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\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 13130261910521--
%%--Polynésie 2000--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{center}
\bigskip{\Large ANNALES DE MATHEMATIQUES SERIE S}

{\Large POLYNESIE 2000}

{\Large Enoncé\bigskip}
\end{center}

\begin{exercise}
[5 points]Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct (O
;$\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$), unité graphique 4 cm. Dans
l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$, $i$ désigne le nombre de module
1, et d'argument $\frac{\pi}{2}$.\newline On appelle $f$ l'application qui , à
tout nombre complexe $z$ différent de $-2i$, associe :\newline%
\[
Z=f(z)=\frac{z-2+i}{z+2i}.
\]


\begin{enumerate}
\item Si $z=x+iy,$ x et y étant deux réels, exprimer la partie réelle et la
partie imaginaire de$Z$ en fonction de $x$ et $y$. On vérifiera que
\[
Re(Z)=\frac{x^{2}+y^{2}-2x+3y+2}{x^{2}+(y+2)^{2}}%
\]
En déduire la nature de:

\begin{enumerate}
\item L'ensemble $\mathcal{E}$ des points M d'affixe $z$, tels que $Z$ soit un réel;

\item l'ensemble $\mathcal{F}$ des points M d'affixe $z$ du plan, tels que $Z
$ soit un imaginaire pur éventuellement nul.

\item représenter ces deux ensembles.
\end{enumerate}

\item On appelle A et B les points d'affixes respectives $z_{A}=2-i$ et
$z_{B}=-2i$.\newline En remarquant que
\[
Z=\frac{z-z_{A}}{z-z_{B}}%
\]
retrouver les ensembles $\mathcal{E}$ et $\mathcal{F}$ par une méthode géométrique.

\item Calculer
\[
\mid f(z)-1\mid\times\mid z+2i\mid
\]
et en déduire que les points M' d'affixe Z, lorsque le point M d'affixe $z$
parcourt le cercle de centre B et de rayon $\sqrt{5}$, sont tous sur un même
cercle dont on précisera le rayon et l'affixe du centre.\medskip
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
[5 points]Un sac contient 10 jetons indiscernables au toucher:\newline4 jetons
blancs marqués 0;\newline3 jetons rouges marqués 7;\newline2 jetons blancs
marqués 2;\newline1 jeton rouge marqué 5.\newline

\begin{enumerate}
\item On tire simultanément 4 jetons du sac. Quel est le nombre de tirages
possibles ?

\item On suppose que tous les tirages sont équiprobables, et on considère les
événements suivants:\newline A : '' les quatre numéros sont identiques
''\ .\newline B : '' Avec les jetons tirés, on peut former le nombre 2000
''.\newline C : '' Tous les jetons sont blancs ''.\newline D : '' Tous les
jetons sont de la même couleur ''.\newline E : '' Au moins un jeton porte un
numéro différent des autres ''.

\begin{enumerate}
\item Montrer que la probabilité de l'événement de B est $\frac{4}{105}$.

\item Calculer la probabilité des événements A, C, D et E.

\item On suppose que l'événemnt C est réalisé, calculer alors la probabilité
de l'événement B.
\end{enumerate}

\item On établit la règle suivante :\newline- Si un joueur peut former 5 000,
il gagne 75 F.\newline- Si un joueur peut former 7 000, il gagne 50
F.\newline- Si un joueur peut former 2 000, il gagne 20 F.\newline- Si un
joueur peut former 0000, il perd 25 F.\newline- Pour tous les autres tirages,
il perd 5 F.\newline G est la variable aléatoire égale au gain algébrique du
joueur. Etablir la loi de probabilité de G et calculer l'espérance
mathématique de G.\medskip
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
[Problème points]%
%TCIMACRO{\TeXButton{Partie A}{\subsection*{Partie A}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie A}%
%EndExpansion


On considère la fonction numérique $f$, de la variable réelle x, définie sur
$\mathbb{R}$ par :
\[
f(x)=e^{-x}\sin x
\]
On appelle $(C_{f})$ la courbe d'équation $y=f(x)$ dans le plan rapporté à un
repère orthogonal$(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.\newline On
prendra 2 cm pour 1 unité sur l'axe des ordonnées, et 6 cm pour $\pi$ unités
sur l'axe des abscisses.

