%\usepackage{pst-plot}

\documentclass[a4paper]{article}%
\usepackage{amsfonts}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage[a4paper]{geometry}
\usepackage{xspace}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{multicol}
\usepackage{theorem}
\usepackage{graphics}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{lastpage}
\usepackage[french]{layout}
\usepackage{boxedminipage}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{sectsty}
\usepackage{afterpage}
\usepackage[francais]{babel}%
\usepackage{amsmath}%
\setcounter{MaxMatrixCols}{30}%
\usepackage{amssymb}
%TCIDATA{OutputFilter=latex2.dll}
%TCIDATA{Version=5.00.0.2552}
%TCIDATA{CSTFile=40 LaTeX article.cst}
%TCIDATA{LastRevised=Thursday, September 02, 2004 18:49:31}
%TCIDATA{<META NAME="GraphicsSave" CONTENT="32">}
%TCIDATA{<META NAME="SaveForMode" CONTENT="1">}
\geometry{a4paper,marginpar=2cm,lmargin=0cm,rmargin=2cm,marginparsep=0pt,includemp=true,reversemp=true,headsep=-0.2in}
\setlength{\theorempostskipamount}{2\baselineskip}
\theoremheaderfont{\large\bfseries}
{\theorembodyfont{\large\upshape\mdseries}\theoremstyle{break}
\newtheorem{theorem}{Théorème}
}
\newcounter{Cack}[section]
{\theorembodyfont{\large\upshape}\theoremstyle{break}
\newtheorem{acknowledgement}[Cack]{A savoir}
}
\newcounter{Calg}[section]
{\theorembodyfont{\upshape}\theoremstyle{break}
\newtheorem{algorithm}[Calg]{Méthode}
}
\newcounter{Caxi}[section]
{\theorembodyfont{\itshape}
\newtheorem{axiom}[Caxi]{Axiome}
}
\newcounter{Ccas}[section]
{\theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{case}[Ccas]{Cas}
}
\newcounter{Ccorr}[section]
\renewcommand{\theCcorr}{\Roman{Ccorr}}
{\theorembodyfont{\upshape}\theoremstyle{break}
\newtheorem{claim}[Ccorr]{Correction de l'exercice}
}
\newcounter{Cconc}[theorem]
{\theorembodyfont{\large\mdseries}
\newtheorem{conclusion}[Cconc]{Conclusion}
}
\newcounter{Ccond}[theorem]
{\theorembodyfont{\large\mdseries}
\newtheorem{condition}[Ccond]{Hypothèse}
}
\newcounter{Cconj}[section]
{\theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{conjecture}[Cconj]{Conjecture}
}
\newcounter{Ccor}[section]
{\theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{corollary}[Ccor]{Corollaire}
}
\newcounter{Ccrit}[section]
{\theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{criterion}[Ccrit]{Critère}
}
\newcounter{Cdef}[section]
\newcounter{Cnot}[section]
{\theorembodyfont{\large\upshape}\theoremstyle{break}
\newtheorem{definition}[Cdef]{Définition}
\newtheorem{notation}[Cnot]{Notation}
}
\newcounter{Cexa}[section]
{\theorembodyfont{\slshape}
\newtheorem{example}[Cexa]{Exemple}
}
\newcounter{Cexe}[section]
\renewcommand{\theCexe}{\Roman{Cexe}}
{\theorembodyfont{\upshape}\theoremstyle{break}
\newtheorem{exercise}[Cexe]{Exercice}
}
\newcounter{Clem}[section]
{\theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{lemma}[Clem]{Lemme}
}
\newcounter{Cprob}[section]
\renewcommand{\theCprob}{\Roman{Cprob}.}
{\theorembodyfont{\upshape}\theoremstyle{break}
\newtheorem{problem}[Cprob]{Problème}
}
{\theorembodyfont{\large\mdseries}\newcounter{Cprop}[section]\theoremstyle{break}
\newtheorem{proposition}[Cprop]{Propriété}
}
\newcounter{Crem}[section]
{\theorembodyfont{\itshape}
\newtheorem{remark}[Crem]{Remarque}
}
\newcounter{Csol}[section]
{\theorembodyfont{\upshape}\theoremstyle{break}
\newtheorem{solution}[Csol]{Solution}
}
\newcounter{Csum}[section]{\theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{summary}[Csum]{En résumé}
}
\newenvironment{proof}[1][Démonstration]{\noindent\textbf{#1:}}{\ \fbox{cqfd.}}
\renewcommand{\theenumi}{\arabic{enumi}}
\renewcommand{\theenumii}{\alph{enumii}}
\renewcommand{\theenumiii}{\roman{enumiii}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi)}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii)}}
\renewcommand{\labelenumiii}{\textbf{\theenumiii.}}
\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 13141089594019--
%%--Corrigé du document N° 13140333812339--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{center}
{\LARGE ANNALES DE MATHEMATIQUES\bigskip}

