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[D�monstration]
{\noindent\textbf{#1:} }
{\ \fbox{cqfd.}
}
\renewcommand{\theenumi}{\arabic{enumi}}
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\begin{itemize}
}{\end{itemize}}
\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N� 13129821640899--
%%--Corrig� du document N� 13121642551224--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{center}
{\LARGE ANNALES DE MATHEMATIQUES SERIE S\bigskip}

{\LARGE ASIE 1999\bigskip}

{\LARGE ELEMENTS DE SOLUTION\bigskip}
\end{center}

\begin{claim}
\begin{enumerate}
\item a) On d\'{e}signe par $A$ ( respectivement $B$, $AB$ )
l'\'{e}v\`{e}nement '' la personne appartient au groupe $A$ ( respectivement
$B$, $AB$ ). On utilise la formule des probabilit\'{e}s totale, en
v\'{e}rifiant que les \'{e}v\`{e}nements $O$, $A$, $B$ et $AB$ forment une
partition de l'univers :
\[%
\begin{array}
[c]{c}%
p\left(  Rh+\right)  =p\left(  Rh+\cap O\right)  +p\left(  Rh+\cap A\right)
+p\left(  Rh+\cap B\right)  +p\left(  Rh+\cap AB\right) \\
=0,35+0,381+0,062+0,028\\
=0,821
\end{array}
\]
La formule des probabilit\'{e}s conditionnelles fournit :
\[
p_{2}=p\left(  O/Rh+\right)  =\frac{p\left(  O\cap Rh+\right)  }{p\left(
Rh+\right)  }=\frac{0,35}{0,821}=0,426
\]
b) L'arbre de probabilit\'{e} est alors compl\'{e}t\'{e} :\newline%
%TCIMACRO{\TeXButton{arbre}{\hspace{1cm}
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%\begin{picture}(4,5.8)
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%}}%
%BeginExpansion
\hspace{1cm}
\unitlength=0.8cm
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\put(7.2,1.9){AB}
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\put(6,-0.7){0,067}
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\put(6,2.5){0,034}
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\put(5.56,5.0){0,426}
\end{picture}
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\TeXButton{vskip}{\vskip2cm}}%
%BeginExpansion
\vskip2cm%
%EndExpansion


\item a) En utilisant encore la formule des probabilit\'{e}s totale, on peut
\'{e}crire, en remarquant que les \'{e}v\`{e}nements $Rh+$ et $Rh-$ forment
une partition de l'univers :
\[%
\begin{array}
[c]{c}%
p\left(  O\right)  =p\left(  O\cap Rh+\right)  +p\left(  O\cap Rh-\right) \\
=p\left(  Rh+\right)  \times p\left(  O/Rh+\right)  +p\left(  Rh-\right)
\times p\left(  O/Rh-\right) \\
=0,821\times0,426+0,179\times0,503\\
\simeq0,440
\end{array}
\]
En utilisant le tableau des donn\'{e}es, on a :
\[
p\left(  O\right)  =0,35+0,09=0,44
\]
b) On cherche l'\'{e}v\`{e}nement $Rh+$ sachant que $O$ est r\'{e}alis\'{e},
donc
\[
p\left(  Rh+/O\right)  =\frac{p\left(  Rh+\cap O\right)  }{p\left(  O\right)
}=\frac{0,35}{0,44}\simeq0,795
\]


\item a) La probabilit\'{e} de ne pas appartenir au groupe $O$ est \'{e}gale
\`{a} $1-0,44=0,56$. \newline On utilise l'\'{e}v\`{e}nement contraire, qui
est qu'aucune personne sur les $n$ n'appartienne au groupe $O$. On a donc :
\[
p=1-0,56^{n}%
\]
b) On obtient les in\'{e}galit\'{e}s :
\[
p\geq0,999\Leftrightarrow1-0,56^{n}\geq0,999\Leftrightarrow0,56^{n}\leq0,001
\]
La croissance stricte de la fonction logarithme permet d'avoir
l'\'{e}quivalence :
\[
0,56^{n}\leq0,001\Leftrightarrow n\ln0,56\leq\ln0,001\Leftrightarrow
n\geq\frac{\ln0,001}{\ln0,56}%
\]
Comme
\[
\frac{\ln0,001}{\ln0,56}\simeq11,9
\]
on peut affirmer que la plus petite valeur de $n$ qui convient est \'{e}gale
\`{a} $12$.\bigskip
\end{enumerate}
\end{claim}

