% =========================================================================
% fichier eni98.tex
% Sujet : Concours de l'Eni 1998
% =========================================================================
% 1========================================================================
% Les packages suivants sont nécessaires pour une bonne compilation du
% document. Il contiennent les definitions de certains symboles.
%gestion des symboles mathématiques
% 2========================================================================
% Les packages suivants ne sont pas indispensables. Il permettent d'améliorer
% la mise en page, d'insérer des décorations ou des images, de changer la police
% du texte. Ils définissent aussi certaines macros.
% Ils sont soit activés, soit désactivés en fonction des choix effectués par
% l'auteur. Un % devant la ligne correspondante désactive le package.
%gestion des caractères accentués
%gestion des symboles mathématiques
%gestion du francais
%gestion des fontes mathématiques
%\usepackage[]{palatino,euler} %changement des fontes par défaut
%\usepackage{graphicx} %gestion des graphiques en postcript
%\usepackage{fancybox} %gestion des encadrements
%\usepackage{lastpage} %gestion du nombre total de pages du document
%gestion des marges du document
%\usepackage{fancyhdr} %gestion des entetes et des pieds de page
%\usepackage{multicol} %gestion du multicolonnage
% 3========================================================================
% Definitions pour l'inclusion de graphiques eps (Jean-Michel SARLAT)
%\def\figTR#1{}
% Si vous ne voulez pas inclure de figure, retirer éventuellement les lignes
% suivantes jusqu'à la section 4
%\usepackage[dvips]{epsfig}
% == Figure en taille fixee par l'utilisateur
%\def\taille{\long\def\epsfsize##1##2{\facteur\textwidth}}
%\def\fig#1#2{\long\def\facteur{#1}\taille\epsffile{#2}}
% == Figure en taille reelle
%\def\tailleR{\long\def\epsfsize##1##2{0pt}}
%\def\figTR#1{\tailleR\epsffile{#1}}
% 4========================================================================
% Definitions du format de la page
% Ces définitions permettent de régler tous les paramètres de la page.
%\textwidth 16.5cm
%\textheight 24cm
%\oddsidemargin 0cm
%\evensidemargin 0cm
%\marginparsep 0cm
%\headsep 0cm
%\topmargin 0cm
%\topskip 0cm
%\headheight 0cm
%\footskip 1cm
%4bis========================================================================
% Cette section permet d'utiliser le package geometry.sty pour régler
% les marges du document. Si cette section est utilisée, alors les réglages
% de la section précédente sont inutiles et peuvent être désactivés.
% marges droite et gauche réglées à 2.5cm
% marges haute et basse réglées à 1.5cm
% 5========================================================================
% Macros utilisees ici. Ces macros sont personnelles à l'auteur du texte et
% permettent la compilation du document. Il se peut que cette section soit
% vide si l'auteur n'a pas de macros personnelles.
% =========================================================================
%   FIN DU PREAMBULE ET DEBUT DU DOCUMENT
% =========================================================================

\documentclass[12pt,a4paper]{article}%
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{geometry}%
\setcounter{MaxMatrixCols}{30}%
\usepackage{graphicx}
%TCIDATA{OutputFilter=latex2.dll}
%TCIDATA{Version=5.00.0.2552}
%TCIDATA{CSTFile=40 LaTeX article.cst}
%TCIDATA{LastRevised=Thursday, September 02, 2004 18:48:55}
%TCIDATA{<META NAME="GraphicsSave" CONTENT="32">}
%TCIDATA{<META NAME="SaveForMode" CONTENT="1">}
\pagestyle{plain}
\parindent0pt
\geometry{ hmargin=2.5cm, vmargin=1.5cm }
\def\N{\mathbb{N}}
\def\R{\mathbb{R}}
\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 13149764721515--
%%--Concours de l\'eni session 98--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{center}
\framebox{\parbox{13cm} {\centerline{ \LARGE{ \textsc{ concours de
l'eni session 98}} } } }
\end{center}%

\[
\fbox{Programme du baccalaur\'{e}at S}%
\]
\emph{Le sujet porte sur le programme du baccalaur\'{e}at s\'{e}rie S. Il est
constitu\'{e} d'exercices ind\'{e}pendants. Le texte remis au candidat
pr\'{e}voit 5 r\'{e}ponses possibles pour chaque exercice rep\'{e}r\'{e}es par
les lettres A, B, C, D, E. Une r\'{e}ponse et une seule est correcte.\medskip}