{\LARGE BACCALAUREAT S \bigskip}

{\LARGE NOUVELLE CALEDONIE 2001\bigskip}

{\Large ELEMENTS DE SOLUTIONS\medskip}
\end{center}

\begin{exercise}
$\vspace*{-0.35cm}$

\begin{enumerate}
\item L'image de $0$ par $f$ est $f(0)=\ln\sqrt{9}=\ln3$.\newline L'image de
$4$ par $f$ est $f(4)=\ln(4+\sqrt{25})=\ln9=2\ln3$.\newline Un antécédent de
$0$ par $f$ est une solution de $f(x)=0$ c'est à dire de
\[
\ln(x+\sqrt{x^{2}+9})=0
\]
\newline Or $\ln(x+\sqrt{x^{2}+9})=0$ est équivalente
\[
x+\sqrt{x^{2}+9}=1\Leftrightarrow\sqrt{x^{2}+9}=1-x
\]
Un réel vérifiant
\[
\sqrt{x^{2}+9}=1-x
\]
vérifie également
\[
x^{2}+9=(1-x)^{2}%
\]
Après développement et réduction la seule valeur possible est $x=-4$.\newline
On vérifie que cette valeur est bien solution de l'équation $f(x)=0$.

\begin{enumerate}
\item On a :%
\[%
\begin{array}
[c]{c}%
\lim_{x\longrightarrow+\infty}x^{2}+9=+\infty\quad\lim_{x\longrightarrow
+\infty}\sqrt{x}=+\infty\\
\Rightarrow\lim_{x\longrightarrow+\infty}\sqrt{x^{2}+9}=+\infty\Rightarrow
\lim_{x\longrightarrow+\infty}x+\sqrt{x^{2}+9}=+\infty
\end{array}
\]
Comme
\[
\lim_{x\longrightarrow+\infty}\ln x=+\infty
\]
il en résulte que%

\[
\lim_{x\longrightarrow+\infty}\ln(x+\sqrt{x^{2}+9})=\lim_{x\longrightarrow
+\infty}f(x)=+\infty
\]


\item Pour tout réel $x$,
\[
\sqrt{x^{2}+9}>|x|
\]
donc
\[
\sqrt{x^{2}+9}-x>|x|-x
\]
Or pour tout $x$ réel,
\[
|x|-x\geqslant0
\]
Donc pour tout $x$ réel
\[
\sqrt{x^{2}+9}-x>0
\]
De
\[
(\sqrt{x^{2}+9}-x)(\sqrt{x^{2}+9}+x)=9
\]
on déduit, en divisant les deux membres par le réel non nul $\sqrt{x^{2}+9}-x
$,
\[
\sqrt{x^{2}+9}+x=\frac{9}{\sqrt{x^{2}+9}-x}%
\]%
\[
\lim_{x\longrightarrow-\infty}x^{2}+9=+\infty\quad\lim_{x\longrightarrow
+\infty}\sqrt{x}=+\infty\Rightarrow\lim_{x\longrightarrow-\infty}\sqrt
{x^{2}+9}=+\infty
\]
et par suite
\[
\lim_{x\longrightarrow-\infty}\sqrt{x^{2}+9}-x=+\infty
\]
D'où
\[
\lim_{x\longrightarrow-\infty}\frac{9}{\sqrt{x^{2}+9}-x}=0
\]
Comme
\[
\lim_{x\longrightarrow0}\ln x=-\infty
\]
il en résulte que%
\[
\lim_{x\longrightarrow-\infty}\ln(x+\sqrt{x^{2}+9})=\lim_{x\longrightarrow
-\infty}f(x)=-\infty
\]

