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%\renewcommand{\labelenumiv}{\textbf{\theenumiv.}}

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\newtheorem{claim}[Ccla]{Proposition}
}
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}
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\newtheorem{exercise}[Cexe]{Exercice}
}
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}
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{\Roman{Cprob}.}
{   \theorembodyfont{\upshape}
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\newtheorem{problem}[Cprob]{Problème}
}
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\newtheorem{proposition}[Cprop]{Propriété}
}
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\newtheorem{remark}[Crem]{Remarque}
}
\newcounter{Csol}[section]
{   \theorembodyfont{\upshape}
\theoremstyle{break}
\newtheorem{solution}[Csol]{Solution}
}
\newcounter{Csum}[section]
{   \theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{summary}[Csum]{En résumé}
}
\newenvironment{proof}[1]
[Démonstration]
{\noindent\textbf{#1:} }
{\ \fbox{cqfd.}
}
\renewcommand{\theenumi}{\arabic{enumi}}
\renewcommand{\theenumii}{\alph{enumii}}
\renewcommand{\theenumiii}{\roman{enumiii}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi)}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii)}}
\renewcommand{\labelenumiii}{\textbf{\theenumiii.}}
\newcommand{\LeTitre}{}
\newcommand{\Titre}[1]{\title{#1} \renewcommand
{\LeTitre}{#1}}
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{\Classe}[1]{\renewcommand{\LaClasse} {#1}}
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\newcommand{\cro}{
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\end{picture}
}
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\renewcommand{\vec}[1]{\ensuremath{\overrightarrow{#1\;}}}
\newcommand{\vecteur}[1]{\ensuremath{\overrightarrow{#1\;}}}
\newcommand{\vi}{\vecteur{\imath}}
\newcommand{\vj}{\vecteur{\jmath}}
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\newcommand{\oij}{\ensuremath{(O;\vecteur{\imath},\vecteur{\jmath})}}
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\newcommand{\coche}{\rule[-0.3em]{1.1em}{1.1em}}
\DeclareMathOperator{\e}{e}

%%%%%%%%%%% Fin de mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 13164858058028--
%%--Etude de fonctions et limites--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{exercise}
 \begin{enumerate}
 \item
   \begin{enumerate}
     \item
     Donner, sans explication, l'expression d'une fonction $f$ dont la
     courbe repr\'{e}sentative admet \`{a} la fois:

     \begin{itemize}
     \item La droite d'\'{e}quation $x=1$ comme asymptote verticale;
       
     \item La droite d'\'{e}quation $y=2x-1$ comme asymptote oblique
       en $+\infty$ et en $-\infty.$
     \end{itemize}

   \item D\'{e}montrer que la fonction trouv\'{e}e au a) v\'{e}rifie les
     propri\'{e}t\'{e}s demand\'{e}es.
   \end{enumerate}

 \item
   \begin{enumerate}
   \item Donner, sans explication, l'expression d'une fonction $f$ telle
     que l'on ait, \`{a} la fois:

     \begin{itemize}
     \item La droite d'\'{e}quation $x=1$ est asymptote verticale \`{a}
       $\mathcal{C}_{f}$;
  
     \item La droite d'\'{e}quation $x=-1$ est asymptote verticale \`{a}
       $\mathcal{C}_{f}$;
  
     \item La droite d'\'{e}quation $y=1$ est asymptote horizontale \`{a}
       $\mathcal{C}_{f}$ en $+\infty$ et en $-\infty;$
  
     \item $\mathcal{C}_{f}$ coupe l'axe des abscisses aux points
       d'abscisse $-2$ et $2.$
     \end{itemize}

   \item D\'{e}montrer que la fonction trouv\'{e}e au a) v\'{e}rifie les
     propri\'{e}t\'{e}s demand\'{e}es.
   \end{enumerate}
 \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
D\'{e}terminer les limites en $a$ (\'{e}ventuellement $a^{+}$ et $a^{-}$) des
fonctions suivantes:%

%TCIMACRO{\TeXButton{BeginMulticols}{\begin{multicols}{2}}}%
%BeginExpansion
\begin{multicols}{2}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item $f(x)=1/x+x\quad;\quad a=+\infty;$

\item $f(x)=-x^{2}+x+2\quad;\quad a=+\infty;$

\item $f(x)=\dfrac{-2x^{3}+3x^{2}-7}{4x^{3}+2x}\quad;\quad a=-\infty;$

\item $f(x)=1/\cos x\quad;\quad a=\pi/2;$

\item $f(x)=1/\cos x\quad;\quad a=-\pi/2;$

\item $f(x)=\dfrac{x+1}{1-x}\quad;\quad a=1;$

\item $f(x)=\dfrac{\sin2x}{x}\quad;\quad a=0.$

On pourra effectuer le changement de variable $X=2x.$
\end{enumerate}

%

%TCIMACRO{\TeXButton{EndMulticols}{\end{multicols}}}%
%BeginExpansion
\end{multicols}%
%EndExpansion

