%\renewcommand{\theenumi}{\Roman{enumi}}
%\renewcommand{\labelenumiv}{\textbf{\theenumiv.}}

\documentclass{article}%
\usepackage{amssymb}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{geometry}
\usepackage{multicol}
\usepackage{lastpage}
\usepackage[french]{layout}
\usepackage{points}
\usepackage{boxedminipage}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{sectsty}
\usepackage{theorem}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{afterpage}%
\setcounter{MaxMatrixCols}{30}%
\usepackage{graphicx}
%TCIDATA{OutputFilter=latex2.dll}
%TCIDATA{Version=5.00.0.2552}
%TCIDATA{CSTFile=40 LaTeX article.cst}
%TCIDATA{Created=Saturday, February 28, 2004 15:35:17}
%TCIDATA{LastRevised=Thursday, September 02, 2004 18:54:08}
%TCIDATA{<META NAME="GraphicsSave" CONTENT="32">}
%TCIDATA{<META NAME="SaveForMode" CONTENT="1">}
%TCIDATA{<META NAME="DocumentShell" CONTENT="Articles\SW\DevoirJFil">}
\geometry{
a4paper,
marginpar=2cm,
lmargin=0cm,
rmargin=2cm,
marginparsep=0pt,
includemp=true,
reversemp=true,
headsep=-0.2in
}
\setlength{\theorempostskipamount}{2\baselineskip}
\theoremheaderfont{\large\bfseries}
{  \theorembodyfont{\large\upshape\mdseries}
\theoremstyle{break}
\newtheorem{theorem}{Th�or�me}
}
\newcounter{Cack}[section]
{   \theorembodyfont{\large\upshape}
\theoremstyle{break}
\newtheorem  {acknowledgement}[Cack]{A savoir}
}
\newcounter{Calg}[section]
{  \theorembodyfont{\upshape}
\theoremstyle{break}
\newtheorem{algorithm}[Calg]{M�thode}
}
\newcounter{Caxi}[section]
{   \theorembodyfont{\itshape}
\newtheorem{axiom}[Caxi]{Axiome}
}
\newcounter{Ccas}[section]
{   \theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{case}[Ccas]{Cas}
}
\newcounter{Ccorr}[section]
\renewcommand{\theCcorr}{\Roman{Ccorr}}
{   \theorembodyfont{\upshape}
\theoremstyle{break}
\newtheorem{claim}[Ccorr]{Correction de l'exercice}
}
\newcounter{Cconc}[theorem]
{   \theorembodyfont{\large\mdseries}
\newtheorem{conclusion}[Cconc]{Conclusion}
}
\newcounter{Ccond}[theorem]
{  \theorembodyfont{\large\mdseries}
\newtheorem{condition}[Ccond]{Hypoth�se}
}
\newcounter{Cconj}[section]
{   \theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{conjecture}[Cconj]{Conjecture}
}
\newcounter{Ccor}[section]
{   \theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{corollary}[Ccor]{Corollaire}
}
\newcounter{Ccrit}[section]
{   \theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{criterion}[Ccrit]{Crit�re}
}
\newcounter{Cdef}[section]
\newcounter{Cnot}[section]
{   \theorembodyfont{\large\upshape}
\theoremstyle{break}