\hrule


\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction d\'{e}finie par :
\[
f\left(  x\right)  =\tan^{2}\left(  \frac{\pi}{4}-x\right)
\]
On cherche la valeur de $f^{\prime}\left(  0\right)  .$%
\[%
\begin{tabular}
[c]{llllllll}%
A & $f^{\prime}\left(  0\right)  =-8\sqrt{3}$ & \quad & B & $f^{\prime}\left(
0\right)  =-4$ & \quad & C & $f^{\prime}\left(  0\right)  =0$\\
D & $f^{\prime}\left(  0\right)  =2$ &  & E & $f^{\prime}\left(  0\right)  =4$
&  &  &
\end{tabular}
\]
\hrule


\item L'ensemble des r\'{e}els $x$ pour lesquels $\ln\left|  1-\dfrac{1}%
{\sqrt{x}}\right|  $ existe est :
\[%
\begin{tabular}
[c]{llllllll}%
A & $\left]  0,1\right[  $ & \quad & B & $\left]  1,+\infty\right[  $ & \quad
& C & $\left]  0,1\right[  \cup\left]  1,+\infty\right[  $\\
D & $\mathbb{R-}\left\{  1\right\}  $ &  & E & $\left]  0,+\infty\right[  $ &
&  &
\end{tabular}
\]
\hrule


\item Soit $f$ la fonction d\'{e}finie par :$\quad f\left(  x\right)
=\ln\left|  1-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right|  .$ Si $f$ est d\'{e}rivable alors :
\[%
\begin{tabular}
[c]{llllllll}%
A & $f^{\prime}\left(  x\right)  =\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}$ & \quad & B &
$f^{\prime}\left(  x\right)  =\dfrac{\sqrt{x}}{\left|  \sqrt{x}-1\right|  }$ &
\quad & C & $f^{\prime}\left(  x\right)  =\dfrac{1}{2x\left|  \sqrt
{x}-1\right|  }$\\
D & $f^{\prime}\left(  x\right)  =\dfrac{1}{2x\left(  \sqrt{x}-1\right)  }$ &
& E & $f^{\prime}\left(  x\right)  =\dfrac{1}{2\left(  1-\sqrt{x}\right)  }$ &
&  &
\end{tabular}
\]
\hrule


\item Soit $f$ la fonction d\'{e}finie par :$\quad f\left(  x\right)
=\ln\left|  1-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right|  .$ L'\'{e}quation $f\left(
x\right)  =0$ :
\[%
\begin{tabular}
[c]{ll}%
A & n'admet pas de solution\\
B & admet une solution unique dans l'intervalle $\left[  0,1\right]  $\\
C & admet deux solutions dans l'intervalle $\left[  0,1\right]  $\\
D & admet une unique solution dans l'intervalle $\left[  1,+\infty\right[  $\\
E & admet deux solutions dans l'intervalle $\left[  1,+\infty\right[  $%
\end{tabular}
\]
\hrule


\item L'\'{e}quation $4x^{3}-7x^{2}+1=0$ admet dans l'intervalle $\left]
-1,1\right[  $ exactement :
\[%
\begin{tabular}
[c]{llllllll}%
A & 0 solution & \quad & B & 1 solution & \quad & C & 2 solutions\\
D & 3 solutions &  & E & 4 solutions &  &  &
\end{tabular}
\]
\hrule


\item Soit $f$ une fonction d\'{e}finie de $\left]  a,b\right[  $ dans
$\mathbb{R},$ avec $a\in\mathbb{R},$ $b\in\mathbb{R}$ et $a<b.$ On
consid\`{e}re les trois propositions suivantes :

\begin{enumerate}
\item[(P$_{1})$] Si $f$ est continue sur $\left]  a,b\right[  ,$ alors $f$ est
d\'{e}rivable sur $\left]  a,b\right[  .$

\item[(P$_{2})$] $f$ est d\'{e}rivable en $x_{0}\in\left]  a,b\right[  $ si
$\dfrac{f\left(  x_{0}\right)  -f\left(  h\right)  }{x_{0}-h}$ admet une
limite finie quand $h$ tend vers 0.