\begin{claim}
\begin{enumerate}
\item a) En utilisant les identit\'{e}s remarquables :%
\begin{align*}
P\left(  Z\right)   &  =\allowbreak\left(  Z^{2}-1\right)  \left(
Z^{2}+1\right) \\
&  =\left(  Z-1\right)  \left(  Z+1\right)  \left(  Z-i\right)  \left(
Z+i\right)
\end{align*}
b) On en d\'{e}duit facilement que l'ensemble $S$ des solutions est :%
\[
S=\left\{  1,-1,i,-i\right\}
\]
c) Pour $z\neq1,$ on pose
\[
Z=\frac{2z+1}{z-1}%
\]
L'\'{e}quation devient
\[
Z^{4}=1
\]
ce qui permet d'obtenir les valeurs de $Z$ en utilisant la question
pr\'{e}c\'{e}dente. On r\'{e}sout alors chaque \'{e}quation :%
\[
Z=1\Leftrightarrow\frac{2z+1}{z-1}=1\Leftrightarrow2z+1=z-1\Leftrightarrow
z=-2
\]%
\[
Z=-1\Leftrightarrow\frac{2z+1}{z-1}=-1\Leftrightarrow2z+1=-z+1\Leftrightarrow
z=0
\]%
\[
Z=i\Leftrightarrow2z+1=iz-i\Leftrightarrow z=\frac{-1-i}{2-i}\Leftrightarrow
z=-\frac{1}{5}-\frac{3}{5}i
\]%
\[
Z=-i\Leftrightarrow2z+1=-iz+i\Leftrightarrow z=\frac{-1+i}{2+i}\Leftrightarrow
z=-\frac{1}{5}+\frac{3}{5}i
\]
donc l'\'{e}quation cherch\'{e}e admet comme ensemble de solutions :%
\[
\left\{  -2,0,-\frac{1}{5}-\frac{3}{5}i,-\frac{1}{5}+\frac{3}{5}i\right\}
\]


\item a)%
%TCIMACRO{\FRAME{dtbpF}{4.1386in}{2.6052in}{0pt}{}{}{b7s.eps}%
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%BeginExpansion
\begin{center}
\includegraphics[
height=2.6052in,
width=4.1386in
]%
{Include/i3faxt11.eps}%
\end{center}
%EndExpansion


\item b) Calculons l'angle $\left(  \overrightarrow{CA},\overrightarrow
{CO}\right)  $ en utilisant les affixes :%
\begin{align*}
\left(  \overrightarrow{CA},\overrightarrow{CO}\right)   &  =\arg\left(
\frac{0-c}{a-c}\right)  =\arg\left(  \frac{\frac{1}{5}-i\frac{3}{5}%
}{-2-\left(  -\frac{1}{5}+i\frac{3}{5}\right)  }\right) \\
&  =\arg\left(  \frac{\frac{1}{5}-i\frac{3}{5}}{-\frac{9}{5}-\frac{3}{5}%
i}\right)  =\arg\left(  \frac{1}{3}i\right) \\
&  =\frac{\pi}{2}\text{ modulo }2\pi
\end{align*}
donc les vecteurs $\overrightarrow{CA}$ et $\overrightarrow{CO}$ sont
orthogonaux. On en d\'{e}duit que le point $C$ appartient au cercle de
diam\`{e}tre $\left[  AO\right]  $. De m\^{e}me, on a :%
\begin{align*}
\left(  \overrightarrow{BA},\overrightarrow{BO}\right)   &  =\arg\left(
\frac{0-b}{a-b}\right)  =\arg\left(  \frac{\frac{1}{5}+i\frac{3}{5}%
}{-2-\left(  -\frac{1}{5}-i\frac{3}{5}\right)  }\right) \\
&  =\arg\left(  \frac{\frac{1}{5}+i\frac{3}{5}}{-\frac{9}{5}+\frac{3}{5}%
i}\right)  =\arg\left(  -\frac{1}{3}i\right) \\
&  =-\frac{\pi}{2}\text{ modulo }2\pi
\end{align*}
donc le point $B$ appartient aussi au cercle de diam\`{e}tre $\left[
AO\right]  ,$ ce qu prouve bien que les quatre points $A,$ $O,$ $B$ et $C$
sont situ\'{e}s sur le cercle de diam\`{e}tre $\left[  AO\right]  .$