\end{exercise}

\begin{exercise}
On consid\`{e}re la fonction $f$ d\'{e}finie sur $%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
\backslash\{-2\}$ par:%
\[
f(x)=\dfrac{x^{2}+3x+3}{x+2}.
\]


On note $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe repr\'{e}sentative dans un rep\`{e}re
orthonormal $\left(  O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)  .$

\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de d\'{e}finition;

\item
\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer les r\'{e}els $a,b$ et $c$ tels que, $\forall x\in%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
\backslash\{-2\},\quad f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x+2};$

\item En d\'{e}duire que $\mathcal{C}_{f}$ admet une asymptote oblique $(d)$
dont on pr\'{e}cisera une \'{e}quation;

\item D\'{e}teminer la position de $\mathcal{C}_{f}$ par rapport $(d).$
\end{enumerate}

\item Dresser le tableau de variation de $f;$

\item D\'{e}terminer l'\'{e}quation de la tangente \`{a} $\mathcal{C}_{f}$ au
point d'abscisse $1;$

\item Montrer que $S(-2;-1)$ est centre de sym\'{e}trie de $\mathcal{C}_{f}.$
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
On consid\`{e}re la fonction $f$ d\'{e}finie sur $\mathcal{D}_{f}=%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
\backslash\{-1;1\}$ par:%
\[
f(x)=\dfrac{2x^{3}+3}{x^{2}-1}.
\]


\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item \'{E}tudier le sens de variation de la fonction $g:x\mapsto x^{3}-3x-3$
sur $%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
;$

\item En d\'{e}duire qu'il existe un unique r\'{e}el $\alpha$ tel que
$g(\alpha)=0.$

Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0.01;$

\item Pr\'{e}ciser le signe de $g(x)$ sur $%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
.$
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que: $\forall x\in\mathcal{D}_{f},$ $f^{\prime}(x)=g(x)\times
h(x),$ o\`{u} $h$ est une fonction \`{a} pr\'{e}ciser;

\item D\'{e}duire de la question 1) le sens de variation de $f.$
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item \'{E}tudier les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de
d\'{e}finition, puis compl\'{e}ter le tableau de variation de $f;$

\item Montrer qu'il existe trois r\'{e}els $a,$ $b$ et $c$ tels que, pour tout
$x\in\mathcal{D}_{f}:$%
\[
f(x)=ax+\dfrac{bx+c}{x^{2}-1};
\]


\item En d\'{e}duire que $\mathcal{C}_{f}$\ admet en $\pm\infty$ une asymptote
oblique $(\Delta)$ dont on pr\'{e}cisera une \'{e}quation. \'{E}tudier les
positions relatives de $\mathcal{C}_{f}$ et $(\Delta).$
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f(\alpha)=3\alpha$ (l'utilisation de la valeur
approch\'{e}e de $\alpha$ ne permet pas de le prouver);

\item Dans un rep\`{e}re orthonormal (unit\'{e}: $1%
%TCIMACRO{\unit{cm}}%
%BeginExpansion
\operatorname{cm}%
%EndExpansion
$) tracer les tangentes horizontales et les asymptotes \`{a} $\mathcal{C}_{f}$
puis $\mathcal{C}_{f}$ elle-m\^{e}me.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

Graphe de $f:$

$%
%TCIMACRO{\FRAME{itbpFX}{389.6875pt}{275.25pt}{0cm}{}{}{Figure}%
%{\special{ language "Scientific Word";  type "GRAPHIC";
%maintain-aspect-ratio TRUE;  display "USEDEF";  valid_file "T";
%width 389.6875pt;  height 275.25pt;  depth 0cm;  original-width 385.5625pt;
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%BeginExpansion
\raisebox{-0cm}{\fbox{\includegraphics[
height=275.25pt,
width=389.6875pt
]%
{Include/i3fgvse7.eps}%
}}%
%EndExpansion
$
\end{exercise}

\begin{exercise}
\begin{enumerate}
\item Soit $f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}.$

\'{E}tudier la fonction $f$ (parit\'{e}, variations, limites, asymptotes) et
tracer sa courbe repr\'{e}sentative $\mathcal{C}_{f}$ dans un rep\`{e}re
orthonormal $\left(  O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)  $ avec
pour unit\'{e} $4%
%TCIMACRO{\unit{cm}}%
%BeginExpansion
\operatorname{cm}%
%EndExpansion
.$

\item Soit $g(x)=\frac{x^{2}}{1+x^{2}}.$

\begin{enumerate}
\item Calculer $f(x)+g(x);$

\item En d\'{e}duire que $\mathcal{C}_{g}$ se d\'{e}duit de $\mathcal{C}_{f}$
par une transformation g\'{e}om\'{e}trique \`{a} pr\'{e}ciser;

