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\newenvironment{proof}[1]
[Démonstration]
{\noindent\textbf{#1:} }
{\ \fbox{cqfd.}
}
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\renewcommand{\theenumii}{\alph{enumii}}
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}{\end{itemize}}
\newcommand{\vecteur}[1]{\overrightarrow{#1\;}}
\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 13129910696925--
%%--Corrigé du document N° 131236988135157--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{center}
\textsl{{\large {Corrig\'{e} Pondich\'{e}ry 1999}}}
\end{center}

\begin{claim}
\begin{enumerate}
\item $\Delta= -8 = (2 i \sqrt{2})^{2}$. D'o\`{u} les solutions de
l'\'{e}quation :\framebox{ $z_1=\sqrt{2} + i \sqrt{2}$ et $z_2 =
\overline{z_1} = \sqrt{2} - i \sqrt{2}$}

\item
\begin{enumerate}
\item De mani\`{e}re imm\'{e}diate : \framebox{$|z_1| = |z_2| =
2$}\newline Soit $\theta_{1}$ la mesure principale de arg $z_{1}$ :
$\cos\theta_{1} = \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin\theta_{1} =
\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}$. D'o\`{u} $\theta_{1} = \displaystyle\frac
{\pi}{4}$. \newline Par suite \framebox{arg $z_1 = \frac{\pi }{4} + k.2\pi$}
et \framebox{arg
$z_2 = - $arg $z_1 = - \frac{\pi }{4} + k.2\pi$}

\item $\displaystyle\frac{z_{1}}{z_{2}} = \displaystyle\frac{z_{1}}%
{\overline{z_{1}}} $. Il en r\'{e}sulte que $\left| \displaystyle\frac{z_{1}%
}{z_{2}}\right|  = 1$ et arg $\left( \displaystyle\frac{z_{1}}{z_{2}}\right)
= 2 $ arg $z_{1} $.\newline Comme $\left|  \left(  \displaystyle\frac{z_{1}%
}{z_{2}} \right)  ^{2} \right|  = \left| \displaystyle\frac{z_{1}}{z_{2}%
}\right|  ^{2}$ et arg$\left(  \displaystyle\frac{z_{1}}{z_{2}} \right)  ^{2}
= 2 $ arg $\left( \displaystyle\frac{z_{1}}{z_{2}}\right) $, on en d\'{e}duit
: \\[0.5cm]\framebox{$\left| \left( \frac{z_1}{z_2} \right) ^2 \right| = 1$}
et \framebox{arg$ \left( \frac{z_1}{z_2} \right) ^2 = \pi  + k.2\pi $}
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item $h$ a pour \'{e}criture complexe $z^{\prime}-\displaystyle\frac{\sqrt
{2}}{2}=-3\left(  z-\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\right)  $.\newline Il en
r\'{e}sulte, en rempla\c{c}ant $z$ par l'affixe $z_{2}$ de M$_{2}$, que
l'affixe de M$_{3}$ est \framebox{$z_3 = -\sqrt{2}
+ 3i\sqrt{2}$}

\item $r$ a pour \'{e}criture complexe $z^{\prime}=-iz$.\newline Il en
r\'{e}sulte, en rempla\c{c}ant $z$ par l'affixe $z_{2}$ de M$_{2}$, que
l'affixe de M$_{4}$ est \framebox{$z_4 = -\sqrt{2}
- i\sqrt{2}$}

\item
\[%
%TCIMACRO{\FRAME{itbpF}{1.8265in}{2.9813in}{0pt}{}{}{pondi99ex1.eps}%
%{\special{ language "Scientific Word";  type "GRAPHIC";
%maintain-aspect-ratio TRUE;  display "USEDEF";  valid_file "F";
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%original-height 2.8202in;  cropleft "0";  croptop "1";  cropright "1";
%cropbottom "0";  filename 'Include/pondi99ex1.eps';file-properties "XNPEU";}%
%}}%
%BeginExpansion
\raisebox{-0pt}{\includegraphics[
height=2.9813in,
width=1.8265in
]%
{Include/i3faxa0l.eps}%
}%
%EndExpansion
\]