\end{enumerate}

\item $f$ est du type $\ln u$ avec
\[
u(x)=x+\sqrt{x^{2}+9}%
\]
$\ln u$ a pour dérivée $\frac{u^{\prime}}{u}$ avec
\[
u^{\prime}(x)=1+\frac{x}{\sqrt{x^{2}+9}}%
\]
D'où
\[
f^{\prime}(x)=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{x^{2}+9}}}{x+\sqrt{x^{2}+9}}=\frac
{\sqrt{x^{2}+9}+x}{x+\sqrt{x^{2}+9}}\times\frac{1}{\sqrt{x^{2}+9}}=\frac
{1}{\sqrt{x^{2}+9}}%
\]
On en déduit que $f^{\prime}(x)$ est strictement positive sur $\mathbb{R}$,
donc $f$ strictement croissante sur $\mathbb{R}$.\newline D'où le tableau de
variation de $f$ :\\[0.2cm]%

\[%
%TCIMACRO{\FRAME{itbpF}{3.2387in}{1.4188in}{0cm}{}{}{tab1.eps}%
%{\special{ language "Scientific Word";  type "GRAPHIC";
%maintain-aspect-ratio TRUE;  display "USEDEF";  valid_file "F";
%width 3.2387in;  height 1.4188in;  depth 0cm;  original-width 3.0652in;
%original-height 1.3283in;  cropleft "0";  croptop "1";  cropright "1";
%cropbottom "0";  filename 'Include/tab1.eps';file-properties "XNPEU";}}}%
%BeginExpansion
\raisebox{-0cm}{\includegraphics[
height=1.4188in,
width=3.2387in
]%
{Include/i3faqj09.eps}%
}%
%EndExpansion
\]


\begin{enumerate}
\item Pour tout réel $x$,
\[
g\circ f(x)=\frac{1}{2}e^{f(x)}-\frac{9}{2}e^{-f(x)}%
\]
Or
\[
e^{f(x)}=e^{\ln(x+\sqrt{x^{2}+9})}=x+\sqrt{x^{2}+9}%
\]
et par suite
\[
e^{-f(x)}=\frac{1}{x+\sqrt{x^{2}+9}}=\frac{1}{9}(\sqrt{x^{2}+9}-x)
\]
d'après la question \textbf{2} (b).D'où
\[
g\circ f(x)=\frac{1}{2}(x+\sqrt{x^{2}+9})-\frac{9}{2}\times\frac{1}{9}%
(\sqrt{x^{2}+9}-x)=x
\]


\item Si $M(x;y)\in(C)$ c'est à dire $y=f(x)$ alors $g(y)=g\circ f(x)=x$ donc
le point $M^{\prime}(y;x)\in(C^{\prime})$.\newline Réciproquement, si
$M^{\prime}(y;x)\in(C^{\prime})$ c'est à dire $x=g(y)$ alors $f(x)=f\circ
g(y)=y$ c'est à dire $M(x;y)\in(C)$. \newline En résumé $M(x;y)\in(C)$ si et
seulement si $M^{\prime}(x,y)\in(C^{\prime})$.

