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\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 13148831811468--
%%--Pondichéry 2001--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{center}
{\LARGE ANNALES DE MATHEMATIQUES\bigskip}

{\LARGE BACCALAUREAT S \bigskip}

{\LARGE PONDICHERY 2001\bigskip}

{\Large ENONCE\medskip}
\end{center}

\begin{exercise}
$\vspace*{-0.35cm}$

\begin{enumerate}
\item On pose, pour tout entier naturel $n$ non nul,
\[
I_{n}=\frac{1}{n!}\int_{0}^{1}(1-x)^{n}e^{-x}dx.
\]


\begin{enumerate}
\item Á l'aide d'une intégration par parties, calculer I$_{1}$.

\item Prouver que , pour tout entier naturel $n$ non nul,
\[
0\leqslant I_{n}\leqslant\frac{1}{n!}\int_{0}^{1}e^{-x}dx.
\]
En déduire $\lim_{n\rightarrow+\infty}I_{n}.$

\item Montrer, en utilisant une intégration par parties, que, pour tout entier
naturel $n$ non nul, on a:
\[
I_{n+1}=\frac{1}{(n+1)!}-I_{n}%
\]

\end{enumerate}

\item On considère la suite réelle $(a_{n})$, définie sur ${\mathbb{N}^{\ast}%
}$ par $a_{1}=0$ et, pour tout entier naturel $n$ non nul,
\[
a_{n+1}=a_{n}+\frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}.
\]


\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ non nul,
\[
a_{n}=\frac{1}{e}+(-1)^{n}I_{n}.
\]


\item En déduire $\lim_{n\rightarrow+\infty}a_{n}.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
On considère l'application $f$ qui à tout nombre complexe $z$ différent de 1,
associe le nombre complexe
\[
f(z)=\frac{2-iz}{1-z}%
\]
L'exercice étudie quelques propriétés de $f$.\newline Le plan est rapporté à
un repère orthonormal direct ${\mbox{$\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$}}$
d'unité graphique 2 cm, dans lequel seront représentés les ensembles trouvés
aux questions \textbf{1.} et \textbf{2.} \newline A est le point d'affixe 1 et
B celui d'affixe $-2i$.\newline

\begin{enumerate}
\item On pose $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ réels.\newlineÉcrire $f(z)$ sous forme
algébrique. En déduire l'ensemble des points M d'affixe $z$ tels que $f(z)$
soit un réel et représenter cet ensemble.\newline

\item On pose $z^{\prime}=f(z).$

\begin{enumerate}
\item Vérifier que $i$ n'a pas d'antécédent par $f$ et exprimer, pour
$z^{\prime}$ différent de $i$, $z$ en fonction de $z^{\prime}$.

\item M est le point d'affixe $z$ ($z$ différent de 1) et M' celui d'affixe
$z^{\prime}$ ($z^{\prime}$différent de $i$).\newline Montrer que
$OM=\frac{\displaystyle{M^{\prime}C}}{\displaystyle{M^{\prime}D}} $ où C et D
sont les points d'affixes respectives 2 et $i$.

\item Montrer que, lorsque le point M décrit le cercle de centre O et de rayon
1 privé du point A, son image M' appartient à une droite fixe que l'on
définira géométriquement.

\item Montrer que, si M est un point de l'axe des réels, différent de O et de
A, alors M' appartient à la droite (CD).
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
[Problème]Dans tout le problème, (C) désigne la courbe d'équation $y=\ln x$
représentant la fonction logarithme népérien dans le plan rapporté à un repère
orthonormal d'origine O et d'unité graphique 4 cm.\newline\textit{Question
préliminaire}: Tracer avec soin mais sans étude de la fonction, la courbe (C)
et la droite (D) d'équation $y=x.$\newline%
%TCIMACRO{\TeXButton{Partie A}{\subsection*{Partie A}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie A}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente ($\Delta$) à (C) au point I
d'abscisse 1.

\item \'Etudier les variations de la fonction $f$ définie sur l'intervalle
$]0;+\infty[$ par $f(x)=x-1-\ln x.$

\item En déduire la position de (C) par rapport à $\Delta$.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Déduire de la question précédente la valeur minimale prise par $x-\ln x
$ sur l'intervalle $]0;+\infty[$.