\item $\displaystyle\frac{z_{3}-z_{1}}{z_{4}-z_{1}}=\displaystyle\frac
{-2\sqrt{2}+2i\sqrt{2}}{-2\sqrt{2}-2i\sqrt{2}}=\displaystyle\frac{-16i}{16i}$.
Soit \framebox{$\frac{z_3 - z_1}{z_4 - z_1}
= -i$}

\item Il r\'{e}sulte de \textbf{d.} que $M_{1}M_{3}=M_{1}M_{4}$ et que
$(\overrightarrow{\strut M_{1}M_{4}},\overrightarrow{\strut M_{1}M_{3}%
})=-\frac{\pi}{2}+k.2\pi$ : $M_{1}M_{3}M_{4}$ est un demi-carr\'{e} de centre
I et de diagonale M$_{3}$M$_{4}$.\newline$M_{5}$, par d\'{e}finition
sym\'{e}trique de $M_{1}$ par rapport \`{a} I, est donc le quatri\`{e}me
sommet du carr\'{e} $M_{1}M_{3}M_{5}M_{4}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\end{claim}

\begin{claim}
\quad(candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de la sp\'{e}cialit\'{e})

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Avec le barycentre partiel : soit $B^{\prime}$ le barycentre de $[(A;1);
(C;1)]$, milieu de $[AC]$. \newline$G$ est le barycentre de
$[(B;-1);(B^{\prime};2)]$, d\'{e}fini par $\overrightarrow{\strut BG} = 2
\overrightarrow{\strut BB^{\prime}}$ : d'o\`{u} sa construction.

\item Soit $B^{\prime\prime}$ le barycentre de $[(A;1);(C;-2)]$, d\'{e}fini
par $\overrightarrow{\strut AB^{\prime\prime}} = 2 \overrightarrow{\strut AC}
$. \newline$G^{\prime}$ est le barycentre de $[(B^{\prime\prime};-1);(B;5)]$,
d\'{e}fini par $\overrightarrow{\strut BG^{\prime}} = - \displaystyle\frac
{1}{4} \overrightarrow{\strut BB^{\prime\prime}}$ : d'o\`{u} sa construction.
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\FRAME{dtbpF}{4.2864in}{2.8003in}{0pt}{}{}{pondi99ex2.eps}%
%{\special{ language "Scientific Word";  type "GRAPHIC";
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%}}%
%BeginExpansion
\begin{center}
\includegraphics[
height=2.8003in,
width=4.2864in
]%
{Include/i3faxa0n.eps}%
\end{center}
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item Par d\'{e}finition de $G^{\prime}$ : $4 \overrightarrow{\strut
GG^{\prime}} = \overrightarrow{\strut GA} +5 \overrightarrow{\strut GB} - 2
\overrightarrow{\strut GC} = 4 \overrightarrow{\strut GA} + 5 \overrightarrow
{\strut AB} - 2 \overrightarrow{\strut AC}$.\newline Or, par d\'{e}finition de
$G$ : $\overrightarrow{\strut AG} = - \overrightarrow{\strut AB} +
\overrightarrow{\strut AC}$.\newline Par suite
\framebox{$4 \vecteur{GG'} = 9 \vecteur{AB} - 6 \vecteur{AC}$} De mani\`{e}re
analogue : $4 \overrightarrow{\strut JG^{\prime}} = \overrightarrow{\strut JA}
+ 5 \overrightarrow{\strut JB} - 2 \overrightarrow{\strut JC} = 4
\overrightarrow{\strut JA} + 5 \overrightarrow{\strut AB} - 2 \overrightarrow
{\strut AC}$. Or $\overrightarrow{\strut JA} = - \displaystyle\frac{1}{2}
\overrightarrow{\strut AB}$. Donc \framebox{$4 \vecteur{JG'} = 3
\vecteur{AB} - 2 \vecteur{AC}$}\newline IL r\'{e}sulte des calculs
pr\'{e}c\'{e}dents que $\overrightarrow{\strut GG^{\prime}} = 3
\overrightarrow{\strut JG^{\prime}}$ : \newline\underline{l'alignement des
points $G$, $J$ et $G^{\prime}$ implique donc que $(GG^{\prime})$ coupe $(AB)$
en $J$.}

