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\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 13130337211489--
%%--Pondichéry 2000--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{center}
{\Large {ANNALES DE MATHEMATIQUES SERIE S} \bigskip}

{\Large PONDICHERY 2000 \bigskip}

{\Large Enoncé \bigskip}
\end{center}

\begin{exercise}
[4 points]Un professeur se trouve en possession de 5 clefs de salles. Il se
tient devant une porte, et il sait que parmi ses 5 clefs, 2 n'ouvrent pas la
porte parce qu'elles sont défectueuses mais les autres le peuvent. Il veut
alors les tester toutes, une par une. Le choix des clefs est effectué au
hasard et sans remise. On appelle clef numéro $x$ la clef utilisée au $x$-ième essai.

\begin{enumerate}
\item On appelle $D_{1}$ l'évènement : '' La clef numéro $1$ n'ouvre pas la
porte ''. Calculer sa probabilité.%
\index{Probabilité}%


\item On appelle $D_{2}$ l'évènement : '' la clef numéro $2$ n'ouvre pas la
porte ''. Calculer la probabilité que l'évènement $D_{2}$ se réalise, sachant
que l'évènement $D_{1}$ est réalisé.\newline En déduire la probabilité de
l'évènement $D_{1}\cap D_{2}.$\newline%
\index{Intersection}%
On pourra, pour la suite de l'exercice, s'aider d'un arbre pondéré.%
\index{Arbre!pondéré}%


\item Quelle est la probabilité de l'évènement : '' Les clefs numéro 1 et 2
ouvrent la porte et la clef numéro 3 ne l'ouvre pas ?

\item Pour $1\leqslant j<j\leqslant5,$ on note $\left(  i,j\right)  $
l'évènement : '' les clefs qui n'ouvrent pas la porte sont les clefs numéros
$i$ et $j$ '' et $P\left(  i;j\right)  $ la probabilité de cet évènement.

\begin{enumerate}
\item Calculer $P\left(  2;4\right)  .$

\item Calculer $P\left(  4;5\right)  .\medskip$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
[5 points]Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct $\left(
O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)  $; unité graphique 4 cm. On
appelle $B$ le point d'affixe $i$ et $M_{1}$ le point d'affixe%
\index{Affixe}
\[
z_{1}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}\left(  1-i\right)
\]


\begin{enumerate}
\item Déterminer le module et un argument de $z_{1}$.%
\index{Module}%
\index{Argument}%


\item Soit $M_{2}$ le point d'affixe $z_{2}$, image de $M_{1}$ par la rotation
de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$. Déterminer le module et un argument
de $z_{2}$.\newline%
\index{Rotation}%
Montrer que le point $M_{2}$ est un point de la droite $\left(  D\right)  $
d'équation $y=x$.

\item Soit $M_{3}$ le point d'affixe $z_{3}$, image de $M_{2}$ par
l'homothétie de centre $O$ et de rapport $\sqrt{3}+2$.%
\index{Homothétie}%


\begin{enumerate}
\item Montrer que
\[
z_{3}=\frac{\sqrt{3}+1}2\left(  1+i\right)
\]


\item Montrer que les points $M_{1}$ et $M_{3}$ sont situés sur le cercle de
centre $B$ et de rayon $\sqrt{2}$.%
\index{Cercle}%

\end{enumerate}

\item Construire, à la règle et au compas, les points $M_{1}$, $M_{2} $ et
$M_{3}$ en utilisant les questions précédentes ; on précisera les différentes
étapes de la construction.%
\index{Construction}%


\item A tout point $M$ du plan d'affixe $z$ ( distinct de $B$ ), on associe le
point $M^{\prime}$, d'affixe $Z$ telle que
\[
Z=\frac{1}{i-z}%
\]
Déterminer et construire l'ensemble $\left(  E\right)  $ des points $M$ du
plan ( $M$ distinct de $B$ ) tels que $M^{\prime}$ appartienne au cercle de
centre $O$ et de rayon $1$.\medskip
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
[Problème 11 points]%
%TCIMACRO{\TeXButton{Partie A}{\subsection*{Partie A}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie A}%
%EndExpansion


Etude de la fonction%
\index{Fonction!logarithme}
\[
g:x\mapsto\ln\left(  \frac{3+x}{3-x}\right)
\]
Soit la fonction $g$ définie sur $\left]  -3,3\right[  $ par
\[
g\left(  x\right)  =\ln\left(  \frac{3+x}{3-x}\right)
\]


\begin{enumerate}
\item Etudier la parité de la fonction $g$.%
\index{Parité}%


\item a) Calculer les limites de $g$ en $-3$ et en $3$. \newline b) Etudier le
sens de variation de $g$ sur $\left[  0,3\right[  $. Dresser son tableau de
variation sur $\left]  -3,3\right[  $.

