%\usepackage{pst-plot}

\documentclass[a4paper]{article}%
\usepackage{amsfonts}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage[a4paper]{geometry}
\usepackage{xspace}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{multicol}
\usepackage{theorem}
\usepackage{graphics}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{lastpage}
\usepackage[french]{layout}
\usepackage{boxedminipage}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{sectsty}
\usepackage{afterpage}
\usepackage[francais]{babel}%
\usepackage{amsmath}%
\setcounter{MaxMatrixCols}{30}%
\usepackage{amssymb}
%TCIDATA{OutputFilter=latex2.dll}
%TCIDATA{Version=5.00.0.2552}
%TCIDATA{CSTFile=40 LaTeX article.cst}
%TCIDATA{LastRevised=Thursday, September 02, 2004 18:49:03}
%TCIDATA{<META NAME="GraphicsSave" CONTENT="32">}
%TCIDATA{<META NAME="SaveForMode" CONTENT="1">}
\geometry{a4paper,marginpar=2cm,lmargin=0cm,rmargin=2cm,marginparsep=0pt,includemp=true,reversemp=true,headsep=-0.2in}
\setlength{\theorempostskipamount}{2\baselineskip}
\theoremheaderfont{\large\bfseries}
{\theorembodyfont{\large\upshape\mdseries}\theoremstyle{break}
\newtheorem{theorem}{Théorème}
}
\newcounter{Cack}[section]
{\theorembodyfont{\large\upshape}\theoremstyle{break}
\newtheorem{acknowledgement}[Cack]{A savoir}
}
\newcounter{Calg}[section]
{\theorembodyfont{\upshape}\theoremstyle{break}
\newtheorem{algorithm}[Calg]{Méthode}
}
\newcounter{Caxi}[section]
{\theorembodyfont{\itshape}
\newtheorem{axiom}[Caxi]{Axiome}
}
\newcounter{Ccas}[section]
{\theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{case}[Ccas]{Cas}
}
\newcounter{Ccorr}[section]
\renewcommand{\theCcorr}{\Roman{Ccorr}}
{\theorembodyfont{\upshape}\theoremstyle{break}
\newtheorem{claim}[Ccorr]{Correction de l'exercice}
}
\newcounter{Cconc}[theorem]
{\theorembodyfont{\large\mdseries}
\newtheorem{conclusion}[Cconc]{Conclusion}
}
\newcounter{Ccond}[theorem]
{\theorembodyfont{\large\mdseries}
\newtheorem{condition}[Ccond]{Hypothèse}
}
\newcounter{Cconj}[section]
{\theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{conjecture}[Cconj]{Conjecture}
}
\newcounter{Ccor}[section]
{\theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{corollary}[Ccor]{Corollaire}
}
\newcounter{Ccrit}[section]
{\theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{criterion}[Ccrit]{Critère}
}
\newcounter{Cdef}[section]
\newcounter{Cnot}[section]
{\theorembodyfont{\large\upshape}\theoremstyle{break}
\newtheorem{definition}[Cdef]{Définition}
\newtheorem{notation}[Cnot]{Notation}
}
\newcounter{Cexa}[section]
{\theorembodyfont{\slshape}
\newtheorem{example}[Cexa]{Exemple}
}
\newcounter{Cexe}[section]
\renewcommand{\theCexe}{\Roman{Cexe}}
{\theorembodyfont{\upshape}\theoremstyle{break}
\newtheorem{exercise}[Cexe]{Exercice}
}
\newcounter{Clem}[section]
{\theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{lemma}[Clem]{Lemme}
}
\newcounter{Cprob}[section]
\renewcommand{\theCprob}{\Roman{Cprob}.}
{\theorembodyfont{\upshape}\theoremstyle{break}
\newtheorem{problem}[Cprob]{Problème}
}
{\theorembodyfont{\large\mdseries}\newcounter{Cprop}[section]\theoremstyle{break}
\newtheorem{proposition}[Cprop]{Propriété}
}
\newcounter{Crem}[section]
{\theorembodyfont{\itshape}
\newtheorem{remark}[Crem]{Remarque}
}
\newcounter{Csol}[section]
{\theorembodyfont{\upshape}\theoremstyle{break}
\newtheorem{solution}[Csol]{Solution}
}
\newcounter{Csum}[section]{\theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{summary}[Csum]{En résumé}
}
\newenvironment{proof}[1][Démonstration]{\noindent\textbf{#1:}}{\ \fbox{cqfd.}}
\renewcommand{\theenumi}{\arabic{enumi}}
\renewcommand{\theenumii}{\alph{enumii}}
\renewcommand{\theenumiii}{\roman{enumiii}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi)}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii)}}
\renewcommand{\labelenumiii}{\textbf{\theenumiii.}}
\newcommand{\LeTitre}{}
\newcommand{\Titre}[1]{\title{#1}\renewcommand{\LeTitre}{#1}}
\newcommand{\LaClasse}{}
\newcommand{\Classe}[1]{\renewcommand{\LaClasse} {#1}}
\newcommand{\LaDate}{}
\newcommand{\Date}[1]{\author{#1}\renewcommand{\LaDate} {#1}}
\newcommand{\Duree}[1]{\date{#1}}
\newcommand{\Letablissement}{}
\newcommand{\Etablissement}[1]{\renewcommand{\Letablissement} {#1}}
\newcommand{\Ladiscipline}{}
\newcommand{\Discipline}[1]{\renewcommand{\Ladiscipline}{#1}}
\renewcommand{\thesection}{\Alph{section}}
\renewcommand{\thesubsection}{\thesection\arabic{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\thesubsection.\arabic{subsubsection}}
\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 13149451414120--
%%--Remplacement 2001--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{center}
{\LARGE ANNALES DE MATHEMATIQUES\bigskip}