\item[(P$_{3})$] Si $f$ est d\'{e}rivable sur $\left]  a,b\right[  $ et si
$f^{\prime}\left(  x_{0}\right)  =0$ en $x_{0}\in\left]  a,b\right[  ,$ alors
$f $ admet un extremum en $0.$%
\[%
\begin{tabular}
[c]{ll}%
A & Les propositions (P$_{1}),$ (P$_{2})$ et (P$_{3})$ sont vraies.\\
B & Les propositions (P$_{1}),$ (P$_{3})$ sont vraies et (P$_{2})$ est
fausse.\\
C & Les propositions (P$_{1}),$ (P$_{2})$ sont fausses et (P$_{3})$ est
vraie.\\
D & Les propositions (P$_{2})$ et (P$_{3})$ sont vraies et (P$_{1})$ est
fausse.\\
E & Les propositions (P$_{1}),$ (P$_{2})$ et (P$_{3})$ sont fausses.
\end{tabular}
\]
\hrule

\end{enumerate}

\item Soit $f$ une fonction d\'{e}finie et d\'{e}rivable de $\mathbb{R}$ dans
$\mathbb{R}.$ On a alors :
\[
\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(  2x_{0}+2h\right)  -f\left(  2x_{0}\right)
}{h}=l
\]
avec :
\[%
\begin{tabular}
[c]{llllllll}%
A & $l=2f^{\prime}\left(  2x_{0}\right)  $ & \quad & B & $l=f^{\prime}\left(
2x_{0}\right)  $ & \quad & C & $l=\dfrac{1}{2}f^{\prime}\left(  2x_{0}\right)
$\\
D & $l=2f^{\prime}\left(  x_{0}\right)  $ &  & E & $l=f^{\prime}\left(
x_{0}\right)  $ &  &  &
\end{tabular}
\]
\hrule


\item Soit $f$ la fonction d\'{e}finie par :
\[
f\left(  x\right)  =\frac{\sin2x-\sin x}{\sin2x+\sin x}%
\]%
\[%
\begin{tabular}
[c]{llllllll}%
A & $\lim_{x\rightarrow0}f\left(  x\right)  =-\infty$ & \quad & B &
$\lim_{x\rightarrow0}f\left(  x\right)  =-1$ & \quad & C & $\lim
_{x\rightarrow0}f\left(  x\right)  =0$\\
D & $\lim_{x\rightarrow0}f\left(  x\right)  =\dfrac{1}{3}$ &  & E &
$\lim_{x\rightarrow0}f\left(  x\right)  =+\infty$ &  &  &
\end{tabular}
\]
\hrule


\item Soit $f$ la fonction d\'{e}finie par :
\[
f\left(  x\right)  =\left(  \pi-2x\right)  \tan x
\]%
\[%
\begin{tabular}
[c]{llllllll}%
A & $\lim_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}f\left(  x\right)  =-\infty$ & \quad &
B & $\lim_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}f\left(  x\right)  =-2$ & \quad & C &
$\lim_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}f\left(  x\right)  =0$\\
D & $\lim_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}f\left(  x\right)  =2$ &  & E &
$\lim_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}f\left(  x\right)  =+\infty$ &  &  &
\end{tabular}
\]
\hrule


