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\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 13141204012280--
%%--National 2001--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{center}
{\LARGE ANNALES DE MATHEMATIQUES\bigskip}

{\LARGE BACCALAUREAT S \bigskip}

{\LARGE NATIONAL 2001\bigskip}

{\Large ENONCE\medskip}
\end{center}

\begin{exercise}
[6 points]Soient trois points de l'espace $A,$ $B,$ $C$ non alignés et soit
$k$ un réel de l'intervalle $\left[  -1;1\right]  .$ On note $G_{k}$ le
barycentre du système
\[
\left\{  \left(  A,k^{2}+1\right)  ,\left(  B,k\right)  ,\left(  C,-k\right)
\right\}
\]


\begin{enumerate}
\item Représenter les points $A,$ $B$, $C$, le milieu $I$ de $\left[
BC\right]  $ et construire les points $G_{1}$ et $G_{-1}.$

\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $k$ de l'intervalle $\left[  -1,1\right]  ,$
on a l'égalité :%
\[
\overrightarrow{AG_{k}}=\frac{-k}{k^{2}+1}\overrightarrow{BC}%
\]


\item Etablir le tableau de variation de la fonction $f$ définie sur $\left[
-1,1\right]  $ par
\[
f\left(  x\right)  =-\frac{x}{x^{2}+1}%
\]


\item En déduire l'ensemble des points $G_{k}$ quand $k$ décrit l'intervalle
$\left[  -1,1\right]  $.\newline\textit{Pour la suite de l'exercice, aucune
figure n'est demandée sur la copie.}
\end{enumerate}

\item Déterminer l'ensemble $E$ des points $M$ de l'espace tels que :%
\[
\left\|  2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right\|
=\left\|  2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow
{MC}\right\|
\]


\item Déterminer l'ensemble $F$ des points $M$ de l'espace tels que :%
\[
\left\|  2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right\|
=\left\|  2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow
{MC}\right\|
\]


\item L'espace est maintenant rapporté à un repère orthonormal $\left(
O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)  $. Les
points $A,$ $B,$ $C$ ont pour coordonnées respectives $\left(  0;0;2\right)
$, $\left(  -1;2;1\right)  $ et $\left(  -1;2;5\right)  $. Le point $G_{k}$ et
les ensembles $E$ et $F$ sont définis comme ci-dessus.

\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées de $G_{1}$ et $G_{-1}$. Montrer que les
ensembles $E$ et $F$ sont sécants.

\item Calculer le rayon du cercle $\mathcal{C}$ intersection de $E$ et $F$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
[5 points]Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct
$\left(  O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)  $ ( unité graphique :
6 cm ). On considère la suite $\left(  \alpha_{n}\right)  $ de nombres réels
définie par $\alpha_{0}=\frac{\pi}{2}$ et pour tout entier naturel $n,$
\[
\alpha_{n+1}=\alpha_{n}+\frac{5\pi}{6}%
\]
Pour tout entier naturel $n,$ on appelle $M_{n}$ le point du cercle
$\mathcal{C}$ de centre $O$ de rayon $1$ tel que l'angle
\[
\left(  \overrightarrow{u},\overrightarrow{OM_{n}}\right)
\]
ait pour mesure $\alpha_{n}$.

\begin{enumerate}
\item Placer les douze points $M_{0},$ $M_{1},$ $M_{2},\ldots,M_{11}$.

\item On appelle $z_{n}$ l'affixe de $M_{n}.$ Montrer que pour tout entier
naturel $n,$ on a l'égalité :%
\[
z_{n}=e^{i\left(  \frac{\pi}{2}+\frac{5n\pi}{6}\right)  }%
\]


\item
\begin{enumerate}
\item Montrer pour tout entier naturel $n,$ les propriétés suivantes :

\begin{itemize}
\item les points $M_{n}$ et $M_{n+6}$ sont diamétralement opposés;

\item les points $M_{n}$ et $M_{n+12}$ sont confondus.
\end{itemize}

\item Montrer que pour tout entier naturel $n,$ on a l'égalité :%
\[
z_{n+4}=e^{-\frac{2i\pi}{3}}z_{n}%
\]
En déduire que la distance $M_{n}M_{n+4}$ vaut $\sqrt{3}$ puis que le triangle
$M_{n}M_{n+4}M_{n+8}$ est équilatéral.\newline On admettra que tous les
triangles équilatéraux ayant pour sommets des points $M_{n}$ sont de la forme
$M_{n}M_{n+4}M_{n+8}$.
\end{enumerate}

