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\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 13140085610755--
%%--Amérique du Nord 2001--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{center}
{\LARGE ANNALES DE MATHEMATIQUES\bigskip}

{\LARGE BACCALAUREAT S \bigskip}

{\LARGE AMERIQUE DU NORD 2001\bigskip}

{\Large ENONCE\medskip}
\end{center}

\begin{exercise}
[4 points]L'espace $E$ est rapporté au repère orthonormal $\left(
O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)  .$ On
considère les trois points $A\left(  2,0,0\right)  $, $B\left(  1,1,0\right)
$ et $C\left(  3,2,6\right)  $. $\left(  D\right)  $ est la droite passant par
$A$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}\left(  0,1,1\right)  $ et
$\left(  \Delta\right)  $ la droite passant par $C$ et de vecteur directeur
$\overrightarrow{v}\left(  1,-2,2\right)  $.

\begin{enumerate}
\item Ecrire une représentation paramétrique de chacune des droites $\left(
D\right)  $ et $\left(  \Delta\right)  $ puis montrer que $\left(  D\right)  $
et $\left(  \Delta\right)  $ sont sécantes en un point dont on précisera les coordonnées.

\item Calculer les coordonnées du vecteur
\[
\overrightarrow{w}=\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}%
\]
puis écrire une équation cartésienne du plan $\left(  ABC\right)  $.

\item Soit $H$ le projeté orthogonal du point $F\left(  2,4,4\right)  $ sur le
plan $\left(  ABC\right)  $.

\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi il existe un réel $k$ non nul tel que
$\overrightarrow{FH}=k\overrightarrow{w}$.

\item Déterminer la valeur de $k$ et en déduire les coordonnées de $H$.

\item Calculer le volume du tétraèdre $FABC$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
[4 points]On considère le polynôme $P $ défini par :
\[
P(z)=z^{4}-6z^{3}+24z^{2}-18z+63
\]


\begin{enumerate}
\item Calculer $P(i\sqrt{3})$ et $P(-i\sqrt{3})$, puis démontrer qu'il existe
un polynôme $Q$ du second degré à coefficients réels, que l'on déterminera,
tel que pour tout $z$ de $\mathbb{C}$ on ait $P(z)=(z^{2}+3)Q(z)$

\item Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $P(z)=0$.

\item Placer dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal $\left(
O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)  $ les points $A$, $B$, $C$,
$D$ d'affixes respectives
\[
z_{A}=i\sqrt{3}\qquad z_{B}=-i\sqrt{3}\qquad z_{C}=3+2i\sqrt{3}\qquad
z_{D}=\overline{z_{C}}%
\]
puis montrer que ces quatre points appartiennent à un même cercle.

\item On note $E$ le symétrique de $D$ par rapport à $O$. Montrer que :
\[
\frac{z_{C}-z_{B}}{z_{E}-z_{B}}=e^{-\frac{i\pi}{3}}%
\]
puis déterminer la nature du triangle $BEC$.
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
[Problème 12 points]Le but de ce probl\`eme est d'\'etudier dans la partie A
la fonction num\'erique $f$ d\'efinie sur $\left]  0,+\infty\right[  $ par
\[
f\left(  x\right)  =x+\frac1x+\frac{\ln x}{x^{2}}%
\]
de d\'eterminer ensuite dans la partie B la position de sa courbe
repr\'esentative par rapport \`a son asymptote oblique et enfin d'\'etudier
une suite r\'ecurrente dans la partie C, cette derni\`ere partie \'etant dans
une large mesure ind\'ependante des deux autres.%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie A}{\subsection*{Partie A}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie A}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction numérique définie sur $\left]  0,+\infty\right[  $
par
\[
g\left(  x\right)  =x^{3}-x-2\ln x+1
\]


\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $g$ est dérivable et que pour tout $x\in\left]
0,+\infty\right[  $%
\[
g^{\prime}\left(  x\right)  =\frac{\left(  x-1\right)  \left(  3x^{2}%
+3x+2\right)  }{x}%
\]


\item Etudier les variations de la fonction $g$ puis déterminer le signe de
$g(x)$.
\end{enumerate}

\item a) Déterminer les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$.\newline b)
Montrer que pour tout $x\in\left]  0,+\infty\right[  $, $f^{\prime}\left(
x\right)  =\frac{g\left(  x\right)  }{x^{3}}$ puis donner le tableau de
variations de $f$.
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie B}{\subsection*{Partie B}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie B}%
%EndExpansion


$\Gamma$ d\'esigne la repr\'esentation graphique de la fonction $f$ dans un
rep\`ere orthonormal $\left(  O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)
$, unit\'e graphique 2 cm.

\begin{enumerate}
\item Soit $h$ la fonction définie sur $\left]  0,+\infty\right[  $ par
$h\left(  x\right)  =x+\ln x$.

\begin{enumerate}
\item Etudier le sens de variation de $h$ puis montrer que l'équation
$h\left(  x\right)  =0$ admet une solution unique $\alpha$ sur l'intervalle
$\left[  0,4;0,7\right]  $.

\item Montrer que l'on a $e^{-\alpha}=\alpha$.
\end{enumerate}

\item a) Vérifier que la droite $\Delta$ d'équation $y=x$ est asymptote
oblique à $\Gamma$ en $+\infty$.\newline b) Utiliser les résultats de la
question 1)a) pour déterminer les positions relatives de $\Gamma$ et $\Delta$.

\item Construire $\Gamma$ et $\Delta$ dans le repère orthonormal $\left(
O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)  $.

\item a) Calculer au moyen d'une intégration par parties l'intégrale :%
\[
I=1\int^{2}\frac{\ln t}{t^{2}}dt
\]
b) En déduire l'aire, en cm$^{2}$ de la portion du plan limitée par la courbe
$\Gamma$, la droite $\Delta$ et les droites parallèles à l'axe des ordonnées
d'équation $x=1$ et $x=2$.
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie C}{\subsection*{Partie C}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie C}%
%EndExpansion


Dans cette partie:

\begin{itemize}
\item $I$ désigne l'intervalle $\left[  0,4;0,7\right]  $

\item $\alpha$ est le réel mis en évidence au B)1)

\item $\varphi$ est la fonction définie sur R par $\varphi\left(  x\right)
=e^{-x}$.

\item $u$ est la suite récurrente définie par $u_{0}=0,4$ et $u_{n+1}%
=\varphi\left(  u_{n}\right)  $ pour tout $n$ de N.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Montrer que l'on a pour tout $x\in I$ :

\begin{enumerate}
\item $\varphi\left(  x\right)  \in I$

\item $\left|  \varphi^{\prime}\left(  x\right)  \right|  \in I$

\item $\left|  \varphi\left(  x\right)  -\alpha\right|  \leq0,7\left|
x-\alpha\right|  $
\end{enumerate}

\item a) Montrer qu'on a pour tout $n\in N\quad\left|  u_{n+1}-\alpha\right|
\leq0,7\left|  u_{n}-\alpha\right|  $ puis en déduire par récurrence qu'on a
pour tout $n\in N$ $\left|  u_{n}-\alpha\right|  \leq0,3\left(  0,7\right)
^{n}$. \newline Conclure alors quant à la convergence de la suite $u$.

\item Déterminer un entier $p$ tel que pour tout $n\geq p$ on ait $\left|
u_{n}-\alpha\right|  \leq10^{-3}$ puis donner à l'aide de la calculatrice une
valeur approchée de $u_{p}$ à $10^{-3}$ près.
\end{enumerate}
\end{exercise}


\end{document}