\item Soit $f$ la fonction d\'{e}finie par :
\[
f\left(  x\right)  =\frac{2x^{3}-x^{2}-1}{x^{2}+x-2}%
\]%
\[%
\begin{tabular}
[c]{llllllll}%
A & $\lim_{x\rightarrow1}f\left(  x\right)  =+\infty$ & \quad & B &
$\lim_{x\rightarrow1}f\left(  x\right)  =2$ & \quad & C & $\lim_{x\rightarrow
1}f\left(  x\right)  =\dfrac{4}{3}$\\
D & $\lim_{x\rightarrow1}f\left(  x\right)  =\dfrac{2}{3}$ &  & E &
$\lim_{x\rightarrow1}f\left(  x\right)  =0$ &  &  &
\end{tabular}
\]
\hrule


\item Soit $f$ la fonction d\'{e}finie par :
\[
f\left(  x\right)  =\frac{\pi\sin\left(  \pi+\sqrt{x}\right)  }{\sqrt
{x^{3}+x+1}}%
\]%
\[%
\begin{tabular}
[c]{llllllll}%
A & $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\,f\left(  x\right)  =1$ & \quad & B &
$\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\,f\left(  x\right)  =\dfrac{1}{2}$ & \quad
& C & $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\,f\left(  x\right)  =0$\\
D & $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\,f\left(  x\right)  =-1$ &  & E & $f$
n'admet pas de limite en $+\infty$ &  &  &
\end{tabular}
\]
\hrule


\item Soit $\left(  u_{n}\right)  $ la suite d\'{e}finie par :
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
u_{0}=3\\
u_{n+1}=f\left(  u_{n}\right)  \text{ pour tout entier }n\geqslant0
\end{array}
\right.
\]
avec $f\left(  x\right)  =\dfrac{4x-1}{x}$%
\[%
\begin{tabular}
[c]{ll}%
A & La suite $\left(  u_{n}\right)  _{n\in\mathbb{N}}$ converge vers $4.$\\
B & La suite $\left(  u_{n}\right)  _{n\in\mathbb{N}}$ converge vers
$2-\sqrt{3}.$\\
C & La suite $\left(  u_{n}\right)  _{n\in\mathbb{N}}$ tend vers $+\infty$
quand $n$ tend vers $+\infty.$\\
D & La suite $\left(  u_{n}\right)  _{n\in\mathbb{N}}$ converge vers
$\dfrac{1}{4}.$\\
E & La suite $\left(  u_{n}\right)  _{n\in\mathbb{N}}$ est croissante.
\end{tabular}
\]
\hrule


\item Soit $\left(  u_{n}\right)  _{n\in\mathbb{N}}$ la suite d\'{e}finie par
:
\[
u_{n}=n-\sqrt{\left(  n+a\right)  \left(  n+b\right)  }%
\]
avec $a\in\mathbb{R},$ $b\in\mathbb{R}.$%
\[%
\begin{tabular}
[c]{llllllll}%
A & $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\,u_{n}=+\infty$ & \quad & B &
$\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\,u_{n}=-\dfrac{a+b}{2}$ & \quad & C &
$\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\,u_{n}=0$\\
D & $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\,u_{n}=-\left(  a+b\right)  $ &  & E &
$\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\,u_{n}=-\infty$ &  &  &
\end{tabular}
\]
\hrule


\item $I=%
%TCIMACRO{\dint _{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}}
%EndExpansion
\left(  \dfrac{\pi}{4}-x\right)  \cos\left(  2x-\dfrac{\pi}{3}\right)  dx$%
\[%
\begin{tabular}
[c]{llllllll}%
A & $I=\dfrac{2-\sqrt{3}}{8}$ & \quad & B & $I=2-\dfrac{\sqrt{3}}{4}$ & \quad
& C & $I=1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$\\
D & $I=\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{\sqrt{3}}{8}$ &  & E & $I=0$ &  &
&
\end{tabular}
\]
\hrule


