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\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 13150210312460--
%%--Approximation du nombre d\'or par deux suites--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\section{Introduction:}

De nombreux \'{e}crits \'{e}voquent un nombre particulier: $\frac{1+\sqrt{5}%
}{2}.$ Myst\'{e}rieusement et intimement li\'{e} \`{a} de nombreuses \oe uvres
d'art (constructions architecturales, peintures, \oe uvres musicales...), il
appara\^{\i}t comme un crit\`{e}re de l'harmonie des proportions et donc de la beaut\'{e}.

Au XIX$^{e}$ si\`{e}cle, on lui a donn\'{e} le nom de nombre d'or et au
d\'{e}but du XX$^{e}$ si\`{e}cle, on a pris l'habitude de le noter
$\phi\footnote{Se lit "phi"}$ en r\acute{e}f\acute{e}rence au sculpteur grec Phidias.

Certains historiens pensent que le nombre d'or \`{a} jou\'{e} un r\^{o}le dans
la construction de la grande pyramide d'Egypte mais aucune source \'{e}crite
ne l'atteste. En revanche, des \'{e}crits datant de l'antiquit\'{e} prouvent
que les grecs connaissaient le nombre d'or et certaines de ses
propri\'{e}t\'{e}s. On trouve dans les \textit{El\'{e}ments }d'Euclide
(III$^{e}$ si\`{e}cle avant J.C) une m\'{e}thode de construction d'un point A
qui divise un segment $\left[  BC\right]  $ selon le nombre d'or: $\frac
{AB}{AC}=\phi$.

Le mythe du nombre d'or ou plut\^{o}t de la \textit{divine proportion}
na\^{\i}t avec Luca Pacioli.

\textbf{Luca Pacioli} -moine franciscain- a \'{e}crit un trait\'{e},
\textit{La divine proportion} (1509) dans lequel il explique que cette
proportion -notre nombre d'or- est de nature divine et que "\textit{La divine
proportion} est une \oe uvre n\'{e}cessaire \`{a} tous les esprits perspicaces
et curieux, o\`{u} chacun de ceux qui aiment \`{a} \'{e}tudier la Philosophie,
la Perspective, la Peinture, la Sculpture, l'Architecture, la Musique et les
autres disciplines Math\'{e}matiques, trouvera une tr\'{e}s d\'{e}licate,
subtile et admirable doctrine et se d\'{e}lectera de diverses questions
touchant une tr\'{e}s secr\`{e}te science."

Ainsi, par exemple, dans le tableau \textit{L'homme Vitruvien\footnote{Logo de
" Manpower ".}} de L\'{e}onard de Vinci, dans certaine cath\'{e}drales, ou
encore dans certaines \oe uvres de J.S Bach de nombreuses proportions ont pour
valeur $\phi$.

Mais si le nombre d'or est remarquable par l'importance que lui ont donn\'{e}e
les artistes, il est \'{e}galement remarquable par ses propri\'{e}t\'{e}s math\'{e}matiques:

\begin{itemize}
\item Propri\'{e}t\'{e} 1:

$\phi$ est le seul nombre positif dont le carr\'{e} soit \'{e}gal \`{a}
lui-m\^{e}me augment\'{e} de 1.

\item Propri\'{e}t\'{e}s 2:%
\[
1+\frac{1}{\phi}=\phi,\quad\sqrt{1+\phi}=\phi,\quad\frac{\phi^{2}+1}{2\phi
-1}=\phi
\]


\item Propri\'{e}t\'{e} 3:

Soit $\left[  BC\right]  $ un segment.

Si $A$ est le point de $\left[  BC\right]  $ tel que $\frac{BC}{AB}=\frac
{AB}{AC}$ alors se rapport a pour valeur $\phi$ et

si $E$ et $F$ sont tels que $BAEF$ soit un carr\'{e}, alors $BCDF$ et $ACDE$
sont des rectangles d'or, c'est \`{a} dire des rectangles tels que
$\frac{\text{longueur}}{\text{largeur}}=\phi$.