\item On a :
\[
z^{\prime}=\frac{a-c}{d-c}=\frac{-2-\left(  -\frac{1}{5}+\frac{3}{5}i\right)
}{-\frac{1}{2}-\left(  -\frac{1}{5}+\frac{3}{5}i\right)  }=\frac{-\frac{9}%
{5}-\frac{3}{5}i}{-\frac{3}{10}-\frac{3}{5}i}=2-2i
\]
Or%
\[
\left\vert 2-2i\right\vert =\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}%
\]%
\[
2-2i=2\sqrt{2}\left(  \frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)
=2\sqrt{2}\left(  \cos\left(  -\frac{\pi}{4}\right)  +i\sin\left(  -\frac{\pi
}{4}\right)  \right)
\]
On en d\'{e}duit donc que
\[
z^{\prime}=2-2i=2\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}%
\]
En utilisant les modules :%
\[
\dfrac{CA}{CD}=\frac{\left\vert a-c\right\vert }{\left\vert d-c\right\vert
}=\left\vert \frac{a-c}{d-c}\right\vert =\left\vert z^{\prime}\right\vert
=2\sqrt{2}%
\]
On a aussi :%
\[
\left(  \overrightarrow{CD},\overrightarrow{CA}\right)  =\arg\left(
\frac{a-c}{d-c}\right)  =-\frac{\pi}{4}%
\]
Comme
\[
\left(  \overrightarrow{CO},\overrightarrow{CA}\right)  =-\frac{\pi}{2}%
\]
on peut en d\'{e}duire que la droite $\left(  CD\right)  $ est la
m\'{e}diatrice de l'angle $\left(  \overrightarrow{CO},\overrightarrow
{CA}\right)  . $
\end{enumerate}
\end{claim}

\begin{claim}
[Probl\`{e}me]%
%TCIMACRO{\TeXButton{Partie}{\subsection*{Partie A}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie A}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item On pose :%
\[
u\left(  t\right)  =t-1\quad u^{\prime}\left(  t\right)  =1\quad v^{\prime
}\left(  t\right)  =e^{t}\quad v\left(  t\right)  =e^{t}%
\]
La formule d'int\'{e}gration par parties donne :%
\begin{align*}
\int_{1}^{x}e^{t}\left(  t-1\right)  \,dt  &  =\allowbreak e^{x}\left(
x-1\right)  -\int_{1}^{x}e^{t}\,dt\\
&  =e^{x}\left(  x-1\right)  -\left(  e^{x}-e\right) \\
&  =e^{x}x-2e^{x}+e
\end{align*}


\item a) $f$ est solution de $\left(  E\right)  $ si et seulement si
\begin{align*}
f^{\prime}\left(  x\right)  +f\left(  x\right)   &  =x-1\Leftrightarrow\left(
z^{\prime}\left(  x\right)  e^{-x}-z\left(  x\right)  e^{-x}\right)  +z\left(
x\right)  e^{-x}=x-1\\
&  \Leftrightarrow z^{\prime}\left(  x\right)  e^{-x}=x-1\\
&  \Leftrightarrow z^{\prime}\left(  x\right)  =\left(  x-1\right)  e^{x}%
\end{align*}
b) Il suffit de remarquer que la fonction
\[
x\mapsto\int_{1}^{x}e^{t}\left(  t-1\right)  \,dt
\]
d\'{e}signe l'unique primitive de la fonction
\[
x\mapsto e^{x}\left(  x-1\right)
\]
qui s'annule en 1, et donc que la fonction $z$ cherch\'{e}e s'en d\'{e}duit
\`{a} une constante r\'{e}elle pr\`{e}s. On a donc pour tout $x$ r\'{e}el :%
\[
z\left(  x\right)  =e^{x}x-2e^{x}+e+k
\]


\item a) D'apr\`{e}s la question pr\'{e}c\'{e}dente, on peut dire que les
solutions de l'\'{e}quation $\left(  E\right)  $ sont les fonctions $f$
d\'{e}finies sur $\mathbb{R}$ par :%
\[
f\left(  x\right)  =z\left(  x\right)  e^{-x}=\left(  e^{x}x-2e^{x}%
+e+k\right)  e^{-x}=x-2+\frac{1}{e^{x}}e+\frac{1}{e^{x}}k
\]
b) Imposant $f\left(  1\right)  =0,$ on trouve que $k=0,$ donc la solution
cherch\'{e}e est d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ par :%
\[
f\left(  x\right)  =x-2+\frac{1}{e^{x}}e=x-2+e^{1-x}%
\]