\item Le plan est muni d'un rep\`{e}re orthonorm\'{e}. Soit $a\in\left[
0,\pi\right]  .$ Soit $E$ l'ensemble des points de coordonn\'{e}es $\left(
x,y\right)  $ tels que
\[
a\leqslant x\leqslant\pi\quad0\leqslant y\leqslant\sin x
\]
L'aire de $E$ est \'{e}gale \`{a} $\dfrac{1}{2}$ pour :
\[%
\begin{tabular}
[c]{llllllll}%
A & $a=\dfrac{2\pi}{3}$ & \quad & B & $a=\dfrac{\pi}{3}$ & \quad & C &
impossible\\
D & $a=\dfrac{5\pi}{6}$ &  & E & $a=\dfrac{\pi}{2}$ &  &  &
\end{tabular}
\]
\hrule


\item $I=%
%TCIMACRO{\dint _{0}^{\frac{\pi}{6}}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}}
%EndExpansion
\left[  \tan^{3}\left(  2x-\dfrac{\pi}{3}\right)  +\tan\left(  2x-\dfrac{\pi
}{3}\right)  \right]  dx$%
\[%
\begin{tabular}
[c]{llllllll}%
A & $I=\dfrac{3}{4}$ & \quad & B & $I=-\dfrac{1}{12}$ & \quad & C &
$I=-\dfrac{3}{4}$\\
D & $I=-\dfrac{3}{2}$ &  & E & $I=-3$ &  &  &
\end{tabular}
\]
\hrule


\item Dans le plan muni d'un rep\`{e}re orthonorm\'{e}, on consid\`{e}re les
points $A\left(  2,2\right)  ,$ $B\left(  5,1\right)  $ et $C\left(
3,4\right)  .$ $E$ d\'{e}signe la r\'{e}gion du plan int\'{e}rieure au contour
$ABCA$ form\'{e} par :\newline l'arc $AB$ de la courbe d'\'{e}quation :
$x+3y-8=0$\newline l'arc $BC$ de la courbe d'\'{e}quation : $y\left(
x-1\right)  ^{2}=16$\newline l'arc $CA$ de la courbe d'\'{e}quation :
$y+2\left(  3-x\right)  ^{2}=4.$\newline L'aire de $E$ est \'{e}gale \`{a} :
\[%
\begin{tabular}
[c]{llllllllllllll}%
A & $\dfrac{71}{6}$ & \quad & B & $\dfrac{31}{6}$ & \quad & C & $\dfrac{23}%
{6}$ & \quad & D & $\dfrac{17}{6}$ & \quad & E & $\dfrac{13}{6}$\\
&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &
\end{tabular}
\]
\hrule


\item $I=%
%TCIMACRO{\dint _{2}^{4}}%
%BeginExpansion
{\displaystyle\int_{2}^{4}}
%EndExpansion
\dfrac{\left|  x-3\right|  }{\left(  x^{2}-6x\right)  ^{2}}dx$%
\[%
\begin{tabular}
[c]{llllllll}%
A & $I=\dfrac{1}{36}$ & \quad & B & $I=\dfrac{1}{72}$ & \quad & C & $I=0$\\
D & $I=-\dfrac{1}{72}$ &  & E & $I=-\dfrac{1}{36}$ &  &  &
\end{tabular}
\]
\hrule


\item L'\'{e}quation
\[
2\sin^{2}x+\left(  \sqrt{3}+1\right)  \cos\left(  \frac{\pi}{2}-x\right)
+\frac{\sqrt{3}}{2}=0
\]
admet dans $\left[  0,\dfrac{\pi}{2}\right]  $ :
\[%
\begin{tabular}
[c]{ll}%
A & 0 solution\\
B & 1 solution\\
C & 2 solutions\\
D & 4 solutions\\
E & une infinit\'{e} de solutions
\end{tabular}
\]
\hrule


\item Soit l'\'{e}quation $\cos x=\dfrac{\sqrt{3}}{2},$ avec $x\in\left[
0,2\pi\right]  .$ On note $E$ l'ensemble des solutions de cette \'{e}quation.
\[%
\begin{tabular}
[c]{ll}%
A & Pour tout $x\in E\quad\sin2x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$\\
B & Pour tout $x\in E\quad\cos3x=1$\\
C & Pour tout $x\in E\quad\sin\left|  x\right|  =\dfrac{\sqrt{3}}{2}$\\
D & $E=\left\{  -\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{6}\right\}  $\\
E & Pour tout $x\in E\quad x>\dfrac{1}{2}$%
\end{tabular}
\]
\hrule