{\LARGE BACCALAUREAT S \bigskip}

{\LARGE REMPLACEMENT 2001\bigskip}

{\Large ENONCE\medskip}
\end{center}

\begin{exercise}
[4 points]On dispose de deux urnes $a$ et $b$ contenant des boules blanches ou
rouges indiscernables au toucher. L'épreuve consiste à choisir une urne parmi
les urnes $a$ et $b$ proposées ( le choix de l'urne est effectuée au hasard,
les deux choix étant équiprobables ) puis à effectuer le tirage d'une boule
dans l'urne choisie.

On note $A$ l'évènement '' l'urne $a$ est choisie '' , $B$ l'évènement ''
l'urne $b$ est choisie '' et $R$ l'évènement '' une boule rouge est obtenue au
tirage ''.

On note $p_{A}\left(  R\right)  $ la probabilité conditionnelle de l'évènement
$R$ par rapport à l'évènement $A$.

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, l'urne $a$ contient une boule rouge et quatre
boules blanches, l'urne $b$ contient quatre boules rouges et deux boules blanches.

\begin{enumerate}
\item Déterminer les probabilités suivantes : $p\left(  A\right)  $,
$p_{A}\left(  R\right)  $, $p\left(  A\cap R\right)  $.

\item Montrer que
\[
p\left(  R\right)  =\frac{13}{30}%
\]


\item Sachant que la boule obtenue est rouge, quelle est la probabilité que
l'urne choisie soit l'urne $a$ ?
\end{enumerate}

\item Dans cette question, on suppose que l'urne $a$ contient quatre boules
blanches et l'urne $b$ deux boules blanches. L'urne $a$ contient en outre $n$
boules rouges ( où $n$ désigne un entier nature inférieur ou égal à $5$ ),
l'urne $b$ en contient $\left(  5-n\right)  $.

\begin{enumerate}
\item Exprimer $p_{A}\left(  R\right)  $ et $p_{B}\left(  R\right)  $ en
fonction de $n$.

\item Démontrer que
\[
p\left(  R\right)  =\frac{-n^{2}+4n+10}{\left(  4+n\right)  \left(
7-n\right)  }%
\]


\item On sait que $n$ ne prend que six valeurs entières. Déterminer la
répartition possible des cinq boules rouges entre les urnes $a$ et $b$ donnant
la plus grande valeur possible de $p\left(  R\right)  $.\medskip
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
[5 points]Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal $\left(
O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)  $ direct.

