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\newtheorem  {acknowledgement}[Cack]{A savoir}
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\newtheorem{algorithm}[Calg]{M�thode}
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\newtheorem{summary}[Csum]{En r�sum�}
}
\newenvironment{proof}[1]
[D�monstration]
{\noindent\textbf{#1:} }
{\ \fbox{cqfd.}
}
\renewcommand{\theenumi}{\arabic{enumi}}
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi)}}
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\begin{itemize}
}{\end{itemize}}
\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N� 13129792072747--
%%--Corrig� du document N� 13121103480801--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{center}
{\LARGE {\textbf{Pondich\'{e}ry 1998 S\'{e}rie S}}\\[0pt]{\textbf{El\'{e}ments
de solution}} }
\end{center}

\begin{claim}
$\vspace*{-0.35cm}$

\begin{enumerate}
\item Nous sommes dans une situation d'\'{e}quiprobabilit\'{e}, ce qui permet
d'\'{e}crire :

\begin{enumerate}
\item $p_{1}=\frac{C_{3}^{2}}{C_{10}^{2}}=\frac{1}{15}$.

\item $p_{2}=\frac{C_{7}^{2}}{C_{10}^{2}}=\frac{7}{15}$.

\item Soit les deux boules tir\'{e}es sont rouges, soit les deux boules
tir\'{e}es sont noires, donc
\[
p_{3}=p_{1}+p_{2}=\frac{8}{15}%
\]


\item On reconna\^{\i}t l'\'{e}v\`{e}nement compl\'{e}mentaire du
pr\'{e}c\'{e}dent :
\[
p_{4}=1-p_{3}=\frac{7}{15}%
\]

\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item On tire une boule rouge dans U$_{1}$ et une rouge dans U$_{2}$ de
mani\`{e}re simultan\'{e}e, donc :
\[
p\left(  \text{R}\right)  =\frac{C_{3}^{2}\times C_{4}^{1}}{C_{10}^{2}\times
C_{10}^{1}}=\frac{2}{75}%
\]


\item Cet \'{e}v\`{e}nement C est la r\'{e}union des \'{e}v\`{e}nements
disjoints \textquotedblright\ les trois boules tir\'{e}es sont rouges
\textquotedblright\ avec \textquotedblright\ les trois boules tir\'{e}es sont
noires \textquotedblright. On a donc
\[
p\left(  \text{C}\right)  =\frac{C_{7}^{2}\times C_{6}^{1}}{C_{10}^{2}\times
C_{10}^{1}}+p\left(  \text{R}\right)  =\frac{23}{75}%
\]


\item Commen\c{c}ons par calculer la probabilit\'{e} de l'\'{e}v\`{e}nement D,
qui est le compl\'{e}mentaire de l'\'{e}v\`{e}nement C :
\[
p\left(  \text{D}\right)  =1-p\left(  \text{C}\right)  =\frac{52}{75}%
\]
Recherchons maintenant la probabilit\'{e} de l'\'{e}v\`{e}nement B$\cap$D.
Comme l'on sait que toutes les boules tir\'{e}es ne sont pas de la m\^{e}me
couleur, on peut donc dire que cet \'{e}v\`{e}nement est la r\'{e}union de
D$_{1}$ : \textquotedblright\ On a tir\'{e} deux boules noires dans U$_{1}$ et
une boule rouge dans U$_{2}$ \textquotedblright\ avec l'\'{e}v\`{e}nement
D$_{2}$ : \textquotedblright\ On a tir\'{e} une boule rouge et une boule noire
dans U$_{1}$ ainsi qu'une boule rouge dans U$_{2}".$ On a :
\[
p\left(  \text{D}_{1}\right)  =\frac{C_{7}^{2}\times C_{4}^{1}}{C_{10}%
^{2}\times C_{10}^{1}}=\frac{14}{75}%
\]%
\[
p\left(  \text{D}_{2}\right)  =\frac{C_{3}^{1}\times C_{7}^{1}\times C_{4}%
^{1}}{C_{10}^{2}\times C_{10}^{1}}=\frac{14}{75}%
\]
Comme les \'{e}v\`{e}nements D$_{1}$ et D$_{2}$ sont disjoints, on en
d\'{e}duit :
\[
p\left(  \text{B}\cap\text{D}\right)  =p\left(  \text{D}_{1}\right)  +p\left(
\text{D}_{2}\right)  =\frac{28}{75}%
\]
Il reste ensuite \`{a} appliquer la formule des probabilit\'{e}s
conditionnelles pour conclure :
\[
p_{D}(B)=\frac{p\left(  \text{B}\cap\text{D}\right)  }{p\left(  \text{D}%
\right)  }=\frac{\frac{28}{75}}{\frac{52}{75}}=\frac{7}{13}%
\]