\item Douze cartons indiscernables au toucher, marqués $M_{0},$ $M_{1},$
$M_{2},\ldots$, $M_{11}$ sont disposés dans une urne. On tire au hasard et
simultanément trois cartons de l'urne. Calculer la probabilité d'obtenir les
trois sommets d'un triangle équilatéral. \medskip
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
[Problème 9 points]Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct
$\left(  O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)  $. Toutes les courbes
demandées seront représentées sur un même graphique ( unité graphique : 2 cm ).%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie A}{\subsection
%*{Partie A: \'Etude d'une fonction $f$}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie A: \'Etude d'une fonction $f$}%
%EndExpansion


On définit la fonction $f$ sur $\left]  0,+\infty\right[  $ par :%
\[
f\left(  x\right)  =\ln\left(  \sqrt{1+x}-1\right)
\]


\begin{enumerate}
\item Calculer les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$.

\item Etudier le sens de variation de $f$ sur $\left]  0,+\infty\right[  $.

\item Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans $\left(
O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)  $ et $A$ le point de
$\mathcal{C}$ d'abscisse $3$. Calculer l'ordonnée de $A$. Soit $B$ le point de
$\mathcal{C}$ d'abscisse $\frac{5}{4},$ $P$ le projeté orthogonal de $B$ sur
l'axe $\left(  O;\overrightarrow{u}\right)  $ et $H$ le projeté orthogonal de
$B$ sur l'axe $\left(  O;\overrightarrow{v}\right)  .$\newline Déterminer les
valeurs exactes des coordonnées des points $B,$ $P$ et $H$. Placer les points
$A,$ $B,$ $P$ et $H$ dans le repère $\left(  O;\overrightarrow{u}%
,\overrightarrow{v}\right)  $ et représenter la courbe $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie B}{\subsection
%*{Partie B. Utilisation d'une rotation}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie B. Utilisation d'une rotation}%
%EndExpansion


Soit $r$ la rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$. A tout point
$M$ du plan d'affixe $z,$ la rotation $r$ associe le point $M^{\prime}$
d'affixe $z^{\prime}$.

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Donner $z^{\prime}$ en fonction de $z$. On note $z=x+iy$ et $z^{\prime
}=x^{\prime}+iy^{\prime}$ $\left(  x,y,x^{\prime},y^{\prime}\text{
réels}\right)  ,$ exprimer $x^{\prime}$ et $y^{\prime}$ en fonction de $x$ et
$y,$ puis exprimer $x$ et $y$ en fonction de $x^{\prime}$ et $y^{\prime}$.

\item Déterminer les coordonnées des points $A^{\prime}$, $B^{\prime}$ et
$P^{\prime}$ images respectives des points $A,$ $B$ et $P$ par la rotation $r$.
\end{enumerate}

\item On appelle $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par
\[
g\left(  x\right)  =e^{-2x}+2e^{-x}%
\]
et $\Gamma$ sa courbe représentative dans le repère $\left(  O;\overrightarrow
{u},\overrightarrow{v}\right)  $.

\begin{enumerate}
\item Montrer que lorsqu'un point $M$ appartient à $\mathcal{C}$, son image
$M^{\prime}$ par $r$ appartient à $\Gamma$. On admet que lorsque le point $M$
décrit $\mathcal{C}$, le point $M^{\prime}$ décrit $\Gamma$.

\item Tracer sur le graphique précédent les points $A^{\prime},$ $B^{\prime},
$ $P^{\prime}$ et la courbe $\Gamma$ ( l'étude des variations de $g$ n'est pas
demandée ).
\end{enumerate}
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie C}{\subsection*{Partie C. Calculs d'itégrales}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie C. Calculs d'itégrales}%
%EndExpansion


On rappelle que l'image d'un domaine plan par une rotation est un domaine plan
de même aire.

\begin{enumerate}
\item Calculer l'intégrale
\[
\int_{0}^{\ln2}g\left(  x\right)  \,dx
\]
Interpréter géométriquement cette intégrale.

\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer, en unités d'aire, l'aire $\mathcal{A}$ du domaine plan
$\mathcal{D}$ limité par les segments $\left[  AO\right]  ,$ $\left[
OH\right]  $ et $\left[  HB\right]  $ et l'arc de courbe $\mathcal{C}$
d'extrémités $B$ et $A$.

\item On pose
\[
I=\int_{\frac{5}{4}}^{3}\ln\left(  \sqrt{1+x}-1\right)  \,dx
\]
trouver une relation entre $\mathcal{A}$ et $I$ puis en déduire la valeur
exacte de l'intégrale $I.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}


\end{document}