\newtheorem{definition}[Cdef]{D�finition}
\newtheorem{notation}[Cnot]{Notation}
}
\newcounter{Cexa}[section]
{   \theorembodyfont{\slshape}
\newtheorem{example}[Cexa]{Exemple}
}
\newcounter{Cexe}[section]
\renewcommand{\theCexe}{\Roman{Cexe}}
{   \theorembodyfont{\upshape}
\theoremstyle{break}
\newtheorem{exercise}[Cexe]{Exercice}
}
\newcounter{Clem}[section]
{   \theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{lemma}[Clem]{Lemme}
}
\newcounter{Cprob}[section]
\renewcommand{\theCprob}
{\Roman{Cprob}.}
{   \theorembodyfont{\upshape}
\theoremstyle{break}
\newtheorem{problem}[Cprob]{Probl�me}
}
{   \theorembodyfont{\large\mdseries}
\newcounter{Cprop}[section]
\theoremstyle{break}
\newtheorem{proposition}[Cprop]{Propri�t�}
}
\newcounter{Crem}[section]
{   \theorembodyfont{\itshape}
\newtheorem{remark}[Crem]{Remarque}
}
\newcounter{Csol}[section]
{   \theorembodyfont{\upshape}
\theoremstyle{break}
\newtheorem{solution}[Csol]{Solution}
}
\newcounter{Csum}[section]
{   \theorembodyfont{\upshape}
\newtheorem{summary}[Csum]{En r�sum�}
}
\newenvironment{proof}[1]
[D�monstration]
{\noindent\textbf{#1:} }
{\ \fbox{cqfd.}
}
\renewcommand{\theenumi}{\arabic{enumi}}
\renewcommand{\theenumii}{\alph{enumii}}
\renewcommand{\theenumiii}{\roman{enumiii}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi)}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii)}}
\renewcommand{\labelenumiii}{\textbf{\theenumiii.}}
\newcommand{\LeTitre}{}
\newcommand{\Titre}[1]{\title{#1} \renewcommand
{\LeTitre}{#1}}
\newcommand{\LaClasse}{}
\newcommand
{\Classe}[1]{\renewcommand{\LaClasse} {#1}}
\newcommand{\LaDate}{}
\newcommand
{\Date}[1]{\author{#1}\renewcommand{\LaDate} {#1}}
\newcommand{\Duree}[1]{\date{#1}}
\newcommand{\Letablissement}{}
\newcommand{\Etablissement}[1]{\renewcommand{\Letablissement} {#1}}
\newcommand{\Ladiscipline}{}
\newcommand{\Discipline}[1]{\renewcommand{\Ladiscipline} {#1}}
\renewcommand{\thesection}
{\Alph{section}}
\renewcommand{\thesubsection}
{\thesection\arabic{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}
{\thesubsection.\arabic{subsubsection}}
\newenvironment{qcm}
{   \renewcommand{\labelitemi}{{\setlength{\fboxrule}{.05em}\setlength{\fboxsep}{0pt}\fbox{\rule[-0.3em]{0pt}{1em}\hspace{1em}}}}
\begin{itemize}
}{\end{itemize}}
\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N� --
%%--Corrig� du document N� 13119971756396--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{center}
{\LARGE {\textbf{Remplacement 1998 S\'{e}rie S}}\\[0pt]{\textbf{Elements de
solution}} }
\end{center}