\item Tracer $\mathcal{C}_{g}$ dans le m\^{e}me rep\`{e}re.
\end{enumerate}

\item Pour tout point $M$ de $\mathcal{C}_{g},$ distinct de $O,$ d'abscisse
$x,$ on note $h(x)$ le coefficient directeur de la droite$~\left(  OM\right)
.$

\begin{enumerate}
\item Expliciter $h(x)$ et montrer que $h$ admet une limite finie $l$ en $0$
(par un abus somme toute naturel, on prolonge $h$ en $0$ en posant $h(0)=l);$

\item \'{E}tudier la fonction $h$ (parit\'{e}, variations, limites);

\item Tracer la courbe $\mathcal{C}_{h}$ dans le m\^{e}me rep\`{e}re.
\end{enumerate}

\item Pr\'{e}ciser et tracer les tangentes aux courbes $\mathcal{C}_{f},$
$\mathcal{C}_{g},$ $\mathcal{C}_{h}$ aux points d'abscisses -1, 0 et 1.
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{claim}
\begin{enumerate}
\item Soit $f(x)=\dfrac{1}{1+x^{2}}.$
  \begin{itemize}
  \item[\textbf{\underline{Parité} :}]\quad\\
    Les deux points suivants
    \begin{itemize}
    \item $\mathscr{D}_f=\mathbb{R}$ donc $\forall x\in \mathscr{D}_f,\; -x\in \mathscr{D}_f$;
    \item $\forall x\in \mathscr{D}_f \quad;\quad f(-x)=\dfrac{1}{1+(-x)^2}=\dfrac{1}{1+x^2}=f(x)$.
    \end{itemize}
    permettent d'affirmer que \fbox{$f$ est paire} et donc que $\mathscr{C}_f$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
  \item[\textbf{\underline{Variations} :}]\quad\\
    $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}^{+}$ et $f'(x)=\dfrac{-2x}{\left(1+x^2\right)^2}\leq0$.\\
    Donc \fbox{$f$ est décroissante sur $\mathbb{R}^{+}$ et, par symétrie, croissante sur $\mathbb{R}^{-}$}.
  \item[\textbf{\underline{Limites} :}]\quad\\
    \fbox{$\underset{x\rightarrow\pm\infty}{\lim}f(x)=0$ car $\underset{x\rightarrow\pm\infty}{\lim}1+x^2=+\infty$}.
  \item[\textbf{\underline{Asymptotes} :}]\quad\\
    \fbox{$\mathscr{C}_f$ admet la droite $(Ox)$ d'équation $y=0$ comme asymptote horizontale en $\pm\infty$} et $\mathscr{C}_f$ se trouve au-dessus de $(Ox)$ sur tout $\mathbb{R}$ car $\forall x\in \mathbb{R},\;f(x)>0$.
  \end{itemize}

\item Soit $g(x)=\dfrac{x^{2}}{1+x^{2}}.$

\begin{enumerate}
\item On trouve sans problème que \fbox{$\forall x\in \mathbb{R},\;f(x)+g(x)=1$}.

\item
  \begin{itemize}
    \item[\underline{Préliminaires :}]\quad\\
      Soient $M(x;y)$ et $M'(x;y')$ deux points de même abscisses avec $y+y'=1$.\\
      Le milieu $I$ de $[MN]$ a pour coordonnées $(\dfrac{x+x}{2};\dfrac{y+y'}{2})=(x,\dfrac{1}{2})$ ; donc $I$ décrit la droite d'équation $y=\dfrac{1}{2}$ quand $x$ décrit $\mathbb{R}$.\\
      On en conclut que $M$ et $M'$ sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y=1/2$.
  \end{itemize}
  Ici, si l'on considère deux points de même abscisse, $M(x,y=f(x))\in \mathscr{C}_f$ et $M'(x,y'=g(x))\in \mathscr{C}_g$ on a bien $y+y'=1$ et donc $M$ et $M'$ sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y=1/2$.\\
  On en déduit que \fbox{$\mathscr{C}_g$ se déduit de $\mathscr{C}_f$ par la symétrie d'axe la droite d'équation $y=\dfrac{1}{2}$}.

\item Voir figure \ref{fig:graphe} page \pageref{fig:graphe}.
\end{enumerate}

\item 

\begin{enumerate}
\item 
  \begin{itemize}
  \item Pour $x\neq0$, le coefficient directeur de la droite $(OM)$ (où $M$ a pour coordonnées $(x\,;\,g(x)$) est $h(x)=\dfrac{0-g(x)}{0-x}=\dfrac{g(x)}{x}$ i.e \fbox{$h(x)=\dfrac{x}{1+x^2}$}.
  \item $\underset{x\rightarrow0}{\lim}\dfrac{x}{1+x^2}=0$\quad car $\underset{x\rightarrow0}{\lim}x=0$ et $\underset{x\rightarrow0}{\lim}1+x^2=1$.
  \end{itemize}
  On prolonge donc $h$ en $0$ par \fbox{$h(0)=0$}.

