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\newtheorem{summary}[Csum]{En résumé}
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\newenvironment{proof}[1]
[Démonstration]
{\noindent\textbf{#1:} }
{\ \fbox{cqfd.}
}
\renewcommand{\theenumi}{\arabic{enumi}}
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\renewcommand{\theenumiii}{\roman{enumiii}}
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\newenvironment{qcm}
{   \renewcommand{\labelitemi}{{\setlength{\fboxrule}{.05em}\setlength{\fboxsep}{0pt}\fbox{\rule[-0.3em]{0pt}{1em}\hspace{1em}}}}
\begin{itemize}
}{\end{itemize}}
\begin{document}
%
%TCIMACRO{\TeXButton{styleDV}{\Titre{Chapitre I: les nombres}
%\Classe{Seconde}
%\Date{Feuille d'exercices}
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%\maketitle\begin{center}
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%{ Toutes les réponces devront être justifiées par des calculs ou des raisonnements}%
%}}
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%BeginExpansion
\Titre{Chapitre I: les nombres}
\Classe{Seconde}
\Date{Feuille d'exercices}
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{ Toutes les réponces devront être justifiées par des calculs ou des raisonnements}%
}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{fancy}%
%EndExpansion
\label{ForcePass2}

\begin{exercise}
$\vspace*{-0.35cm}$

\begin{enumerate}
\item Parmis les nombres suivants, lesquels sont premiers?: 725; 157; 201.

\item
\begin{enumerate}
\item Soit $p$ un nombre impair, $p>1$; démontrer que $p^{2}$ est impair.

\item
\begin{enumerate}
\item Soit $Q\in%
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
^{\star}$ dont la décomposition maximale en produit de facteurs premiers est:%
\[
Q=2^{a}\times3^{b}\times5^{c}\times7^{d}.\quad\text{avec }a,b,c\text{ et
}d\text{ dans }{%
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
}%
\]


Donner une condition, nécessaire et suffisante, sur $a,$ $b,$ $c$ et $d$ pour
que $\sqrt{Q}$ soit un entier.

\item Soit $q$ un nombre tel que $q^{2}$ est pair; démontrer que $q$ est pair.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
Soit $A=2^{3}\times5^{2}\times7.$

\begin{enumerate}
\item Donner tous les diviseurs de $A.$

\item Trouver le plus petit entier $k\neq0$ tel que: $\sqrt{k\times A}\in%
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
.$

\item Trouver le plus petit entier naturel $q$ tel que $q\times A$ soit le
cube d'un entier.
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
$\vspace*{-0.35cm}$

\begin{enumerate}
\item Démontrer que $407407$ est divisible par $1001,$ puis que $407$ n'est
pas premier.

\item Décomposer en produit de facteurs premiers les nombres $407407$ et
$494949.$

\item Écrire sous forme irréductible la fraction $\dfrac{407407}{494949}.$
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
[Se méfier des cas particuliers]$\vspace*{-0.35cm}$

\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau suivant:%
\[%
\begin{tabular}
[c]{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
$n$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$\\\hline
\multicolumn{1}{|l|}{$n^{2}-n+41$} & \multicolumn{1}{|l|}{$41$} &
\multicolumn{1}{|l|}{$\hspace{1cm}$} & \multicolumn{1}{|l|}{$\hspace{1cm}$} &
\multicolumn{1}{|l|}{$\hspace{1cm}$} & \multicolumn{1}{|l|}{$\hspace{1cm}$} &
\multicolumn{1}{|l|}{$\hspace{1cm}$} & \multicolumn{1}{|l|}{$\hspace{1cm}$%
}\\\hline
\end{tabular}
.
\]


\item
\begin{enumerate}
\item Quelle remarque peut-on faire concernant les nombres de la seconde ligne
du tableau?

\item Que peut-on conjecturer?\label{conjPrem}
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Que vaut $n^{2}-n+41$ pour $n=41$?

\item Que penser de la conjecture faite au \ref{conjPrem})?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
[Se méfier des calculatrices]$\quad\vspace*{-0.35cm}$

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item On considère le nombre $d=3/8.$ Compléter l'enchainement de calculs (à
la calculatrice) suivant l'algorithme:

\begin{itemize}
\item On part de $d$ (étape 0);

\item le résultat de l'étape $n$ est le résultat de l'étape $n-1$, divisé par
$4$ et auquel on ajoute $9/32$.
\end{itemize}

%

\[%
\begin{tabular}
[c]{c|c|c|}\cline{2-3}
& \textbf{Séquence de touches} & \textbf{Affichage}\\\hline
\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Départ}} & \frame{$3$} \frame{$\div$} \frame{$8$}
& 0.375\\\hline
\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{1}$^{\mathbf{re}}$\textbf{étape}} & $\hspace
{5cm}$ & $\hspace{2cm}$\\\hline
\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{2}$^{\mathbf{e}}$\textbf{étape}} & $\hspace{5cm}$
& $\hspace{2cm}$\\\hline
\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{3}$^{\mathbf{e}}$\textbf{étape}} & $\hspace{5cm}$
& $\hspace{2cm}$\\\hline
\end{tabular}
\]


