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\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 13140333812339--
%%--Nouvelle Calédonie 2001--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{center}
{\LARGE ANNALES DE MATHEMATIQUES\bigskip}

{\LARGE BACCALAUREAT S \bigskip}

{\LARGE NOUVELLE CALEDEDONIE 2001\bigskip}

{\Large ENONCE\medskip}
\end{center}

\begin{exercise}
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par
\[
f(x)=\ln\left(  x+\sqrt{x^{2}+9}\right)
\]
et (C) sa courbe représentative relative à un repère orthonormal $\left(
O;\vec{i},\vec{j}\right)  $.

\begin{enumerate}
\item Déterminer les images de 0 et de 4 par $f$, puis l'antécédent de 0 par
$f$.

\item
\begin{enumerate}
\item Calculer la limite de $f$ en $+\infty$.

\item Montrer que, pour tout $x$ réel,
\[
\sqrt{x^{2}+9}+x=\frac{9}{\sqrt{x^{2}+9}-x}%
\]
et en déduire la limite de $f$ en $-\infty$.
\end{enumerate}

\item Montrer que, pour tout réel,
\[
f^{\prime}(x)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+9}}%
\]
et en déduire le tableau de variation de la fonction $f$.

\item On considère la fonction $g$ définie, pour tout $x$ réel, par
\[
g(x)=\frac{1}{2}e^{x}-\frac{9}{2}e^{-x}%
\]
et (C') sa représentation graphique dans le même repère $\left(  O;\vec
{i},\vec{j}\right)  .$

\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout $x$ réel, $\left(  g\circ f\right)
(x)=x.$\newline On admettra de même que, pour tout $x$ réel, $\left(  f\circ
g\right)  (x)=x.$

\item En déduire que le point M$(x;y)$ appartient à (C) si , et seulement si ,
le point M'$(y;x)$ appartient à (C').

\item Démontrer que la fonction $g$ est négative sur $[0;\ln3].$
\end{enumerate}

\item Soit D$_{1}$ et D$_{2}$ les domaines définis par:\newline${D_{1}%
}=\left\{  {M(x;y)}
\begin{array}
[c]{|l}%
0\leqslant x\leqslant\ln3\\
g(x)\leqslant y\leqslant0
\end{array}
\right\}  $ ; $\qquad{D_{2}}=\left\{  {M(x;y)}
\begin{array}
[c]{|l}%
-4\leqslant x\leqslant0\\
0\leqslant y\leqslant f(x)
\end{array}
\right\}  $.\newline Les domaines D$_{1}$ et D$_{2}$ ont la même aire,
calculer cette valeur commune en unités d'aire.
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal direct $(O;\vec{i}, \vec
{j},\vec{k})$, on considère les points A(1;2;2), B(3;2;1) et C(1;3;3).

\begin{enumerate}
\item Montrer que les points A, B et C déterminent un plan.\newline Donner une
équation de ce plan.

\item On considère les plans ($P_{1}$) et ($P_{2}$) d'équations respectives :
\[
(P_{1}):x-2y+2z-1=0;\qquad(P_{2}):x-3y+2z+2=0.
\]


\begin{enumerate}
\item Montrer que les plans ($P_{1}$) et ($P_{2}$) sont sécants.\newline On
notera $(\Delta)$ leur droite d'intersection.

\item Montrer que le point C appartient à la droite ($\Delta$).

\item Démontrer que le vecteur $\vec{u}(2;0;-1)$ est un vecteur directeur de
la droite ($\Delta$).

\item En déduire une représentation paramétrique de la droite ($\Delta$).
\end{enumerate}

\item Pour déterminer la distance du point A à la droite ($\Delta$) de
représentation paramétrique:
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
x=2k+1\\
y=3\\
z=-k+3
\end{array}
\right.
\]
avec $k\in\mathbb{R}$. On considère le point M de paramètre $k$ de la droite
($\Delta$).

\begin{enumerate}
\item Déterminer la valeur de $k$ pour que le vecteur $\overrightarrow{AM}$ et
$\overrightarrow{u}$ soient orthogonaux.

\item En déduire la distance du point A à la droite ($\Delta$).
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
[Problème]\textit{Il est possible que certains des résultats , à démontrer
dans ce problème, ne soient pas lisibles sur l'écran de votre calculatrice
graphique}.%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie A}{\subsection*{Partie A: \'Etude d'une fonction}%
%}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie A: \'Etude d'une fonction}%
%EndExpansion


On considère la fonction $f$ définie sur $]0;1[\cup]1;+\infty\lbrack$ par :
\[
f(x)=\frac{10(x-8)}{x(x-1)}%
\]
et on désigne par $\mathcal{(C)}$ sa courbe représentative relative à un
repère orthogonal $\left(  O;\vec{i},\vec{j}\right)  $.