\item 
  \item[\textbf{\underline{Parité} :}]\quad\\
    Les deux points suivants
    \begin{itemize}
    \item $\mathscr{D}_h=\mathbb{R}$ donc $\forall x\in \mathscr{D}_h,\; -x\in \mathscr{D}_h$;
    \item $\forall x\in \mathscr{D}_h \quad;\quad h(-x)=\dfrac{-x}{1+(-x)^2}=-\dfrac{x}{1+x^2}=-h(x)$.
    \end{itemize}
    permettent d'affirmer que \fbox{$h$ est impaire} et donc que $\mathscr{C}_h$ est symétrique par rapport à l'origine du repère.
  \item[\textbf{\underline{Limites} :}]\quad\\
    $\underset{x\rightarrow\pm\infty}{\lim}h(x)=\underset{x\rightarrow\pm\infty}{\lim}\dfrac{x}{x^2}=\underset{x\rightarrow\pm\infty}{\lim}\dfrac{1}{x}=0$.
\vfill
    \newpage{}
    
  \item[\textbf{\underline{Variations} :}]\quad\\
    $h$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $h'(x)=\dfrac{1-x^2}{\left(1+x^2\right)^2}$. D'où le tableau de variation :
    $$
\begin{tabular}[t]{c|ccc|ccc|cccc}%
$x$     &$-\infty$&    &\multicolumn{2}{c}{\makebox[0mm][c]{$-1$}}   &   &\multicolumn{2}{c}{\makebox[0mm][c]{$1$}}   &   &$+\infty$\\\hline
\       &         &    &        &                                    &   &          &                                  &   & \\
$h'(x)$ &         &$- $&\multicolumn{2}{c}{\makebox[0mm][c]{$0$}}    &$+$&\multicolumn{2}{c}{\makebox[0mm][c]{$0$}}    &$-$& \\
\       &         &    &        &                                    &   &          &                                  &   & \\\hline
\       &  $0$    &    &        &                                    &   &  \multicolumn{2}{c}{\makebox[0mm][c]{$\frac{1}{2}$}}     &   &  \\
$h$     &         &\dec&        &                                    &\cro& \multicolumn{2}{c}{\makebox[0mm][c]{}}     &\dec & \\
\       &         &    &\multicolumn{2}{c}{\makebox[0mm][c]{$-\frac{1}{2}$}}&    &\multicolumn{2}{c}{\makebox[0mm][c]{}}   &     &$0$
\end{tabular}  
    $$
  \item[\textbf{\underline{Asymptotes} :}]\quad\\
    \fbox{$\mathscr{C}_h$ admet la droite $(Ox)$ d'équation $y=0$ comme asymptote horizontale en $\pm\infty$} et $\mathscr{C}_h$ se trouve au-dessus de $(Ox)$ sur $\mathbb{R}^+$, en-dessous sur $\mathbb{R}^{-}$ car $f(x)\geq0 \Leftrightarrow x\in \mathbb{R}^{+}$.

\item Voir figure \ref{fig:graphe} page \pageref{fig:graphe}.
\end{enumerate}

\item L'équation de la tangente à $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse $a$ est $y=f'(x)(x-a)+f(a)$.\\
  On obtient alors facilement les résultats suivants :
  $$
  \begin{tabular}[c]{l|lllllllllll}
    Pour $\mathscr{C}_f$&$\mathscr{T}_{-1}\,:\,y=\dfrac{1}{2}x+1$  &\vline &$\mathscr{T}_0\,:\,y=1$             &\vline &$\mathscr{T}_1\,:\,y=-\dfrac{1}{2}x+1$\\
                        &                                          & &                                    & &\\\hline
                        &                                          & &                                    & &\\
    Pour $\mathscr{C}_g$&$\mathscr{T}_{-1}\,:\,y=-\dfrac{1}{2}x$   &\vline &$\mathscr{T}_0\,:\,y=0$             &\vline &$\mathscr{T}_1\,:\,y=\dfrac{1}{2}x$\\
                        &                                          & &                                    & &\\\hline
                        &                                          & &                                    & &\\
    Pour $\mathscr{C}_h$&$\mathscr{T}_{-1}\,:\,y=-\dfrac{1}{2}$                &\vline &$\mathscr{T}_0\,:\,y=x$ &\vline &$\mathscr{T}_1\,:\,y=\dfrac{1}{2}$\\
  \end{tabular}
  $$

\end{enumerate}

\end{claim}

\end{document}