\item Conjecturer le résultat pour les étapes suivantes et démontrer que la
conjecture est vraie.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item On considère le nombre $r=26/111.$ Compléter de même l'enchainement de
calculs avec le procédé:\guilsinglleft \ \guilsinglleft à chaque étape, le
résultat précédent est multiplié par $1000$ puis on enlève $234$\guilsinglright \ \guilsinglright .%

\[%
\begin{tabular}
[c]{c|c|c|}\cline{2-3}
& \textbf{Séquence de touches} & \textbf{Affichage}\\\hline
\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Départ}} & \frame{$2$} \frame{$6$} \frame{$\div$}
\frame{$1$} \frame{$1$} \frame{$1$} & $0.234234234$\\\hline
\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{1}$^{\mathbf{re}}$ \textbf{étape}} &
$\hspace{5cm}$ & $\hspace{4cm}$\\\hline
\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{2}$^{\mathbf{e}}$ \textbf{étape}} & $\hspace
{5cm}$ & $\hspace{4cm}$\\\hline
\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{3}$^{\mathbf{e}}$ \textbf{étape}} & $\hspace
{4cm}$ & $\hspace{4cm}$\\\hline
\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{4}$^{\mathbf{e}}$ \textbf{étape}} & $\hspace
{4cm}$ & $\hspace{4cm}$\\\hline
\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{5}$^{\mathbf{e}}$ \textbf{étape}} & $\hspace
{4cm}$ & $\hspace{4cm}$\\\hline
\end{tabular}
\]


\item Calculer sous forme fractionnaire $1000r-234.$

\item Les résultats de la calculatrice sont-ils correctes? Expliquer.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
Ecrire plus simplement:%

%TCIMACRO{\TeXButton{BeginMulticols}{\begin{multicols}{3} }}%
%BeginExpansion
\begin{multicols}{3}
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item $-2^{6}+(-2)^{6}.$

\item $-2^{6}(-2^{3})^{2}.$

\item $-2^{6}+(-2^{2})^{3}.$

\item $\dfrac{\left(  -2^{2}\right)  ^{3}}{\left(  2^{3}\right)  ^{5}}.$

\item $\dfrac{8^{-3}}{6^{-4}}.$

\item $\dfrac{\left(  -35\right)  ^{5}\times75^{5}}{\left(  -15\right)
^{4}\times14^{6}}.$

\item $\dfrac{1}{1/3-1/2}.$

\item $\dfrac{182}{66}-\dfrac{119}{55}\times\dfrac{65}{51}.$

\item $\sqrt{27}-\sqrt{12}.$

\item $\dfrac{2}{\sqrt{2}}.$

\item $\dfrac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}.$

\item $\dfrac{1}{\sqrt{3}-1}-\dfrac{1}{\sqrt{3}+1}.$

\item $\sqrt{9^{100}}.$
\end{enumerate}

%

%TCIMACRO{\TeXButton{EndMulticols}{\end{multicols}}}%
%BeginExpansion
\end{multicols}%
%EndExpansion

\end{exercise}

\begin{exercise}
Ecrire, si c'est possible, chacun des nombres suivants sous la forme
$\dfrac{n}{10^{p}}$ avec: $n\in%
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
$ et $p\in%
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
.$%

%TCIMACRO{\TeXButton{BeginMulticols}{\begin{multicols}{3} }}%
%BeginExpansion
\begin{multicols}{3}
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item $50$.

\item $0,125.$

\item $1/3.$

\item $\sqrt{2}.$

\item $\dfrac{1}{20}.$

\item $\dfrac{3}{2\times5^{2}}.$

\item $\dfrac{9}{6^{2}\times5}.$

\item $\dfrac{10}{2^{4}\times5^{3}}.$

\item $\dfrac{\left(  -7\right)  ^{4}}{14^{3}\times\left(  -5\right)  ^{5}}.$
\end{enumerate}

%

%TCIMACRO{\TeXButton{EndMulticols}{\end{multicols}}}%
%BeginExpansion
\end{multicols}%
%EndExpansion

\end{exercise}

\begin{exercise}
On cherche tous les entiers naturels $n$ tels que $1/n$ admette un
développement décimal périodique dont la longueur de la période est $3,$ c'est
à dire tel que $1/n=0,abc\ abc$ $\underline{abc}\ \ldots$ où $a,$ $b$ et $\ c$
sont 3 chiffres.

\begin{enumerate}
\item Écrire le développement décimal de $10^{3}\times\dfrac{1}{n}.$

\item En calculant $10^{3}\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n}$ de deux façons$,$
démontrer que $n$ est un diviseur de $999.\label{propNdiv999}$

\item
\begin{enumerate}
\item Décomposer $999$ en produit de facteurs premiers.

\item En déduire tous les diviseurs de $999.\label{divde999}$
\end{enumerate}

\item Déduire du \ref{propNdiv999}) et du \ref{divde999}) toutes les valeurs
possibles de $n$ en déterminant dans chaque cas $a,$ $b$ et $c.$\newpage
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
$\vspace*{-0.35cm}$

\begin{enumerate}
\item On pose $A=\dfrac{8-3\sqrt{3}}{1+\sqrt{7}}.$

\begin{enumerate}
\item Donner la troncature et l'arrondi de $A$ au centième.

