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[Démonstration]
{\noindent\textbf{#1:} }
{\ \fbox{cqfd.}
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\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 1316450839348--
%%--Devoir sur la dérivation--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%

%TCIMACRO{\TeXButton{styleDV}{\Titre{Devoir \textit{(surveillé)}  N$^o$11}
%\Classe{Première SVT3}
%\Date{Le 18 décembre 2002}
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%{ La qualité de la rédaction et la précision des raisonnements influent sur la notation}%
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%EndExpansion
\label{ForcePass2}

\begin{exercise}
Dans chacun des cas suivants, d\'{e}terminer l'ensemble sur lequel la fonction
$f$ est d\'{e}rivable, calculer $f^{\prime}(x)$ et d\'{e}terminer une
\'{e}quation de la tangente \`{a} $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse $a:$%

%TCIMACRO{\TeXButton{BeginMulticols}{\begin{multicols}{2} }}%
%BeginExpansion
\begin{multicols}{2}
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item $f(x)=2x^{3}-3x^{2}+6x-6\quad$et $a=1;$

\item $f(x)=\left(  2x-1\right)  ^{4}\quad$et $a=0;$

\item $f(x)=x\cos x\quad$et $a=\pi/2;$

\item $f(x)=\dfrac{2x+1}{2x-1}\quad$et $a=1;$

\item $f(x)=\sin(3x+1)\quad$et~$a=-1/3;$

\item $f(x)=\left(  \dfrac{x+1}{1-x}\right)  ^{4}\quad$et $a=0;$

\item $f(x)=\cos^{2}(3x)\quad$et $a=\pi/3.$
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{EndMulticols}{\end{multicols}}}%
%BeginExpansion
\end{multicols}%
%EndExpansion

\end{exercise}

\begin{exercise}
Soient $f$ et $g$ les fonctions d\'{e}finies sur $%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
\backslash\{-1/2\}$ par:%
\[
f(x)=\frac{2x^{2}+3x-1}{2x+1}\quad\text{et}\quad g(x)=\frac{2x-1}{2x+1}.
\]


\begin{enumerate}
\item \label{1_oiuzo}D\'{e}montrer que: $\forall x\in%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
\backslash\{-1/2\},$ $f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x)+1;$

\item En simplifiant au maximum l'expression de $f(x)-g(x),$ expliquer le
r\'{e}sultat du \ref{1_oiuzo}.
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
Dans un rep\`{e}re $\left(  O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)  ,$
$\mathcal{C}_{f}$ est la courbe repr\'{e}sentative de la fonction
$f:x\mapsto\dfrac{x^{2}}{2}-2x+3$ et $A$ est le point de coordonn\'{e}es
$(1;-1).$

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Construire $\mathcal{C}_{f}$ et placer $A;$

\item Conjecturer le nombre de tangentes\ \`{a} $\mathcal{C}_{f}$ passant par
$A.$
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item \'{E}tant donn\'{e} un r\'{e}el $a,$ d\'{e}terminer une \'{e}quation de
la tangente $T_{a}$ \`{a} $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse $a;$

\item D\'{e}montrer que: \guilsinglleft \guilsinglleft $T_{a}$ passe par $A$
si et seulement si $a^{2}-2a-4=0$\guilsinglright \guilsinglright $.$
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item En d\'{e}duire les abscisses des points en lesquels la tangente \`{a}
$\mathcal{C}_{f}$ passe par $A;$

\item Tracer ces tangentes sur le graphique de la question 1)a).
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
On consid\`{e}re la fonction $f$ d\'{e}finie sur $[-1;+\infty\lbrack$ par:
$f(x)=\sqrt{1+x}.$

\begin{enumerate}
\item D\'{e}montrer que pour $x$ proche de $0$ on a $f(x)\approx1+\dfrac{x}%
{2};$

\item On note $e(x)$ l'erreur commise en rempla\c{c}ant $f(x)$ par $1+x/2.$ On
a donc:%
\[
e(x)=\left\vert f(x)-(1+\frac{x}{2})\right\vert
\]


\begin{enumerate}
\item D\'{e}montrer que:%
\[
e(x)=\frac{\dfrac{x^{2}}{4}}{\left\vert \sqrt{1+x}+(1+\dfrac{x}{2})\right\vert
};
\]


\item \underline{On suppose que: $-1\leq x\leq1.$}

\begin{enumerate}
\item D\'{e}montrer que: $\sqrt{1+x}+(1+\frac{x}{2})\geq1/2;$

\item En d\'{e}duire que $e(x)\leq x^{2}/2.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\item D\'{e}duire des questions pr\'{e}c\'{e}dentes que:%
\[
\forall x\in\lbrack-1;1],\quad-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x}{2}+1\leq\sqrt{1+x}%
\leq\frac{x^{2}}{2}+\frac{x}{2}+1.
\]

\end{enumerate}
\end{exercise}


\end{document}