\item Par d\'{e}finition de $I$ : $\overrightarrow{\strut GI} = 2
\overrightarrow{\strut GB} - \overrightarrow{\strut GC} = \overrightarrow
{\strut GA} + 2 \overrightarrow{\strut AB} - \overrightarrow{\strut AC} = 3
\overrightarrow{\strut AB} - 2 \overrightarrow{\strut AC}$.\newline On
remarque que $\overrightarrow{\strut GG^{\prime}} = 3 \overrightarrow{\strut
GI}$. Donc \underline{$I \in(GG^{\prime})$.}
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\item $K$ est par hypoth\`{e}se isobarycentre de $A$ et $O$, points
affect\'{e}s des m\^{e}mes coefficients.\newline$O$ est par hypoth\`{e}se
isobarycentre de $C$ et $D$, points affect\'{e}s des m\^{e}mes
coefficients.\newline Le coefficient de $O$ est le double de celui de $C$ ou
$D$, et le m\^{e}me que celui de $A$ : soit $a=2\alpha$ et $d=c=\alpha$,
$\alpha\in\mathbb{R}^{*}$. \underline{Par exemple $a=2$ et $b=c=1$.}

\item $K$, barycentre de $[(A ; 2\alpha);(C ; \alpha);(D ; \alpha)]$, est
aussi barycentre de $(D ; \alpha)$ et du barycentre de $[(A ; 2\alpha);(C ;
\alpha)]$ qui est situ\'{e} sur $(AC)$ et align\'{e} avec $D$ et $K$. Ce
barycentre de $[(A ; 2\alpha);(C ; \alpha)]$ est donc le point X. Par suite
$a^{\prime}=2 \alpha$ et $c^{\prime}= \alpha$, $\alpha\in\mathbb{R}^{*}$.
\underline{Par exemple $a^{\prime}=2$ et $c^{\prime}=1$.}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{claim}

\begin{claim}
[probl\`{e}me]\quad(candidats ayant suivi l'enseignement de la
sp\'{e}cialit\'{e})\newline

\textbf{Partie A}\newline Posons $a^{\prime}= \displaystyle\frac{a}{1999}$ et
$b^{\prime}= \displaystyle\frac{b}{1999}$. Comme 1999 est le pgcd de $a$ et
$b$, $a^{\prime}$ et $b^{\prime}$ sont premiers entre eux.\newline Le
syst\`{e}me $\displaystyle  \left\lbrace
\begin{array}
[c]{l}%
a+b = 11994\\
\mbox{pgcd}\ (a, b) = 1999
\end{array}
\right.  $ est \'{e}quivallent au syst\`{e}me $\displaystyle \left\lbrace
\begin{array}
[c]{l}%
a=1999 \, a^{\prime}\\
b=1999\, b^{\prime}\\
a^{\prime}+b^{\prime}= 6\\
\mbox{pgcd}\ (a^{\prime}, b^{\prime}) = 1
\end{array}
\right.  $ \newline On en d\'{e}duit $(a^{\prime}, b^{\prime}) \in\{ (1,
5)\ ;\ (5,1)\}$. Soit
\framebox{$(a, b) \in \{ (1999, 9995)\ ;\ (9995, 1999) \}$}\\[0.5cm]

\textbf{Partie B}

\begin{enumerate}
\item $3$ est solution de l'\'{e}quation. $S$ est alors solution enti\`{e}re
de $9 - 3S + 11994 = 0$. D'o\`{u} \framebox{$S = 4001$} et la deuxi\`{e}me
solution de l'\'{e}quation est $4001 -3$, soit \framebox{$3998$}.

\item De fa\c{c}on analogue, $5$ \'{e}tant solution de l'\'{e}quation, $S$ est
solution enti\`{e}re de $25 -5S + 11994 = 0$, soit de $5S = 12019$.
\underline{Pas de solution enti\`{e}re pour $S$} car $12019$ n'est pas
divisible par $5$.

