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\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 13140426211049--
%%--Guadeloupe 2001--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{center}
{\LARGE ANNALES DE MATHEMATIQUES\bigskip}

{\LARGE BACCALAUREAT S \bigskip}

{\LARGE GUADELOUPE 2001\bigskip}

{\Large ENONCE\medskip}
\end{center}

\begin{exercise}
[4 points]\textit{Les résultats seront donnés sous forme de fractions
irréductibles.}\newline Un joueur achète 10 francs un billet permettant de
participer à un jeu constitué d'un grattage suivi d'une loterie.\newline Il
gratte une case sur le billet. Il peut alors gagner 100 francs avec une
probabilité de $\displaystyle{\frac{1}{50}}$ ou bien ne rien gagner.\newline%
$G$ désigne l'événement : \og Le joueur gagne au grattage\fg.\newline Il
participe ensuite à une loterie avec le même billet. A cette loterie, il peut
gagner 100 francs, ou 200 francs, ou bien ne rien gagner.\newline$L_{1}$
désigne l'événement : \og Le joueur gagne 100 francs à la loterie\fg.\newline%
$L_{2}$ désigne l'événement : \og Le joueur gagne 200 francs à la
loterie\fg.\newline$P$ désigne l'événement : \og Le joueur ne gagne rien à la
loterie\fg.\newline Si le joueur n'a rien gagné au grattage, la probabilité
qu'il gagne 100 francs à la loterie est $\displaystyle{\frac{1}{70}}$ et la
probabilité qu'il gagne 200 francs à la loterie est $\displaystyle{\frac
{1}{490}}$.

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Faire un arbre sur lequel on indiquera les renseignements qui précèdent.

\item Calculer la probabilité que le joueur ne gagne rien à la loterie sachant
qu'il n'a rien gagné au grattage. Compléter l'arbre obtenu avec cette valeur.

\item Au bout de chaque branche, indiquer le gain algébrique total du joueur,
après grattage et loterie, déduction faite du prix du billet.
\end{enumerate}

\item On note $X$ la variable aléatoire qui représente le gain algébrique
total du joueur, après grattage et loterie, déduction faite du prix du
billet.\newline La probabilité de l'événement \og$X=90$\fg est
$\displaystyle{\frac{2}{125}}$ .\newline La probabilité de l'événement
\og$X=190$\fg est $\displaystyle{\frac{1}{250}} $ .

\begin{enumerate}
\item Montrer que la probabilité que le joueur gagne 100 francs à la loterie,
sachant qu'il a gagné 100 francs au grattage, est égale à
$\displaystyle{\ \frac{1}{10}}$ .

\item Calculer la probabilité que le joueur ne gagne rien à la loterie,
sachant qu'il a gagné 100 francs au grattage.

\item Déterminer la loi de probabilité de $X$.\newline Calculer l'espérance de
$X$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
[5 points]Dans le plan rapporté à un repère orthonormal $(O; \overrightarrow
{u},\overrightarrow{v})$ on désigne par $M(z)$ le point $M$ ayant pour affixe
$z$.

\begin{enumerate}
\item Placer sur une figure les points $A(2+i)$, $B(2i)$, $C(-4+3i)$ et
$D(-8)$ en prenant $1 cm$ pour unité graphique.

\item Soit $f$ la transformation du plan qui, à tout point $M(z)$, associe le
point $M^{\prime}(z^{\prime})$ tel que :
\[
z^{\prime}=(1+2i)z-4-2i
\]


\begin{enumerate}
\item Préciser les images des points $A$ et $B$ par $f$.

\item Montrer que $f$ admet un unique point fixe $\Omega$, dont on précisera
l'affixe $\omega$ \newline( $M$ est un point fixe pour $f$ si et seulement si
: $f(M)=M$ ).
\end{enumerate}

\item On admet que : $\omega= 1-2i$.\newline Soit $M$ un point quelconque et
$M^{\prime}$ son image par $f$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout complexe $z$, on a :
\[
z^{\prime}-z=-2i(\omega-z)
\]
Dans toute la suite $M$ est différent de $\Omega$.

