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\newenvironment{proof}[1][Démonstration]{\noindent\textbf{#1:}}{\ \fbox{cqfd.}}
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\renewcommand{\theenumiii}{\roman{enumiii}}
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\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 13130911925362--
%%--Remplacement 2000--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{center}
{\Large {ANNALES DE MATHEMATIQUES SERIE S} \bigskip}

{\Large REMPLACEMENT 2000 \bigskip}

{\Large Enoncé \bigskip}
\end{center}

\begin{exercise}
[4 points -Commun à tous les candidats-]Les résultats seront donnés à
$10^{-3}$ près.\newline Une entreprise confie à une société de sondage par
téléphone une enquête sur la qualité de ses produits. Chaque enquêteur a une
liste de personnes à contacter.\newline Lors du premier appel téléphonique, la
probabilité pour que le correspondant soit absent est $0,4$. Sachant que le
correspondant est présent, la probabilité pour qu'il accepte de répondre au
questionnaire est $0,2$.

\begin{enumerate}
\item On note :\newline$\bullet$ A$_{1}$ l'événement '' la personne est
absente lors du premier appel '';\newline$\bullet$ R$_{1}$ l'événement '' la
personne accepte de répondre au questionnaire lors du premier appel
''.\newline Quelle est la probabilité de R$_{1}$ ?

\item Lorsqu'une personne est absente lors du premier appel, on lui téléphone
une seconde fois, à une heure différente, et, alors, la probabilité pour
qu'elle soit absente est $0,3$. Et, sachant qu'elle est présente lors du
second appel, la probabilité pour qu'elle accepte de répondre au questionnaire
est encore de $0,2$.\newline Si une personne est absente lors du second appel,
on ne tente plus de la contacter.\newline On note : \newline$\bullet$ A$_{2}$
l'événement '' la personne est absente lors du second appel '';\newline%
$\bullet$ R$_{2}$ l'événement '' la personne accepte de répondre au
questionnaire lors du second appel '';\newline$\bullet$ R l'événement ''la
personne accepte de répondre au questionnaire ''.\newline Montrer que la
probabilité de R est $0,176$. (On pourra utiliser un arbre.)%
\index{Arbre!de probabilité}%


\item Sachant qu'une personne a accepté de répondre au questionnaire, quelle
est la probabilité pour que la réponse ait lieu lors du premier appel ?

\item On suppose que les sondages auprès des personnes d'une même liste sont
indépendants.\newline Un enquêteur a une liste de $20$ personnes à contacter.
Quelle est la probabilité pour qu'une au moins des $20$ personnes de la liste
accepte de répondre au questionnaire ?\medskip
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
[5 points]Les questions $1$ et $2$ sont indépendantes.\newline L'espace est
muni d'un repère orthonormal direct. ABCDEFGH est le cube représenté
ci-dessous.
\index{Géométrie!dans l'espace}%
\index{Cube}%
Son arête a pour longueur $1$, le centre de la face ABCD est le point I
.\newline\textit{\textbf{Aucune figure n'est demandée sur la copie}}%

\[%
%TCIMACRO{\FRAME{itbpF}{2.3595in}{2.3138in}{0pt}{}{}{cube.eps}%
%{\special{ language "Scientific Word";  type "GRAPHIC";
%maintain-aspect-ratio TRUE;  display "USEDEF";  valid_file "F";
%width 2.3595in;  height 2.3138in;  depth 0pt;  original-width 2.2258in;
%original-height 2.1826in;  cropleft "0";  croptop "1";  cropright "1";
%cropbottom "0";  filename 'Include/cube.eps';file-properties "XNPEU";}}}%
%BeginExpansion
\raisebox{-0pt}{\includegraphics[
height=2.3138in,
width=2.3595in
]%
{Include/i3fawx0j.eps}%
}%
%EndExpansion
\]


\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer $\overrightarrow{BC}\wedge\overrightarrow{BA}.$
\index{Produit!vectoriel}%


\item En déduire l'ensemble $\mathcal{E}$ des points M de l'espace tels que :%
\index{Produit!scalaire}
\[
\left(  \overrightarrow{BC}\wedge\overrightarrow{BA}\right)  \wedge
\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{0}%
\]


\item Déterminer l'ensemble $\mathcal{F}$ des points M de l'espace tels que :
\[
\left(  \overrightarrow{BC}\wedge\overrightarrow{BA}\right)  .\overrightarrow
{BM}=\overrightarrow{0}%
\]

\end{enumerate}

\item On appelle P le barycentre du système \{ (A, $2$) ; (C, $-1$) \}.%
\index{Barycentre}%


\begin{enumerate}
\item Montrer que P est le symétrique de C par rapport à A.%
\index{Symétrique}%