\begin{claim}
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item En appliquant les formules de cours, on trouve :%
\[
\overrightarrow{\strut AB}\wedge\overrightarrow{\strut AC}\left(
\begin{array}
[c]{c}%
-8\\
-8\\
24
\end{array}
\right)
\]


\item Le vecteur $\overrightarrow{\strut AB}\wedge\overrightarrow{\strut AC}$
est normal au plan $ABC,$ donc un point $M\left(  x,y,z\right)  $ appartient
\`{a} ce plan si et seulement si
\[
\overrightarrow{AM}.\left(  \overrightarrow{\strut AB}\wedge\overrightarrow
{\strut AC}\right)  =0
\]
ce qui se traduit analytiquement par :%
\[
x+y-3z+2=0
\]

\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Le vecteur $\overrightarrow{n}\left(  0,1,0\right)  $ est un vecteur
normal \`{a} $Q,$ tandis que le vecteur $\overrightarrow{n^{\prime}}\left(
1,1,-3\right)  $ est normal \`{a} $Q^{\prime}$. Comme ces deux vecteurs ne
sont manifestement pas colin\'{e}aires, on peut affirmer que les plans $Q$ et
$Q^{\prime}$ sont s\'{e}cants.

\item Les points appartenant \`{a} la droite d'intersection $\Delta$ des plans
$Q $ et $Q^{\prime}$ ont des coordonn\'{e}es solutions du syst\`{e}me :%
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
x+y-3z+2=0\\
y=0
\end{array}
\right.  \Leftrightarrow\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
x=3z-2\\
y=0
\end{array}
\right.
\]
En posant $z=k$ avec $k\in\mathbb{R},$ on reconna\^{\i}t une \'{e}quation de
droite :%
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
x=3k-2\\
y=0\\
z=k
\end{array}
\right.
\]
Cette droite passe par le point $E\left(  -2,0,0\right)  $ et est dirig\'{e}e
par le vecteur $\overrightarrow{u}\left(  3,0,1\right)  .$
\end{enumerate}

\item[\textbf{3.}] On d\'{e}veloppe l'expression :%
\[
\left(  x-0\right)  ^{2}+\left(  y-1\right)  ^{2}+\left(  z+1\right)  ^{2}=4
\]
d'o\`{u} une \'{e}quation cart\'{e}sienne de la sph\`{e}re S de centre $I$ et
de rayon 2 :%
\[
x^{2}+y^{2}-2y+z^{2}+2z-2=0
\]


\item[\textbf{4.}] Equation param\'{e}trique de la droite $\left(  JK\right)
$ :%
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
x=-2+3t\\
y=0\\
z=t
\end{array}
\right.
\]
Sachant que les points d'intersection de la sph\`{e}re S et de la droite
$(JK)$ ont des coordonn\'{e}es qui v\'{e}rifient aussi l'\'{e}quation de la
sph\`{e}re, on a donc :%
\[
\left(  -2+3t\right)  ^{2}+0^{2}-2\times0+t^{2}+2t-2=0\Leftrightarrow
10t^{2}-10t+2=0
\]
On trouve deux valeurs pour $t$ :%
\[
t_{1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{10}\sqrt{5}\text{ et }t_{2}=\frac{1}{2}-\frac
{1}{10}\sqrt{5}%
\]
Il existe donc deux points d'intersection :%
\[
I_{1}\left(
\begin{array}
[c]{c}%
-\frac{1}{2}+\frac{3}{10}\sqrt{5}\\
0\\
\frac{1}{2}+\frac{1}{10}\sqrt{5}%
\end{array}
\right)  \text{ et }I_{2}\left(
\begin{array}
[c]{c}%
-\frac{1}{2}-\frac{3}{10}\sqrt{5}\\
0\\
\frac{1}{2}+\frac{1}{10}\sqrt{5}%
\end{array}
\right)
\]

\end{enumerate}
\end{claim}

\begin{claim}


\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $P\left(  4\right)  =0,$ donc $P\left(  z\right)  =\left(  z-4\right)
\left(  z^{2}-2z+4\right)  $

\item On trouve que $S=\left\{  4,1+i\sqrt{3},1-i\sqrt{3}\right\}  $
\end{enumerate}

\item Il suffit de calculer $AB=\left|  b-a\right|  =2\sqrt{3},$ puis
$AC=2\sqrt{3},$ et enfin $BC=2\sqrt{3}$ pour montrer que le triangle est \'{e}quilat\'{e}ral.

\item
\begin{enumerate}
\item L'expression complexe de la rotation est $z^{\prime}=e^{i\frac{\pi}{3}%
}z,$ d'o\`{u} l'affixe de $F$ est donn\'{e}e par
\[
z_{F}=e^{i\frac{\pi}{3}}\left(  -\sqrt{3}+i\right)  =-\sqrt{3}-i=2e^{-i\frac
{5\pi}{6}}%
\]
L'expression complexe de la translation est $z^{\prime}=z+1+i\sqrt{3},$ donc
\[
z_{G}=\left(  -\sqrt{3}+i\right)  +1+i\sqrt{3}=-\sqrt{3}+1+i\left(  1+\sqrt
{3}\right)
\]