\item Propri\'{e}t\'{e} 4:%
\[
\phi=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt
{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1\ldots}}}}}}}}}}}}%
\]


\item Propri\'{e}t\'{e} 5:%
\[
\phi=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}%
{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\ldots}}}}}}}}%
\]


\item Propri\'{e}t\'{e} 6:

Etant donn\'{e}e la suite $(a_{n}),$ dite de Fibonacci, d\'{e}finie par%
\[
a_{0}=0,\text{ }a_{1}=1\text{ et pour tout }n\text{ de }%
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
,\text{ }a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}%
\]


on a
\[
\forall n\in%
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
,\text{ }a_{n}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[  \phi^{n}-\left(  \frac{-1}{\phi
}\right)  ^{n}\right]  \quad\text{et\quad}\lim_{n\rightarrow+\infty}%
\frac{a_{n+2}}{a_{n+1}}=\phi.
\]

\end{itemize}

\bigskip

\section{D\'{e}monstration de la propri\'{e}t\'{e} (4):}

Soit $\left(  u_{n}\right)  $ la suite d\'{e}finie par: $u_{0}=1$ et
$u_{n+1}=\sqrt{1+u_{n}}$ pour tout $n\in%
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
$.

\begin{enumerate}
\item justifier que d\'{e}montrer la propri\'{e}t\'{e} (4) revient \`{a}
d\'{e}montrer que $\left(  u_{n}\right)  $ est convergente et que
$\underset{n\rightarrow+\infty}{\lim}u_{n}=\phi.$

\item Soit $f$ la fonction d\'{e}finie sur $%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{+}$ par $f(x)=\sqrt{1+x}.$

\begin{enumerate}
\item Justifier que $f(\phi)=\phi.$

\item Figurer, \`{a} l'aide de la repr\'{e}sentation graphique de $f$, les
cinq premiers termes de la suite $\left(  u_{n}\right)  .$
\end{enumerate}

\item D\'{e}montrer par r\'{e}currence que:

\begin{enumerate}
\item $\left(  u_{n}\right)  $ est croissante.

\item $\left(  u_{n}\right)  $ est major\'{e}e par $\phi.$
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\item D\'{e}montrer que, $\forall n\in%
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
:$%
\[
0<\sqrt{1+\phi}-\sqrt{1+u_{n}}<\frac{\phi-u_{n}}{\phi^{2}};\quad\text{puis
que: }0<\phi-u_{n+1}<\frac{\phi-u_{n}}{\phi^{2}}.
\]


\item En d\'{e}duire que:%
\[
\forall n\in%
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
^{\star},\text{ }0<\phi-u_{n}<\frac{\phi-u_{0}}{\phi^{2n}};\text{\quad puis
que }\underset{n\rightarrow+\infty}{\lim}u_{n}=\phi
\]


\item Calculer \`{a} l'aide d'une calculatrice les valeurs exactes des quatre
premiers termes de la suite ainsi qu'une valeur approch\'{e}e de $u_{100}.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\section{D\'{e}monstration de la propri\'{e}t\'{e} (5):\label{Def Vn}}

Soit $\left(  v_{n}\right)  $ la suite d\'{e}finie par $v_{0}=1$ et
$v_{n+1}=1+\frac{1}{v_{n}}$ pour tout $n$ de $%
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
.$

\begin{enumerate}
\item Justifier que d\'{e}montrer la propri\'{e}t\'{e} (5) revient \`{a}
d\'{e}montrer que $\left(  v_{n}\right)  $ est convergente et que
$\underset{n\rightarrow+\infty}{\lim}v_{n}=\phi.$

\item Ecrire sous forme de fraction irr\'{e}ductible les termes $v_{1},$
$v_{2},$ $v_{3},$ $v_{4},$ $v_{5},$ $v_{6},$ $v_{7}$.

Cette suite est-elle monotone?

V\'{e}rifier sur les premiers termes que la suite des termes de rang pair
semble \^{e}tre croissante et que la suite des termes de rang impair semble
\^{e}tre d\'{e}croissante.

\item Soient $f$ et $g$ les fonctions d\'{e}finies sur $%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{\star+}$ par:%
\[
f(x)=1+\frac{1}{x}\text{ \quad et \quad}g(x)=f\circ f(x)=f\left(  f(x)\right)
\]


\begin{enumerate}
\item Expliciter $g(x)$ et justifier que $g$ est croissante sur $%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{\star+}.$

\item Soit $\left(  w_{n}\right)  $ la suite d\'{e}finie par: $w_{0}=v_{0}$ et
$w_{n+1}=g(w_{n})$ pour $n\in%
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
.$

Que repr\'{e}sente $\left(  w_{n}\right)  $ par rapport \`{a} $\left(
v_{n}\right)  ?$

D\'{e}montrer par r\'{e}currence que la suite $\left(  w_{n}\right)  $ est croissante.