\item Les entiers solutions de l'\'{e}quation, quand ils existent, ont pour
produit $11994$. Ces entiers divisent donc $11994 = 2\times3\times
1999$.\newline Les huit diviseurs de $11994$, qui sont $1, 2,\, 3, 6, 1999,
3998, 5997,11994 $, donnnent les quatre paires distinctes de solutions :
$\{1;11994\}\, ;\, \{2 ; 5997\} ;\{3 ; 3998\} ; \{6 ; 1999\}$ qui conduisent
aux quatre \newline\framebox{valeurs de $S$ : $11995 ; 5999 ; 4001 ; 2005$.}
\end{enumerate}

\textbf{Partie C}\newline\noindent Les seuls diviseurs premiers de $1999$ sont
les entiers entre $2$ et $\sqrt{1999}$, soit entre $2$ et $44$. Aucun de ces
entiers ne divise $1999$ qui est donc premier.\newline

Probl\`{e}me\newline

\textbf{Partie A}\newline Sur $[0,5\,;\,2]$ $f^{\prime}$ change de signe en
passant de valeurs n\'{e}gatives \`{a} des valeurs positives : cela permet
d'envisager l'existence d'un minimum pour $f$ sur cet intervalle.\newline
Graphiquement on peut situer ce \underline{minimum dans l'intervalle $]1,5\,
;\, 1,7[$.}\newline

\textbf{Partie B}

\begin{enumerate}
\item $h^{\prime}(x) = e^{x} + xe^{x} - 2e^{x} = (x-1)e^{x}$. Le signe de
$h^{\prime}(x)$ sur $[0\,;\,+ \infty[$ est celui de $x-1$.\newline Par suite
\underline{$h$ est d\'{e}croissante sur $[0\,;\,1]$ et croissante sur
$[1\,;\,+\infty[$}\newline$h(0) = 0$.

\item $h\left( \displaystyle\frac{3}{2}\right)  = 2 - \displaystyle\frac{1}%
{2}e^{\frac{3}{2}}$. Donc \framebox{$h\left(\frac{3}{2}\right) < 0$}\newline%
$h$ est d\'{e}rivable et strictement croissante sur $\left[ \displaystyle\frac
{3}{2}\,;\,2\right] $, $h\left( \displaystyle\frac{3}{2}\right)  < 0$ et
$h(2)=2$ donc $h(2) >0$. Il en r\'{e}sulte que l'\'{e}quation $h(x) = 0$ admet
sur l'intervalle $\left[ \displaystyle\frac{3}{2}\,;\,2\right] $ une solution
unique. Soit $a$ cette solution.\newline Le signe de $h(x)$ r\'{e}sulte des
r\'{e}sultats \'{e}tablis \`{a} la question pr\'{e}c\'{e}dente et de ceux
obtenus ci-dessus :\newline\underline{$h(x) \leqslant0 $ sur $[0\,;\,a]$;
$h(x) \geqslant0$ sur $[a\,;\,+ \infty[$}

\begin{enumerate}
\item $f(x) = \displaystyle\frac{e^{x} -1}{x} \times\displaystyle\frac{1}{x}$.
Or $\underset{x \rightarrow0}{\lim}\displaystyle\frac{e^{x}-1}{x} = 1$ et
$\underset{\underset{x>0}{x \rightarrow0}}{\lim}\displaystyle\frac{1}{x} = +
\infty$. Donc \framebox{$\underset{0}{\lim} f = + \infty$}\newline$f(x) =
\displaystyle\frac{e^{x}}{x^{2}} - \displaystyle\frac{1}{x^{2}}$. Or
$\underset{x \rightarrow+ \infty}{\lim}\displaystyle\frac{e^{x}}{x^{2}} = +
\infty$ et $\underset{x \rightarrow+ \infty}{\lim} \displaystyle\frac{1}%
{x^{2}} = 0$. Donc \framebox{$\underset{+\infty}{\lim}f = + \infty$}

\item $f^{\prime}(x) = \displaystyle\frac{e^{x} x^{2} - 2x(e^{x}-1)}{x^{4}} =
\displaystyle\frac{xe^{x} -2e^{x} + 2}{x^{3}} = \displaystyle\frac{h(x)}%
{x^{3}}$ : $f^{\prime}(x)$ est donc sur $]0\,;\,+\infty[$ du signe de $h(x)$
et par suite \underline{$f$ est d\'{e}croissante sur $]0\,;\,a]$ et croissante
sur $[a\,;\, + \infty[$}\\[0.5cm]Tableau de variation de $f$ :%