\item $\left(  \widehat{\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OF}}\right)
=\arg\left(  \frac{z_{F}}{z_{C}}\right)  =\arg\left(  \frac{-\sqrt{3}%
-i}{1-i\sqrt{3}}\right)  =\arg\left(  -i\right)  =-\frac{\pi}{2},$ ce qui
prouve bien que les droites $\left(  OC\right)  $ et $\left(  OF\right)  $
sont perpendiculaires.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item $COFH$ est un parall\'{e}logramme, dont deux c\^{o}t\'{e}s
cons\'{e}cutifs sont perpendiculaires et de m\^{e}me longueur ( $OC=OF=2$ ),
donc c'est un carr\'{e}.

\item $\overrightarrow{CO}=\overrightarrow{HF}\Leftrightarrow z_{H}%
=z_{F}+c=-\sqrt{3}+1+i\left(  -\sqrt{3}-1\right)  .$

\item $AG=GH=AH=\sqrt{16+8\sqrt{3}}=\sqrt{\left(  2\sqrt{3}+2\right)  ^{2}%
}=2\sqrt{3}+2,$ donc $AGH$ est un triangle \'{e}quilat\'{e}ral.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{claim}

\begin{claim}
[Probl\`{e}me]$\vspace*{-0.35cm}$%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie}{\subsection*{Partie A}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie A}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item On trouve les fonctions $y$ d\'{e}finies sur $\mathbb{R}$ par :%
\[
y\left(  x\right)  =e^{2x}\left(  C_{1}+C_{2}x\right)
\]
o\`{u} $C_{1}$ et $C_{2}$ sont deux constantes r\'{e}elles.

\item $\varphi\left(  0\right)  =\allowbreak C_{1}$ donc $C_{1}=0$ et
$y^{\prime}\left(  0\right)  =\allowbreak2C_{1}+C_{2},$ donc $C_{2}=-e.$ La
solution $\varphi$ cherch\'{e}e est donc d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ par :%
\[
\varphi\left(  x\right)  =-exe^{2x}=-xe^{2x+1}%
\]

\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie}{\subsection*{Partie B}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie B}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Comme $e^{2x+1}>0,$ le signe de $f(x)$ est celui de $\left(  -x\right)
, $ donc $si$ $x\in\mathbb{R}^{-}$ alors $f\left(  x\right)  \geqslant0$ et si
$x\in\mathbb{R}^{+}$ alors $f\left(  x\right)  \leqslant0.$

\item Pour tout $x$ de $\mathbb{R}$%
\[
f^{\prime}\left(  x\right)  =\allowbreak-e^{2x+1}\left(  2x+1\right)
\]
Le signe de $f^{\prime}\left(  x\right)  $ est celui de $-\left(  2x+1\right)
.$ Donc $f$ est croissante sur $\left]  -\infty,-\frac{1}{2}\right[  $ et
d\'{e}croissante sur $\left]  -\frac{1}{2},+\infty\right[  $.

\item $\lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(  x\right)  =\allowbreak-\infty.$ Pour
le calcul de la limite en $-\infty,$ \'{e}crivons que
\[
f\left(  x\right)  =\allowbreak-xe^{2x+1}=-e\left(  xe^{x}\right)  e^{x}%
\]
Comme $\lim_{x\rightarrow-\infty}e^{x}=\allowbreak0$ et $\lim_{x\rightarrow
-\infty}xe^{x}=\allowbreak0,$ on en d\'{e}duit que :
\[
\lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(  x\right)  =\allowbreak0
\]