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $f$ en 0 et en $+\infty$.

\item Déterminer les limites de $f$ quand $x$ tend vers 1 par valeurs
inférieures et quand $x$ tend vers 1 par valeurs supérieures.

\item En déduire les asymptotes à la courbe $\mathcal{(C)}$.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer la dérivée $f^{\prime}$ de la fonction $f$.

\item Montrer que $f^{\prime}(x)$ s'annule pour $\alpha=8+2\sqrt{14}$ et pour
$\beta=8-2\sqrt{14}$.

\item Dresser le tableau de variation de $f$.
\end{enumerate}

\item Soit I le point de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisse $\frac{1}{2}$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer une équation de droite $(\Delta)$ tangente en I à la courbe
$\mathcal{(C)}$.

\item Montrer que le point L, intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec son
asymptote horizontale, appartient à la droite $\Delta$.
\end{enumerate}

\item Représenter la partie de la courbe $\mathcal{(C)}$ pour les valeurs de
$x$ strictement supérieures à 1 (unités graphiques : 1 cm en abscisse et 3 cm
en ordonnées).

\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $x$ élément de
l'intervalle $]1;+\infty[$, on ait
\[
f(x)=\frac{a}{x}+\frac{b}{x-1}%
\]


\item Soit $\lambda$ un nombre réel strictement supérieur à 8.\newline
Calculer, en unités d'aire, en fonction de $\lambda$, l'aire $\text{A}%
(\lambda)$ du domaine limité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses
et les droites d'équations $x=8$ et $x=\lambda$.

\item Calculer la limite de $\text{A}(\lambda)$ lorsque $\lambda$ tend vers
$+\infty$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie B}{\subsection*{Partie B: Probabilités}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie B: Probabilités}%
%EndExpansion


Une urne contient $n$ boules ($n>8)$ dont 3 jaunes et 5 vertes. Les autres
boules sont rouges.\newline%

%TCIMACRO{\TeXButton{Cas I}{\subsubsection
%*{Cas I: Étude d'un cas particulier : n = 16}}}%
%BeginExpansion
\subsubsection*{Cas I: Étude d'un cas particulier : n = 16}%
%EndExpansion


\textbf{Il y a donc 8 boules rouges }

\begin{enumerate}
\item On tire une boule de l'urne, on note sa couleur, \textit{on la remet,}
puis on effectue un nouveau tirage d'une boule.\newline Déterminer la
probabilité des événements suivants :\newline A : \og On obtient deux boules
rouges\fg,\newline B : \og On obtient une boule rouge puis une boule verte ou
une boule verte puis une boule rouge\fg,\newline C : \og On obtient une boule
rouge puis une boule jaune ou une boule jaune puis une boule rouge\fg,\newline
D : \og On obtient au moins une boule rouge\fg.

\item On effectue maintenant un \textit{tirage simultané de deux boules} de
l'urne.\newline Déterminer la probabilité des événements : \newline A' :
\og On obtient deux boules rouges\fg,\newline B' : \og On obtient une boule
rouge et une boule verte\fg.
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{Cas II}{\subsubsection*{Cas II: n quelconque (n>8)}}}%
%BeginExpansion
\subsubsection*{Cas II: n quelconque (n>8)}%
%EndExpansion


\textbf{Il y a donc }$\mathbf{(n-8)}$\textbf{\ boules rouges}

\begin{enumerate}
\item Comme dans le cas particulier précédent, on tire une boule de l'urne, on
note sa couleur, \textit{on la remet}, puis on effectue un nouveau tirage
d'une boule. Déterminer en fonction de $n$ la probabilité de l'événement :
\newline\og Obtenir une boule rouge puis une boule verte, ou une boule verte
puis une boule rouge\fg.

\item On revient au \textbf{tirage simultané de deux boules :}

\begin{enumerate}
\item Déterminer en fonction de $n$ la probabilité de l'événement :
\newline\og Obtenir deux boules rouges\fg.

\item Calculer, en fonction de $n$, la probabilité $p_{n}$ de l'événement :
\newline\og Obtenir une boule rouge et une boule verte\fg.

\item En utilisant les variations de la fonction $f$ étudiée dans la partie
\textbf{A}, indiquer les valeurs de $n$ qui rendent $p_{n}$ maximum, puis
indiquer la valeur de ce maximum.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}


\end{document}