\item Il résulte de la dérivabilité et de la stricte croissance de $f$ sur
l'intervalle $[0\,;\,\ln3]$, que $f$ réalise une bijection de $[0\,;\,\ln3] $
sur $[-4\,;\,0]$. En particulier si $y\in\lbrack0\,;\,\ln3]$ alors
$g(y)\in\lbrack-4\,;\,0]$ : $g$ est négative sur $[0\,;\,\ln3]$.
\end{enumerate}

\item Les domaines $D_{1}$ et $D_{2}$ ayant la même aire calculons celle du
domaine $D_{1}$. Puisque $g$ est dérivable et négative sur $[0\,;\,\ln3]$,
$D_{1}$ est donnée, en unités d'aire, par%
\[
{\int_{0}^{\ln3}-\,g(x)\,\mathrm{d}x}={\int_{\ln3}^{0}g(x)\,\mathrm{d}x}%
\]
Une primitive de $g$ sur $\mathbb{R}$ est la fonction
\[
x\longrightarrow\frac{1}{2}e^{x}+\frac{9}{2}e^{-x}%
\]
Par suite
\[
A(D_{1})=\frac{1}{2}[1-3]+\frac{9}{2}\left[  1-\frac{1}{3}\right]
\]
Soit
\[
A(D_{1})=2
\]
\bigskip
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
$\vspace*{-0.35cm}$

\begin{enumerate}
\item $\overrightarrow{AB}(2;0;-1)$, $\overrightarrow{AC}(0;1;1)$. Ces deux
vecteurs ne sont pas colinéaires car leurs coordonnées de même nom ne sont pas
proportionnelles donc les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés. Par
suite $A$, $B$, $C$ déterminent un plan.\newline Un vecteur normal au plan
$ABC$ est le vecteur
\[
\overrightarrow{u_{1}}=\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}%
\]
de coordonnées $(1;-2;2)$. Donc une équation cartésienne de ce plan est du
type
\[
x-2y+2z+c=0
\]
Les coordonnées de $A$ vérifient cette équation donc $1-4+4+c=0$. D'où
$c=-1$.\newline Une équation du plan $(ABC)$ est donc
\[
x-2y+2z-1=0
\]


\begin{enumerate}
\item On remarque que $P_{1}$ est le plan $ABC$ déterminé à la question
précédente. Un vecteur normal à $P_{1}$ est $\overrightarrow{u_{1}}%
(1;-2;2)$.\newline Un vecteur normal à $P_{2}$ est $\overrightarrow{u_{2}}$ de
coordonnées $(1;-3;2)$.\newline Les vecteurs $\overrightarrow{u_{1}}$ et
$\overrightarrow{u_{2}}$ dont les coordonnées de même nom ne sont pas
proportionnelles ne sont pas colinéaires et par suite les plan $P_{1}$ et
$P_{2}$ sont sécants.

\item $C\in P_{1}=ABC$ ; $1-3\times3+2\times3+2=0$ : les coordonnées de $C$
vérifient l'équation de $P_{2}$ donc $C$ appartient à $P_{2}$. Par suite
$C\in\Delta$.

\item La translation de vecteur $\vec{u}$ transforme $C$ en $C^{\prime}$ de
coordonnées $(3;3;2)$. Les coordonnées de $C^{\prime}$ vérifient les équations
de $P_{1}$ ($3-2\times3+2\times2-1=0$) et de $P_{2}$ ($3-3\times
3+2\times2+2=0$). Donc
\[
C^{\prime}\in P_{1}\cap P_{2}=\Delta
\]
Le vecteur $\overrightarrow{CC^{\prime}}$ est donc directeur de $\Delta$. Il a
pour coordonnées $(2;0;-1)$. On constate qu'il s'agit du vecteur $\vec{u}$ qui
dirige bien $\Delta$.

\item La droite $\Delta$, déterminée par le point $C$ et le vecteur $\vec{u}
$, a donc pour représentation paramétrique :
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
x=1+2k\\
y=3\qquad\qquad k\in\mathbb{R}\ .\\
z=3-k
\end{array}
\right.
\]

\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\item $\overrightarrow{AM}(2k;1;1-k)$. Or $\overrightarrow{AM}$ et
$\overrightarrow{u}$ sont orthogonaux ssi leur produit scalaire
\[
\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{u}=5k-1
\]
est nul. Soit ssi $k=\frac{1}{5}$. Le point $M$ correspondant à cette valeur
de $k$ est le point $M_{0}$.