\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{claim}

\begin{claim}
$\vspace*{-0.35cm}$

\begin{enumerate}
\item Par la m\'{e}thode des coefficients ind\'{e}termin\'{e}s, on trouve :
\[
P\left(  z\right)  =\allowbreak\left(  z^{2}+4z+20\right)  \left(
z^{2}-4z+13\right)
\]


\item $P(z)=0\Leftrightarrow z^{2}+4z+20=0$ ou $z^{2}-4z+13.$ La
r\'{e}solution de chacune des \'{e}quations du second degr\'{e} donne
l'ensemble $S $ des solutions :%
\[
S=\left\{  2+3i,2-3i,-2+4i,-2-4i\allowbreak\right\}
\]


\item On a repr\'{e}sent\'{e} les diff\'{e}rents points, compl\'{e}t\'{e}e des
points obtenus aux questions suivantes :%
%TCIMACRO{\FRAME{dtbhF}{4.0231in}{2.5365in}{0pt}{}{}{a6s-f1.eps}%
%{\special{ language "Scientific Word";  type "GRAPHIC";
%maintain-aspect-ratio TRUE;  display "USEDEF";  valid_file "F";
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%cropbottom "0";  filename 'Include/a6s-f1.eps';file-properties "XNPEU";}}}%
%BeginExpansion
\begin{center}
\includegraphics[
height=2.5365in,
width=4.0231in
]%
{Include/i3fay013.eps}%
\end{center}
%EndExpansion


\item
\begin{enumerate}
\item On obtient :%
\[
\frac{z-p}{z-m}=i\Leftrightarrow z-p=i\left(  z-m\right)  \Leftrightarrow
z=\frac{p-im}{1-i}%
\]
Il reste enfin \`{a} multiplier par le conjugu\'{e} du d\'{e}nominateur pour
obtenir :%
\[
z=\frac{1}{2}+\frac{11}{2}i
\]

\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\item On sait que $i=e^{i\frac{\pi}{2}},$ donc
\[
\left\vert \frac{z-p}{z-m}\right\vert =\left\vert i\right\vert =1\text{ et
}\arg\left(  \frac{z-p}{z-m}\right)  =\frac{\pi}{2}\quad\left(  2\pi\right)
\]
Comme
\[
\frac{PK}{MK}=\frac{\left\vert z-p\right\vert }{\left\vert z-m\right\vert
}=\left\vert \frac{z-p}{z-m}\right\vert =1\Rightarrow PK=MK
\]
on en d\'{e}duit que le triangle MPK est isoc\`{e}le. De plus,
\[
\left(  \overrightarrow{MK},\overrightarrow{PK}\right)  =\arg\left(
\frac{z-p}{z-m}\right)  =\frac{\pi}{2}\quad\left(  2\pi\right)
\]
prouve que le triangle est aussi rectangle en K.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item L d'affixe $z_{L}$ est le quatri\`{e}me sommet du carr\'{e} MKPL si et
seulement si
\[
\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{LP}\Leftrightarrow\left(  \frac{1}%
{2}+\frac{11}{2}i\right)  -\left(  -2+4i\right)  =\left(  2+3i\right)  -z_{L}%
\]
ce qui donne :%
\[
z_{L}=-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i
\]


