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%\renewcommand{\labelenumiv}{\textbf{\theenumiv.}}

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\newenvironment{proof}[1]
[Démonstration]
{\noindent\textbf{#1:} }
{\ \fbox{cqfd.}
}
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\newenvironment{qcm}
{   \renewcommand{\labelitemi}{{\setlength{\fboxrule}{.05em}\setlength{\fboxsep}{0pt}\fbox{\rule[-0.3em]{0pt}{1em}\hspace{1em}}}}
\begin{itemize}
}{\end{itemize}}
\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 13165745810179--
%%--Corrigé du document N° 11867722810674--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{claim}
$\vspace*{-0.35cm}$

D\'{e}montrons par r\'{e}currence sur $n\in{%
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
}^{\star}$ la proposition $P_{n}:$ "$2^{3n}-1$ est divisible par
$7$".\marginpar{%
%TCIMACRO{\TeXButton{Barème}{\hspace{1cm}\fbox{\scriptsize{3 pts}}}}%
%BeginExpansion
\hspace{1cm}\fbox{\scriptsize{3 pts}}%
%EndExpansion
}

\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation:}

Pour $n=1$ on a $2^{3n}-1=8-1=7$ qui est divisible par $7.$

Donc $P_{1}$ est vraie.

\item \textbf{H\'{e}r\'{e}dit\'{e}:}

Supposons que $P_{n}$ soit vraie \textbf{pour un certain} $n\in{%
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
}^{\star}:$ $2^{3n}-1$ est divisible par $7$%
\begin{equation}
\text{ie il existe un entier }m\text{ tel que }2^{3n}-1=7m.\label{div7}%
\end{equation}


D\'{e}montrons alors que $P_{n}$ est vraie au rang suivant ie que $P_{n+1}$
est vraie:

on a:%
\begin{align*}
2^{3(n+1)}-1  & =2^{3n+3}-1\\
& =2^{3n}\times2^{3}-1\\
& =2^{3}\left(  2^{3n}-1\right)  +2^{3}-1\\
& =2^{3}\left(  2^{3n}-1\right)  +7\overset{\text{d}^{\prime}\text{apr\`{e}s
\ref{div7}}}{=}2^{3}\times7m+7\\
& =7\left(  2^{3}m+1\right)  \text{ qui est divisible par }7.
\end{align*}


Donc la propri\'{e}t\'{e} $P_{n+1}:$ "$2^{3(n+1)}-1$ est divisible par $7$"
est vraie.

\item \textbf{Conclusion:}

On a d\'{e}montr\'{e} que $P_{1}$ est vraie et que si $P_{n}$ est vraie alors
$P_{n+1}$ est aussi vraie. Donc:%
\[
\fbox{$\forall n\in{%
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
}^{\star},P_{n}$ est vraie, ie: $\forall n\in{%
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
}^{\star},2^{3n}-1$ est divisible par $7.$}%
\]

\end{itemize}
\end{claim}

\begin{claim}
$\vspace*{-0.35cm}$

\begin{enumerate}
\item $\sum\nolimits_{1}=1^{2}=1\quad;\quad\sum\nolimits_{2}=1^{2}+2^{2}%
=\sum\nolimits_{1}+4=5\quad;\quad\sum\nolimits_{3}=1^{2}+2^{2}+3^{2}%
=\sum\nolimits_{2}+9=14\quad;$\marginpar{%
%TCIMACRO{\TeXButton{Barème}{\hspace{1cm}\fbox{\scriptsize{1 pt}}}}%
%BeginExpansion
\hspace{1cm}\fbox{\scriptsize{1 pt}}%
%EndExpansion
}

$\sum\nolimits_{4}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}=\sum\nolimits_{3}+16=30.$

\item
\begin{enumerate}
\item $\sum\nolimits_{n+1}=1^{2}+2^{2}+\cdots+n^{2}+\left(  n+1\right)
^{2}=\left(  1^{2}+2^{2}+\cdots+n^{2}\right)  +\left(  n+1\right)  ^{2}%
=\sum\nolimits_{n}+(n+1)^{2}.$\marginpar{%
%TCIMACRO{\TeXButton{Barème}{\hspace{1cm}\fbox{\scriptsize{1 pt}}}}%
%BeginExpansion
\hspace{1cm}\fbox{\scriptsize{1 pt}}%
%EndExpansion
}%
\[
\fbox{$\sum\nolimits_{n+1}=\sum\nolimits_{n}+(n+1)^{2}$.}%
\]


\item D\'{e}montrons\marginpar{%
%TCIMACRO{\TeXButton{Barème}{\hspace{1cm}\fbox{\scriptsize{3 pts}}}}%
%BeginExpansion
\hspace{1cm}\fbox{\scriptsize{3 pts}}%
%EndExpansion
} par r\'{e}currence que: $\forall n\in{%
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
}^{\star}$ la proposition $P_{n}:$"$\sum\nolimits_{n}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}%
$" est vraie.

Pour cela posons $u_{n}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ o\`{u} $n\in{%
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
}^{\star}.$

\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation:}

On a $u_{1}=\dfrac{1\times2\times3}{6}=1=\sum\nolimits_{1}.$ Donc $P_{1}$ est vraie.

\item \textbf{H\'{e}r\'{e}dit\'{e}:}

Supposons que $P_{n}$ soit vraie \textbf{pour un certain} $n\in{%
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
}^{\star},$ ie $\sum\nolimits_{n}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ \`{a} un certain
rang $n$ et d\'{e}montrons que $P_{n+1}$ est vraie, ie: $\sum\nolimits_{n+1}%
=\dfrac{\left(  n+1\right)  \left(  n+2\right)  (2(n+1)+1)}{6}:$%

\begin{align*}
\sum\nolimits_{n+1}  & =\sum\nolimits_{n}+(n+1)^{2}\text{ d'apr\`{e}s le
2)a)}\\
& =\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\left(  n+1\right)  ^{2}\text{ d'apr\`{e}s
l'hypoth\`{e}se de r\'{e}currence}\\
& =\dfrac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^{2}}{6}\\
& =\dfrac{1}{3}n^{3}+\dfrac{3}{2}n^{2}+\dfrac{13}{6}n+1\text{ apr\`{e}s
d\'{e}veloppement}%
\end{align*}


D'un autre c\^{o}t\'{e}:%
\[
\dfrac{\left(  n+1\right)  \left(  n+2\right)  (2(n+1)+1)}{6}=\dfrac{1}%
{3}n^{3}+\dfrac{3}{2}n^{2}+\dfrac{13}{6}n+1\text{ apr\`{e}s d\'{e}veloppement}%
\]


On a donc bien $\sum\nolimits_{n+1}=\dfrac{\left(  n+1\right)  \left(
n+2\right)  (2(n+1)+1)}{6},$ ie $P_{n+1}$ est vraie.

\item \textbf{Conclusion:}%

\[%
\begin{tabular}
[c]{|p{14cm}|}\hline
On a d\'{e}montr\'{e} que $P_{1}$ est vraie et que si $P_{n}$ est vraie pour
un certain $n\in{%
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
}^{\star}$ alors $P_{n+1}$ est aussi vraie; $P_{n}$ est donc vraie pour tout
$n\in{%
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
}^{\star}.$\\\hline
\end{tabular}
\]

\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{claim}


\end{document}