\item On obtient donc :%
\[%
\begin{tabular}
[c]{l|ccccc}%
$x$ & $-\infty$ &  & $-\frac{1}{2}$ &  & $+\infty$\\\hline
$f^{\prime}\left(  x\right)  $ &  & $+$ & $0$ & $-$ & \\\hline
&  &  & $\frac{1}{2}$ &  & \\
$f\left(  x\right)  $ &  &
%TCIMACRO{\TeXButton{Croissant}{\parbox{1.4cm}{
%\setlength{\unitlength}{0.1cm}
%\begin{picture}(14,7)
%\put(0,0){\vector(2,1){14}}
%\end{picture}
%}}}%
%BeginExpansion
\parbox{1.4cm}{
\setlength{\unitlength}{0.1cm}
\begin{picture}(14,7)
\put(0,0){\vector(2,1){14}}
\end{picture}
}%
%EndExpansion
&  &
%TCIMACRO{\TeXButton{Decroissent}{\parbox{1.4cm}{
%\setlength{\unitlength}{0.1cm}
%\begin{picture}(14,7)
%\put(0,7){\vector(2,-1){14}}
%\end{picture}
%}}}%
%BeginExpansion
\parbox{1.4cm}{
\setlength{\unitlength}{0.1cm}
\begin{picture}(14,7)
\put(0,7){\vector(2,-1){14}}
\end{picture}
}%
%EndExpansion
& \\
& $0$ &  &  &  & $-\infty$%
\end{tabular}
\]


\item Equation de la tangente \`{a} ($\mathcal{C}$) au point $O$ :%
\[
y=-ex
\]
\newline Equation de la tangente T \`{a} ($\mathcal{C}$) au point d'abscisse
(-1) :%
\[
y=e^{-1}x+2e^{-1}%
\]


\item Equation de la tangente \`{a} ($\Gamma$) au point d'abscisse (-1) :%
\[
y=e^{-1}x+2e^{-1}%
\]

\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Pour tout $x$ de $\mathbb{R}$ :%
\[
h^{\prime}\left(  x\right)  =e^{1+x}\left(  1+x\right)
\]
Le signe de $h^{\prime}(x)$ est donc celui de $\left(  1+x\right)  ,$ ce qui
entra\^{\i}ne que pour $x$ appartenant \`{a} $\left]  -\infty,-1\right[  ,$ on
a $h^{\prime}\left(  x\right)  <0$ et donc que la fonction $h$ est
d\'{e}croissante sur cet intervalle. De m\^{e}me, pour $x$ appartenant \`{a}
$\left]  -1,+\infty\right[  ,$ on a $h^{\prime}\left(  x\right)  >0$, et donc
$h $ est croissante sur cet intervalle. On peut donc dire que $h\left(
-1\right)  =0$ repr\'{e}sente un minimum pour $h,$ et en conclure que
$h\left(  x\right)  $ est positif ou nul sur $\mathbb{R}.$

\item On forme pour tout $x$ de $\mathbb{R}$ :%
\[
f\left(  x\right)  -g\left(  x\right)  =\allowbreak-xe^{2x+1}-e^{x}%
=-e^{x}\left(  1+xe^{x}e\right)  =-e^{x}h\left(  x\right)
\]
Le signe de cette diff\'{e}rence est donc \'{e}gal \`{a} celui de $-h\left(
x\right)  .$ On en conclut d'apr\`{e}s la question pr\'{e}c\'{e}dente que
$f\left(  x\right)  -g\left(  x\right)  \leqslant0,$ et donc que la courbe
($\mathcal{C}$) est situ\'{e}e au-dessous de ($\Gamma$).