\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie}{\subsection*{Partie B}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie B}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item a) La fonction $f$ est d\'{e}rivable sur $\mathbb{R},$ et :%
\[
f^{\prime}\left(  x\right)  =\allowbreak1-e^{1-x}%
\]
On a de plus :%
\[
\allowbreak1-e^{1-x}>0\Leftrightarrow e^{1-x}<1\Leftrightarrow
1-x<0\Leftrightarrow1<x
\]
donc $f$ est strictement croissante sur $\left]  1,+\infty\right[  ,$ et
strictement d\'{e}croissante sur $\left]  -\infty,1\right[  .$\newline b)
Transformons l'expression de $f\left(  x\right)  $ :
\[
f\left(  x\right)  =x\left(  1-\frac{2}{x}+\frac{e}{xe^{x}}\right)
\]
Or, on a :%
\[
\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{2}{x}=0\quad\lim_{x\rightarrow-\infty}%
xe^{x}=0\text{ d'apr\`{e}s le cours}%
\]
ce qui permet d'obtenir :%
\[
\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{1}{xe^{x}}=-\infty
\]
puis que
\[
\lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(  x\right)  =+\allowbreak\infty
\]
On a aussi :%
\[
\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(  x-2+e^{1-x}\right)  =+\infty
\]
par somme de deux fonctions tendant vers $+$ $\infty.$

\item a) On a :%
\[
\lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(  x\right)  -\left(  x-2\right)
=\lim_{x\rightarrow+\infty}e^{1-x}=0
\]
ce qui prouve bien que la droite $\left(  D\right)  ,$ d'\'{e}quation $y=x-2$,
est asymptote \`{a} la courbe $\left(  C_{f}\right)  .$\newline b) Comme pour
tout r\'{e}el $x,$ on a :
\[
e^{1-x}>0
\]
on peut donc dire que la courbe $\left(  C_{f}\right)  $ est toujours
situ\'{e}e au-dessus de la droite $\left(  D\right)  .$
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie}{\subsection*{Partie C}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie C}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item D'apr\`{e}s les positions respectives des courbes $\left(  C_{f}\right)
$ et $\left(  D\right)  ,$ on a :%
\begin{align*}
S_{1}  &  =\int_{0}^{x_{0}}\left(  f\left(  x\right)  -\left(  x-2\right)
\right)  dx\\
&  =\int_{0}^{x_{0}}e^{1-x}dx\\
&  =\left[  -e^{1-x}\right]  _{0}^{x_{0}}\\
&  =e-e^{1-x_{0}}%
\end{align*}


\item a) $g$ est strictement d\'{e}croissante sur $\mathbb{R}$ et \`{a}
valeurs positives.\newline b) On remarque que $S_{1}$ repr\'{e}sente l'aire du
domaine plan compris entre $\left(  C_{g}\right)  ,$ l'axe des abscisses, et
les droites d'\'{e}quation $x=0$ et $x=x_{0}.$

\item Equation de la tangente \`{a} la courbe $\left(  C_{g}\right)  $ au
point d'abscisse $x_{0}$ :%
\begin{align*}
y  &  =g^{\prime}\left(  x_{0}\right)  \left(  x-x_{0}\right)  +g\left(
x_{0}\right) \\
y  &  =-e^{1-x_{0}}\left(  x-x_{0}\right)  +e^{1-x_{0}}%
\end{align*}
On obtient l'abscisse du point $C$ en faisant $y=0,$ soit
\[
x=x_{0}+1
\]
donc $C\left(  0,x_{0}+1\right)  $

\item Le triangle $ABC$ est rectangle en $A,$ donc son aire est donn\'{e}e par
:%
\[
S_{2}=\frac{AB\times AC}{2}=\frac{e^{1-x_{0}}\times\left(  x_{0}%
+1-x_{0}\right)  }{2}=\frac{e^{1-x_{0}}}{2}%
\]
La relation propos\'{e}e est alors imm\'{e}diate :
\[
S_{1}+2S_{2}=e
\]

\end{enumerate}
\end{claim}


\end{document}