Soit $A$ le point d'affixe $i$ et $B$ le point d'affixe $-i.$

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{C}-\left\{  i\right\}  $ par :%
\[
f\left(  z\right)  =\frac{1-iz}{z-i}%
\]


\begin{enumerate}
\item Vérifier que pour tout $z$ de $\mathbb{C}-\left\{  i\right\}  $%
\[
f\left(  z\right)  =-i+\frac{2}{z-i}%
\]


\item
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $-i$ n'a pas d'antécédent par $f$.

\item Déterminer les antécédents de $0$ et de $i$ par $f$.
\end{enumerate}

\item A tout point $M$ différent de $A,$ d'affixe $z,$ on associe le point
$M^{\prime}$ d'affixe $z^{\prime}$ tel que $z^{\prime}=f\left(  z\right)  $.

\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout point $M$ différent de $A$, le produit des
longueurs $AM$ et $BM^{\prime}$ est égal à $2$ ( $AM.BM^{\prime}=2$ ).

\item Démontrer que lorsque $M$ décrit le cercle $C$ de centre $A$ et de rayon
$4$, $M^{\prime}$ se déplace sur un cercle $C^{\prime}$ dont on précisera le
centre et le rayon.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'ensemble $E$ des points $M\left(  z\right)  $ tels que
$z-i$ soit un nombre réel non nul.

\item Démontrer que lorsque $M$ décrit $E$, $M^{\prime}$ se déplace sur une
droite $\Delta$ que l'on précisera.

\item Lorsque $M$ décrit $E$, $M^{\prime}$ décrit-il toute la droite $\Delta$ ?
\end{enumerate}

\item Déterminer l'ensemble des points $M\left(  z\right)  $ tels que
$f\left(  z\right)  $ soit un imaginaire pur non nul.\medskip
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
[Problème 11 points]\emph{Les parties A, B et C peuvent être traitées
indépendamment les unes des autres.\medskip}

Le plan est muni d'un repère orthonormal $\mathcal{R}=\left(
O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)  $. L'unité graphique est $1$ cm.%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie A}{\subsection*{Partie A}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie A}%
%EndExpansion


Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par
\[
f\left(  x\right)  =\left(  x^{2}-3x+1\right)  e^{x}%
\]
Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le repère
$\mathcal{R}$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.

\item
\begin{enumerate}
\item Etudier le sens de variation de $f$ et donner le tableau de variation de
$f$.

\item Tracer $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}

\item Soit
\[
I=\int_{-3}^{0}f\left(  x\right)  \,dx
\]


\begin{enumerate}
\item Interpréter graphiquement $I$.

\item En utilisant l'intégration par parties, calculer
\[
\int_{-3}^{0}xe^{x}dx
\]
puis
\[
\int_{-3}^{0}x^{2}e^{x}dx
\]


\item En déduire la valeur exacte de $I$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie B}{\subsection*{Partie B}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie B}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item Soit $a$ et $b$ deux nombres réels et $g$ la fonction définie sur
$\mathbb{R}$ par
\[
g\left(  x\right)  =e^{\left(  x^{2}+ax+b\right)  }%
\]
Quelles sont les valeurs de $a$ et de $b$ pour lesquelles le tableau de
variation de $g$ est celui donné ci-dessous ?%
\[%
\begin{tabular}
[c]{l|lllll}%
$x$ & $-\infty$ &  & $\frac{3}{2}$ &  & $+\infty$\\\hline
$g^{\prime}\left(  x\right)  $ &  & $-$ & $0$ & $+$ & \\\hline
& $+\infty$ &  &  &  & $+\infty$\\
$g\left(  x\right)  $ &  &
%TCIMACRO{\TeXButton{Decroissent}{\parbox{1.4cm}{
%\setlength{\unitlength}{0.1cm}
%\begin{picture}(14,7)
%\put(0,7){\vector(2,-1){14}}
%\end{picture}
%}}}%
%BeginExpansion
\parbox{1.4cm}{
\setlength{\unitlength}{0.1cm}
\begin{picture}(14,7)
\put(0,7){\vector(2,-1){14}}
\end{picture}
}%
%EndExpansion
&  &
%TCIMACRO{\TeXButton{Croissant}{\parbox{1.4cm}{
%\setlength{\unitlength}{0.1cm}
%\begin{picture}(14,7)
%\put(0,0){\vector(2,1){14}}
%\end{picture}
%}}}%
%BeginExpansion
\parbox{1.4cm}{
\setlength{\unitlength}{0.1cm}
\begin{picture}(14,7)
\put(0,0){\vector(2,1){14}}
\end{picture}
}%
%EndExpansion
& \\
&  &  & $e^{-\frac{5}{4}}$ &  &
\end{tabular}
\
\]


\item Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par
\[
h\left(  x\right)  =e^{\left(  x^{2}-3x+1\right)  }%
\]
et $\Gamma$ sa courbe représentative dans le repère $\mathcal{R}$.