\item On cherche une \'{e}quation cart\'{e}sienne de la droite (KL) :%
\[
4x-y+\frac{7}{2}=0
\]
Le point d'intersection avec l'axe des abscisses s'en d\'{e}duit de
mani\`{e}re \'{e}vidente :%
\[
y=0\Rightarrow x=-\frac{7}{8}%
\]


\item On a :\newline RM$=\left\vert \left(  -2+4i\right)  -\left(  -\frac
{7}{8}\right)  \right\vert =\frac{1}{8}\sqrt{1105}$\newline RN$=\left\vert
\left(  -2-4i\right)  -\left(  -\frac{7}{8}\right)  \right\vert =\frac{1}%
{8}\sqrt{1105}$\newline RP$=\left\vert \left(  2+3i\right)  -\left(  -\frac
{7}{8}\right)  \right\vert =\frac{1}{8}\sqrt{1105}$\newline RQ$=\left\vert
\left(  2-3i\right)  -\left(  -\frac{7}{8}\right)  \right\vert =\frac{1}%
{8}\sqrt{1105}$\newline ce qui prouve bien que M, N, P et Q sont sur un
m\^{e}me cercle de centre R. \newline
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{claim}

\begin{claim}
[Probl\`{e}me]\textbf{Partie A}\newline\textbf{$\star$} \textbf{\'{E}tude
d'une fonction auxiliaire}\newline

\begin{enumerate}
\item $g^{\prime}\left(  x\right)  =\allowbreak1-e^{x}<0$ sur $[0\,;\,+\infty
\lbrack,$ donc $g$ est d\'{e}croissante sur $[0\,;\,+\infty\lbrack.$ De plus,
en utilisant la factorisation pour $x\neq0$
\[
g\left(  x\right)  =x\left(  1+\frac{2}{x}-\frac{e^{x}}{x}\right)
\]
on trouve que
\[
\lim_{x\rightarrow+\infty}g\left(  x\right)  =\allowbreak-\infty
\]
car $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{e^{x}}{x}=\allowbreak+\infty$ d'apr\`{e}s
le cours.

\item
\begin{enumerate}
\item La fonction $g$ est d\'{e}rivable sur $[0\,;\,+\infty\lbrack,$
strictement d\'{e}croissante. Elle d\'{e}finit donc une bijection de
$[0\,;\,+\infty\lbrack$ sur $\left]  -\infty,1\right]  $ qui contient $0,$
donc l'\'{e}quation $g(x)=0$ admet une solution et une seule $\alpha$ dans
$[0\ ;\ +\infty\lbrack$.\newline

\item Comme $g\left(  1,14\right)  \simeq1,\,\allowbreak323\,2\times10^{-2}>0$
et $g\left(  1,15\right)  \simeq\allowbreak-8,\,\allowbreak192\,9\times
10^{-3}<0,$ on a
\[
1,14<\alpha<1,15
\]

\end{enumerate}

\item D'apr\`{e}s le tableau de variations de $g,$ $g(x)>0$ pour $x\in\left[
0,\alpha\right[  $ et $g\left(  x\right)  <0$ pour $x\in\left]  \alpha
,+\infty\right[  $.
\end{enumerate}

\textbf{Partie B} \\[0,2cm]\textbf{$\star$} \textbf{\'Etude de la fonction $f$
et trac\'{e} de la courbe $\mathcal{C}$}

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Pour tout $x$ appartenant \`{a} $[0\,;\,+\infty\lbrack$,%
\[
f^{\prime}\left(  x\right)  =\allowbreak e^{x}\frac{x+2-e^{x}}{\left(
xe^{x}+1\right)  ^{2}}=\frac{e^{x}g(x)}{(xe^{x}+1)^{2}}%
\]


\item Comme $e^{x}>0,$ le signe de $f^{\prime}\left(  x\right)  $ est celui de
$g\left(  x\right)  .$ Donc $f$ est croissante sur $\left[  0,\alpha\right[  $
et d\'{e}croissante sur $\left]  \alpha,+\infty\right[  $.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Pour tout r\'{e}el positif $x$,%
\[
\frac{1-e^{-x}}{x+e^{-x}}=\frac{e^{x}\left(  1-e^{-x}\right)  }{e^{x}\left(
x+e^{-x}\right)  }=\frac{e^{x}-1}{xe^{x}+1}=f\left(  x\right)
\]