\item Déduire de la question précédente le rapport des distances
$\displaystyle{\ \frac{MM^{\prime}}{\Omega M}}$ et l'angle de vecteurs $(
\overrightarrow{M\Omega\;},\overrightarrow{MM^{\prime}\;})$.

\item Déduire des questions précédentes une construction géométrique du point
$M^{\prime}$, connaissant le point $M$.\newline Réaliser cette construction
sur la figure de la question 1.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
[Problème: 11 points]%
\begin{itemize}
\item \textbf{Partie A : Résolution de l'équation différentielle (1) :
$y^{\prime}-2y=xe^{x}$}

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle (2) : $y^{\prime}-2y=0$ \newline où
$y$ désigne une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$.

\item Soient $a$ et $b$ deux réels et soit $u$ la fonction définie sur
$\mathbb{R}$ par :
\[
u(x)=(ax+b)e^{x}%
\]


\begin{enumerate}
\item Déterminer $a$ et $b$ pour que $u$ soit solution de l'équation (1).

\item Montrer que $v$ est une solution de l'équation (2) si et seulement si
$u+v$ est solution de (1).

\item En déduire l'ensemble des solutions de (1).
\end{enumerate}

\item Déterminer la solution de (1) qui s'annule en 0.
\end{enumerate}

\item \textbf{Partie B : Etude d'une fonction auxiliaire}\newline Soit $g$ la
fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x)=2e^{x}-x-2$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $g$ en $-\infty$ et la limite de $g$ en
$+\infty$.

\item Etudier le sens de variation de $g$ puis dresser son tableau de variation.

\item On admet que l'équation $g(x)=0$ a exactement deux solutions réelles.

\begin{enumerate}
\item Vérifier que 0 est l'une de ces solutions.

\item L'autre solution est appelée $\alpha$. Montrer que : $-1,6\leqslant
\alpha\leqslant-1,5$.

\item Déterminer le signe de $g(x)$ suivant les valeurs du réel $x$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\item \textbf{Partie C : Etude de la fonction principale}\newline Soit $f$ la
fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
\[
f(x)=e^{2x}-(x+1)e^{x}%
\]


\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$ et la limite de $f$ en
$+\infty$.\newline(On pourra mettre $e^{2x}$ en facteur )

\item Calculer $f^{\prime}(x)$ et montrer que $f^{\prime}(x)$ et $g(x)$ ont le
même signe.\newline Etudier le sens de variation de $f$.

\item Montrer que :
\[
\displaystyle{\ f(\alpha)=-\frac{\alpha^{2}+2\alpha}{4}}\quad
\]
où $\alpha$ est défini dans la partie \textbf{B}.\newline En déduire un
encadrement de $f(\alpha)$ ( On rappelle que $-1,6 \leqslant\alpha
\leqslant-1,5$ ).

\item Etablir le tableau de variation de $f$.

\item Tracer la courbe $( \mathcal{C})$ représentative de $f$ dans le plan
rapporté à un repère orthonormal \newline( unité graphique $2 cm $ )
\end{enumerate}

\item \textbf{Partie D : Calcul d'aire}

\begin{enumerate}
\item Soit $m$ un réel négatif. Interpréter graphiquement l'intégrale
$\displaystyle{\ \int_{m}^{0}f(x)dx}$ \newline( On justifiera la réponse )

\item
\begin{enumerate}
\item Calculer $\displaystyle{\ \int_{m}^{0}xe^{x}dx}$ à l'aide d'une
intégration par parties.

\item En déduire $\displaystyle{\ \int_{m}^{0}f(x)dx}$
\end{enumerate}

\item Calculer la limite de $\displaystyle{\ \int_{m}^{0}f(x)dx}$ lorsque $m$
tend vers $-\infty$.
\end{enumerate}
\end{itemize}
\end{exercise}


\end{document}