\item L'ensemble $S$ des solutions r\'{e}elles de l'\'{e}quation
\[
e^{x}-e^{-x}=2
\]
est :
\[%
\begin{tabular}
[c]{ll}%
A & $S=\left\{  \ln\left(  1+\sqrt{2}\right)  ;\ln\left(  1-\sqrt{2}\right)
\right\}  $\\
B & $S=\left\{  \ln\left(  1+\sqrt{2}\right)  \right\}  $\\
C & $S=\left\{  \left(  1+\sqrt{2}\right)  ;\left(  1-\sqrt{2}\right)
\right\}  $\\
D & $S=\left\{  \ln\left(  \sqrt{2}-1\right)  \right\}  $\\
E & $S=\left\{  0\right\}  $%
\end{tabular}
\]
\hrule


\item Soit $z=\left(  -1+i\right)  ^{11}+\left(  -1-i\right)  ^{15}$%
\[%
\begin{tabular}
[c]{ll}%
A & $z=-96+160i$\\
B & $z=96-160i$\\
C & $z=160-96i$\\
D & $z=-160+96i$\\
E & $z=-160i$%
\end{tabular}
\]
\hrule


\item On note $E$ l'ensemble des r\'{e}els $t$ tels que l'\'{e}quation :
\[
z^{2}-2ze^{it}+1=0
\]
admette deux racines imaginaires pures $(z=iy,$ $y\in\mathbb{R})$ :
\[%
\begin{tabular}
[c]{lllll}%
A & $E=\left\{  0\right\}  $ & \quad & B & $E=\left\{  k\pi,k\in
\mathbb{Z}\right\}  $\\
C & $E=\left\{  \dfrac{\pi}{3}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\right\}  $ &  & D &
$E=\left\{  \dfrac{\pi}{2}+2k\pi,k\in\mathbb{Z}\right\}  $\\
E & $E=\left\{  \dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\right\}  $ &  &  &
\end{tabular}
\]
\hrule


\item Soit $z=i\left(  \sqrt{3}-i\right)  ^{25}$%
\[%
\begin{tabular}
[c]{ll}%
A & $\arg z=53\dfrac{\pi}{6}+2k\pi,$ $k\in\mathbb{Z}$\\
\quad & \\
B & $\arg z=28\dfrac{\pi}{6}+2k\pi,$ $k\in\mathbb{Z}$\\
\quad & \\
C & $\arg z=-22\dfrac{\pi}{6}+2k\pi,$ $k\in\mathbb{Z}$\\
\quad & \\
D & $\arg z=-25\dfrac{\pi}{6}+2k\pi,$ $k\in\mathbb{Z}$\\
\quad & \\
E & $\arg z=-47\dfrac{\pi}{6}+2k\pi,$ $k\in\mathbb{Z}$%
\end{tabular}
\]
\hrule


\item Apr\`{e}s une saison de chasse, on a \'{e}tabli les r\'{e}sultats
suivants :\newline30 \% des renards \'{e}taient enrag\'{e}s. Parmi les renards
abattus, 40 \% \'{e}taient enrag\'{e}s. On d\'{e}signe par $a$ la
probabilit\'{e} qu'un renard ait \'{e}t\'{e} abattu. Calculer en fonction de
$a$ la probabilit\'{e} pour qu'un renard ait \'{e}t\'{e} abattu sachant qu'il
\'{e}tait enrag\'{e}.
\[%
\begin{tabular}
[c]{llllllllllllll}%
A & $\dfrac{4}{3}a$ & \quad & B & $\dfrac{3}{4a}$ & \quad & C & $\dfrac{3}%
{4}a$ & \quad & D & $\dfrac{4}{3a}$ & \quad & E & $a$%
\end{tabular}
\]
\hrule