\item Encadrer $A$ entre deux décimaux $a$ et $b$ tels que l'amplitude de
l'intervalle $\left[  a;b\right]  $ soit $10^{-3}.$
\end{enumerate}

\item Soit $ABCD$ un rectangle. Déterminer un encadrement de l'aire de $ABCD$
dans les deux cas suivants:

\begin{enumerate}
\item $1,2$ est la troncature de $AD$ au dixième et $2,1$ celle de $AB$ au dixième.

\item $1,2$ est l'arrondi de $AD$ au dixième et $2,1$ celle de $AB$ au dixième.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
Un point $M,$ inaccessible depuis $A,$ est visible des points $A$ et $B$
distant de $100m.$ Pour calculer $AM$, on mesure les angles $\widehat{MAB}=70%
%TCIMACRO{\U{b0}}%
%BeginExpansion
{{}^\circ}%
%EndExpansion
$ et $\widehat{ABH}=60%
%TCIMACRO{\U{b0}}%
%BeginExpansion
{{}^\circ}%
%EndExpansion
$ (donc $\widehat{AMB}=50%
%TCIMACRO{\U{b0}}%
%BeginExpansion
{{}^\circ}%
%EndExpansion
$).

Voici la solution d'un élève:%
\[%
\begin{tabular}
[c]{l}%
Notons $H$ le pieds de la hauteur issue de $A.$\\
\textit{Je cherche AH de deux manières:}\\
$\quad$\textit{AH=ABsin60}$\quad$\textit{et}$\quad$\textit{AH=AMsin50.}\\
\textit{doncAH}$\simeq$\textit{86,60}$\quad$\textit{et}$\quad$\textit{AH}%
$\simeq$\textit{0,77AM}\\
\textit{d'où AM}$\simeq\dfrac{\text{86,60}}{\text{0,77}}\simeq$%
\textit{112,47m}%
\end{tabular}
\]


\begin{enumerate}
\item En vous aidant des deux expressions de $AH$ dans la solution ci-dessus,
démontrer que la valeur exacte de $AM$ est $\dfrac{50\sqrt{3}}{\sin50}.$

\item Quel est l'arrondi de $AM$ au centième? Comparer avec le résultat de l'élève.
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
Un microbe mesure environ 3 microns de diamètre, c'est à dire 3 millionnièmes
de mètres. S'il est placé dans de bonnes conditions de vie, il se partage en
deux toutes les minutes et reprend immédiatement sa taille de 3 microns.

\begin{enumerate}
\item Au bout de 10 minutes, combien y aura-t-il de microbes? Si on les
mettait bout à bout, combien mesurait le fil obtenu? (on prendra $2^{10}%
\simeq10^{3}$).

\item Même question au bout de 20 minutes, de 30 minutes, d'une heure.

\item La distance terre-lune est de $380000$ kilomètres environ. Au bout de
combien de temps, à la minute près, la longueur du ruban atteindra-t-elle
cette distance?
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
Rappel: la vitesse de la lumière dans le vide est d'environ 299\thinspace
792\thinspace458 $m/s$.

\begin{enumerate}
\item Une année-lumière est \textbf{la distance }parcourue par la lumière en
une année de $365$ jours. Exprimer, en notation scientifique, cette distance
en $km.$

\item La plus lointaine galaxie connue porte le nom de 4C41.17. Elle est
située à $12$ millards d'année-lumière de la terre. Exprimer, en notation
scientifique cette distance en $km.$
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
Donner l'ordre de grandeur des intensités, exprimés en ampère, des courants
circulant dans:

\begin{itemize}
\item une plaque de cuisson: $a\simeq11A;$

\item une diode électroluminescente: $b\simeq0,02A;$

\item un démareur de voiture: $c\simeq120A;$

\item un moteur de jouet: $d\simeq1,5\times10^{-1}A;$

\item un moteur de TGV: $e\simeq1500A;$

\item un circuit intégré: $f\simeq2\times10^{-6}A;$

\item une cuve pour la fabrication de l'aluminium: $g\simeq180000A;$

\item un filament d'un feu stop de voiture: $h\simeq1,75A;$

\item un éclaire durant un orage: $i\simeq20000A.$
\end{itemize}
\end{exercise}

\begin{exercise}
Donner l'ordre de grandeur des vitesses suivantes:

\begin{itemize}
\item le son dans l'air: $a\simeq330m.s^{-1};$

\item la lumière dans le vide: $b\simeq299792458m.s^{-1};$

\item la limite sur autoroute: $c\simeq36m.s^{-1};$

\item un piéton: $d\simeq1,2m.s^{-1};$

\item un avion de chasse: $e\simeq720m.s^{-1};$

\item un escargot: $f\simeq0,0014m.s^{-1};$

\item la terre autour du soleil: $g\simeq29000m.s^{-1}.$
\end{itemize}
\end{exercise}


\end{document}