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[Démonstration]
{\noindent\textbf{#1:} }
{\ \fbox{cqfd.}
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\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 1316589026829--
%%--Etude simultanée de 2 suites différent par la condition initiale--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{exercise}
On consid\`{e}re les suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ d\'{e}finies pour tout
entier naturel $n$ par:%

\[
\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
u_{0}=0\\
u_{n+1}=\dfrac{3u_{n}+1}{4}%
\end{array}
\right.  \quad et\quad\left\{
\begin{array}
[c]{c}%
v_{0}=2\\
v_{n+1}=\dfrac{3v_{n}+1}{4}%
\end{array}
\right.
\]


\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{1},u_{2},u_{3}$ d'une part et $v_{1},v_{2},v_{3}$ d'autre part.

\item Dans un rep\`{e}re orthonormal $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow
{j})$ (unit\'{e} graphique: 5 cm), tracer les doites $(\mathcal{D})$ et
$\left(  \Delta\right)  $ d'\'{e}quations respectives $y=\dfrac{3x+1}{4}$ \ et
$\ y=x.$

Utiliser $\left(  \mathcal{D}\right)  $ et $\left(  \Delta\right)  $ pour
construire sur l'axe des abscisses les points $A_{1,}A_{2,}A_{3}$ d'abscisses
respectives $u_{1},u_{2},u_{3}$ ainsi que les points $B_{1,}B_{2,}B_{3}$
d'abscisses respectives $v_{1},v_{2},v_{3}.$

\item On consid\`{e}re la suite $(s_{n})$ d\'{e}finie pour tout entier naturel
$n$ par $s_{n}=u_{n}+v_{n}.$

\begin{enumerate}
\item Calculer $s_{0},s_{1}s_{2}$ et $s_{3}.$

Que peut-on conjecturer pour la suite $(s_{n})?$

\item A l'aide d'un raisonnement par r\'{e}currence, montrer que la suite
$(s_{n})$ est une suite constante.\label{3b}
\end{enumerate}

\item On consid\`{e}re la suite $(d_{n})$ d\'{e}finie pour tout entier naturel
$n$ par $d_{n}=v_{n}-u_{n}.$

\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $(d_{n})$ est une suite g\'{e}om\'{e}trique.

\item Donner l'expression de $(d_{n})$ en fonction de $n.\label{4b}$
\end{enumerate}

\item En utilisant les r\'{e}sultats des questions \ref{3b}. et \ref{4b}.,
donner l'expression de $u_{n}$ et $v_{n}$ en fonction de $n.$

\item Montrer que les suites $(u_{n})$ et $(v_{n})$ convergent et pr\'{e}ciser
leurs limites.
\end{enumerate}
\end{exercise}


\end{document}