\item $AM_{0}$ représente alors la distance de $A$ à la droite $\Delta
$.\newline$\overrightarrow{AM_{0}}$ a pour coordonnées $\left(  \frac{2}%
{5};1;\frac{4}{5}\right)  $. Par suite
\[
AM_{0}=||\overrightarrow{\strut AM_{0}}||=\sqrt{\frac{45}{25}}=\frac{3\sqrt
{5}}{5}%
\]
\bigskip
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
[Problème]%
%TCIMACRO{\TeXButton{Partie A}{\subsection*{Partie A}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie A}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item On a :%
\[
\lim_{x\longrightarrow0}10(8-x)=-80\quad\lim_{x\longrightarrow0}x(x-1)=0
\]
et $x(x-1)<0$ sur $]0;1[$, donc
\[
\lim_{x\longrightarrow0}f(x)=+\infty
\]
Pour $x\not =0$,
\[
f(x)=\frac{10-\frac{8}{x}}{x-1}%
\]
Or
\[
\lim_{x\longrightarrow+\infty}10-\frac{8}{x}=10\quad\lim_{x\longrightarrow
+\infty}x-1=+\infty
\]
donc
\[
\lim_{x\longrightarrow+\infty}f(x)=0
\]


\item De même :%
\[
\lim_{x\longrightarrow1}10(x-1)=-70\quad\lim_{x\longrightarrow1}x(x-1)=0
\]
Or $x(x-1)<0$ sur $]0;1[$ et $x(x-1)>0$ sur $]1;+\infty\lbrack$. Donc
\[
\lim_{\underset{x<1}{x\longrightarrow1}}f(x)=+\infty\quad\lim_{\underset
{x>1}{x\longrightarrow1}}f(x)=-\infty
\]


\item On déduit des résultats précédents que les droites d'équations $x=0$ et
$x=1$ sont asymptotes à $(\mathcal{C})$ parallèles à $(O;\vec{i})$, et que la
droite d'équation $y=0$ est asymptote à $(\mathcal{C})$ au voisinage de
$+\infty$.
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\item Sur chacun des intervalles $]0;1[$ et $]1;+\infty\lbrack$, $f$ est
dérivable et
\[
f^{\prime}(x)=\frac{10x(x-1)-10(x-8)(2x-1)}{(x(x-1))^{2}}%
\]
Soit après développement et réduction
\[
f^{\prime}(x)=\frac{-10x^{2}+160x-80}{(x(x-1))^{2}}%
\]


\item $f^{\prime}(x)=0$ ssi
\[
x^{2}-16x+8=0
\]
Le discriminant de ce trinôme est $\Delta=256-32=224=14\times16$. Les racines
du trinôme sont donc $\frac{16-4\sqrt{14}}{2}=8+2\sqrt{14}$ et $\frac
{16+4\sqrt{14}}{2}=8-2\sqrt{14}$, valeurs qui appartiennent toutes les deux au
domaine de définition de $f$.

\item Le signe de $f^{\prime}(x)$ sur le domaine de définition de $f$ se
déduit de celui du trinôme
\[
-10(x^{2}-16x+8)
\]
: $f^{\prime}(x)<0$ sur $]0;\beta\lbrack$ et sur $]\alpha;+\infty\lbrack$ ;
$f^{\prime}(x)>0$ sur $]\beta;1[$ et sur $]1;\alpha\lbrack$. \newline Le sens
de variation de $f$ en résulte : $f$ est décroissante sur $]0;\beta\lbrack$ et
sur $]\alpha;+\infty\lbrack$ ; croissante sur $]\beta;1[$ et sur
$]1;\alpha\lbrack$. \newline Le tableau de variation de $f$ réalise la
synthèse des résultats obtenus :\newline%

\[%
%TCIMACRO{\FRAME{itbpF}{5.0128in}{1.6231in}{0pt}{}{}{tab2.eps}%
%{\special{ language "Scientific Word";  type "GRAPHIC";
%maintain-aspect-ratio TRUE;  display "USEDEF";  valid_file "F";
%width 5.0128in;  height 1.6231in;  depth 0pt;  original-width 4.7588in;
%original-height 1.5235in;  cropleft "0";  croptop "1";  cropright "1";
%cropbottom "0";  filename 'Include/tab2.eps';file-properties "XNPEU";}}}%
%BeginExpansion
\raisebox{-0pt}{\includegraphics[
height=1.6231in,
width=5.0128in
]%
{Include/i3faqj0b.eps}%
}%
%EndExpansion
\]