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout réel $x$,
\[
-e^{-x}\leqslant f(x)\leqslant e^{-x}%
\]
En déduire $\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)$ et l'existence d'une asymptote
pour la courbe $(C_{f})$.

\item Montrer que la fonction dérivée de $f$ vérifie :
\[
f^{\prime}(x)=\sqrt{2}e^{-x}\cos\left(  x+\frac{\pi}{4}\right)  ,
\]
pour tout $x$ élément de $\mathbb{R}.$

\item On étudie la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[  -\frac{\pi}{2}%
;\pi\right]  $. Recopier et compléter le tableau suivant:
\[%
\begin{tabular}
[c]{|c|ccccccc|}\hline
$x$ & $-\frac{\pi}{2}$ &  &  &  &  &  & $\pi$\\\hline
$x+\frac{\pi}{4}$ &  &  & $\frac{\pi}{2}$ &  &  &  & \\\hline
Signe de $\cos\left(  x+\frac{\pi}{4}\right)  $ &  &  &  &  &  &  & \\\hline
\end{tabular}
\]
\newline En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur
l'intervalle $\left[  -\frac{\pi}{2};\pi\right]  $.

\item Représenter la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[  -\frac{\pi}{2}%
;\pi\right]  $, ainsi que les courbes $(C_{1})$ et $(C_{2})$ d'équations
$y=e^{-x} $ et $y=-e^{-x}$.

\item Déterminer algébriquement sur $\mathbb{R}$, puis sur $\left[  -\frac
{\pi}{2};\pi\right]  $, les coordonnées des points communs à:\newline
a)$(C_{f})$ et l'axe des abscisses.\newline b)$(C_{f})$ et $(C_{1})$.\newline
c)$(C_{f})$ et $(C_{2})$.

\item Déterminer un réel $\alpha$ tel que, pour tout $x\geqslant\alpha$, on
ait $\mid f(x)\mid\leqslant10^{-2}.$
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie B}{\subsection*{Partie B}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie B}%
%EndExpansion


Le but de cette partie est de déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$
sur $\mathbb{R}$.

\begin{enumerate}
\item En calculant les dérivées successives de la fonction $f$ jusqu'à l'ordre
4 (on rappelle que $f(x)=e^{-x}\sin x$), trouver une relation entre la
fonction $f$ et sa dérivée d'ordre 4 notée $f^{(4)}$.

\item En déduire qu'on peut choisir
\[
F(x)=-\frac{1}{4}f^{(3)}(x)
\]


\item On pose
\[
I=\int_{0}^{\pi}e^{-x}\sin x\,dx
\]
Montrer que
\[
I=\frac{e^{-\pi}+1}{2}%
\]

\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie C}{\subsection*{Partie C}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie C}%
%EndExpansion


Pour tout entier naturel $n$, on pose:
\[
I_{n}=\int_{2n\pi}^{(2n+1)\pi}f(x)\,dx
\]


\begin{enumerate}
\item Vérifier que $I_{0}=I$ et interpréter $I_{0}$ comme l'aire d'un domaine
plan. Hachurer ce domaine.

\item Montrer que, pour tout naturel $n$,
\[
I_{n}=\frac{e^{-2\pi n}}{2}\left(  e^{-\pi}+1\right)
\]


\item Prouver que la suite $(I_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ est une suite
géomètrique. Calculer sa raison.

\item Prouver que la suite $(I_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ converge et calculer sa limite.
\end{enumerate}
\end{exercise}


\end{document}