;6]
\]


on \'{e}crit cela:%
\[
\fbox{$x\in\lbrack-3;6]\quad\Leftrightarrow\quad d(x;\ldots\ldots)\leq
\ldots\ldots\quad\Leftrightarrow\quad\left\vert x-\ldots\ldots\right\vert
\leq\ldots\ldots.$}%
\]


\item Dire que $d(x;\tfrac{3}{2})\leq\tfrac{7}{2}$ signifie que $x$ peut se
trouver \`{a} une distance inf\'{e}rieure \`{a} $\tfrac{7}{2}$ \`{a} droite de
$\tfrac{3}{2}$ ou \`{a} une distance inf\'{e}rieure \`{a} $\tfrac{7}{2}$ \`{a}
gauche de $\tfrac{3}{2}.$

c'est \`{a} dire:%
\[
\dfrac{3}{2}\ldots\ldots\ldots\leq x\leq\dfrac{3}{2}\ldots\ldots\ldots
\]


ce qui \'{e}quvaut \`{a}:%
\[
\ldots\ldots\ldots\leq x\leq\ldots\ldots\ldots
\]


d'o\`{u}:%
\[
\fbox{$d\left(  x;\dfrac{3}{2}\right)  \leq\dfrac{7}{2}\quad\Leftrightarrow
\quad\left\vert \ldots\ldots\ldots\right\vert \leq\dfrac{7}{2}\quad
\Leftrightarrow\quad\ldots\ldots\leq x\leq\ldots\ldots\quad\Leftrightarrow
\quad x\in\left[  \ldots\ldots;\ldots\ldots\right]  $}%
\]


\item Pour la derni\`{e}re ligne du tableau:%
\begin{align*}
\left\vert x+\dfrac{5}{2}\right\vert  & \leq\dfrac{3}{2}\\
\quad & \Leftrightarrow\quad d\left(  x;\dfrac{\ldots\ldots}{2}\right)
\leq\dfrac{\ldots\ldots}{2}\\
\quad & \Leftrightarrow\quad\dfrac{\ldots%
\begin{tabular}
[c]{l}%
$\ldots$%
\end{tabular}
\ldots}{2}\ldots\ldots\ldots\leq x\leq\dfrac{\ldots\ldots\ldots}{2}%
\ldots\ldots\ldots\\
\quad & \Leftrightarrow\quad\ldots\ldots\ldots\leq x\leq\ldots\ldots
\ldots\quad\Leftrightarrow\quad x\in\lbrack\ldots\ldots;\ldots\ldots]
\end{align*}

\end{itemize}
\end{exercise}


\end{document}