\item M et N sont les points de même abscisse $x$ des coubes (C) et (D)
respectivement.\newline Déterminer la plus petite valeur (exprimée en cm)
prise par la distance MN lorsque $x$ décrit l'intervalle $]0; +\infty[$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie B}{\subsection*{Partie B}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie B}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item Soit M le point d'abscisse $x$ de la courbe (C). Exprimer la distance OM
de l'origine à M en fonction de $x$.

\item \textit{\'Etude de la fonction auxiliaire u définie sur }$]0;+\infty[$
\textit{par} $u(x)=x^{2}+\ln x$

\begin{enumerate}
\item Justifier les limites de $u(x)$ en 0 et en $+\infty$ ainsi que le sens
de variation de $u$.

\item Montrer qu'il existe un réel $\alpha$ et un seul tel que $u(\alpha
)=0$.\newline Montrer que $\alpha$ est compris entre 0,5 et 1 puis donner un
encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.

\item Déterminer le signe de $u(x)$ suivant la valeur de $x$.
\end{enumerate}

\item \textit{\'Etude de la fonction g définie sur } $]0;+\infty[$
\textit{par} $g(x)=x^{2}+(\ln x)^{2}$.\newline Calculer $g^{\prime}(x)$ et
vérifier que $g^{\prime}(x)=\frac{2}{x}u(x)$.\newline En déduire le tableau de
variation de $g$.

\item Déduire des questions précédentes la valeur exacte de la plus courte
distance de l'origine aux points de la courbe (C) et en donner une valeur
approchée (exprimée en cm) en utilisant pour $\alpha$ la valeur centrale de
l'encadrement trouvé à la question \textbf{2.} \textit{b)}.

\item A étant le point d'abscisse $\alpha$ de (C), démontrer que la tangente
en A est perpendiculaire à la droite (OA).\newline
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie C}{\subsection*{Partie C. Étude d'une suite}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie C. Étude d'une suite}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item Montrer que le réel $\alpha$ défini dans \textbf{la partie B} est
solution de l'équation $h(x)=x$, où $h $ est la fonction définie sur
$]0;+\infty[$ par
\[
h(x)=x-\frac{1}{4}(x^{2}+\ln x).
\]


\item
\begin{enumerate}
\item Calculer $h^{\prime}(x)$ et étudier son signe sur l'intervalle $\left[
\frac{1}{2};1\right] .$

\item Prouver que $h\left( \left[ \frac{1}{2};1\right] \right) \subset\left[
\frac{1}{2};1\right]  .$

\item Calculer $h^{\prime\prime}(x)$ et étudier son signe sur l'intervalle
$\left[ \frac{1}{2};1\right] .$

\item En déduire que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $\left[
\frac{1}{2};1\right] $ , on a
\[
0\leqslant h^{\prime}(x)\leqslant0,3.
\]

\end{enumerate}

\item On définit la suite $(u_{n})$ par : $u_{0}=1$ et, pour tout entier
naturel $n$,
\[
u_{n+1}=h(u_{n}).
\]


\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $\frac{1}{2}\leqslant
u_{n}\leqslant1$, et que la suite $(u_{n})$ est décroissante.

\item \textsl{\ Attention, cette question n'est plus au nouveau programme du
baccalauréat S.}\newline En utilisant l'inégalité des accroissements finis,
montrer que l'on a pour tout entier naturel $n$, $|u_{n+1}-\alpha
|\leqslant0,3|u_{n}-\alpha|$ puis que $|u_{n}-\alpha|\leqslant\frac{1}%
{2}(0,3)^{n}.$

\item En déduire que la suite $(u_{n})$ converge vers $\alpha$

\item Déterminer un entier $n_{0}$ tel que $u_{n_{0}}$ soit une valeur
approchée de $\alpha$ à 10$^{-5}$ près et indiquer la valeur de $u_{n_{0}}$
donnée par la calculatrice (avec 5 décimales).
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}


\end{document}