\item Soit $\left(  t_{n}\right)  $ la suite d\'{e}finie par: $t_{0}=v_{1}$ et
$t_{n+1}=g(t_{n})$ pour $n\in%
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
.$

Que repr\'{e}sente $\left(  t_{n}\right)  $ par rapport \`{a} $\left(
v_{n}\right)  ?$

D\'{e}montrer par r\'{e}currence que la suite $\left(  t_{n}\right)  $ est d\'{e}croissante.

\item Conclure quant au comportement de $(v_{n}).$

\item D\'{e}montrer que, $\forall n\geq1$, $\frac{3}{2}\leq v_{n}\leq2.$

\item En d\'{e}duire, en utilisant aussi les propri\'{e}t\'{e}s (2), que:%
\[
\forall n\geq1,\text{ }\left\vert v_{n+1}-\phi\right\vert \leq\frac{4}%
{9}\left\vert v_{n}-\phi\right\vert .
\]


\item En d\'{e}duire, par r\'{e}currence, que:%
\begin{align*}
\forall n  & \geq1,\text{ }\left\vert v_{n}-\phi\right\vert \leq\left(
\frac{4}{9}\right)  ^{n-1}\left\vert v_{1}-\phi\right\vert \text{\quad puis
que:}\\
\forall n  & \geq1,\text{ }\left\vert v_{n}-\phi\right\vert \leq\left(
\frac{4}{9}\right)  ^{n}.
\end{align*}

\end{enumerate}

\item Prouver que $(v_{n})$ est convergente et que $\underset{n\rightarrow
+\infty}{\lim}v_{n}=\phi.$

\item D\'{e}terminer un entier $n_{1}$ tel que $\left\vert v_{n_{1}}%
-\phi\right\vert \leq10^{-6}$, et donner $v_{n_{1}}$ sous forme de fraction irr\'{e}ductible.
\end{enumerate}

\bigskip

\section{D\'{e}monstration de la propri\'{e}t\'{e} (6):}

On consid\`{e}re la suite $\left(  a_{n}\right)  ,$ dite de Fibonacci,
d\'{e}finie par:%
\[
a_{0}=0,\text{ }a_{1}=1\text{ \quad et\quad}a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}\text{ pour
tout }n\text{ de }%
%TCIMACRO{\U{2115}}%
%BeginExpansion
\mathbb{N}%
%EndExpansion
\]


\begin{enumerate}
\item Calculer les huit premiers termes de la suite $\left(  a_{n}\right)  .$
Calculer $a_{25}$ \`{a} l'aide d'une calculatrice. Quelle conjecture peut-on faire?

\item D\'{e}montrer par r\'{e}currence que:%
\[
\forall n\in%
%TCIMACRO{\U{2115} }%
%BeginExpansion
\mathbb{N}
%EndExpansion
,\text{ }a_{n}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[  \phi^{n}-\left(  \frac{-1}{\phi
}\right)  ^{n}\right]  \text{\quad propri\'{e}t\'{e} }\left(  P_{n}\right)  .
\]


\begin{enumerate}
\item \textit{(Indications:}

\begin{itemize}
\item \textit{On v\'{e}rifiera que }$\left(  P_{n}\right)  $\textit{\ est
vraie pour }$n=0$\textit{\ et }$n=1.$

\item \textit{On supposera }$\left(  P_{n}\right)  $\textit{\ vraie aux rangs
}$n-1$\textit{\ et }$n$\textit{\ pour d\'{e}montrer qu'elle est vraie au rang
}$n+1.$\textit{)}
\end{itemize}
\end{enumerate}

\item En d\'{e}duire que $\underset{n\rightarrow+\infty}{\lim}\frac{a_{n+2}%
}{a_{n+1}}=\phi.$

\item Compl\'{e}ment: d\'{e}montrer que:%
\[
\forall n\geq1,\text{ }v_{n}=\frac{a_{n+2}}{a_{n+1}}\quad\text{o\`{u} }%
(v_{n})\text{ est la suite d\'{e}finie au \ref{Def Vn}.}%
\]

\end{enumerate}


\end{document}