\begin{tabular}
[c]{c|cccccc}%
$x$ & $0$ &  &  & $a$ &  & $+\infty$\\\hline
$f\,^{\prime}(x)$ &  &  & $-$ & $0$ & $+$ & \\\hline
&  & $+\infty$ &  &  &  & $+\infty$\\
$f$ &  &  &
%TCIMACRO{\TeXButton{Decroissent}{\parbox{1.4cm}{
%\setlength{\unitlength}{0.1cm}
%\begin{picture}(14,7)
%\put(0,7){\vector(2,-1){14}}
%\end{picture}
%}}}%
%BeginExpansion
\parbox{1.4cm}{
\setlength{\unitlength}{0.1cm}
\begin{picture}(14,7)
\put(0,7){\vector(2,-1){14}}
\end{picture}
}%
%EndExpansion
&  &
%TCIMACRO{\TeXButton{Croissant}{\parbox{1.4cm}{
%\setlength{\unitlength}{0.1cm}
%\begin{picture}(14,7)
%\put(0,0){\vector(2,1){14}}
%\end{picture}
%}}}%
%BeginExpansion
\parbox{1.4cm}{
\setlength{\unitlength}{0.1cm}
\begin{picture}(14,7)
\put(0,0){\vector(2,1){14}}
\end{picture}
}%
%EndExpansion
& \\
&  &  &  & $f(a)$ &  &
\end{tabular}


\item $f(a)=\displaystyle\frac{e^{a}-1}{a^{2}}$. Or $h(a)=0$ soit
$ae^{a}-2e^{a}+2=0$ donc $e^{a}(a-2)=-2$ soit $e^{a}=\displaystyle\frac
{-2}{a-2}$. \newline En reportant dans l'expression de $f(a)$ on obtient :
$f(a)=\displaystyle\frac{\frac{-2}{a-2}-1}{a^{2}}=\displaystyle\frac{-a}%
{a^{2}(a-2)}$. \newline Soit \framebox{$f(a)= \frac{-1}{a(a-2)}$}\newline Le
signe de $f(a)$ en r\'{e}sulte : $a\in\left]  \displaystyle\frac{3}%
{2}\,;\,2\right[  $ donc $a-2<0$ et par suite \framebox{$f(a) > 0$}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{Partie C}

\begin{enumerate}
\item Sur $[0\,;\, + \infty[$, l'\'{e}quation $h(x) = 0$ est successivement
\'{e}quivalente \`{a} :%

\begin{align*}
xe^{x} - 2e^{x} + 2  & = 0\\
x - 2 + 2e^{-x}  & = 0\\
x & = 2 - 2e^{-x}\\
2(1 - e^{-x})  & = x
\end{align*}


\item $g^{\prime}(x) = 2e^{-x}$. \newline Puisque la fonction $x\longmapsto
e^{-x}$ est d\'{e}croissante sur $\mathbb{R}$, lorsque $x \in\left[
\displaystyle\frac{3}{2}\, ,\,2\right] $, $2e^{-2} \leqslant g^{\prime}(x)
\leqslant2e^{-\frac{3}{2}}$.\newline Or $- \displaystyle\frac{1}{2}%
\leqslant2e^{-2} \leqslant2e^{-\frac{3}{2}} \leqslant\displaystyle\frac{1}{2}%
$. Donc $-\displaystyle\frac{1}{2} \leqslant g^{\prime}(x) \leqslant
\displaystyle\frac{1}{2}$, soit \framebox{$|g'(x)| \leqslant \frac{1}{2}$}