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la droite $D$ d'équation $x=\frac{3}{2}$ est axe de
symétrie de $\Gamma$.

\item Justifier l'affirmation suivante : \textquotedblright\ 3,2 est une
valeur approchée à $10^{-1}$ près d'une solution de l'équation $h\left(
x\right)  =5$ \textquotedblright

\item Soit $\alpha$ un nombre dont 1,7 est une valeur approchée à 0,5 près.
Etablir que
\[
0,28\leqslant h\left(  \alpha\right)  \leqslant0,47
\]

\end{enumerate}
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie C}{\subsection*{Partie C}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie C}%
%EndExpansion


Soit $u$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ dont le tableau de variation
est donné ci-dessous ( $a,$ $b$ et $c$ étant trois nombres réels ).%
\[%
\begin{tabular}
[c]{l|ccccccccc}%
$x$ & $-\infty$ & \multicolumn{3}{c}{$0$} & $a$ &  & $b$ &  & $+\infty
$\\\hline
& $+\infty$ & \multicolumn{3}{c}{} &  &  &  &  & $+\infty$\\
$u\left(  x\right)  $ &  & \multicolumn{3}{c}{%
%TCIMACRO{\TeXButton{Decroissent}{\parbox{1.4cm}{
%\setlength{\unitlength}{0.1cm}
%\begin{picture}(14,7)
%\put(0,7){\vector(3,-4){14}}
%\end{picture}
%}}}%
%BeginExpansion
\parbox{1.4cm}{
\setlength{\unitlength}{0.1cm}
\begin{picture}(14,7)
\put(0,7){\vector(3,-4){14}}
\end{picture}
}%
%EndExpansion
} &  &  &  &
%TCIMACRO{\TeXButton{Croissant}{\parbox{1.4cm}{
%\setlength{\unitlength}{0.1cm}
%\begin{picture}(14,7)
%\put(0,0){\vector(2,1){14}}
%\end{picture}
%}}}%
%BeginExpansion
\parbox{1.4cm}{
\setlength{\unitlength}{0.1cm}
\begin{picture}(14,7)
\put(0,0){\vector(2,1){14}}
\end{picture}
}%
%EndExpansion
& \\
&  & \multicolumn{3}{c}{} &  &  & 0 &  & \\
&  & \multicolumn{3}{c}{} &  &
%TCIMACRO{\TeXButton{Croissant}{\parbox{1.4cm}{
%\setlength{\unitlength}{0.1cm}
%\begin{picture}(14,7)
%\put(0,0){\vector(2,1){14}}
%\end{picture}
%}}}%
%BeginExpansion
\parbox{1.4cm}{
\setlength{\unitlength}{0.1cm}
\begin{picture}(14,7)
\put(0,0){\vector(2,1){14}}
\end{picture}
}%
%EndExpansion
&  &  & \\
&  &  &  &  & $c$ &  &  &  &
\end{tabular}
\
\]
Soit $v_{1},$ $v_{2},$ $v_{3}$ les fonctions définies par :%
\[
v_{1}\left(  x\right)  =e^{u\left(  x\right)  }\qquad v_{2}\left(  x\right)
=u\left(  e^{x}\right)  \qquad v_{3}\left(  x\right)  =u\left(  x\right)
e^{x}%
\]


\begin{enumerate}
\item Déterminer le sens de variation des fonctions $v_{1}$ et $v_{2}$ ( en
justifiant votre réponse ).

\item Indiquer un intervalle sur lequel il est possible de donner le sens de
variation de la fonction $v_{3}$ ( en justifiant votre réponse ).
\end{enumerate}
\end{exercise}


\end{document}