Avec $f(\beta)\approx299.67$, $f(\alpha)\approx0.31$.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item $x_{I}=\frac{1}{2}$, $f(x_{I})=300$ et $f^{\prime}(x_{I})=-40$.
\\[0.1cm]Donc une équation de $(\Delta)$ est
\[
y-300=-40(x-\frac{1}{2})\Leftrightarrow y=-40x+320
\]


\item Le point d'intersection de $(\mathcal{C})$ et de son asymptote
horizontale a pour ordonnée $0$. Son abscisse est solution de $f(x)=0$ soit
$x=8$. Or $-40\times8+320=0$ donc le point $L(8;0)$ appartient bien à la
droite $(\Delta)$.
\end{enumerate}

\item Représentation de $(\mathcal{C})$ pour $x>1$ :%
\[%
%TCIMACRO{\FRAME{itbpF}{3.9194in}{6.1054in}{0pt}{}{}{courbe.eps}%
%{\special{ language "Scientific Word";  type "GRAPHIC";
%maintain-aspect-ratio TRUE;  display "USEDEF";  valid_file "F";
%width 3.9194in;  height 6.1054in;  depth 0pt;  original-width 3.7152in;
%original-height 5.8032in;  cropleft "0";  croptop "1";  cropright "1";
%cropbottom "0";  filename 'Include/courbe.eps';file-properties "XNPEU";}}}%
%BeginExpansion
\raisebox{-0pt}{\includegraphics[
height=6.1054in,
width=3.9194in
]%
{Include/i3faqj0d.eps}%
}%
%EndExpansion
\]


\begin{enumerate}
\item Pour tout $x>1$ $f$%
\[
(x)=\frac{(a+b)x-a}{x(x-1)}%
\]
On en déduit alors par comparaison avec l'expression initiale de $f(x)$
:\newline$a+b=10$ et $-a=-80$. Soit $a=80$ et $b=-70$. D'où
\[
f(x)=\frac{80}{x}-\frac{70}{x-1}%
\]


\item Remarquons que pour $x\geqslant8$, $f(x)\geqslant0$. Sur l'intervalle
$[8;\lambda]$ la fonction $f$ est dérivable et positive donc l'aire
A$(\lambda)$, exprimée en unités d'aire, du domaine limité par la courbe
$(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=8$ et
$x=\lambda$ et donnée par
\[
\int_{8}^{\lambda}f(x)\mathrm{d}x
\]
Soit en utilisant l'expression de $f(x)$ trouvée à la question précédente :
\[
A(\lambda)=80\left[  \ln x\right]  _{8}^{\lambda}-70\left[  \ln(x-1)\right]
_{8}^{\lambda}%
\]
En développant :
\[
A(\lambda)=80(\ln\lambda-\ln8)-70(\ln(\lambda-1)-\ln7)
\]
En remarquant que $80\lambda=70\lambda+10\lambda$ et en regroupant :
\[
A(\lambda)=70(\ln\lambda-\ln(\lambda-1))+10\ln\lambda-80\ln8+70\ln7
\]
Soit en définitive
\[
A(\lambda)=70\ln\frac{\lambda}{\lambda-1}+10\ln\lambda-80\ln8+70\ln7
\]


\item On a :%
\[
\lim_{\lambda\longrightarrow+\infty}\frac{\lambda}{\lambda-1}=1\quad
\lim_{x\longrightarrow1}\ln x=0\Rightarrow\lim_{\lambda\longrightarrow+\infty
}\ln\frac{\lambda}{\lambda-1}=0\Rightarrow\lim_{\lambda\longrightarrow+\infty
}\ln\lambda=+\infty.
\]
Il résulte des calculs précédents que
\[
\lim_{\lambda\longrightarrow+\infty}A(\lambda)=+\infty
\]