\item Comme $\lim_{x\rightarrow+\infty}e^{-x}=\allowbreak0,$ on a donc
\[
\lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(  x\right)  =\allowbreak0
\]
La courbe repr\'{e}sentative de $f$ admet donc une asymptote d'\'{e}quation
$y=0.$
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item On a l'\'{e}galit\'{e} :%
\[
g\left(  \alpha\right)  =0\Leftrightarrow\alpha+2-e^{\alpha}=0\Leftrightarrow
e^{\alpha}=\alpha+2
\]
Il suffit alors de remplacer $e^{\alpha}$ dans l'expression de $f\left(
\alpha\right)  $ :%
\[
f\left(  \alpha\right)  =\allowbreak\frac{e^{\alpha}-1}{\alpha e^{\alpha}%
+1}=\frac{\left(  \alpha+2\right)  -1}{\alpha\left(  \alpha+2\right)
+1}=\frac{\alpha+1}{\left(  \alpha+1\right)  ^{2}}=\frac{1}{\alpha+1}%
\]


\item On en d\'{e}duit :%
\[
1,14<\alpha<1,15\Rightarrow\frac{1}{1,15+1}<\frac{1}{\alpha+1}<\frac
{1}{1,14+1}%
\]
ce qui fournit comme encadrement de $f(\alpha)$ d'amplitude $10^{-2}$ :%
\[
0,46<f\left(  \alpha\right)  <0,47
\]

\end{enumerate}

\item On trouve $y=x$.

\item
\begin{enumerate}
\item Pour tout $x$ appartenant \`{a} l'intervalle $[0\,;\,+\infty\lbrack$,%
\[
f\left(  x\right)  -x=\frac{e^{x}-1-x^{2}e^{x}-x}{xe^{x}+1}=\frac{\left(
1+x\right)  \left(  -xe^{x}+e^{x}-1\right)  }{xe^{x}+1}%
\]


\item $u^{\prime}\left(  x\right)  =\allowbreak-xe^{x}<0$ sur $[0\,;\,+\infty
\lbrack,$ donc $u$ est d\'{e}croissante sur$[0\,;\,+\infty\lbrack.$ Comme
$u\left(  0\right)  =\allowbreak0,$ on a donc $u\left(  x\right)  \leqslant0$
sur $[0\,;\,+\infty\lbrack.$

\item Sur $[0\,;\,+\infty\lbrack,$ le signe de $f\left(  x\right)  -x$ est
celui de $u\left(  x\right)  ,$ donc la courbe $\mathcal{C}$ est situ\'{e}e
au-dessous de la droite (T).
\end{enumerate}

\item On obtient :%
%TCIMACRO{\FRAME{dtbhF}{3.0727in}{2.0539in}{0pt}{}{}{Include/a6s-f2.eps}%
%{\special{ language "Scientific Word";  type "GRAPHIC";
%maintain-aspect-ratio TRUE;  display "USEDEF";  valid_file "F";
%width 3.0727in;  height 2.0539in;  depth 0pt;  original-width 3.0026in;
%original-height 1.9977in;  cropleft "0";  croptop "1";  cropright "1";
%cropbottom "0";  filename 'Include/a6s-f2.eps';file-properties "XNPEU";}}}%
%BeginExpansion
\begin{center}
\includegraphics[
height=2.0539in,
width=3.0727in
]%
{Include/i3fay015.eps}%
\end{center}
%EndExpansion

\end{enumerate}

\textbf{Partie C} \\[0,2cm]\textbf{$\star$} \textbf{Calcul d'aire et \'{e}tude
d'une suite}

\begin{enumerate}
\item En remarquant que $\left(  e^{-x}\right)  ^{\prime}=\allowbreak-e^{-x},
$ on trouve que pour tout $x$ de $[0\,;\,+\infty\lbrack$
\[
F\left(  x\right)  =\ln\left(  x+e^{x}\right)
\]