\item ($\mathcal{C}$) est en bleu, ($\Gamma$) en vert, et T en noir.%
%TCIMACRO{\FRAME{dtbhF}{3.9323in}{2.6256in}{0pt}{}{}{Include/a9s-f1.eps}%
%{\special{ language "Scientific Word";  type "GRAPHIC";
%maintain-aspect-ratio TRUE;  display "USEDEF";  valid_file "F";
%width 3.9323in;  height 2.6256in;  depth 0pt;  original-width 3.8501in;
%original-height 2.5616in;  cropleft "0";  croptop "1";  cropright "1";
%cropbottom "0";  filename 'Include/a9s-f1.eps';file-properties "XNPEU";}}}%
%BeginExpansion
\begin{center}
\includegraphics[
height=2.6256in,
width=3.9323in
]%
{Include/i3fay817.eps}%
\end{center}
%EndExpansion

\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Equation de la tangente D \`{a} ($\Gamma$) en M :%
\[
y=e^{m}x-e^{m}m+e^{m}%
\]


\item $x=0\Rightarrow y=-e^{m}m+e^{m}$ donc $A\left(  0,-e^{m}m+e^{m}\right)
. $\newline$y=0\Rightarrow x=m-1,$ donc $B\left(  m-1,0\right)  $.\newline Les
coordonn\'{e}es du milieu J du segment [AB] sont donc%
\[
\left(  \frac{m-1}{2},\frac{-e^{m}m+e^{m}}{2}\right)
\]


\item On calcule
\[
f\left(  \frac{m-1}{2}\right)  =\allowbreak-\left(  \frac{1}{2}m-\frac{1}%
{2}\right)  e^{m}=-\frac{1}{2}e^{m}m+\frac{1}{2}e^{m}%
\]
ce qui prouve bien que J appartient \`{a} ($\mathcal{C}$).
\end{enumerate}
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie}{\subsection*{Partie C}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie C}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item Pour $x$ r\'{e}el quelconque, on pose :%
\[
u\left(  t\right)  =t\text{ et }u^{\prime}\left(  t\right)  =1
\]%
\[
v^{\prime}\left(  t\right)  =e^{2t}\text{ et }v\left(  t\right)  =\frac
{e^{2t}}{2}%
\]
\newline La formule d'int\'{e}gration par partie donne :%
\begin{align*}
\text{I}(x)  &  =\allowbreak\frac{1}{2}xe^{2x}-\int_{0}^{x}\frac{1}{2}%
e^{2t}\,dt\\
&  =\allowbreak\frac{1}{2}xe^{2x}-\left(  \frac{1}{4}e^{2x}-\frac{1}{4}\right)
\\
&  =\frac{1}{2}xe^{2x}-\frac{1}{4}e^{2x}+\frac{1}{4}%
\end{align*}


\item On a d'apr\`{e}s le cours :%
\begin{align*}
\mathcal{A}(x)  &  =\int_{x}^{0}f\left(  t\right)  dt=e\int_{x}^{0}%
-te^{2t}dt\\
&  =e\int_{0}^{x}te^{2t}dt\\
&  =e\left(  \frac{1}{2}xe^{2x}-\frac{1}{4}e^{2x}+\frac{1}{4}\right) \\
&  =\frac{1}{2}exe^{2x}-\frac{1}{4}ee^{2x}+\frac{1}{4}e
\end{align*}
Ce r\'{e}sultat \'{e}tant exprim\'{e} en unit\'{e} d'aire. Une unit\'{e}
d'aire valant $16$ cm$^{2},$ on a donc
\begin{align*}
\mathcal{A}(x)  &  =16\left(  \frac{1}{2}exe^{2x}-\frac{1}{4}ee^{2x}+\frac
{1}{4}e\right) \\
\mathcal{A}(x)  &  =8exe^{2x}-4ee^{2x}+4e\text{ cm}^{2}%
\end{align*}


\item $\mathcal{A}(-1)=\allowbreak-12ee^{-2}+4e$.

\item Comme $\lim_{x\rightarrow-\infty}e^{x}=\lim_{x\rightarrow-\infty}%
xe^{x}=0,$ $\mathcal{A}(x)$ admet donc une limite quand $x$ tend vers moins
l'infini qui est :%
\[
\lim_{x\rightarrow-\infty}\mathcal{A}(x)=\allowbreak4e
\]

\end{enumerate}
\end{claim}


\end{document}