\item Deux joueurs $A$ et $B$ lancent l'un apr\`{e}s l'autre et une seule fois
un d\'{e} ordinaire non pip\'{e}. $A$ gagne si l'\'{e}cart entre les deux
r\'{e}sultats est : $0,$ $1$ ou $2,$ sinon $B$ gagne. La probabilit\'{e} que
$A$ gagne est :
\[%
\begin{tabular}
[c]{llllllllllllll}%
A & $\dfrac{1}{2}$ & \quad & B & $\dfrac{2}{3}$ & \quad & C & $\dfrac{3}{4}$ &
\quad & D & $\dfrac{1}{3}$ & \quad & E & autre valeur
\end{tabular}
\]
\hrule


\item La probabilit\'{e} que pile apparaisse au moins $4$ fois apr\`{e}s $5$
lancers successifs d'une pi\`{e}ce de monnaie est :
\[%
\begin{tabular}
[c]{llllllllllllll}%
A & $\dfrac{1}{8}$ & \quad & B & $\dfrac{2}{5}$ & \quad & C & $\dfrac{4}{5}$ &
\quad & D & $\dfrac{3}{16}$ & \quad & E & $\dfrac{5}{32}$%
\end{tabular}
\]
\hrule


\item Dans l'espace muni d'un rep\`{e}re orthonorm\'{e}, on note $P$ et $Q$
les deux plans d'\'{e}quations respectives :
\[
P:x-2z-3=0\qquad Q:y+z+5=0
\]
Soit $D$ la droite intersection de $P$ et $Q.$%
\[%
\begin{tabular}
[c]{ll}%
A & La droite $D$ admet $\overrightarrow{u}\left(  2,1,1\right)  $ pour
vecteur directeur\\
B & La droite $D$ passe par le point $\left(  3,-5,1\right)  $\\
C & Le plan contenant $A\left(  1,3,-4\right)  $ et $D$ a pour \'{e}quation
$x+y+z=0$\\
D & Le plan contenant $A\left(  1,3,-4\right)  $ et $D$ a pour \'{e}quation
$-2x+3y+7z+20=0$\\
E & Le plan contenant $A\left(  1,3,-4\right)  $ et $D$ a pour \'{e}quation
$-2x+3y+7z+21=0$%
\end{tabular}
\]
\hrule


\item Soient trois points distincts du plan $A,$ $B$ et $C.$ On note $E$
l'ensemble des points $M$ du plan v\'{e}rifiant :%
\[
\left\|  \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}\right\|
=\left\|  \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow
{MC}\right\|
\]
et $I$ le milieu du segment $\left[  A,B\right]  .$%
\[%
\begin{tabular}
[c]{ll}%
A & $E$ est r\'{e}duit au point $C$\\
B & $E$ est l'ensemble vide\\
C & $E$ est une droite passant par $I$ et orthogonale \`{a} $\left(
AB\right)  $\\
D & $E$ est un cercle de centre $J$ milieu du segment $\left[  IC\right]  $\\
E & $E$ est un cercle de centre $I$%
\end{tabular}
\]
\hrule


\item Soit $E$ l'espace rapport\'{e} au rep\`{e}re orthornorm\'{e} $\left(
O;\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}\right)  .$ On consid\`{e}re les trois
points $A\left(  -1,2,3\right)  ,$ $B\left(  0,4,4\right)  $ et $C\left(
2,0,2\right)  .$%
\[%
\begin{tabular}
[c]{ll}%
A & $\left|  \sin\left(  \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)
\right|  =\dfrac{4\sqrt{6}}{\sqrt{21}}$\\
B & $\left|  \sin\left(  \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)
\right|  =\dfrac{-1}{\sqrt{21}}$\\
C & $\left|  \sin\left(  \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)
\right|  =\sqrt{5}$\\
D & $\left|  \sin\left(  \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)
\right|  =\dfrac{\sqrt{5}}{21}$\\
E & $\left|  \sin\left(  \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)
\right|  =\dfrac{2\sqrt{5}}{\sqrt{21}}$%
\end{tabular}
\]
\hrule

\end{enumerate}


\end{document}