\item Puisque la courbe $\mathcal{C}$ est situ\'{e}e au-dessous de la tangente
(T), on a :%
\begin{align*}
A  &  =\int_{0}^{1}\left(  x-f\left(  x\right)  \right)  dx\\
&  =\int_{0}^{1}xdx-\left[  F\left(  x\right)  \right]  _{0}^{1}\\
&  =\frac{3}{2}-\ln\left(  e+1\right)
\end{align*}
en unit\'{e}s d'aires, donc $A=16\left(  \frac{3}{2}-\ln\left(  e+1\right)
\right)  $ cm$^{2}.$ On a donc en valeur approch\'{e}e :%
\[
A\simeq2.\,\allowbreak99
\]


\item
\begin{enumerate}
\item $v_{0}=\int_{0}^{1}\frac{e^{x}-1}{xe^{x}+1}\,dx=\left[  F\left(
x\right)  \right]  _{0}^{1}=-1+\ln\left(  e+1\right)  $ $\simeq0,\,\allowbreak
31$\newline$v_{1}=\allowbreak\int_{1}^{2}\frac{e^{x}-1}{xe^{x}+1}%
\,dx=-1+\ln\left(  2e^{2}+1\right)  -\ln\left(  e+1\right)  \simeq
0,\,\allowbreak45$\newline$v_{2}=\allowbreak\int_{2}^{3}\frac{e^{x}-1}%
{xe^{x}+1}\,dx=-1+\ln\left(  3e^{3}+1\right)  -\ln\left(  2e^{2}+1\right)
\simeq0,36$\newline

\item Comme la fonction $f$ est d\'{e}rivable et \`{a} valeurs positives sur
$\left[  n,n+1\right]  ,$ on peut interpr\'{e}ter graphiquement $v_{n}$ comme
l'aire entre la courbe $\left(  C\right)  $, l'axe des abscisses, et les
droites d'\'{e}quations $x=n$ et $x=n+1.$

\item La fonction $f$ est d\'{e}croissante sur $\left[  n,n+1\right]  $
puisque $\alpha<n$ d\`{e}s que $n\geqslant2.$ Donc pour tout $x$ de $\left[
n,n+1\right]  $ :%
\[
f\left(  n+1\right)  \leqslant f\left(  x\right)  \leqslant f\left(  n\right)
\]
puis, par int\'{e}gration de cette in\'{e}galit\'{e} entre $n$ et $n+1$ :%
\[
\int_{n}^{n+1}f\left(  n+1\right)  dx\leqslant\int_{n}^{n+1}f\left(  x\right)
dx\leqslant\int_{n}^{n+1}f\left(  n\right)  dx
\]
Comme
\[
\int_{n}^{n+1}f\left(  n+1\right)  dx=f\left(  n+1\right)  \int_{n}%
^{n+1}1dx=f\left(  n+1\right)  \left(  n+1-n\right)  =f\left(  n+1\right)
\]
on a bien pour tout $n\geqslant2,\quad$%
\[
f(n+1)\leqslant\int_{n}^{n+1}f(x)\,dx\leqslant f(n)
\]
\newline Pour tout $n\geqslant2,$ on a :%
\[
f\left(  n+1\right)  \leqslant v_{n}\leqslant f\left(  n\right)  \text{ et
}f\left(  n+2\right)  \leqslant v_{n+1}\leqslant f\left(  n+1\right)
\]
donc $v_{n+1}\leqslant v_{n}.$ Comme de plus $v_{2}\leqslant v_{1}$
d'apr\`{e}s la question 3) a) , on peut donc dire que la suite $(v_{n})$ est
d\'{e}croissante \`{a} partir de $n=1$.

\item Comme $\lim_{n\rightarrow+\infty}f\left(  n+1\right)  =\allowbreak0$ et
$\lim_{n\rightarrow+\infty}f\left(  n\right)  =\allowbreak0,$ le
th\'{e}or\`{e}me des gendarmes permet de dire que la suite $(v_{n})$ admet en
$+\infty$ une limite, et que
\[
\lim_{n\rightarrow+\infty}v_{n}=0
\]

\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{claim}


\end{document}