\item Soit $\mathcal{G}$ l'ensemble des points M de l'espace tels que :
\[
\left\|  2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MC}\right\|  =\left\|
-\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right\|
\]
Déterminer l'ensemble $\mathcal{G}$.\newline Montrer que le point A appartient
à l'ensemble $\mathcal{G}$. \newline

\item Soit $\mathcal{H}$ l'ensemble des points M de l'espace tels que :
\[
\left\|  8\overrightarrow{MA}-4\overrightarrow{MC}\right\|  =\left\|
\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow
{MD}\right\|
\]
Déterminer l'ensemble $\mathcal{H}$.\medskip
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
[Problème: 11 points]Le plan est rapporté à un repère orthogonal $\left(
O;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)  $. L'unité graphique est $4$ cm sur l'axe
des abscisses et $2$ cm sur l'axe des ordonnées.\newline%
%TCIMACRO{\TeXButton{Partie A}{\subsection*{Partie A}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie A}%
%EndExpansion


Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :%
\index{Fonction!trigonométrique}%
\index{Fonction!exponentielle}
\[
f(x)=(2+\cos x)\,e^{1-x}%
\]
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le repère $\left(
O;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)  $.

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $x$ de $\mathbb{R}$ : \quad$f(x)>0.$

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $x$ de $\mathbb{R}$ :%
\index{Trigonométrie}
\[
\sqrt{2}\cos\left(  x-\frac{\pi}{4}\right)  =\cos x+\sin x
\]


\item En déduire que, pour tout $x$ de $\mathbb{R}$ :
\[
2+\cos x+\sin x>0
\]


\item Montrer que $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $x$ de $\mathbb{R}$ :
\[
e^{1-x}\leqslant f\left(  x\right)  \leqslant3e^{1-x}%
\]


\item En déduire les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.%
\index{Limite}%


\item Interpréter géométriquement le résultat obtenu lors du calcul de la
limite de $f$ en $+\infty$.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que, sur l'intervalle $[0\ ;\ \pi]$, l'équation $f(x)=3$ admet
une solution unique $\alpha$.

\item Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.%
\index{Encadrement}%

\end{enumerate}

\item[\textbf{5.}] Représenter la courbe $\mathcal{C}$ sur $[0\ ;\ 4]$.
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie B}{\subsection*{Partie B}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie B}%
%EndExpansion


On veut calculer l'aire, $\mathcal{A}$, exprimée en unités d'aire, du domaine
limité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées
et la droite d'équation $x=1$.%
\index{Calcul!d'aire}%
\index{Intégrale}%


\begin{enumerate}
\item Montrer que :
\[
\mathcal{A}=2e-2+{\int_{0}^{1}(\cos t)}\ e^{1-t}t\,dt
\]


\item On pose :
\[
I=\int_{0}^{1}(\cos t)e^{1-t}\,dt\text{ et }J=\int_{0}^{1}(\sin t)e^{1-t}\,dt
\]


\begin{enumerate}
\item À l'aide de deux intégrations par parties, montrer que :%
\index{Intégration!par parties}
\[
I=-\cos1+e-J\text{ et }J=-\sin1+I.
\]


\item En déduire la valeur de $I$.
\end{enumerate}

\item Déterminer la valeur exacte de $\mathcal{A}$ en unités d'aire, puis
donner une valeur approchée de $\mathcal{A}$ à $10^{-2}$ près par défaut.
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie C}{\subsection*{Partie C}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie C}%
%EndExpansion


Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :%
\index{Fonction!trigonométrique}
\[
h(x)=-1-\frac{\sin x}{2+\cos x}%
\]


\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $h$ admet des primitives sur $\mathbb{R}$.%
\index{Primitive}%


\item Calculer la primitive H de la fonction $h$, qui prend en $0$ la valeur
$(1+\ln3)$.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer $\ln(f(x))$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}$.

\item Étudier le sens de variation de la fonction H.

\item Déterminer le tableau de variation de H.
\end{enumerate}

\item On appelle $\Gamma$ la courbe représentative de la fonction définie sur
$\mathbb{R}$ par
\[
x\longmapsto1-x+\ln(2+\cos x).
\]
(On ne demande pas de représenter $\Gamma$). On appelle $\bigtriangleup$ la
droite d'équation
\[
y=-x+1
\]


\begin{enumerate}
\item Étudier la position relative de $\Gamma$ et de $\bigtriangleup$.%
\index{Position!relative}%


\item Déterminer les abscisses des points communs à $\Gamma$ et
$\bigtriangleup$.
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\item Établir une équation de la tangente T à $\Gamma$ au point d'abscisse
$0$.%
\index{Tangente}%


\item Étudier la position relative de $\Gamma$ et T.
\end{enumerate}

\item Montrer que la courbe $\Gamma$ est contenue dans une bande du plan
limitée par deux droites parallèles dont on donnera des équations.
\end{enumerate}
\end{exercise}


\end{document}