\item Soit $\left(  O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)  $ un
rep\`ere orthonormal d'unit\'e graphique 4 centim\`etres. Soit $\left(
C\right)  $ la courbe repr\'esentative de la fonction $g$ dans ce rep\`ere.

\begin{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente $\left(  T\right)  $ à $\left(
C\right)  $ au point d'abscisse $0$.%
\index{Tangente}%


\item Tracer dans le rep\`ere la courbe $\left(  C\right)  $ et sa tangente
$\left(  T\right)  $.
\end{enumerate}

\item Etudier le signe de $g\left(  x\right)  $ suivant les valeurs de $x$.

\item a) Calculer la dérivée de la fonction :
\[
x\mapsto xg\left(  x\right)
\]
b) Calculer l'aire, exprimée en cm$^{2}$, de la portion de plan délimitée par
la courbe $\left(  C\right)  $, l'axe des abscisses et les droites d'équation
$x=0$ et $x=1$. On donnera la valeur exacte de cette aire, puis une valeur
approchée au mm$^{2}$ près.%
\index{Calcul!d'aire}%

\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie B}{\subsection*{Partie B}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie B}%
%EndExpansion


\emph{Etude d'une courbe paramétrée}
\index{Courbe!paramétrée}%


Le plan est rapport\'e \`a un rep\`ere orthonormal $\left(  O;\overrightarrow
{u}\overrightarrow{v}\right)  $ d'unit\'e graphique 4 centim\`etres. Soit la
courbe param\'etr\'ee $\left(  \Gamma\right)  $ d\'efinie par :
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
x\left(  t\right)  =t\left(  3-t^{2}\right) \\
y\left(  t\right)  =tg\left(  t\right)
\end{array}
\right.  \text{ pour }t\in\left[  -2;2\right]
\]
o\`u $g$ d\'esigne la fonction \'etudi\'ee dans la partie A. On note $M\left(
t\right)  $ le point de coordonn\'ees $\left(  x\left(  t\right)  ,y\left(
t\right)  \right)  .$

\begin{enumerate}
\item a) Comparer d'une part $x\left(  t\right)  $ et $x\left(  -t\right)  $
et d'autre part $y\left(  t\right)  $ et $y\left(  -t\right)  .$\newline b)
Par quelle transformation peut-on passer de $M\left(  t\right)  $ à $M\left(
-t\right)  $ ? En déduire que $\left(  \Gamma\right)  $ admet un axe de
symétrie que l'on précisera.%
\index{Transformation}%
\index{Axe!de symétrie}%


\item Etudier la fonction
\[
x\mapsto t\left(  3-t^{2}\right)
\]
et dresser son tableau de variation sur $\left[  0;2\right]  .$

\item En utilisant la partie A, montrer que la fonction $t\mapsto y\left(
t\right)  $ est strictement croissante sur l'intervalle $\left[  0;2\right]  $.

\item Dresser le tableau des variations conjointes des fonctions $t\mapsto
x\left(  t\right)  $ et $t\mapsto y\left(  t\right)  $ sur $\left[
0;2\right]  $.

\item Pour quelles valeurs de $t$ l'abscisse de $M\left(  t\right)  $ est-elle
nulle ? Pr\'eciser alors les ordonn\'ees des points correspondants de $\left(
\Gamma\right)  $.

\item Tracé de $\left(  \Gamma\right)  $\newline a) Placer, dans le repère
$\left(  O;\overrightarrow{u}\overrightarrow{v}\right)  $, les points
$M\left(  0\right)  $, $M\left(  1\right)  $, $M\left(  \sqrt{3}\right)  $ et
$M\left(  2\right)  $ qui correspondent respectivement aux valeurs $0$, $1$,
$\sqrt{3}$ et $2$ du paramètre $t$.\newline b) Préciser un vecteur directeur
des tangentes à $\left(  \Gamma\right)  $ aux points $M\left(  0\right)  $ et
$M\left(  1\right)  $ et tracer ces tangentes.\newline Tracer $\left(
\Gamma\right)  $.
\end{enumerate}
\end{exercise}


\end{document}