\end{enumerate}
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie B}{\subsection*{Partie B}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie B}%
%EndExpansion
%

%TCIMACRO{\TeXButton{Cas I}{\subsubsection
%*{Cas I: Étude d'un cas particulier : $n=16$}}}%
%BeginExpansion
\subsubsection*{Cas I: Étude d'un cas particulier : $n=16$}%
%EndExpansion


\textbf{Il y a donc $8$ boules rouges}

\begin{enumerate}
\item Pour chaque tirage avec remise d'une boule rouge il existe $8$ choix
possibles et pour chaque tirage avec remise d'une boule de couleur
indifférente $16$ choix. Donc
\[
p(A)=\frac{8^{2}}{16^{2}}=\frac{1}{4}%
\]
Il existe $8\times5$ façons de tirer une boule rouge puis une boule verte et
$5\times8$ façons de tirer une boule verte puis une boule rouge. Le nombre de
cas possibles est encore ici de $16^{2}$. D'où
\[
p(B)=\frac{2\times40}{16^{2}}=\frac{5}{16}%
\]
Ici encore un raisonnement semblable au précédent conduit à
\[
p(C)=\frac{2\times8\times3}{16^{2}}=\frac{3}{16}%
\]
Obtenir au moins une boule rouge est la réunion des événements incompatibles
$A$, $B$ et $C$. Donc
\[
p(D)=p(A)+p(B)+p(C)=\frac{3}{4}%
\]


\item Il existe $C_{8}^{2}$ façons de tirer simultanément $2$ boules rouges
parmi $16$ et $C_{16}^{2}$ façons de tirer simultanément deux boules de
couleurs indifférentes parmi $16$. Donc
\[
p(A^{\prime})=\frac{C_{8}^{2}}{C_{16}^{2}}=\frac{7}{30}%
\]
Dans le cas du tirage simultané d'une boule rouge et d'une boule verte,
l'ordre n'intervenant pas, le nombre de cas favorables est de $8\times5$ pour
$C_{16}^{2}$ choix possibles. D'où
\[
p(B^{\prime})=\frac{8\times5}{C_{16}^{2}}=\frac{1}{3}%
\]
%

%TCIMACRO{\TeXButton{Cas II}{\subsubsection*{Cas II: n quelconque ( $n>8$)}}}%
%BeginExpansion
\subsubsection*{Cas II: n quelconque ( $n>8$)}%
%EndExpansion


\textbf{Il y a donc n - 8 boules rouges}

\item Dans cette question le tirage se fait avec remise. Le raisonnement suivi
à la question \textbf{I\thinspace1.} se généralise : la probabilité de
l'événement
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}%
%BeginExpansion
$<$%
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}%
%BeginExpansion
$<$%
%EndExpansion
obtenir une boule rouge puis une boule verte, ou une boule verte puis une
boule rouge
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}%
%BeginExpansion
$>$%
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}%
%BeginExpansion
$>$%
%EndExpansion
est
\[
\frac{2\times(n-8)\times5}{n^{2}}=\frac{10(n-8)}{n^{2}}%
\]


\item Ici encore on généralise le raisonnement suivi en \textbf{I\thinspace2.}

\begin{enumerate}
\item La probabilité d'obtenir deux boules rouges est
\[
\frac{C_{n-8}^{2}}{C_{n}^{2}}=\frac{(n-8)(n-9)}{n(n-1)}%
\]


\item La probabilité d'obtenir une boule rouge puis une boule verte est
\[
p_{n}=\frac{(n-8)\times5}{C_{n}^{2}}=\frac{10(n-8)}{n(n-1)}%
\]


\item D'après les résultats obtenus à la partie \textbf{A} sur la fonction $f
$, $p_{n}=f(n)$ est maximum lorsque $n$ est entier voisin de $\alpha
\approx15.48$.\newline Deux valeurs de $n$ répondent à cette condition :
$n=15$ et $n=16$ pour lesquelles $p_{n}=\frac{1}{3}$ qui est sa valeur maximum.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}


\end{document}