\item
\begin{enumerate}
\item On applique le th\'{e}or\`{e}me des in\'{e}galit\'{e}s des
accroissements finis \`{a} la fonction $g$, d\'{e}rivable sur I, de
d\'{e}riv\'{e}e born\'{e}e sur I, et $a\in$I :
\[
\mbox{pour tous les réels}\ x \ \mbox{de I}, \ |g(x) - g(a)| \leqslant
\displaystyle\frac{1}{2} |x-a|.
\]
On d\'{e}duit alors :\newline$\bullet$ de l'\'{e}quivalence \'{e}tablie \`{a}
la question \textbf{1.} que $g(a) = a$ ; \newline$\bullet$ de la
d\'{e}finition de la suite $(x_{n})_{n \geqslant1}$ et du fait que pour tout
entier $n$ sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} $1$, $(x_{n}) \in$I \newline que
\[
\mbox{pour tout entier} \ n \ \mbox{supérieur ou égal à}\ 1, \ |g(x_{n}) - a|
\leqslant\displaystyle\frac{1}{2} |x_{n} - a|
\]
soit
\[
\mbox{pour tout entier} \ n \ \mbox{supérieur ou égal à}\ 1, \ |x_{n+1}- a|
\leqslant\displaystyle\frac{1}{2} |x_{n} - a|.
\]
On \'{e}tablit par r\'{e}currence que pour tout $n$ sup\'{e}rieur ou \'{e}gal
\`{a} $1$, $|x_{n} -a| \leqslant\displaystyle\frac{1}{2^{n}}$ : \newline%
$\bullet$ La propri\`{e}t\'{e} est r\'{e}alis\'{e}e pour $n=1$ : $a\in$ I et
$x_{1} = \displaystyle\frac{3}{2}$ donc $|x_{1}- a| \leqslant
\displaystyle\frac{1}{2}$.\newline$\bullet$ Soit $n$ un entier sup\'{e}rieur
ou \'{e}gal \`{a} $1$, quelconque. \newline Si $|x_{n} - 1| \leqslant
\displaystyle\frac{1}{2^{n}}$, on d\'{e}duit de l'in\'{e}galit\'{e}
\'{e}tablie pr\'{e}c\'{e}demment que $|x_{n+1} - a| \leqslant
\displaystyle\frac{1}{2} \times\displaystyle\frac{1}{2^{n}}$. Soit $|x_{n+1} -
a| \leqslant\displaystyle\frac{1}{2^{n+1}}$.\newline Il est donc \'{e}tabli
que si la propri\'{e}t\'{e} est vraie \`{a} l'ordre $n $ elle est vraie \`{a}
l'ordre $n+1$.\newline D'o\`{u} la conclusion.\newline La suite $(|x_{n} -
a|)$ \`{a} valeurs positives, major\'{e}e par la suite $(\displaystyle\frac
{1}{2^{n}})$ qui converge vers $0$, converge vers $0$ : \underline{la suite
$(x_{n})$ converge donc vers $a$.}

\item Pour que $x_{p}$ soit valeur approch\'{e}e de $a$ \`{a} $10^{-3}$
pr\`{e}s il suffit que $\displaystyle\frac{1}{2^{p}} \leqslant10^{-3} $, soit
$2^{p} \geqslant10^{3} $. Tout entier sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} $10 $
convient.\newline Avec $n=10$ on obtient \underline{$1,593$ comme valeur
approch\'{e}e de $x_{10}$.}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{partie D}

\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ d\'{e}rivable est int\'{e}grable et $F$ en est la
primitive nulle pour $x=1$ : $F^{\prime}(x) = f(x)$.\newline Or $f >0$ sur
$]0\,;\, + \infty[$. Donc \underline{$F$ est strictement croissante sur cet
intervalle.}

\item De la croissance de $f$ sur $[2\,;\, + \infty[$ on d\'{e}duit que pour
tout $x$ sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} $2$, $f(2) \leqslant f(x).$\newline
Par suite \framebox{$\displaystyle{\int _2 ^x f(2)\,dt  \leqslant \int _2 ^x
f(t)\,dt}$}\newline

$\displaystyle{F(x)=\int_{1}^{2}f(t)\,dt+\int_{2}^{x}f(t)\,dt}$. Donc,
d'apr\`{e}s l'in\'{e}galit\'{e} pr\'{e}c\'{e}dente,
$\displaystyle{F(x)\geqslant\int_{1}^{2}f(t)\,dt+\int_{2}^{x}f(2)\,dt}$. Soit
$\displaystyle{F(x)\geqslant\int_{1}^{2}f(t)\,dt+f(2)(x-2)}$.\newline Or $f$
est positive, donc $\displaystyle{\int_{1}^{2}f(t)\,dt\geqslant0}$ et par
suite $F(x)\geqslant f(2)(x-2)$.\newline Comme $\underset{x\rightarrow+\infty
}{\lim}f(2)(x-2)=+\infty$, il en r\'{e}sulte que
\framebox{$\underset{x \rightarrow} {\lim}
F(x) = + \infty$}
\end{enumerate}
\end{claim}


\end{document}